梯形辅助线专练

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例 1.如图所示，在梯形 ABCD 中，AD // BC, AB = 8, DC = 6,Z B = 45°, BC = 10, 求梯形上底AD的长.

分析：作AE丄BC , DF丄BC,垂足分别为E、F,这样可构造两个直角三角形 .

解：分别过点A、D作AE丄BC, DF丄BC,垂足分别为E、F,则四边形AEFD是矩形. 在 Rt△ ABE

中，•••/ B = 45°,「. AE = BE.

设 AE = BE = x,贝V AB = x= 8,

x= 4,「. AE = BE = DF = 4, 在 Rt△ DFC 中，CF = = 2,

AD = EF = BC — BE — CF = 10— 4 — 2= 8-4.

例2.如图所示，在直角梯形 ABCD中，/ A = 90 °, =17.求CD的长.

解：过点D作DE // BC交AB于点E.

又AB // CD，所以四边形 BCDE是平行四边形.

所以 DE = BC = 17, CD= BE.

在Rt△ DAE中，由勾股定理，得

AE2= DE2 — AD2,即即 AE2= 172— 152= 64.

所以AE = 8.

所以 BE = AB — AE = 16 — 8 = 8. 即 CD = 8.

例3.如图所示，在等腰梯形ABCD中，AD // BC,对角线的面积.

解：过点D作DE // AC交BC的延长线于点 E.

又 AD // BC,

.四边形ACED是平行四边形.

--AC = DE , SAADC = SAECD .

-SAADC = SADAB，…SADAB = SAECD.

.SA DBE = S 梯形 ABCD .

•••四边形ABCD是等腰梯形，

••• AC = BD.

•/ AC = DE ,

• BD = DE = 6cm.

•/ AC 丄 BD , AC // DE , • DE 丄 BD.

• S 梯形 ABCD = SADBE = BD • DE = x 6X 6= 18 ( cm ) AB // DC , AD = 15, AB = 16, BC

AC 丄 BD ,BD = 6cm.求梯形 ABCD

例4.如图所示，四边形ABCD中，AD不平行于BC ,AC = BD ,AD = BC.判断四边形 ABCD

的形状，并证明你的结论.

解：四边形ABCD是等腰梯形.

证明：延长 AD、BC相交于点E，如图所示.

•/ AC = BD , AD = BC , AB = BA ,

• △ DAB BA CBA.

• / DAB =Z CBA.

• EA = EB.

又 AD = BC ,• DE = CE ,Z EDC = Z ECD.

而/ E+Z EAB + Z EBA =Z E+Z EDC + Z ECD = 180°,

•••/ EDC = Z EAB ,••• DC // AB.

例5.如图所示，在梯形 ABCD中，

求证：CE丄BE.

证明：延长CE交BA的延长线于

•/ CD // BF，•/ D = Z EAF，/ DCE = Z F.

•/ DE = AE ,•••△ CDE ◎△ FAE.

AF = CD = 1 , EF= CE.

•/ AB = 2, BC = 3 , • AB + AF = BC.即 BF = BC. • BE 丄 CE.

*4.如图所示，在等腰梯形

AD = 30, BC = 70,求 BD 的长.

5. 如图所示，已知等腰梯形的锐角等于 60°,它的两底分别为 15cm和49cm,求它的腰

长.

6. 如图所示，已知等腰梯形 ABCD中，AD // BC , AC丄BD , AD + BC = 10, DE丄BC于 E,求DE的长.1. 若等腰梯形的锐角是 60°

长为 ___________ cm.

2. 如图所示，已知等腰梯形腰梯形的周长为（

A. 19 ，它的两底分别为 11cm, 35cm,则它的腰

ABCD 中，AD // BC，/ B = 60°, AD = 2, BC = 8,则此等

)

B. 20 D. 22

**3.如图所示，积为（）

A. 130 B.140 C.150 AB //

CD , C. 21

AE 丄 DC , AE = 12, BD = 20 , AC = 15，则梯形 ABCD 的面

D. 160

C 又AD不平行于BC,「.四边形 ABCD是等腰梯形. AB //

CD , AB = 2, BC = 3, CD = 1. E 是 AD 的中点,

中，已知 AD // BC,对角线 AC与BD互相垂直，且 ABCD

△ n 6

7. 如图所示，梯形 ABCD 中，AB // CD，/ D= 2/B , AD + DC = 8,求 AB 的长.

**8.如图所示，梯形 ABCD中，AD // BC, （1）若E是AB的中点，且 AD + BC = CD , 则DE与CE有何位置关系？（ 2） E是/ ADC与/ BCD的角平分线的交点，贝U DE与CE 有何位置关系？

1、梯形 ABCD 中，AD // BC, / B=50。，/ C=80 ° , BC=5 , AD=3，贝U CD= __________

2、等腰梯形的锐角为 60°，两底长分别为 3cm和8cm，则腰长为（）cm.

3、已知如图，等腰梯形 ABCD中，AD // BC , AD=3 , AB=4 , BC=7，求/ B的度数.

4、直角梯形的两底之差等于高，则其最大内角的度数为 _______________

（B 组）、

2cm,7cm, —腰长是 3cm ,则另一腰的长度 x的取值范围

ABCD 中，AD // BC , AD=5 , AB=6 , BC=8，且 AB // DE,则三）。

ABCD 中，AD // BC , AD=1 , BC=4 , AC=3 , BD=4，求沫「.E：

1、梯形的上、下底分别是

2、如图所示，在等腰梯形

角形DEC的周长是（

B E

3、如图，梯形 D

D C

【试题答案】

1.24 2. D 3. C

4.过D作DE // AC交BC延长线于E,则四边形 ACED为平行四边形，• DE = AC , =AD.

•••梯形 ABCD 为等腰梯形，• AC = BD , • BD = ED, T BD 丄 AC , • BD 丄 DE. RtA

BDE 中，BD2+ DE2= BE2,即卩 2BD2= 1002 , BD = 50.

6.过D点作DF // AC ,交BC的延长线于F,则四边形

AD = CF，T BD 丄AC , • BD 丄DF. T•四边形 ABCD 为等腰梯形，• AC = DB. •/ DE 丄 BC ,• BE = EF, • DE = BE = EF = BF = 5.

7.分别延长 AD、BC 相交于点 E. TAB // CD，•/ 1 = Z B. T/ADC =Z E + Z 1, /ADC =/ E +Z B.

T/ ADC = 2/ B, E=/ B, / 1 = / E,• AE = AB , DE = DC. AE = AD + DE = AD + DC = 8. • AB = AE = 8.

(或过 C 作 CE // AD 交 AB 于 E，证明 CE= BE = AD.)

8. (1)提示：DE丄CE，延长 DE交CB延长线于F,证明△ AED ◎△ BEF.得AD = BF, DE = EF, T CD = AD + BC ,

• CD = CB , • CE 丄 DE. (2) DE 丄 CE. T AD // BC，•/ADC + / BCD = 180°, T/ EDC = / ADC , / ECD = / BCD. •/

EDC + / ECD = X 180° = 90°, •/ DEC = 90°,即 DE 丄 CE. AB 5.过D作DE // AB交BC于E.则四边形 ABED是平行四边形.• BE = AD = 15cm,

CDE是等边 =DE. •- EC= 49 —15= 34cm. T AB = CD , • CD = DE. 三角形.• CD = EC = 34cm. 又•••/ C = 60°,.山

E CE

在

••• AC =

DF,

••• BD ACFD为平行四边形,

梯形辅助线作法(讲义)

梯形常规辅助线作法

一、与腰有关的辅助线：

1．梯形ABCD，AD∥BC，AD＝1，BC＝4，∠B＝70°，∠C＝40°，则CD的长为______.

2．如图，在梯形ABCD中，∠B＝52°，∠C＝38°，AD＝6，BC＝10 ，点E、F分别是AD、 BC的中点，则EF的长度______.

3．在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＝60°，∠B＝30°，AD＝CD＝6，则AB的长度为____.

二、与高有关的辅助线：

4．在梯形ABCD中，已知AD∥BC，BC=BD，AD=AB=4cm，∠A=120°，求梯形ABCD的面积.

40°70°DCBAFEDCBADCBADCBA

三、与对角线有关的辅助线：

5．梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O,AC=8, BD=6,AD=2,BC=8.

则S梯形ABCD=_______.

四、与一腰中点有关的辅助线：

6．在梯形ABCD中，AD∥BC， ∠BAD=90°，E是DC的中点，连接AE和BE，

求证：∠AEB=2∠CBE.

EDCBAOABCD

苏科版八年级数学下册有关四边形添加辅助线的综合练习试题

有关四边形添加辅助线的综合练习题

1.如图1，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝BC．求证：∠A＝∠B．

2.已知：如图2，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＝60°，AD＝BC＝DC．

3.已知：如图3，在梯形ABCD中，AB∥CD，AC＝BD．求证：梯形ABCD是等腰梯形．

4.已知：如图4，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是CD的中点，且AE⊥BE．求证：AD＋BC＝AB．

5.已知：如图5，在梯形ABCD中，AD∥BC，M、N分别是BD、AC的中点．证：MN∥BC，MN＝12（BC－AD）．

6.已知：如图6，在梯形ABCD中，AD∥BC,AD＋BC＝AB，E是CD的中点．求证：AE⊥BE．

7.已知：如图7，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＋∠B＝90°，M、N分别是DC、AB的中点．求证：MN＝12（AB－CD）．

8.已知等腰梯形的一个内角为60°，它的上底是3cm，腰长是4cm，求下底的长。

9.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BCD=60°，AD+BC=30，BD平分∠ABC，求梯形的周长.

10.如图，四边形ABCD中，AC=a，BD=b，且AC⊥BD，顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1各边中点，再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2 ……，如此进行下去，得到四边形AnBnCnDn,求证下列结论：

①四边形A4B4C4D4是菱形；

②四边形A5B5C5D5的周长是；

③四边形AnBnCnDn的面积是。

11.如图，过正方形ABCD的顶点B作BE∥CA，且作AE=AC又CF∥AE，求证∠BCF=

12∠AEB

12.如图，在四边形ABCD中，AB=CD，M，N，P，Q分别是AD，BC，BD，AC的中点．

求证：MN与PQ互相垂直平分

参考答案

1.如图1，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝BC．求证：∠A＝∠B．

第3课时：《平行四边形》(3)——梯形及梯形中常用的辅助线的作法

1 第3课时《四边形》（3）

——梯形及梯形中常用的辅助线的作法

【知识点拨】

一、梯形的定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形。

直角梯形的定义：有一个角是直角的梯形

等腰梯形的定义：两腰相等的梯形。

等腰梯形的性质：等腰梯形同一底边上的两个角相等；等腰梯形的两条对角线相等。

等腰梯形判定定理：（1）同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形。

（2）对角线相等的梯形是等腰梯形。

[例题1]1、下列命题中，正确的个数是（）

①如果一个梯形是轴对称图形，则它一定是等腰梯形②有两个角相等的梯形，一定是等腰梯形③一组对边平行，另一组对边相等的四边形事实上是等腰梯形④对角线相等的梯形是等腰梯形

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】：B

2、已知梯形的两个对角分别是78和120，则另两个角分别为（）

A．78和120 B．102和60 C．120和78 D．60和120

【答案】：Ｂ

3、如图所示，在四边形ABCD中，ADBCE∥，是AB的中点，

若DEC△的面积为S，则四边形ABCD的面积为（）

A．52S B．2S

C．74S D．94S

【答案】：B

4、已知，如图所示，在等腰梯形ABCD中，.ADBCPAPD∥，求证：PBPC．

【答案】：证明：四边形ABCD是等腰梯形．

.BADCDA

又PAPD，

12..BAPCDP

在PBA△和PCD△中，

ABDCBAPCDPPA，，．

..PBAPCDPBPC△≌△ 1 2 A D

P B A

B C D

第3题图 2

5、已知，如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延长线交DC于点E。求证（1）△BFC≌△DFC；（2）AD＝DE