2014高考数学(理)一轮：一课双测A+B精练(四十) 直接证明和间接证明

直接证明与间接证明直接证明和间接证明是数学中常用的两种证明方法。

直接证明是通过逻辑推理和已知的真实前提，以直接的方式推出所要证明的结论。

间接证明则是采用反证法或者假设推理的方式，通过说明对立假设或者逻辑矛盾来推出所要证明的结论。

直接证明的思路是从已知条件出发，逐步运用数学定义、性质、定理等等，直接推导到所要证明的结论。

这种证明方法通常比较直观，步骤清晰，容易理解。

下面来看一个简单的例子。

假设我们要证明：如果一个正整数是3的倍数，则这个正整数的平方也是3的倍数。

直接证明的思路是从正整数是3的倍数这个已知条件出发，即假设正整数n可以写为3k，其中k为整数。

那么正整数n的平方可以写为(3k)^2=9k^2，即n^2=9k^2、由此可知，正整数n^2也可以写为3的倍数，因为9k^2可以写为3的倍数。

因此，根据直接证明的逻辑推理，我们得出结论：如果一个正整数是3的倍数，则这个正整数的平方也是3的倍数。

间接证明的思路是通过反证法或者假设推理的方式，假设所要证明的结论不成立，然后通过推理说明这个假设是不可能的或者导致矛盾的。

下面来看一个简单的例子。

假设我们要证明：不存在两个整数的和等于3的倍数，且差等于5的倍数。

间接证明的思路是先假设存在这样的两个整数，分别为a和b。

那么根据条件，我们可以得到以下两个等式：a+b=3k，其中k为整数；a-b=5m，其中m为整数。

然后我们将这两个等式相加，得到：2a=3k+5m。

由于3k+5m是整数，所以2a也是整数。

但是，由于2是偶数，所以2a是偶数，而3k+5m是奇数。

因此，2a和3k+5m不能同时成立，即假设不成立。

因此，不存在两个整数的和等于3的倍数，且差等于5的倍数。

以上是直接证明和间接证明的简单例子，实际的证明可能需要更多的推理和步骤。

两种证明方法各有优点和适用范围。

直接证明通常通过展示清晰的推理过程来达到证明目的，适合于结论的证明比较明显和直观的情况。

而间接证明则通过反证法或者假设推理来达到证明目的，适合于结论的证明比较困难或者复杂的情况。

7．4 直接证明与间接证明
考纲点击 1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了 解分析法和综合法的思考过程、特点. 2.了解间接证明的一种基本方法——反证法，了解反证法 的思考过程、特点.
说基础
课前预习读教材
考点梳理 1.综合法 一般地，利用①__________________________________， 经过一系列的②__________，最后推导出所要证明的结论成 立，这种证明方法叫做综合法． 用 P 表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q 表示 所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：
答案：B
2．若 a，b∈R，则下面四个式子中恒成立的是( )
A．lg(1＋a2)＞0
B．a2＋b2≥2(a－b－1)
C．a2＋3ab＞2b2
D.ab＜ab＋ ＋11
解析：在 B 中，∵a2＋b2－2(a－b－1)＝(a2－2a＋1)＋(b2 ＋2b＋1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，
∴a2＋b2≥2(a－b－1)恒成立． 答案：B
解析：取 x1＝x2＝0 可得 f(0)≥f(0)＋f(0)⇒f(0)≤0. 又由条件①可得 f(0)≥0，故 f(知 a＞b＞0，求证： a－8ab2＜a＋2 b－ ab＜a－8bb2.
证明：要证a－8ab2＜a＋2 b－ ab＜a－8bb2，
只需证a－8ab2＜
B．a2＞b2
C.c2＋a 1＞c2＋b 1 D．a|c|＞b|c|
解析：由 a、b、c∈R，a＞b，A 中若取 a＝2，b＝－1， 有 a＞b，而1a＜1b不成立，所以 A 错；B 中若取 a＝－1，b＝－ 2，有 a＞b，而 a2＜b2，不成立，所以 B 错；C 中c2＋a 1＞c2＋b 1 正确；D 中，当 c＝0 时，a|c|＞b|c|不成立．

考点集训(四十三) 第43讲 直接证明与间接证明1．要证明a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0，只要证明A ．2ab －1－a 2b 2≤0B ．a 2＋b 2－1－a 4＋b 42≤0C.（a ＋b ）22－1－a 2b 2≤0D ．(a 2－1)(b 2－1)≥02．若实数a ，b 满足a ＋b<0，则 A ．a ，b 都小于0 B ．a ，b 都大于0C ．a ，b 中至少有一个大于0D ．a ，b 中至少有一个小于03．若P ＝a ＋a ＋7，Q ＝a ＋3＋a ＋4(a ≥0)，则P ，Q 的大小关系是 A ．P ＞Q B ．P ＝QC ．P ＜QD ．由a 的取值确定4．若⎪⎪⎪⎪⎪⎪log a 14＝log a 14，|log b a|＝－log b a ，则a ，b 满足的条件是 A ．a ＞1，b ＞1 B ．0＜a ＜1，b ＞1C ．a ＞1，0＜b ＜1D ．0＜a ＜1，0＜b ＜1 5．已知函数f (x )是R 上的单调增函数且为奇函数，数列{a n }是等差数列，a 3>0，则f (a 1)＋f (a 3)＋f (a 5)的值A ．恒为正数B ．恒为负数C ．恒为0D ．可正可负6．如果a a ＋b b >a b ＋b a ，则a ，b 应满足的条件是______________． 7．求使x ＋y ≤a x ＋y (x ＞0，y ＞0)恒成立的a 的最小值．8．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数．(1)sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°.(2)sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°.(3)sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°.(4)sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°.(5)sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°. ①试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数．②根据①的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．9．(1)求证：当a>1时，不等式a3＋1a3>a2＋1a2成立．(2)要使上述不等式成立，能否将条件“a>1”适当放宽？若能，请放宽条件，并简述理由；若不能，也请说明理由．(3)请你根据(1)(2)的结果，写出一个更为一般的结论，且予以证明．第43讲 直接证明与间接证明【考点集训】1．D 2.D 3.C 4.B 5.A 6.a ≥0，b ≥0且a ≠b 7．【解析】设u ＝x ＋y x ＋y＝（x ＋y ）2x ＋y＝x ＋y ＋2xyx ＋y ＝1＋2xy x ＋y.∵x ＞0，y ＞0，∴x ＋y ≥2xy(当且仅当x ＝y 时，等号成立)， ∴2xyx ＋y≤1，即1＋2xy x ＋y≤2，∴a 的最小值为 2. 8．【解析】①选择(2)式计算如下sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝34.②三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos (30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos (30°－α)＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34. 9．【解析】(1)a 3＋1a 3－a 2－1a 2＝1a 3()a －1()a 5－1，因为a>1，所以1a3()a －1()a 5－1>0，故原不等式成立．(2)能将条件“a ＞1”适当放宽．理由如下：由于a －1与a 5－1对于任意的a>0且a ≠1都保持同号，所以上述不等式对任何a>0且a ≠1都成立，故条件可以放宽为a>0且a ≠1.(3)根据(1)、(2)的证明，可推知： 若a>0且a ≠1，m>n>0，则有a m＋1a m >a n ＋1an .证明如下：a m －a n ＋1a m －1a n ＝a n()a m －n －1－1a m ()a m －n －1＝1am ()a m －n －1()a m ＋n－1， 若a>1，则由m>n>0得a m －n －1>0，a m ＋n－1>0，知不等式成立；若0<a<1，则由m>n>0得a m －n －1<0，a m ＋n－1<0知不等式成立．。

高考数学（文）一轮：一课双测A+B 精练(三十九) 直接证明和间接证明1．(·平顶山模拟)命题“如果数列{an}的前n 项和Sn ＝2n2－3n ，那么数列{an}一定是等差数列”是否成立( )A ．不成立B ．成立C ．不能断定D ．能断定2．要证：a2＋b2－1－a2b2≤0，只要证明( ) A ．2ab －1－a2b2≤0 B ．a2＋b2－1－a4＋b42≤0C.a ＋b 22－1－a2b2≤0D ．(a2－1)(b2－1)≥03．(·山师大附中模拟)用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”正确的反设为( )A ．a ，b ，c 中至少有两个偶数B ．a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数C ．a ，b ，c 都是奇数D ．a ，b ，c 都是偶数4．(·银川模拟)设a ，b ，c 是不全相等的正数，给出下列判断： ①(a －b)2＋(b －c)2＋(c －a)2≠0； ②a ＞b ，a ＜b 及a ＝b 中至少有一个成立； ③a ≠c ，b ≠c ，a ≠b 不能同时成立， 其中正确判断的个数为( ) A ．0B ．1 C ．2D ．35．(·张家口模拟)分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a>b>c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证b2－ac<3a ”索的因应是( )A ．a －b>0B ．a －c>0C ．(a －b)(a －c)>0D ．(a －b)(a －c)<06．不相等的三个正数a ，b ，c 成等差数列，并且x 是a ，b 的等比中项，y 是b ，c 的等比中项，则x2，b2，y2三数( )A ．成等比数列而非等差数列B ．成等差数列而非等比数列C ．既成等差数列又成等比数列D ．既非等差数列又非等比数列7．设a ＝3＋22，b ＝2＋7，则a ，b 的大小关系为________．8．(·黄冈质检)在不等边三角形中，a 为最大边，要想得到∠A 为钝角的结论，则三边a ，b ，c 应满足________．9．(·肇庆模拟)已知点An(n ，an)为函数y ＝x2＋1图象上的点，Bn(n ，bn)为函数y ＝x 图象上的点，其中n ∈N*，设cn ＝an －bn ，则cn 与cn ＋1的大小关系为________．10．若a ＞b ＞c ＞d ＞0且a ＋d ＝b ＋c ，求证：d ＋a ＜b ＋ c.11．求证：a ，b ，c 为正实数的充要条件是a ＋b ＋c ＞0，且ab ＋bc ＋ca ＞0和abc ＞0. 12．设f (x)＝ex －1.当a ＞ln2－1且x ＞0时，证明：f(x)＞x2－2ax.1．已知函数y ＝f(x)的定义域为D ，若对于任意的x1，x2∈D(x1≠x2)，都有f ⎝⎛⎭⎪⎫x1＋x22<fx1＋f x22，则称y ＝f(x)为D 上的凹函数．由此可得下列函数中的凹函数为( )A ．y ＝log2xB ．y ＝xC ．y ＝x2D ．y ＝x32．(·邯郸模拟)设a ，b 是两个实数，给出下列条件： ①a ＋b>1；②a ＋b ＝2；③a ＋b>2；④a2＋b2>2； ⑤ab>1.其中能推出：“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是______．(填序号)3．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx ＋c(a ＞0)的图象与x 轴有两个不同的交点．若f(c)＝0，且0＜x ＜c 时，f(x)＞0.(1)证明：1a 是函数f(x)的一个零点；(2)试比较1a 与c 的大小．[答 题 栏]A 级1._________2._________3._________4._________5.__________6._________B 级1.______2.______7.__________8.__________9.__________高考数学（文）一轮：一课双测A+B 精练(三十九)A 级1．B2.D3.B4.C5．选C b2－ac<3a ⇔b2－ac<3a2⇔(a ＋c)2－ac<3a2 ⇔a2＋2ac ＋c2－ac －3a2<0 ⇔－2a2＋ac ＋c2<0 ⇔2a2－ac －c2>0⇔(a －c)(2a ＋c)>0⇔(a －c)(a －b)>0. 6．选B 由已知条件，可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝2b ，①x2＝ab ，②y2＝bc.③由②③得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝x2b，c ＝y2b .代入①，得x2b ＋y2b ＝2b ，即x2＋y2＝2b2. 故x2，b2，y2成等差数列．7．解析：a ＝3＋22，b ＝2＋7两式的两边分别平方，可得a2＝11＋46，b2＝11＋47，显然，6＜7.∴a ＜b.答案：a ＜b8．解析：由余弦定理cosA ＝b2＋c2－a22bc ＜0，所以b2＋c2－a2＜0，即a2＞b2＋c2. 答案：a2＞b2＋c29．解析：由条件得cn ＝an －bn ＝n2＋1－n ＝1n2＋1＋n，∴cn 随n 的增大而减小． ∴cn ＋1<cn. 答案：cn ＋1<cn10．证明：要证d ＋a ＜b ＋c ，只需证(d ＋a )2＜(b ＋c)2， 即a ＋d ＋2ad ＜b ＋c ＋2bc ， 因a ＋d ＝b ＋c ，只需证ad ＜bc ， 即ad ＜bc ，设a ＋d ＝b ＋c ＝t ，则ad －bc ＝(t －d)d －(t －c)c ＝(c －d)·(c ＋d －t)＜0， 故ad ＜bc 成立，从而d ＋a ＜b ＋c 成立． 11．证明：必要性(直接证法)：∵a ，b ，c 为正实数，∴a ＋b ＋c ＞0， ab ＋bc ＋ca ＞0，abc ＞0， 因此必要性成立． 充分性(反证法)：假设a ，b ，c 是不全为正的实数， 由于ab c ＞0，则它们只能是两负一正， 不妨设a ＜0，b ＜0，c ＞0.又∵ab ＋bc ＋ca ＞0，∴a(b ＋c)＋bc ＞0，且bc ＜0， ∴a(b ＋c)＞0.①又∵a ＜0，∴b ＋c ＜0.∴a ＋b ＋c ＜0 这与a ＋b ＋c ＞0相矛盾．故假设不成立，原结论成立，即a ，b ，c 均为正实数． 12．证明：欲证f(x) ＞x2－2ax ， 即ex －1＞x2－2ax ， 也就是ex －x2＋2ax －1＞0.可令u(x)＝ex －x2＋2ax －1，则u ′(x)＝ex －2x ＋2a. 令h(x)＝ex －2x ＋2a ，则h ′(x)＝ex －2.当x ∈(－∞，ln2)时，h ′(x)＜0，函数h(x)在(－∞，ln2]上单调递减，当x ∈(ln2，＋∞)时，h ′(x)＞0，函数h(x)在[ln2，＋∞)上单调递增．所以h(x)的最小值为h(ln2)＝eln2－2ln2＋2a ＝2－2ln2＋2a.因为a ＞ln2－1，所以h(ln2) ＞2－2ln2＋2(ln2－1)＝0，即h(ln 2)＞0. 所以u ′(x)＝h(x)＞0，即u(x)在R 上为增函数． 故u(x)在(0，＋∞)上为增函数． 所以u(x)＞u(0)．而u(0)＝0，所以u(x)＝ex －x2＋2ax －1＞0. 即当a ＞ln2－1且x ＞0时， f(x)＞x2－2ax.B 级1．选C 可以根据图象直观观察；对于C 证明如下： 欲证f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x1＋x22<fx1＋f x22，即证⎝⎛⎭⎪⎫x1＋x222<x21＋x222.即证(x1＋x2)2<2x21＋2x22.即证(x1－x2)2>0.显然成立．故原不等式得证． 2．解析：若a ＝12，b ＝23，则a ＋b>1，但a<1，b<1，故①推不出；若a ＝b ＝1，则a ＋b ＝2，故②推不出； 若a ＝－2，b ＝－3，则a2＋b2>2，故④推不出； 若a ＝－2，b ＝－3，则ab>1，故⑤推不出； 对于③，即a ＋b>2，则a ，b 中至少有一个大于1， 反证法：假设a ≤1且b ≤1， 则a ＋b ≤2与a ＋b ＞2矛盾，因此假设不成立，故a ，b 中至少有一个大于1. 答案：③3．解：(1)证明：∵f(x)的图象与x 轴有两个不同的交点， ∴f(x)＝0有两个不等实根x1，x2. ∵f(c)＝0，∴x1＝c 是f(x)＝0的根． 又x1x2＝ca ，∴x2＝1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ≠c ，∴1a是f(x)＝0的一个根． 即1a 是函数f(x)的一个零点． (2)假设1a ＜c ，∵1a＞0，∴由0＜x ＜c 时，f(x)＞0，知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＞0，这与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝0矛盾，∴1a ≥c. 又∵1a≠c，∴1a＞c.高考理科数学试题及答案（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。