2013年长沙市学业水平考试数学试题(扫描版)

2013年湖南省长沙市中考数学试卷（数学）注意事项：1、答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号；2、必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；3、答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示；4、请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5.答题卡上不得使用涂改液、涂料胶和贴纸；6.本学科试卷共26个小题，考试时量120分钟，满分120分。

一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的。

请在答题卡中填涂符合题意的选项。

本题共10个小题，每小题3分，共30分） 1.下列实数是无理数的是（ ） A.－1 B.0 C.21D.3 2.小星同学在“百度”搜索引擎中；输入“中国梦，我的梦”，能搜索到与之相关的结果的条数约为61 700 000，这个数用科学记数法表示为（ ）A.617×105B.6.17×106C.6.17×107D.0.617×1083.如果一个三角形的两边长分别为2和4，则第三边长可能是（ ） A.2 B.4 C.6 D.84.已知⊙O 1的半径为1㎝、⊙O 2的半径为3㎝，两圆的圆心距O 1O 2为4㎝，则两圆的位置关系是（ ）A.外离B.外切C.相交D.内切 5.下列计算正确的是（ ）A.336a a a =÷B.()832a a = C.()222b a b a -=- D.422a a a =+6.某校篮球队12名同学的身高如下表：则该校篮球队12名同学身高的众数是（单位：㎝）（ ）A.192B.188C.186D.180 7.下列各图中，∠1大于∠2的是（ ）8.下列多边形中，内角和与外角和相等的是（ ）A.四边形B.五边形C.六边形D.八边形9.在下列某品牌T 恤的四个洗涤说明图案的设计中，没有．．运用旋转或轴对称知识的是（ ）10.二次函数c bx axy ++=2的图象如图所示，则下列关系错误．．的是（ ） A. a ＞0 B. c ＞0 C. ac b 42-＞0 D. a +b +c ＞0 二、填空题（本题共8个小题，每小题3分，共24分） 11.计算：28-= .12.因式分解：122++x x = . 13.已知∠A=67°，则∠A 的余角等于 度.21（AB=AC ）C B Aba21（a b ）ba 21D21CBAAB C DAB C D14.方程xx 112=+的解为x = .15.如图，BD 是∠ABC 的平分线，P 是BD 上的一点，PE ⊥BA 于点E ，PE=4㎝，则点P 到边BC 的距离为 ㎝.16.如图，在⊿ABC 中，点D ，点E 分别是边AB ，AC 的中点，则⊿ADE 与⊿ABC 的周长之比等于 .17.在一个不透明的盒子中装有n 个小球，它们只有颜色上的区别，其中有2个红球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复摸球实验后发现，摸到红的频率稳定于0.2，那么可以推算出n 大约是 .18.如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=50°，∠C=80°，AE ∥CD 交BC 于点E ，若AD=2，BC=5，则CD 的长是 .三、解答题（本题共2个小题，每小题6分，共12分） 19.计算：()()021523+--+-20.解不等式组()⎩⎨⎧-+≤+xx x x 34312π并将其解集在数轴上表示出来.E PD CB A E D CBA E DCB A（第10题）（第15题） （第16题） （第18题）四、解答题（本题共2个小题，每小题8分，共16分）21.“宜居长沙”是我们的共同愿景，空气质量倍受人们关注.我市某空气质量监测站点检测了该区域每天的空气质量情况，统计了2013年1月至4月份若干天的空气质量情况，并绘制了如下不完整的统计图，请根据图中信息，解答下列问题：（1）统计图共统计了 天的空气质量情况.（2）请将条形统计图补充完整，并计算空气质量为“优”所在扇形的圆心角度数. （3）从小源所在班级的40名同学中，随机选取一名同学去该空气质量监测站点参观，则恰好选到小源的概率是多少？22.如图，⊿ABC 中，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D ，∠DBC=∠BAC. （1）求证：BC 是⊙O 的切线；（2）若⊙O 的半径为2，∠BAC=30°，求图中阴影部分的面积.-24各类空气质量天数条形统计图类别污染污染良各类空气质量天数扇形统计图（第21题）五、解答题（本题共2个小题，每小题9分，共18分）23.为方便市民出行，减轻城市中心交通压力，长沙市正在修建贯穿星城南北、东西的地铁1、2号线..已知修建地铁1号线24千米和2号线22千米共需投资265亿元；若1号线每千米的平均造价比2号线每千米的平均造价多0.5亿元. （1）求1号线，2号线每千米的平均造价分别是多少亿元？（2）除1，2号线外，长沙市政府规划到2018年还要再建91.8千米的地铁线网，据预算，这91.8千米地铁线网每千米的平均造价是1号线的平均造价的1.2倍，则还需投资多少亿元？24.如图，在□ABCD 中，M ，N 分别是AD ，BC 的中点，∠AND=90°，连接CM 交DN 于点O. （1）求证：⊿ABN ≌⊿CDM ；（2）过点C 作CE ⊥MN 于点E ，交DN 于点P ，若PE=1，∠1=∠2，求AN 的长.六、解答题（本题共2个小题，每小题10分，共20分）25.设a ，b 是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a ≤x ≤b 的实数x 的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[]a，b .对于一个函数，如果它的自变量x 与函数值y 满足：当m ≤x ≤n 时 ，有m ≤y ≤n ，我们就称此函数是闭区间[]m，n 上的“闭函数”. （1）反比例函数xy 2013=是闭区间[]20131，上的“闭函数”吗？请判断并说明理由； （2）若一次函数()0≠+=k b kx y 是闭区间[]m，n 上的“闭函数”，求此函数的解析P NMEO D21CBA（第22题）（第24题）式；（3）若二次函数5754512--=x x y 是闭区间[]a，b 上的“闭函数”，求实数a ，b 的值.26.如图，在平面直角坐标系中，直线2+-=x y 与x 轴，y 轴分别交于点A ，点B ，动点P （a ，b ）在第一象限内，由点P 向x 轴，y 轴所作的垂线PM ，PN （垂足为M ，N ）分别与直线AB 相交于点E ，点F ，当点P （a ，b ）运动时，矩形PMON 的面积为定值2. （1）求∠OAB 的度数； （2）求证：⊿AOF ∽⊿BEO ；（3）当点E ，F 都在线段AB 上时，由三条线段AE ，EF ，BF 组成一个三角形，记此三角形的+S 2是否存在最小值？若存在，请求出该最（第26题）2013年湖南省长沙市中考数学试卷答案及解析一、选择题、1、D 【详解】根据无理数的定义可知，只有D是无理数.2、C 【详解】根据科学记数法的原则可知选C.3、B 【详解】三角形任意两边之和大于第三边、任意两边之差小于第三边，只有B符合.4、B 【详解】因为1+3=4，即两圆半径之和等于圆心距，所以两圆外切.5、A 【详解】B、（a2）3=a2×3=a6C、（a-b）2=a2-2ab+b2D、a2+a2=2a26、B 【详解】众数就是出现次数最多的数，表格中188出现了5次，是最多的，所以12名同学身高的众数是188，选B.7、D 【详解】A、△ABC是等腰三角形，所以∠1=∠2；B、∠1与∠2是对顶角，所以∠1=∠2；C、对顶角相等与根据两直线平行、同位角相等性质可知∠1与∠2；D、由于∠1是△ABC的外角，且∠1=∠B+∠2，所以∠1＞∠2；综上所述，选D8、A 【详解】所有多边形的外角和都是360°，而内角和公式为180°（n-2），其中n表示多边形的边数，所以当180°（n-2）=360°时，n=4，即四边形的内角和与外角和相等，选A。

2013年湖南省长沙市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的。

请在答题卡中填涂符合题意的选项。

本题共10个小题，每小题3分，共30分）1．（3分）（2013•长沙）下列实数是无理数的是（）A．﹣1 B．0 C．D．【考点】M116 无理数．【分析】无理数就是无限不循环小数．由此即可判定选择项．A、是整数，是有理数，选项错误；B、是整数，是有理数，选项错误；C、是分数，是有理数，选项错误；D、是无理数．【难度】容易题【解答】D．【点评】本题重点考查了无理数的概念，即无理数就是无限不循环小数，比较简单，是一道基础题．2．（3分）（2013•长沙）小星同学在“百度”搜索引擎中输入“中国梦，我的梦”，能搜索到与之相关的结果的条数约为61700000，这个数用科学记数法表示为（）A．617×105 B．6.17×106C．6.17×107D．0.617×108【考点】M11D 科学记数法．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．所以61700000用科学记数法表示为6.17×107．【难度】容易题【解答】C．【点评】本题主要考查用科学记数法表示较大的数．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，解题关键是要正确确定a的值以及n的值．3．（3分）（2013•长沙）如果一个三角形的两边长分别为2和4，则第三边长可能是（）A．2 B．4 C．6 D．8【考点】M322 三角形三边的关系．【分析】设第三边长为x，则由三角形三边关系定理得4﹣2＜x＜4+2，即2＜x ＜6．因此，本题的第三边应满足2＜x＜6，把各项代入不等式符合的即为答案．2，6，8都不符合不等式2＜x＜6，只有4符合不等式．【难度】容易题【解答】B．【点评】本题重点考查了三角形三边关系，较为简单，解题关键是要根据三角形三边关系定理列出不等式．4．（3分）（2013•长沙）已知⊙O1的半径为1cm，⊙O2的半径为3cm，两圆的圆心距O1O2为4cm，则两圆的位置关系是（）A．外离B．外切C．相交D．内切【考点】M34E 圆与圆的位置关系．【分析】∵⊙O1和⊙O2的半径分别为1cm和3cm，圆心距O1O2=4cm，∴O1O2=1+3=4，∴两圆外切．【难度】容易题【解答】B．【点评】本题重点考查了圆与圆的位置关系，较为简单，若d表示圆心距，R，r分别表示两圆的半径，当两圆外离时，则d＞R+r；两圆外切时，则d=R+r；两圆相交时，则R﹣r＜d＜R+r；两圆内切时，则d=R﹣r；两圆内含时，则d＜R ﹣r．5．（3分）（2013•长沙）下列计算正确的是（）A．a6÷a3=a3 B．（a2）3=a8C．（a﹣b）2=a2﹣b2 D．a2+a2=a4【考点】M11T 同底数幂的除法；M11Q 幂的乘方；M11R 积的乘方；M11L 完全平方公式和平方差公式；M11U 合并同类项．【分析】A、根据同底数幂的除法，底数不变指数相减，a6÷a3=a3，故A选项正确；B、（a2）3=a6，根据幂的乘方，底数不变指数相乘，故B选项错误，C、（a ﹣b）2=a2﹣2ab+b2，故C选项错误；D、合并同类项，a2+a2=2a2，故D选项错误．【难度】容易题【解答】A．【点评】本题重点考查同底数幂的除法，幂的乘方和积的乘方、完全平方公式以及合并同类项等知识的运用，比较简单，记准运算法则是解题关键．A．192 B．188 C．186 D．180【考点】M214 中位数、众数．【分析】一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，身高188的人数最多，故该校篮球队12名同学身高的众数是188cm．【难度】容易题【解答】B．【点评】本题主要考查了众数的概念，较为简单，熟记众数的定义是解题的关键．7．（3分）（2013•长沙）下列各图中，∠1大于∠2的是（）A．B． C．D．【考点】M327 等腰三角形性质与判定；M31B 相交线（对顶角、邻补角、同位角、同旁内角、内错角、）；M31C 平行线的判定及性质．【分析】A、∵AB=AC，∴∠1=∠2，故本选项错误；B、∠1=∠2（对顶角相等），故本选项错误；C、根据对顶角相等，∠1=∠3，∵a∥b，∴∠2=∠3，∴∠1=∠2，故本选项错误；D、根据三角形的外角性质，∠1＞∠2，故本选项正确．【难度】容易题【解答】D．【点评】本题重点考查了等腰三角形的性质、对顶角相等以及平行线的性质，较为简单，灵活运用各性质是解题关键．8．（3分）（2013•长沙）下列多边形中，内角和与外角和相等的是（）A．四边形B．五边形C．六边形D．八边形【考点】M331 多边形的内（外）角和．【分析】设多边形的边数是n，则（n﹣2）•180=360，解得n=4．【难度】容易题【解答】A．【点评】本题重点考查了多边形的内角和定理这一知识点，属于基础题型，熟记多边形的内角和公式是解题关键．9．（3分）（2013•长沙）在下列某品牌T恤的四个洗涤说明图案的设计中，没有运用旋转或轴对称知识的是（）A．B．C．D．【考点】M411 中心对称图形及轴对称图形．【分析】根据轴对称及旋转对称的定义，结合各选项进行判断即可．A、即运用了轴对称也利用了旋转对称，故本选项错误；B、利用了轴对称，故本选项错误；C、没有运用旋转，也没有运用轴对称，故本选项正确；D、即运用了轴对称也利用了旋转对称，故本选项错误；【难度】容易题【解答】C．【点评】本题重点考查了中心对称图形及轴对称图形的概念，比较简单，解答本题的关键是熟练掌握中心对称图形与轴对称图形的性质．10．（3分）（2013•长沙）二次函数y=ax2+bx+c的图象中如图所示，则下列关系式错误的是（）A．a＞0 B．c＞0 C．b2﹣4ac＞0 D．a+b+c＞0【考点】M162 二次函数的的图象、性质M128 一元二次方程根的判别式．【分析】A、∵抛物线的开口向上，∴a＞0，正确，故A选项不符合题意；B、∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，∴c＞0，正确，故B选项不符合题意；C、∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，正确，故C选项不符合题意；D、把x=1代入抛物线的解析式得：y=a+b+c＜0，错误，故D选项符合题意；【难度】中等题【解答】D．【点评】本题重点考查了二次函数的的图象、性质以及一元二次方程根的判别式等知识，难度适中，解题关键是懂得灵活运用二次函数的相关知识．二、填空题(本题共8小题，每小题3分，共24分）11．（3分）（2015•衡阳）化简：﹣=．【考点】M11J 二次根式混合运算M11E 二次根式的化简．【分析】首先把各根式化为最简二次根式，再根据二次根式的减法进行计算即可．所以原式=2﹣=．【难度】容易题【解答】．【点评】本题重点考查的是二次根式的减法运算，较为简单，解题关键是掌握二次根式的化简．12．（3分）（2014•济南）分解因式：x2+2x+1=．【考点】M11K 因式分解M11L 完全平方公式和平方差公式【分析】直接运用完全平方公式进行因式分解．所以x2+2x+1=（x+1）2．【难度】容易题【解答】（x+1）2．【点评】本题主要考查了公式法分解因式，较为简单，解题关键是要熟记完全平方公式．13．（3分）（2013•长沙）已知∠A=67°，则∠A的余角等于度．【考点】M317 周角、平角、钝角、直角、锐角、余角、补角．【分析】∵∠A=67°，∴∠A的余角=90°﹣67°=23°．【难度】容易题【解答】23．【点评】本题重点考查了余角的定义，较为简单，掌握互余两角之和为90°是解题关键．14．（3分）（2013•长沙）方程的解为x=．【考点】M12B 解可化为一元一次方程的分式方程．【分析】方程两边都乘（x+1）x，得2x=x+1，解得x=1，检验：当x=1时，（x+1）x≠0．∴原方程的解是x=1．【难度】容易题【解答】1．【点评】本题主要考查了解分式方程的基本步骤，是一道基础题，掌握解分式方程的基本思想即“转化思想”是本题的解题关键．15．（3分）（2013•长沙）如图，BD是∠ABC的平分线，P为BD上的一点，PE⊥BA 于点E，PE=4cm，则点P到边BC的距离为cm．【考点】M318 角平分线的性质与判定M315 点到直线的距离．【分析】∵BD是∠ABC的平分线，PE⊥AB于点E，PE=4cm，∴点P到BC的距离=PE=4cm．【难度】容易题【解答】4．【点评】本题重点考查了点到直线的距离，同时也考查了角平分线的性质，较为简单，解题关键是能由已知注意到P到BC的距离即为PE长这一点．16．（3分）（2013•长沙）如图，在△ABC中，点D，点E分别是边AB，AC的中点，则△ADE和△ABC的周长之比等于．【考点】M32H 相似三角形性质与判定；M323 三角形的中位线；M325 三角形的面积、周长．【分析】∵点D，点E分别是边AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，且DE：BC=1：2，∴△ADE∽△ABC，∴△ADE与△ABC的周长比为1：2．【难度】中等题【解答】1：2．【点评】本题重点考查了相似三角形的判定与性质以及三角形的中位线定理，难度适中，解题关键是要理解相似三角形的周长之比等于边长之比．17．（3分）（2014•朝阳）在一个不透明的盒子中装有n个小球，它们只有颜色上的区别，其中有2个红球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定于0.2，那么可以推算出n大约是．【考点】M224 概率的意义、应用M225 利用频率估计概率．【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，由题意可得，=0.2，解得，n=10．故估计n大约有10个．【难度】中等题【解答】10．【点评】本题重点考查了概率的意义、应用以及利用频率估计概率，难度中等，解题关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．18．（3分）（2013•长沙）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=50°，∠C=80°，AE∥CD交BC于点E，若AD=2，BC=5，则边CD的长是．【考点】M336 梯形及其中位线；M327 等腰三角形性质与判定；M332 平行四边形的性质与判定；M321 三角形内（外）角和．【分析】∵AD∥BC，AE∥CD，∴四边形AECD是平行四边形，∴AD=EC=2，CD=AE，∵AD=2，BC=5，∴BE=BC﹣EC=5﹣2=3，∵AE∥CD，∠C=80°，∴∠AEB=∠C=80°，在△ABE中，∠BAE=180°﹣∠B﹣∠AEB=180°﹣50°﹣80°=50°，∴∠B=∠BAE，∴AE=BE=3，∴CD=3．【难度】中等题【解答】3．【点评】本题重点考查了梯形的性质，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理等知识点，综合性较强，难度适中，解答本题的关键在于将角的相等转换成边相等．三、解答题（本题共2小题，每小题6分，共12分）19．（6分）（2013•长沙）计算：．【考点】M11A 实数的混合运算；M11O 指数幂；M113 绝对值；M11P 乘方．【分析】先将每一项的值求出来，然后进行实数的运算即可得出答案．【难度】容易题【解答】解：原式=3+4﹣1=6．（6分）【点评】本题是一道计算题，考查了考生的计算功底，做计算类题型时一定要细心运算，防止粗心大意，解决本题的关键是熟练掌握指数幂、绝对值以及乘方等考点的运算．20．（6分）（2013•长沙）解不等式组并将其解集在数轴上表示出来．【考点】M12J 解一元一次不等式（组）；M12M 在数轴上表示不等式（组）的解集．【分析】此题较为简单，首先分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．【难度】容易题【解答】解：由①得，x≤1；由②得，x＞﹣2，故此不等式组的解集为：﹣2＜x≤1．（4分）在数轴上表示为：（6分）【点评】本题重点考查的是解一元一次不等式组等知识，难度不大，充分掌握不等式解集在数轴上的表示方法是解答此题的关键．四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）21．（8分）（2013•长沙）“宜居长沙”是我们的共同愿景，空气质量倍受人们的关注．我市某空气质量检测站点检测了该区域每天的空气质量情况，统计了2013年1月份至4月份若干天的空气质量情况，并绘制了如下两幅不完整的统计图，请根据图中信息，解答下列问题：（1）统计图共统计了天空气质量情况．（2）请将条形统计图补充完整，并计算空气质量为“优”所在扇形圆心角度数．（3）从小源所在班级的40名同学中，随机选取一名同学去该空气质量监测点参观，则恰好选到小源的概率是多少？【考点】M216 统计图（扇形、条形、折线）；M222 概率的计算；M344 圆心角与圆周角．【分析】（1）从统计图中可以看出，良的天数是70天，占70%，即可求得统计的总天数；（2）要求空气质量为“优”所在扇形圆心角度数，直接利用360度乘以对应的百分比即可求解；（3）直接利用概率公式即可求解．【难度】中等题【解答】解：（1）70÷70%=100（天），故答案是：100；（2分）（2）空气质量为“优”所在扇形圆心角度数是：360°×20%=72°；如图所示：（5分）（3）班级的40名同学中，随机选取一名同学去该空气质量监测点参观，则恰好选到小源的概率是．（8分）【点评】本题重点考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，同时也考查了概率的计算，难度适中，需要考生有一定的读图能力并能从图表中获取必要的解题信息．22．（8分）（2013•长沙）如图，△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点D，∠DBC=∠BAC．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，∠BAC=30°，求图中阴影部分的面积．【考点】M348 切线的性质与判定；M343 扇形、弓形M34D 直线与圆的位置关系M325 三角形的面积、周长M344 圆心角与圆周角M328 等边三角形性质与判定．【分析】（1）要证BC是⊙O的切线，首先求出∠ADB的度数，求出∠ABD+∠DBC=90°，根据切线判定推出即可；（2）已知⊙O的半径为2，∠BAC=30°，分别求出等边三角形DOB面积和扇形DOB面积，即可求出答案．【难度】中等题【解答】（1）证明：∵AB为⊙O直径，∴∠ADB=90°，∴∠BAC+∠ABD=90°，∵∠DBC=∠BAC，∴∠DBC+∠ABD=90°，∴AB⊥BC，（3分）∵AB为直径，∴BC是⊙O切线；（4分）（2）解：连接OD，过O作OM⊥BD于M，∵∠BAC=30°，∴∠BOD=2∠A=60°，∵OB=OD，∴△OBD是等边三角形，∴OB=BD=OD=2，∴BM=DM=1，（7分）由勾股定理得：OM=，﹣S△DOB=﹣×2×=π﹣．（8分）∴阴影部分的面积S=S扇形DOB【点评】本题重点考查了切线的性质与判定、扇形面积，直线与圆的位置关系、等边三角形的性质和判定等知识，难度适中，三角形与圆的综合题属于中考常考知识点，需要考生牢牢掌握相关性质来解题．本题的解题关键是分别求出扇形DOB和三角形DOB的面积．五、解答题（本题共2小题，每小题9分，共18分）23．（9分）（2013•长沙）为方便市民出行，减轻城市中心交通压力，长沙市正在修建贯穿星城南北、东西的地铁1、2号线．已知修建地铁1号线24千米和2号线22千米共需投资265亿元；若1号线每千米的平均造价比2号线每千米的平均造价多0.5亿元．（1）求1号线，2号线每千米的平均造价分别是多少亿元？（2）除1、2号线外，长沙市政府规划到2018年还要再建91.8千米的地铁线网．据预算，这91.8千米地铁线网每千米的平均造价是1号线每千米的平均造价的1.2倍，则还需投资多少亿元？【考点】M12F 解二元一次方程组M12G 二元一次方程组的应用．【分析】（1）要求的是1号线，2号线每千米的平均造价，直接设1号线，2号线每千米的平均造价分别是x亿元，y亿元，根据“修建地铁1号线24千米和2号线22千米共需投资265亿元；若1号线每千米的平均造价比2号线的平均造价多0.5亿元”分别得出等式求出即可；（2）由第（1）问中所求得出建91.8千米的地铁线网每千米的造价，进而求出即可．【难度】中等题【解答】解：（1）设1号线，2号线每千米的平均造价分别是x亿元，y亿元，由题意得出：，（2分）解得：，（4分）答：1号线，2号线每千米的平均造价分别是6亿元和5.5亿元；（5分）（2）由（1）得出：91.8×6×1.2=660.96（亿元），（8分）答：还需投资660.96亿元．（9分）【点评】本题是一道应用题，主要考查了二元一次方程组的应用，解答此类题型的关键是要学会在题目中找到合适的等量关系并列出方程解答，须注意的是应用题一定要作答．24．（9分）（2013•长沙）如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别是AD，BC的中点，∠AND=90°，连接CM交DN于点O．（1）求证：△ABN≌△CDM；（2）过点C作CE⊥MN于点E，交DN于点P，若PE=1，∠1=∠2，求AN的长．【考点】M332 平行四边形的性质与判定；M32A 全等三角形性质与判定；M329 直角三角形性质与判定M32D 特殊角三角函数的值M328 等边三角形性质与判定．【分析】（1）要证△ABN≌△CDM，首先由四边形ABCD是平行四边形，可得AB=CD，AD=BC，∠B=∠CDM，又由M、N分别是AD，BC的中点，即可利用SAS证得△ABN≌△CDM；（2）要求AN的长，由△ABN≌△CDM得AN=CM，转换成求CM的长，求出∠MND=∠CND=∠2=30°，证出△CNM是等边三角形，从而求出AN=CM=2．【难度】较难题【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD=BC，∠B=∠CDM，∵M、N分别是AD，BC的中点，∴BN=DM，（2分）∵在△ABN和△CDM中，，∴△ABN≌△CDM（SAS）；（4分）（2）解：∵M是AD的中点，∠AND=90°，∴MN=MD=AD，∴∠1=∠MND，∵AD∥BC，∴∠1=∠CND，∵∠1=∠2，∴∠MND=∠CND=∠2，∴PN=PC，（5分）∵CE⊥MN，∴∠CEN=90°，∠END+∠CNP+∠2=180°﹣∠CEN=90°又∵∠END=∠CNP=∠2∴∠2=∠PNE=30°，∵PE=1，∴PN=2PE=2，∴CE=PC+PE=3，∴CN==2，（7分）∵∠MNC=60°，CN=MN=MD，∴△CNM是等边三角形，∵△ABN≌△CDM，∴AN=CM=2．（9分）【点评】本题重点考查了平行四边形的性质、全等三角形性质与判定、直角三角形的性质、等边三角形性质与判定以及特殊角三角函数的值等知识点，有一定难度，属于中考常考知识点，解题关键是要熟练掌握这些性质，同时也要注意数形结合思想的应用．六、解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）25．（10分）（2013•长沙）设a、b是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a≤x≤b的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a，b]．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当m≤x≤n时，有m≤y≤n，我们就称此函数是闭区间[m，n]上的“闭函数”．（1）反比例函数y=是闭区间[1，2013]上的“闭函数”吗？请判断并说明理由；（2）若一次函数y=kx+b（k≠0）是闭区间[m，n]上的“闭函数”，求此函数的解析式；（3）若二次函数y=x2﹣x﹣是闭区间[a，b]上的“闭函数”，求实数a，b的值．【考点】M162 二次函数的的图象、性质M165 二次函数的最值M142 一次函数的的图象、性质M152 反比例函数的的图象、性质M12G 二元一次方程组的应用M12F 解二元一次方程组．【分析】（1）根据题意，由反比例函数y=的单调区间进行判断；（2）此问不难，但需要分k＞0或k＜0两种情况讨论，根据新定义运算法则列出关于系数k、b的方程组或，通过解该方程组即可求得系数k、b的值；（3）此问比较复杂，已知y=x2﹣x﹣=（x﹣2）2﹣，所以该二次函数的图象开口方向向上，最小值是﹣，且当x＜2时，y随x的增大而减小；当x ＞2时，y随x的增大而增大；根据新定义运算法则列出关于系数a、b的方程组或，通过解方程组即可求得a、b的值．【难度】较难题【解答】解：（1）反比例函数y=是闭区间[1，2013]上的“闭函数”．理由如下：反比例函数y=在第一象限，y随x的增大而减小，当x=1时，y=2013；当x=2013时，y=1，所以，当1≤x≤2013时，有1≤y≤2013，符合闭函数的定义，故反比例函数y=是闭区间[1，2013]上的“闭函数”；（3分0（2）分两种情况：k＞0或k＜0．①当k＞0时，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象是y随x的增大而增大，故根据“闭函数”的定义知，，解得．∴此函数的解析式是y=x；(5分)②当k＜0时，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象是y随x的增大而减小，故根据“闭函数”的定义知，，解得．∴此函数的解析式是y=﹣x+m+n；（6分）（3）∵y=x2﹣x﹣=（x﹣2）2﹣，∴该二次函数的图象开口方向向上，最小值是﹣，且当x＜2时，y随x的增大而减小；当x＞2时，y随x的增大而增大；（7分）①当a≤2时，此二次函数y随x的增大而减小，则根据“闭函数”的定义知，，解得，（不合题意，舍去）或；②当a＜2＜b时，此时二次函数y=x2﹣x﹣的最小值是﹣=a，根据“闭函数”的定义知，b=a2﹣a﹣或b=b2﹣b﹣；a）当b=a2﹣a﹣时，由于b=（﹣）2﹣×（﹣）﹣=＜2，不合题意，舍去；b）当b=b2﹣b﹣时，解得b=，由于b＞2，所以b=；③当a≥2时，此二次函数y随x的增大而增大，则根据“闭函数”的定义知，，解得，，∵＜0，∴舍去．综上所述，或．（10分）【点评】本题重点考查了二次函数的图象、性质，反比例函数图象的性质以及一次函数图象的性质，同时也考查了二次函数的最值以及二元一次方程组的应用，综合性较强，难度较大，解题关键是读懂题意，弄清楚“闭函数”的定义，同时也要注意“分类讨论”数学思想的应用．26．（10分）（2013•长沙）如图，在平面坐标系中，直线y=﹣x+2与x轴，y轴分别交于点A，点B，动点P（a，b）在第一象限内，由点P向x轴，y轴所作的垂线PM，PN（垂足为M，N）分别与直线AB相交于点E，点F，当点P（a，b）运动时，矩形PMON的面积为定值2．（1）求∠OAB的度数；（2）求证：△AOF∽△BEO；（3）当点E，F都在线段AB上时，由三条线段AE，EF，BF组成一个三角形，记此三角形的外接圆面积为S1，△OEF的面积为S2．试探究：S1+S2是否存在最小值？若存在，请求出该最小值；若不存在，请说明理由．【考点】M142 一次函数的的图象、性质M327 等腰三角形性质与判定M329 直角三角形性质与判定M32B 勾股定理M325 三角形的面积、周长M338 四边形的面积M34F 圆的相关计算M165 二次函数的最值M31C 平行线的判定及性质M333 矩形的性质与判定．【分析】（1）要求∠OAB的度数，首先得求OA与OB的长，当x=0或y=0时分别可以求出y的值和x的值就可以求出OA与OB的值，从而就可以得出结论；（2）已经求出∠OAB=45°，可知△AOB是等腰直角三角形，所以AB：OA=：1，根据平行线的性质可以得出，，就可以得出．再由∠OAF=∠EBO=45°就可以得出结论；（3）此问有一定难度，首先根据E、F的坐标表示出相应的线段，由勾股定理求出线段AE、EF、BF组成的三角形为直角三角形，且EF为斜边，则可以表示此三角形的外接圆的面积S1，再由梯形的面积公式和三角形的面积公式就可以表示出S2，就可以表示出和的解析式，再由如此函数的性质就可以求出最值．【难度】较难题【解答】解：（1）∵直线y=﹣x+2，∴当x=0时，y=2，B（0，2），当y=0时，x=2，A（2，0）∴OA=OB=2．∵∠AOB=90°∴∠OAB=45°；（3分）（2）∵四边形OMPN是矩形，∴PM∥ON，NP∥OM，∴，，∴BE=OM，AF=ON，∴BE•AF=OM•ON=2OM•ON．∵矩形PMON的面积为2，∴OM•ON=2∴BE•AF=4．∵OA=OB=2，∴OA•OB=4，∴BE•AF=OA•OB，即．(4分)∵∠OAF=∠EBO=45°，∴△AOF∽△BEO；（6分）（3）∵四边形OMPN是矩形，∠OAF=∠EBO=45°，∴△AME、△BNF、△PEF为等腰直角三角形．∵E点的横坐标为a，E（a，2﹣a），∴AM=EM=2﹣a，∴AE2=2（2﹣a）2=2a2﹣8a+8．∵F的纵坐标为b，F（2﹣b，b）∴BN=FN=2﹣b，∴BF2=2（2﹣b）2=2b2﹣8b+8．∴PF=PE=a+b﹣2，∴EF2=2（a+b﹣2）2=2a2+4ab+2b2﹣8a﹣8b+8．∵ab=2，∴EF2=2a2+2b2﹣8a﹣8b+16∴EF2=AE2+BF2．∴线段AE、EF、BF组成的三角形为直角三角形，且EF为斜边，则此三角形的外接圆的面积为S1=EF2=•2（a+b﹣2）2=（a+b﹣2）2．（8分）∵S=（PF+OM）•PM，S△PEF=PF•PE，S△OME=OM•EM，梯形OMPF∴S2=S梯形OMPF﹣S△PEF﹣S△OME，=（PF+OM）•PM﹣PF•PE﹣OM•EM，=[PF（PM﹣PE）+OM（PM﹣EM）]，=（PF•EM+OM•PE），=PE（EM+OM），=（a+b﹣2）（2﹣a+a），=a+b﹣2．∴S1+S2=（a+b﹣2）2+a+b﹣2．设m=a+b﹣2，则S1+S2=m2+m=（m+）2﹣，∵面积不可能为负数，∴当m＞﹣时，S1+S2随m的增大而增大．当m最小时，S1+S2最小．∵m=a+b﹣2=a+﹣2=（﹣）2+2﹣2，∴当=，即a=b=时，m最小，最小值为2﹣2∴S1+S2的最小值=（2﹣2）2+2﹣2，=2（3﹣2）π+2﹣2．（10分）【点评】本题考查了一次函数的的图象、性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、二次函数的最值、平行线的判定及性质、矩形的性质与判定、梯形的面积公式的运用、三角形的面积公式、圆的面积公式等众多知识点，综合性较强，难度较大，需要考生有扎实的数学基础，能够综合运用所学知识进行解题，同时要注意数形结合思想的运用．。

高二上学期第三次阶段性学业检测数学（文）试题一、选择题：（本大题共9小题，每小题5分，共45分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1.下列命题是真命题的有( )①“等边三角形的三个内角均为60°”的逆命题；②“若k ＞0，则方程x 2＋2x －k ＝0有实根”的逆否命题；③“全等三角形的面积相等”的否命题．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2.抛物线22x y = 的焦点坐标为（ ）A ．)0,1(B ．)0,41(C ． )41,0(D ．)81,0( 3．设P 是椭圆x 2169＋y 2144＝1上一点，F 1、F 2是椭圆的焦点，若|PF 1|等于4，则|PF 2|等于( )A ．22B ．21C ．20D ．134．命题“对任意的x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0”的否定是( )A ．不存在x 0∈R ，x 30－x 20＋1≤0B ．存在x 0∈R ，使x 30－x 20＋1>0C ．存在x 0∈R ，使x 30－x 20＋1≤0D ．对任意的x ∈R ，x 3－x 2＋1>05．命题甲：双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(其中)0,0>>b a ；命题乙：双曲线C 的渐近线方程为y ＝±b ax ；那么甲是乙的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．函数sin x y e x =的导数等于（ ） A ．cos x e x B ．sin x e x C ．cos x e x -D ．(sin cos )x e x x +7.设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,,F F P 是C 上的点21212,30PF F F PF F ⊥∠=︒,则C 的离心率为（ ）A ．错误！未找到引用源。

B ．错误！未找到引用源。

数学试卷 第1页（共6页） 数学试卷 第2页（共6页）绝密★启用前湖南省长沙市2013年初中毕业学业水平考试试卷数 学注意事项：1、答题前,请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号；2、必须在答题卡上答题,在草稿纸、试题卷上答题无效；3、答题时,请考生注意各大题题号后面的答题提示；4、请勿折叠答题卡,保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5.答题卡上不得使用涂改液、涂料胶和贴纸；6.本学科试卷共26个小题,考试时量120分钟,满分120分.一、选择题(在下列各题的四个选项中,只有一项是符合题意的。

请在答题卡中填涂符合题意的选项。

本题共10个小题,每小题3分,共30分)1.下列实数是无理数的是( )A .1-B .0C .12D2.小星同学在“百度”搜索引擎中输入“中国梦,我的梦”,能搜索到与之相关的结果的条数约为61 700 000,这个数用科学记数法表示为( )A .561710⨯ B .66.1710⨯ C .76.1710⨯ D .80.61710⨯3.如果一个三角形的两边长分别为2和4,则第三边长可能是( )A .2B .4C .6D .8 4.已知1O 的半径为1cm ,2O 的半径为3cm ,两圆的圆心距12O O 为4cm ,则两圆的位置关系是( ) A .外离B .外切C .相交D .内切 5.下列计算正确的是( )A .633a a a ÷=B .238()a a =C .222()a b a b -=-D .224a a a +=6.某校篮球队则该校篮球队12名同学身高的众数是(单位：cm )( )A .192B .188C .186D .1807.下列各图中,1∠大于2∠的是( )ABCD 8.下列多边形中,内角和与外角和相等的是( )A .四边形B .五边形C .六边形D .八边形 9.在下列某品牌T 恤的四个洗涤说明图案的设计中,没有．．运用旋转或轴对称知识的是( )A B CD10.二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示,则下列关系式错．误．的是( )A .0a ＞B .0c ＞C .240b ac -＞D .0a b c ++＞二、填空题(本题共8个小题,每小题3分,共24分) 11.= . 12.因式分解：221x x ++= .13.已知67A =∠,则A∠的余角等于度.14.方程211x x=+的解为x = .15.如图,BD 是ABC ∠的平分线,P 是BD 上的一点,PE BA ⊥于点E ,4PE cm =,则点P 到边BC 的距离为 cm .毕业学校_____________ 姓名________________考生号________________ ________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共6页） 数学试卷 第4页（共6页）16.如图,在ABC △中,点D ,点E 分别是边AB ,AC 的中点,则ADE △与ABC △的周长之比等于 .17.在一个不透明的盒子中装有n 个小球,它们只有颜色上的区别,其中有2个红球.每次摸球前先将盒中的球摇匀,随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中,通过大量重复摸球实验后发现,摸到红球的频率稳定于0.2,那么可以推算出n 大约是 . 18.如图,在梯形ABCD 中,AD BC ∥,50B =∠,80C =∠,AE CD ∥交BC 于点E ,若2AD =,5BC =,则边CD 的长是 . 三、解答题(本题共2个小题,每小题6分,共12分) 19.计算：20|3|(2)1)-+--.20.解不等式组2(1)3,43,x x x x ++⎧⎨-⎩≤①＜②并将其解集在数轴上表示出来.四、解答题(本题共2个小题,每小题8分,共16分) 21.“宜居长沙”是我们的共同愿景,空气质量倍受人们关注.我市某空气质量监测站点检测了该区域每天的空气质量情况,统计了2013年1月份至4月份若干天的空气质量情况,并绘制了如下两幅不完整的统计图.请根据图中信息,解答下列问题：(1)统计图共统计了 天的空气质量情况.(2)请将条形统计图补充完整,并计算空气质量为“优”所在扇形的圆心角度数. (3)从小源所在班级的40名同学中,随机选取一名同学去该空气质量监测站点参观,则恰好选到小源的概率是多少？22.如图,ABC △中,以AB 为直径的O 交AC 于点D ,DBC BAC =∠∠. (1)求证：BC 是O 的切线；(2)若O 的半径为2,30BAC =∠,求图中阴影部分的面积.五、解答题(本题共2个小题,每小题9分,共18分)23.为方便市民出行,减轻城市中心交通压力,长沙市正在修建贯穿星城南北、东西的地铁1、2号线.已知修建地铁1号线24千米和2号线22千米共需投资265亿元；若1号线每千米的平均造价比2号线每千米的平均造价多0.5亿元. (1)求1号线,2号线每千米的平均造价分别是多少亿元？(2)除1,2号线外,长沙市政府规划到2018年还要再建91.8千米的地铁线网.据预算,这91.8千米地铁线网每千米的平均造价是1号线的平均造价的1.2倍,则还需投资多少亿元？24.如图,在□ABCD 中,M ,N 分别是AD ,BC 的中点,90AND =∠,连接CM 交DN 于点O .(1)求证：ABN CDM △≌△；(2)过点C 作CE MN ⊥于点E ,交DN 于点P ,若1PE =,12∠=∠,求AN 的长.数学试卷 第5页（共6页） 数学试卷 第6页（共6页）六、解答题(本题共2个小题,每小题10分,共20分)25.设a ,b 是任意两个不等实数,我们规定：满足不等式a ≤x ≤b 的实数x 的所有取值的全体叫做闭区间,表示为[,]a b .对于一个函数,如果它的自变量x 与函数值y 满足：当m ≤x ≤n 时,有m ≤y ≤n ,我们就称此函数是闭区间[,]m n 上的“闭函数”.(1)反比例函数2013y x=是闭区间[1,2013]上的“闭函数”吗？请判断并说明理由；(2)若一次函数()0y kx b k =+≠是闭区间[,]m n 上的“闭函数”,求此函数的解析式； (3)若二次函数2147555y x x =--是闭区间[,]a b 上的“闭函数”,求实数a ,b 的值.26.如图,在平面直角坐标系中,直线2y x =-+与x 轴,y 轴分别交于点A ,点B ,动点P(),a b 在第一象限内,由点P 向x 轴,y 轴所作的垂线PM ,PN (垂足为M ,N )分别与直线AB 相交于点E ,点F ,当点P (),a b 运动时,矩形PMON 的面积为定值2. (1)求OAB ∠的度数；(2)求证：AOF BEO △∽△；(3)当点E ,F 都在线段AB 上时,由三条线段AE ,EF ,BF 组成一个三角形,记此三角形的外接圆面积为1S ,OEF △的面积为2S .试探究：12S S +是否存在最小值？若存在,请求出该最小值；若不存在,请说明理由.毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------。