广东省深圳市耀华实验学校2018届高三上学期期中考试数学(理)试题(实验班)

绝密★启用前

2017－2018学年第一学期期中考试

高三年级实验班(理科数学)试题卷

本试卷共22小题，满分150分.考试用时120分钟.

注意事项：

1．答卷前，考生先检查试卷与答题卷是否整洁无缺损，并用黑色字迹的签字笔在答题卷指定位置填写自己的班级、姓名、学号和座位号。

2．选择题每小题选出答案后，请将答案填写在答题卷上对应的题目序号后，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上。不按要求填涂的，答案无效。

3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卷的整洁，考试结束后，将答题卷交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．

1．若角600的终边上有一点a,4，则a的值是

A. 34 B. 34 C. 34 D. 3

2．下列函数中，既是偶函数又在0,上单调递增的是

A. 3yx B. lnyx C. 21yx D. cosyx

3．已知{}na为等差数列，48336aa，则{}na的前9项和9S

A．9 B．17 C．81 D．120

4．ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若4523Aab，，，则B等于

A．30 B．60 C．30或150 D．60或120

5．为了得到函数πsin(2)6yx的图象,可以将函数πsin(2)6yx的图象

A．向右平移π6个单位长度 B．向右平移π3个单位长度

C．向左平移π6个单位长度 D．向左平移π3个单位长度

6．已知132a，21211log,log33bc，则

A．abc B．acb C． cab D．cba

7．函数ln21fxxx的零点必落在区间

A．11,84 B．11,42 C．1,12 D．1,2

8．已知单位向量a与b的夹角为120，则|3|ab

A．3 B．23 C．13 D．15

9．函数2212xxy的值域为

A. ,21 B. 21, C. 21,0 D. 2,0

10．函数sin(2)(0π)yx是R上的偶函数，则的值是

A. π4 B. 0 C. π D. π2

11．数列{an}中，11a，nnnaa221，则17a

A．16215 B．17215 C．16216 D．17216

12．若函数)1,0( )(log)(3aaaxxxfa在区间)0,21(内单调递增，则a的取值范围是

A．)1,41[ B． )1,43[ C．),49( D．)49,1(

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．

13．已知向量(2)ma，，(,2)mb，若//ab，则实数m等于___________．

14．若π2cos()23，则cos(π2)___________．

15．在ABC中，角,,ABC的对边分别为,,abc，若60,4Ab，23ABCS，则a___________．

16．设直线xt与函数2()fxx,()lngxx的图象分别交于点M、N，则当||MN达到最小值时，t的值为______．

三、解答题：本大题共6小题，满分70分．

17.（本题满分10分）

已知π1tan()42，（Ⅰ）求tan的值；（Ⅱ）求2sin2cos1cos2的值.

18．（本小题满分12分）

已知函数2π()sin()sin3cos2fxxxx.

（Ⅰ）求fx的最小正周期和最大值；

（Ⅱ）讨论fx在π2π63，上的单调性.

19. （本小题满分12分）

设函数ln,Rmfxxmx.

（Ⅰ）当em（e为自然对数的底数）时，求fx 的极小值；

（Ⅱ）若函数3xgxfx存在唯一零点，求m的取值范围．

20.（本题满分12分）

ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a、b、c成等比数列，3cos4B．

（Ⅰ）求11tantanAC的值；

（Ⅱ）设32BABC，求ac的值.

21．(本小题满分12分)

设nS是数列{}na的前n项和，已知13a，123nnaS，*(N)n.

（Ⅰ）求数列{}na的通项公式；

（Ⅱ）令(21)nnbna，求数列{}nb的前n项和nT.

22．(本小题满分12分)

已知曲线2lnln()xaxafxx（aR）在点(e,(e))f处的切线与直线22e0xy平行．

（Ⅰ）求a的值；

（Ⅱ）求证：()exfxax．

2017—2018学年第一学期期中考试

高三年级实验班(理科数学)试题

参考答案

一、选择题：本大题每小题5分，满分60分．

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

12

B B C D A C C C D D A

B

二、填空题：本大题每小题5分；满分20分．

13．2或2. 14．59. 15．23．16．22．

三、解答题：

17．（本小题满分10分）

已知π1tan()42，（Ⅰ）求tan的值；（Ⅱ）求2sin2cos1cos2的值.

解：（Ⅰ）tan1tan1tan4tan1tan4tan)4tan(，

由21)4tan(，有21tan1tan1，

解得31tan. ………………………………………5分

（Ⅱ）解法一：1cos21coscossin22cos1cos2sin222

65213121tancos2cossin2. …………………………………10分

解法二：由（1），31tan，得cos31sin，

∴22cos91sin，22cos91cos1，

∴109cos2，

于是541cos22cos2，

53cos32cossin22sin2，

代入得65541109532cos1cos2sin2. ………………………………………10分

18．（本小题满分12分）

已知函数2π()sin()sin3cos2fxxxx.

（Ⅰ）求fx的最小正周期和最大值；

（Ⅱ）讨论fx在π2π63，上的单调性.

解：（1）2π()sin()sin3cos2fxxxx

2cossin3cosxxx

13sin2(1cos2)22xx133sin2cos2222xx

π3sin(2)32x，

∵()fx的最小正周期为π，最大值为232. ………………………………………6分

（Ⅱ）当π2π63x时，π02π3x，………………………………………8分

∴当ππ0232x，即π5π612x时，函数()fx单调递增，

当ππ2π23x，即5π2π123x时，函数()fx单调递递减，………………………11分

综上所述，函数()fx在π5π612，时，单调递增，在5π2π123，时，单调递减. ………………………12分

19．（本小题满分12分）

设函数ln,Rmfxxmx.

（Ⅰ）当me（e为自然对数的底数）时，fx 的极小值；

（Ⅱ）若函数3xgxfx存在唯一零点，求m的范围．

解：（Ⅰ）由题设，当me时，lnefxxx，

则2xefxx，由0fx，得xe．………………………2分

∴当0,xe，0fx，fx在0,e上单调递减，

当,xe，0fx，fx在,e上单调递增，……………………4分

∴当xe时，fx取得极小值ln2efeee，

∴fx的极小值为2. ………………………6分

（Ⅱ）由题设21033xmxgxfxxxx，

令0gx，得3103mxxx．

设3103xxxx，则2111xxxx，

当0,1x时，0x，x在0,1上单调递增；

当1,x时，0x，x在1,上单调递减．

∴1x是x的唯一极值点，且是极大值点，因此1x也是x的最大值点．

∴x的最大值为213．………………………9分

又00，结合yx的图象（如图），可知，

当23m时，函数gx有且只有一个零点；

当0m时，函数gx有且只有一个零点．

所以，当23m或0m时，函数gx有且只有一个零点. ………………………12分

20．（本小题满分12分）

ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a、b、c成等比数列，3cos4B．

（Ⅰ）求11tantanAC的值；

（Ⅱ）设32BABC，求ac的值.

解：（Ⅰ）由3cos4B，0πB得237sin144B，

∵a、b、c成等比数列，

∴2bac，

由正弦定理可得

2sinsinsinabcRABC，

∴2sinsinsinBAC，

于是11tantanACcoscossinsinACACsincoscossinsinsinCACAAC2sin()sinACB

2sin147sinsin7BBB. ………………………6分

（Ⅱ）由.2,2,43cos,23cos232bcaBBcaBCBA即可得由得