数字信号处理复习提纲2

数字信号处理复习提纲2

第四章 数字滤波器的基本结构

4.1 数字滤波器的结构特点与表示方法

一般时域离散系统或网络可以用差分方程、单位脉冲响应以及系统函数进行描述。如果系统输入、输出服从N阶差分方程

MiNiiiinyainxbny01)()()( (4-1)

则其系统函数，即滤波器的传递函数为

NiiiMiiizazbzH101)( (4-2)

为了用专用硬件或软件实现对输入信号的处理，需要把（4-1）式或(4-2)式变换成一种算法。对于同一个系统函数)(zH，对输入信号的处理可实现的算法有很多种，每一种算法对应于一种不同的运算结构（网络结构）。例如：

11112111211112122311)(zzzzzzzH (4-3)

观察(4-3)式可知对应于每一种不同的运算结构，我们都可以用三种基本的运算单元：乘法器、加法器和单位延时器来实现。这三种基本运算单元的常用流图表示方法如图4-1所示：

图4-1 三种基本运算的流图 1z)(nx)1(nx)(nxa)(nax)(1nx)(2nx)()(21nxnx1z)(nx)1(nxa)(nx)1(nx)(2nx)(1nx)()(21nxnx4.2 IIR滤波器的结构

无限单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的单位脉冲响应)(nh是一个无限长序列，其滤波器的结构采用递归结构，即在其信号流图中包含反馈支路。基本网络结构有直接型、级联型和并联型三种，其中直接型又可分为直接I型和直接Ⅱ型两种。

一、直接型（Ⅰ型）

一个N阶的IIR滤波器的输入输出关系可以用如（4-1）式所示的N阶的差分方程来描述。把（4-1）式重写如下：

MiNiiiinyainxbny01)()()(

从这个差分方程表达式可以看出，系统的输出)(ny由两部分构成：第一部分Miiinxb0)(是一个对输入)(nx的M阶延时链结构，每阶延时抽头后加权相加，构成一个横向结构网络。第二部分Niiinya1)(是一个对输出)(ny的N阶延时链的横向结构网络，是由输出到输入的反馈网络。由这两部分相加构成输出，取NM可得其结构图如图4-2。从图上可以看出，直接I型结构需要N2个延时器和12N个乘法器。

图4-2 直接I型结构

二、直接Ⅱ型

直接Ⅱ型结构又称为正准型结构。由图4-2，直接I型结构的系统函数)(zH也可以看成是两个独立的系统函数的乘积。

NiiiMiiizazbzHzHzH10211)()()(

MiiizbzH01)( )(nx)(ny0b1b2b1NbNb1z1z1z1z1z1z1a2a1NaNa)1(nx)2(nx)1(ny)(Nny)(Nnx)2(ny)(1ny

NiiizazH1211)(

假设所讨论的IIR数字滤波器是线性非时变系统，显然交换)(1zH和)(2zH的级联次序不会影响系统的传输效果，即

)()()()()(1221zHzHzHzHzH

若系统函数)(zH的分子阶数和分母阶数相等，即NM时，其结构如图4-3所示。

图4-3 直接I型的变形结构

结构图4-3中有两条完全相同的对中间变量)(2ny进行延迟的延时链，我们可以合并这两条延时链，得到如图4-4所示的直接Ⅱ型结构（图中取NM）。

图4-4 直接II型结构

三、级联型

把)(zH表示成多个实系数的二阶数字网络)(zHj的连乘积形式，如4-5式所示

KjjzHAzH1)()( (4-5)

其中

2211221101)(zzzzzHjjjjjj

把每一个实系数的二阶数字网络的系统函数)(zHj的网络结构均采用前面介绍的直接Ⅱ)(nx)(ny0b1b2b1NbNb1z1z1z1a2a1NaNa)(nx)(2ny)(ny0b1b2b1NbNb1z1z1z1z1z1z1a2a1NaNa)1(2ny)2(2ny)(2Nny型结构，可以得到传递函数)(zH的级联型结构，如图4-5所示。

图4-5 级联型结构

四、并联型

把传递函数)(zH展开成部分分式之和的形式，就可以得到滤波器的并联型结构。

EiFiiiiiiizzzzpAAzH1122111101011)( (4-6)

式中：FEN2。由式（4-6）知，滤波器可由E个一阶网络、F个二阶网络和一个常数支路并联构成，其结构如图4-6所示。

图4-6 并联型结构

4.3 FIR滤波器的结构

FIR数字滤波器的单位脉冲响应)(nh是一个有限长序列，其滤波器的结构采用非递归结构。基本网络结构有直接型、级联型、频率采样型和快速卷积型四种。

一、直接型

设FIR数字滤波器的单位脉冲响应)(nh的长度为N，其传递函数和差分方程分别为 )(ny011z111z1z0A1A1p1z1z1121F0F1)(nxF1F2)(ny1z110111211z1zA)(nx1zK0K1K2K1K221 10)()(NnnznhzH (4-7)

10)()()(Nmmnxmhny (4-8)

根据（4-7）式或（4-8）式可直接画出如图4-7所示的FIR滤波器的直接型结构，FIR滤波器的直接型结构又称为卷积型结构，有时也称为横截型结构。

图4-7 FIR的直接型结构

二、级联型

当需要控制系统传输零点时，将传递函数)(zH分解成二阶实系数因子的形式：

MiiiiNnnzazaaznhzH12211010)()()( (4-9)

由上式可得到FIR系统的级联结构，如图4-8所示。级联结构中每一基本节控制一对零点，所用的系数乘法次数比直接型多，运算时间较直接型长。

图4-8 FIR的级联型结构

四、快速卷积型

根据圆周卷积和线性卷积的关系可知，两个长度为N的序列的线性卷积，可以用这两个序列的12N点的圆周卷积来实现。由FIR滤波器的直接型结构：滤波器的输出信号)(ny是输入信号)(nx和滤波器单位脉冲响应)(nh的线性卷积。所以我们可以通过补零的方法延长)(nx和)(nh序列，然后计算它们的圆周卷积，从而得到FIR系统的输出)(ny。利用圆周卷积定理，采用FFT实现序列的圆周卷积，则可得到FIR滤波器的快速卷积结构，如图4-13所示。

图4-13 FIR的快速卷积型结构 1z)0(h)1(h)2(h)3(Nh)2(Nh)1(Nh)(nx)(ny1z1z1z)(nhFFT)(kHFFT)(nx)(kX)()(kHkXIFFT)(ny)(nyMa0Ma1Ma21z1z01a11a21a1z1z02a12a22a1z1z)(nx第五章 无限长单位脉冲响应（IIR）

数字滤波器的设计方法

5.1 基本概念

一、选频滤波器的分类

数字滤波器是数字信号处理的重要基础。在对信号的过滤、检测与参数的估计等处理中数字滤波器是使用最广泛的线性系统。

由第一章第三节已经知道，一个输入序列)(nx，通过一个单位脉冲响应为)(nh的线性时不变系统后，其输出响应为)(ny：

nmnxmhnhnxny)()()()()(

将上式两边经过傅里叶变换，可得

)()()(jjjeHeXeY

其中)(jeY、)(jeX分别为输出序列和输入序列的频域特性（频谱），)(jeH是系统单位脉冲响应的频率响应（频谱）。可以看出，输入序列的频谱)(jeX经过滤波后，变为)()(jjeHeX。如果)(jeH的值在某些频率上是比较小的，则输入信号中的这些频率分量在输出信号中将被抑制掉。因此，只要按照输入信号频谱的特点和处理信号的目的，适当选择)(jeH，使得滤波后的)()(jjeHeX符合人们的要求，这就是数字滤波器的滤波原理。线性数字滤波器和模拟滤波器一样，按照频率响应的通带特性可划分为低通、高通、带通和带阻几种形式。它们的理想模式如图5-1所示（系统的频率响应)(jeH是以2为周期的）。

图5-1 数字滤波器的理想幅频特性 按照奈奎斯特采样定理，频率特性只能限带于的范围。由图5-1可知，理想低通滤波器选择出输入信号中的低频分量，而把输入信号频率在c范围内所有分量全部滤掉。相反地，理想高通滤波器使输入信号中频率在c范围内的所有分量不失真地通过，而滤掉低于c的低频分量。带通滤波器只保留介于低频和高频之间的频率分量。

二、滤波器的技术指标

理想滤波器如低通滤波器是非因果的，其单位脉冲响应从延伸到，因此，无论用递归还是非递归方法，理想滤波器是不能实现的，但在概念上极为重要。

一般来说，滤波器的性能要求往往以频率响应的幅度特性的允许误差来表征。以低通滤波器为例，如图5-2（称容限图）所示，频率响应有通带、过渡带及阻带三个范围（而不是理想的陡截止的通带、阻带两个范围）。图中1为通带的容限，2为阻带的容限。

图5-2 低通滤波器频率响应幅度特性的容限图

在通带内，幅度响应以误差1逼近于1，即

111)(1jeH p

（5-1）

在阻带内，幅度响应以误差小于2而逼近于零，即

2)(jeH s

（5-2）

其中p，s分别为通带截止频率和阻带截止频率，它们都是数字域频率。幅度响应在过渡带（ps）中从通带平滑地下降到阻带，过渡带的频率响应不作规定。.

虽然给出了通带的容限1及阻带的容限2，但是，在具体技术指标中往往使用通带允许的最大衰减（波纹）pA及阻带应达到的最小衰减sA，pA及sA的定义分别为

)1(log20)(log20)()(log2011010010ppjjjpeHeHeHA （5-3a）

21010010log20)(log20)()(log20sjsjjseHeHeHA （5-3b）