(完整版)必修二立体几何11道经典证明题

1.如图，三棱柱 ABC — A i B i C i 中，侧棱垂直底面， 1

/ ACB=90 , AC=BC= gAA i , D 是棱 AA i 的中点 (I )证明：平面 BDC i 丄平面BDC

(n)平面BDC i 分此棱柱为两部分，求这两部分体积的 比•

2•如图5所示，在四棱锥 P ABCD 中，

AB 平面 PAD , AB//CD , PD AD , E 是

1

PB 的中点，F 是CD 上的点且 DF —AB ,

2

PH PAD 中AD 边上的高•

(1) 证明：PH 平面ABCD ;

(2) 若 PH i , AD 2, FC i ，求三 (3)证明：EF 平面PAB .

3.如图，在直三棱柱ABC ABG 中，AB i AC i , D ,E 分 别是棱

BC , CC i 上的点(点D 不同于点C )，且AD DE , F 为B,G 的

中点.

求证：(i )平面ADE 平面BCGB,；

(2)直线AF 〃平面ADE .

棱锥E BCF 的体积

;

妥5小

4. 如图，四棱锥P—ABCD中，ABCD为矩形，△ PAD为等腰直角三角

形，/ APD=90

面PAD丄面ABCD，且AB=1 , AD=2 , E、F分别为

PC和BD的中点.

(1) 证明：EF//面PAD ;

(2) 证明：面PDC丄面PAD ;

(3) 求四棱锥P—ABCD的体积.

5. 在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，

MA 平面ABCD , PD//MA , E、G、F 分别为MB、PB、

PC 的中点，且AD PD 2MA.

(I)求证：平面EFG 平面PDC ;

(II )求三棱锥P MAB与四棱锥P ABCD的体积之比. B

6. 如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直。EF//AC , AB=「2 ,CE=EF=1

(I)求证：AF//平面BDE

(H)求证：CF丄平面BDF;

7. 女口图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，AB=2EF=2

EF// AB,EF 丄FB, / BFC=90° , BF=FC,H 为BC 的中点, (I )求证：FH //平面EDB;

(H)求证：AC丄平面EDB;

(川)求四面体B—DEF的体积；

8.如图，在直二棱柱ABC Ai B1C1中，E、F分别是A i B、A1C的中点，点D在B J G上，

A D BQ

o

求证：(1) EF//平面ABC ;

(2)平面AFD 平面BB i C i C .B

E F

B

9•如图4,在边长为1的等边三角形ABC中，D, E分别是AB, AC边上的点,AD AE , F

G ,将ABF沿AF折起,得到如图5所示的三棱锥

BCF ,其中BC

10.如图，在四棱锥P ABCD

中，AB//CD , AB AD , CD 2AB ,平面PAD 底面

ABCD , PA AD , E和F分别是CD和PC的中点，求

证：

⑴ PA 底面ABCD ;(2) BE//平面PAD ;(3)平面

BEF 平面PCD

证明：DE //平面BCF ;

证明：

CF

平面ABF ;

2

当AD 时,求三棱锥F

3

DEG的体积V

图4

是BC的中点,AF与DE交于点

C

11. （2013年山东卷）如图，四棱锥P ABCD中, AB AC,AB PA , AB// CD,AB 2CD

E,F,G,M ,N分别为

PB, AB,BC,PD,PC 的中点

(I)求证:CE /平面PAD .

(n )求证：平面EFG 平面EMN

12

立体几何经典试题参考答案

1.【解析】(I)由题设知BC 丄CC 1 ,BC 丄AC CC 1 AC

•••面 BDC 丄面 BDC 1 ;

(n)设棱锥 B DACC i 的体积为 V , AC =1，由题意得, 由三棱柱ABC A 1B 1C 1的体积V =1，

•- (V V : V | =1:1,

•平面BDC 1分此棱柱为两部分体积之比为

1:1.

2.

【解析】(1)证明：因为 AB 平面PAD , 所以PH

AB 。

因为PH PAD 中AD 边上的高， 所以PH AD 。

因为 AB I AD A , 所以PH 平面ABCD 。 (2) 连结BH ，取BH 中点G ，连结EG 。 因为E 是

PB 的中点，

所以 EG // PH 。

因为PH 平面ABCD , 所以EG 平面ABCD 。

1 1

则 EG —PH -,

2 2

1

1 1 V E BCF

S BCF EG FC AD EG

3

3 2

(3) 证明：取PA 中点M ，连结MD , ME 。 因为E 是PB 的中点，

1

所以 ME// — AB 。

2

••• DC 1 面 ACC* ,• DC 1 BC , 由题设知 A 1DC 1 ADC 45°, • CDC 1 = 900

, 即 DC 1 DC , 又••• DC BC C , • DC 1 丄面 BDC , DC 1 面 BDC 1 ,

C , • BC 面 ACC 1A 1,

又

V

1

= 3