高一数学必修二立体几何测试题_____2013

高一数学（必修二）立体几何初步单元测试卷及答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.如图所示，己知正方形O A B C ''''的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则其原图形的周长为( )A.8B.22C.4D.223+2.下列说法正确的是( ) A.三点确定一个平面B.圆心和圆上两个点确定一个平面C.如果两个平面相交有一个交点，则必有无数个公共点D.如果两条直线没有交点，则这两条直线平行3.正方体1111ABCD A B C D -中，P ，Q ，R 分别是AB ，AD ，11B C 的中点，那么正方体中过P ，Q ，R 的截面图形是( ) A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形4.某圆柱的高为2，其正视图如图所示，圆柱上下底面圆周及侧面上的点A ，B ，D ，F ，C 在正视图中分别对应点A ，B ，E ，F ，C ，且3AE EF =，2BF BC =，异面直线AB ，CD 所成角的正弦值为45，则该圆柱的外接球的表面积为( )A.20πB.16πC.12πD.10π5.在《九章算术·商功》中将正四面形棱台体（棱台的上、下底面均为正方形）称为方亭.在方亭1111ABCD A B C D -中，1124AB A B ==，四个侧面均为全等的等腰梯形且面积之和为122( ) 282B.283142D.1436.异面直线是指( ) A.空间中两条不相交的直线B.分别位于两个不同平面内的两条直线C.平面内的一条直线与平面外的一条直线D.不同在任何一个平面内的两条直线7.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是11A D ，11B C 的中点，则与直线CF 互为异面直线的是( )A.1CCB.11B CC.DED.AE8.下列说法中正确的是( ) A.三点确定一个平面 B.四边形一定是平面图形 C.梯形一定是平面图形D.两个不同平面α和β有不在同一条直线上的三个公共点二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分。

高一数学必修2立体几何测试题第一卷一、选择题〔每题3分，共30分〕1、线段AB在平面内，那么直线AB与平面的位置关系是A、ABB、ABC、由线段AB的长短而定D、以上都不对2、以下说法正确的选项是A、三点确定一个平面B、四边形一定是平面图形C、梯形一定是平面图形D、平面和平面有不同在一条直线上的三个交点3、垂直于同一条直线的两条直线一定A、平行B、相交C、异面D、以上都有可能4、在正方体ABCD A1B1C1D1中，以下几种说法正确的选项是A、AC11ADB、D1C1ABC、AC1与DC成45o角D、AC11与B1C成60o角5l∥平面，直线a ，那么l与a的位置关系是、假设直线A、l∥aB、l与a异面C、l与a相交D、l与a没有公共点6、以下命题中：〔1〕平行于同一直线的两个平面平行；〔2〕平行于同一平面的两个平面平行；〔3〕垂直于同一直线的两直线平行；〔4〕垂直于同一平面的两直线平行.其中正确的个数有A、1B、2C、3D、47、在空间四边形ABCD各边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，如果与EF、GH能相交于点P，那么A、点P不在直线AC上B、点P必在直线BD上C、点P必在平面ABC内D、点P必在平面ABC外8、a，b，c表示直线，M表示平面，给出以下四个命题：①假设a∥M，b∥M，那么a∥b；②假设b M，a∥b，那么a∥M；③假设a⊥c，b⊥c，那么a∥b；④假设a⊥M，b⊥M，那么a∥b.其中正确命题的个数有A、0个B、1个C、2个D、3个9、二面角AB 的平面角是锐角，内一点C到的距离为3，点C到棱AB的距离为4，那么tan的值等于133737 A、B、C、D、4577A '10、如图:直三棱柱ABC —111的体积为V，点P、AA1 ABC Q分别在侧棱P和CC1上，AP=C1Q，那么四棱锥B—APQC的体积为V V V VA、B、C、D、2345A二、填空题〔每题4分，共16分〕11、等体积的球和正方体,它们的外表积的大小关系是S球_____S正方体(填〞大于、小于或等于〞).12、正方体ABCD A1B1C1D1中，平面AB1D1和平面BC1D的位置关系为13、PA垂直平行四边形ABCD所在平面，假设PCA1 BD，平行那么四边形ABCD一定是D .B114、如图，在直四棱柱ABC1－ABCD中，当底面四边形ABCD111满足条件_________时，有A1B⊥B1D1．(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形.)D第二卷一、选择题〔每题3分，共30分〕A 题号123456789答案C' B'Q C BD1 C1 CB 10二、填空题〔每题4分，共16分〕11、12、13、14、三、解答题(共54分,要求写出主要的证明、解答过程)15、圆台的上下底面半径分别是2、5,且侧面面积等于两底面面积之和,求该圆台的母线长.(7分)16、E、F、G、H为空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上的点,且ＥＨ∥ＦＧ．求证：EH∥BD.(8分)AE HBDFGC217、 ABC 中 ACB90o ,SA 面ABC ,AD SC ,求证：AD 面SBC ．(8分)SDA BC18、一块边长为 10cm 的正方形铁片按如下列图的阴影局部裁下 ,然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器 ,试建立容器的容积 V 与x 的函数关系式,并求出函数的定义域 .(9分)E10DC 5OFABx19、正方体ABCDA 1B 1C 1D 1，O 是底ABCD 对角线的交点.D 1C 1求证：(１)C 1O ∥面ABD ；(2)AC 面ABD ．(10分)A 1B 111 1 11DCOAB20、△BCD 中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB ⊥平面BCD ，A∠ADB=60°，E 、F分别是 AC 、AD 上的动点，且AE AF 1).AC (0EAD〔Ⅰ〕求证：不管λ为何值，总有平面BEF ⊥平面ABC ； CF〔Ⅱ〕当λ为何值时，平面BEF ⊥平面ACD ？(12分)DB3高一数学必修2立体几何测试题参考答案一、选择题〔每题5分，共60分〕ACDDD BCBDB二、填空题〔每题4分，共16分〕11、小于12、平行13、菱形14、对角线A1C1与B1D1互相垂直三、解答题〔共74分,要求写出主要的证明、解答过程〕15、解:设圆台的母线长为l,那么1分圆台的上底面面积为S上2242分圆台的上底面面积为S下2253分5所以圆台的底面面积为S S上S下294分又圆台的侧面积S侧(25)l7l5分于是7l256分即l 297分为所求.7面BCD，FG面BCD16、证明：QEHPFG,EH∴EH∥面BCD4分又QEH面BCD，面BCDI面ABD BD，∴EH∥BD8分17、证明：Q ACB90o BC AC1分又SA面ABC SA BC3分BC面SAC4分BC AD6分又SCAD,SCIBCCAD面SBC8分18、解:如图,设所截等腰三角形的底边边长为xcm.在Rt△EOF中, EF5cm,OF 1xcm,2分2所以EO251x2,5分4于是V 1x2251x27分34依题意函数的定义域为{x|0x10}9分419、证明：〔1〕连结A1C1，设AC11IB1D1O1连结AO1，QABCD A1B1C1D1是正方体A1ACC1是平行四边形∴A1C1∥AC且A1C1AC1分又O1,O分别是A1C1,AC的中点，∴O1C1∥AO且O1C1AOAOC1O1是平行四边形3分∴C1OPAO1,AO1面AB1D1，C1O面AB1D1∴C1O∥面AB1D1〔2〕QCC1面A1B1C1D1CC1B1D!又QA1C1B1D1，B1D1面AC11C即AC1B1D1同理可证A1C AB1，又D1B1I AB1B1A1C面AB1D120、证明：〔Ⅰ〕∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD，CD⊥BC且AB∩BC=B，∴CD⊥平面ABC.又AE AF1),AC(0AD分分分分分分分∴不管λ为何值，恒有EF∥CD，∴EF⊥平面ABC，EF平面BEF,∴不管λ为何值恒有平面BEF⊥平面ABC.5分〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知，BE⊥EF，又平面BEF⊥平面ACD，∴BE⊥平面ACD，∴BE⊥AC.7分BC=CD=1，∠BCD=90°，∠ADB=60°，∴BD2,AB2tan606,9分AC AB2BC27,由AB2=AE·AC得AE6,AE6,11分7AC7故当612分时，平面BEF⊥平面ACD.75。

高中数学必修2立体几何部分试卷（时间：40分钟 满分：50分）一、选择题（本大题共5小题，每小题4分，共20分。

）1、垂直于同一条直线的两条直线一定 （ ）A ．平行B ．相交C ．异面D ．以上都有可能2、过直线l 外两点作与直线l 平行的平面，可以作（ ）A ．1个B ．1个或无数个C ．0个或无数个D ．0个、1个或无数个3、正三棱锥底面三角形的边长为3，侧棱长为2，则其体积为 （ ）A ．41B ． 21C ．43D ．49 4、右图是一个实物图形，则它的左视图大致为 （ ）5、已知正四棱台的上、下底面边长分别为3和6，其侧面积等于两底面积之和，则该正四棱台的高是（ ）A ．2B ．25C ．3D ．27 二、填空题（每小题4分，共12分） 6、一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm 的球面上．如果正四棱柱的底面边长为1cm ，那么该棱柱的表面积为cm 2．7、如右图．M 是棱长为2cm 的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱CC 1的中点，沿正方体表面从点A 到点M 的最短路程是 cm ．8、右图所示△AOB 的直观图，则其原来平面图形的面积是_______三、解答题(共18分,要求写出必要的证明、解答过程)9、如图所示：已知正四棱锥S —ABCD 侧棱长为a ，底面边长为a ，E 是SA 的中点，求异面直线BE 与SC 所成角的余弦值。

（8分） 45B O A 2210、如下的三个图中，左边的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在右边画出（单位：cm ）。

（1）画出该多面体的俯视图；（2）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；（3）在所给直观图中连结'BC ，证明：'BC ∥面EFG 。

（10分）必修2立体几何部分试卷答案题号 12 3 4 5 答案 D D C D A6、2+427、 178、 49、解：连接AC 、BD 交于点0，连接EO.224侧视图正视图624G F C'B'D'C A D∵E 为SA 的中点，O 为AC 的中点,∴EO ∥SC （3分）∴∠BEO 为异面直线BE 、SC 所成的角（或其补角） （1分） 又∵正四棱锥S —ABCD 侧棱长为a ，底面边长为a∴EO=21SC=21a, BE=23a, OB=22a 在△EBO 中 EO 2+OB 2=BE 2 ∴△EBO 为Rt △. （2分） COS ∠BEO=33=BE OE （1分） ∴异面直线BE 、SC 所成的角的余弦值为33。

高一数学必修二立体几何测试题一：选择题（4分10题） 1.下面四个条件中，能确定一个平面的条件是（）A.空间任意三点B.空间两条直线C.空间两条平行直线D. 一条直线和一个点2. h , l 2 , I 3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（）•A . I ,l 2 , l 2l 3 I ,//l 3B . I , I 2 ,I 2//I 3I ,I 3C . I 2 //I 3//I 3l , , I 2 ,13 共面D. h , l2 ,I 3共点I , , I 2 , I 3 共面3.已知 m n 是两条不同的直线，，,是三个不同的平面， 下列命题中正确的是：A. 若,，则 〃B .若 m, n ，则 m II nC. 若 m II , n 〃 ，贝 U m II n D .若 m // , m II ,则//4.在四面体A.0个 P ABC 的四个面中，是直角三角形的面至多有（BH个C. 3个D .4)个5, 下列命题中错说的是A •如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面B .如果平面a 不垂直于平面 ，那么平面内一定不存在直线垂直于平面D .如果平面 平面，那么平面内所有直线都垂直于平面6.如图所示正方体 AC ,,下面结论错误的是（ ）A. BD// 平面 CB 1D 1B. AC , BDC. AC ,平面 CB , D ,D.异面直线 AD 与CB ,角为607. 已知圆锥的全面积是底面积的 3倍，那么该圆锥的侧面展C .如果平面平面，平面 平面 l ，那么I 平面AB开图扇形的圆心角是（A. ,20B. ,50C. ,80D. 240A. AB BCB. AC BDC. CD 平面 ABCD.平面 ABC个点到这四个点距离相等，则这个距离是14. 一正方体内接于一个球，经过球心作一个截面，则截面的可能图形为 ________ （只填写序号）.平面ACD9某几何体的三视图如图所示, 则该几何体的表面积为（)D. 240A iC 1B i第10题10.如图所示点P 为三棱柱 ABC A 1B 1C 1侧棱AA 1上一动点，若四棱锥 P BCC 1B 1的体积为V ,则三棱柱ABC A 1B 1C 1的体积为（）A . 2V B.V C. 4V D. 3V32二•填空题（5分4题）11.如图所示正方形 O'A'BC 的边长为2cm, 它是一个水平放置的一个平面图形的直观图， 则原图形的周长是 ________ , 面积是 __________ /」A f12.已知m,l是直线，是平面，给出下列命题正确的是（1）若I 垂直于 内的两条相交直线， 则I（2）若|平行于 ，则|平行于内所有直线;13.三棱锥 ,1 ,1,且I m,则；4) 若I ，且I ,则,且 II ，贝 y m // I .P-ABC 中，PA PB, PC 两两垂直,PA=1, PB PC . 2，已知空间中有左视图3 2 3俯视图C三•解答题15.已知圆台的上下底面半径分别为2,6 ,且侧面面积等于两底面面积之和，求该圆台的母线长，侧面积及体积•P ABCD的直观图；(2) 求四棱锥PABCD的表面积；17 .如图，已知PA 圆0所在的平面，AB是圆0的直径，AB 2,C是圆0上的一点，且AC BC ,PC与圆0所在的平面成45角，E是PC中点，F为PB 的中点•(1)求证：EF//面ABC ; ⑵求证：EF 面PAC ;⑶求三棱锥B PAC的体积16.已知四棱锥P ABCD的三视图如下:(1)画出四棱锥(3)求四棱锥PABCD的体积;18,如图，在三棱锥S ABC 中，平面SAB 平面SBC , ABBC , AS AB ，过 A 作AF 求证: SB ，垂足为F ,点E , G 分别是棱SA , (1)平面EFG 〃平面ABC ； (2)BC SA .19.如图 1，在 Rt ABC 中， C 90o ，D,E 分 别为AC, AB 的中点，点F 为线段CD 上的一点, 将 AF CD ，如图 2。

高中数学立体几何测试题（理科）一、选择题：1．下列说法不正确的是A 圆柱的侧面展开图是一个矩形B 圆锥中过轴的截面是一个等腰三角形C 直角三角形绕它的一边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥D 圆台平行于底面的截面是圆面2、下面表述正确的是A、空间任意三点确定一个平面B、分别在不同的三条直线上的三点确定一个平面C、直线上的两点和直线外的一点确定一个平面D、不共线的四点确定一个平面3、“a、b是异面直线”是指①a∩b=∅，且a和b不平行；②a⊂平面α，b⊂平面β，且α∩β=∅；③a⊂平面α，b⊂平面β，且a∩b=∅；④a⊂平面α，b ⊄平面α；⑤不存在平面α，使得a⊂平面α，且b⊂平面α都成立。

上述说法正确的是A ①④⑤B ①③④C ②④D ①⑤4、一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是A、垂直B、平行C、相交不垂直D、不确定5、下列命题中正确命题的个数是①一条直线和另一条直线平行，那么它和经过另一条直线的任何平面平行；②一条直线平行于一个平面，则这条直线与这个平面内所有直线都没有公共点，因此这条直线与这个平面内的所有直线都平行；③若直线与平面不平行，则直线与平面内任一直线都不平行；④与一平面内无数条直线都平行的直线必与此平面平行。

A 、0B 、1C 、2D 、36、一条直线若同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面交线的位置关系是A 、异面B 、相交C 、平行D 、不确定 7、直线a 与b 垂直，b 又垂直于平面α，则a 与α的位置关系是A 、a α⊥B 、//a αC 、a α⊆D 、a α⊆或//a α 8、如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系一定是A 、平行B 、相交C 、平行或相交D 、无法确定 9．已知二面角α－AB －β为︒30，P 是平面α内的一点，P 到β的距离为1．则P 在β内的射影到AB 的距离为（ ）． A ．23B ．3C ．43 D ．2110、若,m n 表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为 ①//m n n m αα⎫⇒⊥⎬⊥⎭；②//m m n n αα⊥⎫⇒⎬⊥⎭；③//m m n n αα⊥⎫⇒⊥⎬⎭；④//m n m n αα⎫⇒⊥⎬⊥⎭A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个 二、填空题：11、三条两两相交的直线可确定12．水平放置的△ABC 的斜二测直观图如图所示，已知A′C′=3，B′C′=2。

B 1C 1A 1D 1BACD高一数学必修2立体几何测试卷班级___________ 姓名__________ 分数___________第Ⅰ卷一、选择题（每小题5分，共60分）1、线段AB 在平面α内，则直线AB 与平面α的位置关系是A 、AB α⊂ B 、AB α⊄C 、由线段AB 的长短而定D 、以上都不对2、下列说法正确的是A 、三点确定一个平面B 、四边形一定是平面图形C 、梯形一定是平面图形D 、平面α和平面β有不同在一条直线上的三个交点 3、垂直于同一条直线的两条直线一定A 、平行B 、相交C 、异面D 、以上都有可能 4、在正方体1111ABCD A BC D -中，下列几种说法正确的是A 、11AC AD ⊥B 、11DC AB ⊥ C 、1AC 与DC 成45角D 、11AC 与1BC成60角 5、若直线l 平面α，直线a α⊂，则l 与a 的位置关系是A 、l aB 、l 与a 异面C 、l 与a 相交D 、l 与a 没有公共点 6、下列命题中：（1）、平行于同一直线的两个平面平行；（2）、平行于同一平面的两个平面平行；（3）、垂直于同一直线的两直线平行；（4）、垂直于同一平面的两直线平行.其中正确的个数有 A 、1 B 、2 C 、3 D 、47、在空间四边形ABCD 各边AB BC CD DA 、、、上分别取E F G H 、、、四点，如果与EF GH 、能相交于点P ，那么 A 、点必P 在直线AC 上 B 、点P 必在直线BD 上C 、点P 必在平面ABC 内D 、点P 必在平面ABC 外 8、a ，b ，c 表示直线，M 表示平面，给出下列四个命题：①若a ∥M ，b ∥M ，则a ∥b ；②若b ⊂M ， a ∥b ，则a ∥M ；③若a ⊥c ，b ⊥c ，则a ∥b ；④若a ⊥M ，b ⊥M ，则a ∥b .其中正确命题的个数有A 、0个B 、1个C 、2个D 、3个 9、一个棱柱是正四棱柱的条件是A 、底面是正方形，有两个侧面是矩形B 、底面是正方形，有两个侧面垂直于底面C 、底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直D 、每个侧面都是全等矩形的四棱柱 10、在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体,则截去8个三棱锥后,剩下的凸多面体的体积是A 、23 B 、76 C 、45 D 、5611、已知二面角AB αβ--的平面角是锐角θ，α内一点C 到β的距离为3，点C 到棱AB 的距离为4，那么tan θ的值等于A 、34B、35C、7D 、712、（2013广东卷（文））某三棱锥的三视图如图2所示,则该三棱锥的体积是（ ）A ．16 B ．13 C ．23D ．1二、填空题（每小题4分，共16分）13、等体积的球和正方体,它们的表面积的大小关系是S 球_____S 正方体(填”大于、小于或等于”).14、正方体1111ABCD A BC D -中，平面11AB D 和平面1BC D 的位置关系为15、已知PA 垂直平行四边形ABCD 所在平面，若PC BD ⊥，平行则四边形ABCD 一定是 .16、如图，在直四棱柱A 1B 1C 1 D 1－ABCD 中，当底面四边形ABCD 满足条件_________时， A 1 B ⊥B 1 D 1．(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形.) 一、选择题（每小题5分，共60分）13、 14、 15、 16、第Ⅱ卷三、解答题(共74分,要求写出主要的证明、解答过程)17.已知圆台的上下底面半径分别是2、5,且侧面面积等于两底面面积之和,求该圆台的母线长.(10分)图 2俯视图侧视图正视图18、已知E 、F 、G 、H 为空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 上的点，且ＥＨ∥ＦＧ． 求证：EH ∥BD . (12分)19、已知ABC ∆中90ACB ∠=，SA ⊥面ABC ，AD SC ⊥，求证：AD ⊥面SBC ．(12分)20.(本题满12分)已知正四面体ABCD 的棱长为a .(1)求点A 到面BCD 的距离；(2)求AB 与面BCD 所成角的正弦值；(3)求二面角A －CD －B 的余弦值；21、已知正方体1111ABCD A BC D -，O 是底ABCD 对角线的交点.求证：（１）1C O 面11AB D ；（2 ）1AC ⊥面11AB D ． (12分)22. (本题满分12分)如下图，四棱锥P —ABCD 的底面是矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 、F 分别是AB 、PD 的中点，又二面角P —CD —B 为45°.（1）求证：AF ∥平面PEC ；（2）求证：平面PEC ⊥平面PCD ；（3）设AD =2，CD =22，求点A 到平面PEC 的距离.B高一数学必修2立体几何测试卷参考答案HG F E D B AC SDCB AD 1ODB AC 1B 1A 1CA BCDOM一、选择题（每小题5分，共60分）ACDDDBCBDDDB二、填空题（每小题4分，共16分）13、小于 14、平行 15、菱形 16、1111AC B D 对角线与互相垂直 三、解答题（共74分,要求写出主要的证明、解答过程）17、解:设圆台的母线长为l ,则 1分圆台的上底面面积为224S ππ=⋅=上 3分圆台的上底面面积为2525S ππ=⋅=下 5分 所以圆台的底面面积为29S S S π=+=下上 6分 又圆台的侧面积(25)7S l l ππ=+=侧 8分于是725l ππ= 9分即297l =为所求. 10分18、证明：,EH FG EH ⊄面BCD ，FG ⊂面BCDEH ∴面BCD 6分又EH ⊂面BCD ，面BCD面ABD BD =，EH BD ∴ 12分19、证明：90ACB ∠= B C A C ∴⊥ 1分 又SA ⊥面ABC S A B C ∴⊥ 4分BC ∴⊥面SAC 7分 B C A D ∴⊥ 10分 又,SC AD SCBC C ⊥=AD ∴⊥面SBC 12分20、. 解：（1）过点A 作AO 垂直于平面BCD ，垂足为O 。

一．选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的) 1、下列命题为真命题的是（ ）A. 平行于同一平面的两条直线平行；B.与某一平面成等角的两条直线平行；C. 垂直于同一平面的两条直线平行；D.垂直于同一直线的两条直线平行。

2、下列命题中错误的是：（ ）A. 如果α⊥β，那么α内一定存在直线平行于平面β；B. 如果α⊥β，那么α内所有直线都垂直于平面β；C. 如果平面α不垂直平面β，那么α内一定不存在直线垂直于平面β；D. 如果α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l,那么l ⊥γ.3、右图的正方体ABCD-A ’B ’C ’D ’中,异面直线AA ’与BC 所成的角是（ ） A. 300 B.450 C. 600 D. 900 4、右图的正方体ABCD- A ’B ’C ’D ’中，二面角D ’-AB-D 的大小是（ ）A. 300B.450C. 600D. 900 5.在空间中，下列命题正确的是A.若三条直线两两相交，则这三条直线确定一个平面B.若直线m 与平面α内的一条直线平行，则α//mC.若平面βα⊥，且l =βα ，则过α内一点P 与l 垂直的直线垂直于平面βD.若直线a 与直线b 平行，且直线a l ⊥，则b l ⊥6．设平面α∥平面β，A ，C ∈α，B ，D ∈β，直线AB 与CD 交于点S ，且点S 位于平面α，β之间，AS ＝8，BS ＝6，CS ＝12，则SD ＝（ ）A ．3B ．9C ．18D ．10 7．下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是( )A ．9πB ．10πC ．11πD ．12πA B DA ’B ’D ’ C C ’ABD CE F8. 正方体的内切球和外接球的半径之比为（ ）A. 3:1B. 3:2C. 3:3D. 2:39．已知△ABC 是边长为a 2的正三角形，那么它的斜二侧所画直观图A B C 的面积为( )A.32a 2 B.34a 2 C.64a 2 D.6a 210．若正方体的棱长为2，则以该正方体各个面的中心为顶点的多面体的体积为( )A.26B.23C.33D.2311. 在空间四边形ABCD 中，AD=BC=2，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，EF=2，求AD 与BC 所成角的大小．( )A. 30B. 45C.60οD. 90 12.如图，在多面体ABCDEF 中，已知平面ABCD 是边长为3的正方形，//EF AB ,32EF =,且EF 与平面ABCD 的距离为2，则该多面体的体积为（ ） A92B 5C 6D 152二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上）13． Rt ABC ∆中，3,4,5AB BC AC ===，将三角形绕直角边AB 旋转一周所成的几何体的体积为.14．一个圆台的母线长为5 cm ，两底面面积分别为4πcm 2 和25π cm 2.则圆台的体积 ________． 15. 三棱锥S-ABC 中SA平面ABC ，AB 丄BC,SA= 2,AB =B C=1，则三棱锥S-ABC 的外接球的表面积等于______.16．如图，在直角梯形ABCD 中，,,BC DC AE DC ⊥⊥M 、N 分别是AD 、BE 的中点，将三角形ADE 沿AE 折起。

高中数学必修2立体几何考题13．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1，B1C1的中点．问：(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由；(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由．解析：(1)由于M、N分别是A1B1和B1C1的中点，可证明MN∥AC，因此AM与CN不是异面直线．(2)由空间图形可感知D1B和CC1为异面直线的可能性较大，判断的方法可用反证法．探究拓展：解决这类开放型问题常用的方法有直接法(即由条件入手，经过推理、演算、变形等)，如第(1)问，还有假设法，特例法，有时证明两直线异面用直线法较难说明问题，这时可用反证法，即假设两直线共面，由这个假设出发，来推证错误，从而否定假设，则两直线是异面的．解：(1)不是异面直线．理由如下：∵M、N分别是A1B1、B1C1的中点，∴MN∥A1C1.又∵A1A∥D1D，而D1D綊C1C，∴A1A綊C1C，∴四边形A1ACC1为平行四边形．∴A1A∥AC，得到MN∥AC，∴A、M、N、C在同一个平面内，故AM和CN不是异面直线．(2)是异面直线．理由如下：假设D1B与CC1在同一个平面CC1D1内，则B∈平面CC1D1，C∈平面CC1D1.∴BC⊂平面CC1D1，这与在正方体中BC⊥平面CC1D1相矛盾，∴假设不成立，故D1B与CC1是异面直线．14．如下图所示，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为AB的中点，N为BB1的中点，O为面BCC1B1的中心．(1)过O作一直线与AN交于P，与CM交于Q(只写作法，不必证明)；(2)求PQ的长(不必证明)．解析：(1)由ON∥AD知，AD与ON确定一个平面α.又O、C、M三点确定一个平面β(如下图所示)．∵三个平面α，β和ABCD两两相交，有三条交线OP、CM、DA，其中交线DA与交线CM不平行且共面．∴DA与CM必相交，记交点为Q.∴OQ是α与β的交线．连结OQ与AN交于P，与CM交于Q，故OPQ即为所作的直线．(2)解三角形APQ可得PQ＝143.15．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝BC＝B1B＝a，∠ABC＝90°，D、E分别为BB1、AC1的中点．(1)求异面直线BB1与AC1所成的角的正切值；(2)证明：DE为异面直线BB1与AC1的公垂线；(3)求异面直线BB1与AC1的距离．解析：(1)由于直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1∥BB1，所以∠A1AC1就是异面直线BB1与AC1所成的角．又AB＝BC＝B1B＝a，∠ABC＝90°，所以A1C1＝2a，tan∠A1AC1＝2，即异面直线BB1与AC1所成的角的正切值为 2.(2)证明：解法一：如图，在矩形ACC1A1中，过点E作AA1的平行线MM1分别交AC、A1C1于点M、M1，连结BM，B1M1，则BB1綊MM1.又D、E分别是BB1、MM1的中点，可得DE綊BM.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，由条件AB＝BC得BM⊥AC，所以BM⊥平面ACC1A1，故DE⊥平面ACC1A1，所以DE⊥AC1，DE⊥BB1，即DE为异面直线BB1与AC1的公垂线．解法二：如图，延长C1D、CB交于点F，连结AF，由条件易证D是C1F的中点，B是CF的中点，又E是AC1的中点，所以DE∥AF.在△ACF中，由AB＝BC＝BF知AF⊥AC.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，所以AF⊥AA1，故AF⊥平面ACC1A1，故DE⊥平面ACC1A1，所以DE⊥AC1，DE⊥BB1，即DE 为异面直线BB 1与AC 1的公垂线．(3)由(2)知线段DE 的长就是异面直线BB 1与AC 1的距离，由于AB ＝BC ＝a ，∠ABC ＝90°，所以DE ＝22a .反思归纳：两条异面直线的公垂线是指与两条异面直线既垂直又相交的直线，两条异面直线的公垂线是惟一的，两条异面直线的公垂线夹在两条异面直线之间的线段的长度就是两条异面直线的距离．证明一直线是某两条异面直线的公垂线，可以分别证明这条直线与两条异面直线垂直．本题的思路是证明这条直线与一个平面垂直，而这一平面与两条异面直线的位置关系是一条直线在平面内，另一条直线与这个平面平行．16．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O ，M 分别是BD 1，AA 1的中点．(1)求证：MO 是异面直线AA 1和BD 1的公垂线； (2)求异面直线AA 1与BD 1所成的角的余弦值；(3)若正方体的棱长为a ，求异面直线AA 1与BD 1的距离． 解析：(1)证明：∵O 是BD 1的中点， ∴O 是正方体的中心， ∴OA ＝OA1， 又M 为AA 1的中点，即OM 是线段AA 1的垂直平分线， 故OM ⊥AA 1.连结MD 1、BM ，则可得MB ＝MD 1. 同理由点O 为BD 1的中点知MO ⊥BD 1， 即MO 是异面直线AA 1和BD 1的公垂线． (2)由于AA 1∥BB 1，所以∠B 1BD 1就是异面直线AA 1和BD 1所成的角． 在Rt△BB 1D 1中，设BB 1＝1，则BD 1＝3，所以cos∠B 1BD 1＝33，故异面直线AA 1与BD 1所成的角的余弦值等于33.(3)由(1)知，所求距离即为线段MO 的长，由于OA ＝12AC 1＝32a ，AM ＝a 2，且OM ⊥AM ，所以OM ＝22a .13．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，侧面对角线AB1，BC1上分别有两点E、F，且B1E＝C1F，求证：EF∥ABCD.证明：解法一：分别过E、F作EM⊥AB于M，FN⊥BC于N，连结MN.∵BB1⊥平面ABCD，∴BB1⊥AB，BB1⊥BC，∴EM∥BB1，FN∥BB1，∴EM∥FN.又B1E＝C1F，∴EM＝FN，故四边形MNFE是平行四边形，∴EF∥MN，又MN在平面ABCD中，所以EF∥平面ABCD.解法二：过E作EG∥AB交BB1于G，连结GF，则B1EB1A ＝B1G B1B，∵B1E＝C1F，B1A＝C1B，∴C1FC1B ＝B1GB1B，∴FG∥B1C1∥BC.又EG∩FG＝G，AB∩BC＝B，∴平面EFG∥平面ABCD，而EF⊂平面EFG，∴EF∥平面ABCD.14．如下图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC.过BD作与PA平行的平面，交侧棱PC于点E，又作DF⊥PB，交PB于点F.(1)求证：点E是PC的中点；(2)求证：PB⊥平面EFD.证明：(1)连结AC，交BD于O，则O为AC的中点，连结EO.∵PA∥平面BDE，平面PAC∩平面BDE＝OE，∴PA∥OE.∴点E是PC的中点；(2)∵PD⊥底面ABCD且DC⊂底面ABCD，∴PD⊥DC，△PDC是等腰直角三角形，而DE是斜边PC的中线，∴DE⊥PC，①又由PD⊥平面ABCD，得PD⊥BC.∵底面ABCD是正方形，CD⊥BC，∴BC ⊥平面PDC .而DE ⊂平面PDC .∴BC ⊥DE .②由①和②推得DE ⊥平面PBC .而PB ⊂平面PBC ， ∴DE ⊥PB ，又DF ⊥PB 且DE ∩DF ＝D ， 所以PB ⊥平面EFD .15．如图，l 1、l 2是互相垂直的异面直线，MN 是它们的公垂线段．点A 、B 在l 1上，C 在l 2上，AM ＝MB ＝MN.(1)求证AC ⊥NB ；(2)若∠ACB ＝60°，求NB 与平面ABC 所成角的余弦值． 证明：(1)如图由已知l 2⊥MN ，l 2⊥l 1，MN ∩l 1＝M ，可得l 2⊥平面ABN .由已知MN ⊥l 1，AM ＝MB ＝MN ，可知AN ＝NB 且AN ⊥NB . 又AN 为AC 在平面ABN 内的射影， ∴AC ⊥NB .(2)∵Rt△CNA ≌Rt△CNB ，∴AC ＝BC ，又已知∠ACB ＝60°，因此△ABC 为正三角形． ∵Rt△ANB ≌Rt△CNB ，∴NC ＝NA ＝NB ，因此N 在平面ABC 内的射影H 是正三角形ABC 的中心．连结BH ，∠NBH 为NB 与平面ABC 所成的角．在Rt△NHB 中，cos∠NBH ＝HBNB＝33AB22AB＝63.16．如图，在四面体ABCD 中，CB ＝CD ，AD ⊥BD，点E 、F 分别是AB 、BD 的中点．求证：(1)直线EF ∥平面ACD ；(2)平面EFC ⊥平面BCD .命题意图：本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查空间想象能力、推理论证能力．证明：(1)在△ABD 中，∵E 、F 分别是AB 、BD 的中点，所以EF ∥AD . 又AD ⊂平面ACD ，EF ⊄平面ACD ，∴直线EF ∥平面ACD . (2)在△ABD 中，∵AD ⊥BD ，EF ∥AD ，∴EF ⊥BD . 在△BCD 中，∵CD ＝CB ，F 为BD 的中点，∴CF ⊥BD .∵EF ⊂平面EFC ，CF ⊂平面EFC ，EF 与CF 交于点F ，∴BD ⊥平面EFC . 又∵BD ⊂平面BCD ，∴平面EFC ⊥平面BCD .13．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，PA ⊥平面ABCD ，且PA ＝2AB .(1)求证：平面PAC ⊥平面PBD ； (2)求二面角B －PC －D 的余弦值． 解析：(1)证明：∵PA ⊥平面ABCD ， ∴PA ⊥BD .∵ABCD 为正方形，∴AC ⊥BD .∴BD ⊥平面PAC ，又BD 在平面BPD 内，∴平面PAC ⊥平面BPD . (2)在平面BCP 内作BN ⊥PC ，垂足为N ，连结DN ， ∵Rt△PBC ≌Rt△PDC ， 由BN ⊥PC 得DN ⊥PC ；∴∠BND 为二面角B －PC －D 的平面角， 在△BND 中，BN ＝DN ＝56a ，BD ＝2a ，∴cos∠BND ＝56a 2＋56a 2－2a 253a 2＝－15.14．如图，已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为3的正方体，点E 在AA 1上，点F 在CC 1上，G 在BB 1上，且AE ＝FC 1＝B 1G ＝1，H 是B 1C 1的中点．(1)求证：E 、B 、F 、D 1四点共面； (2)求证：平面A 1GH ∥平面BED 1F . 证明：(1)连结FG .∵AE ＝B 1G ＝1，∴BG ＝A 1E ＝2， ∴BG 綊A 1E ，∴A 1G 綊BE . ∵C 1F 綊B 1G ，∴四边形C 1FGB 1是平行四边形． ∴FG 綊C 1B 1綊D 1A 1，∴四边形A1GFD1是平行四边形．∴A 1G 綊D 1F ，∴D 1F 綊EB ， 故E 、B 、F 、D 1四点共面． (2)∵H 是B 1C 1的中点，∴B 1H ＝32.又B 1G ＝1，∴B 1G B 1H ＝32.又FC BC ＝23，且∠FCB ＝∠GB 1H ＝90°，∴△B 1HG ∽△CBF ， ∴∠B 1GH ＝∠CFB ＝∠FBG ， ∴HG ∥FB .又由(1)知A 1G ∥BE ，且HG ∩A 1G ＝G ，FB ∩BE ＝B ，∴平面A 1GH ∥平面BED 1F .15．在三棱锥P －ABC 中，PA ⊥面ABC ，△ABC 为正三角形，D 、E 分别为BC 、AC 的中点，设AB ＝PA ＝2.(1)求证：平面PBE ⊥平面PAC ；(2)如何在BC 上找一点F ，使AD ∥平面PEF ，请说明理由； (3)对于(2)中的点F ，求三棱锥B －PEF 的体积． 解析：(1)证明：∵PA ⊥面ABC ，BE ⊂面ABC ， ∴PA ⊥BE .∵△ABC 是正三角形，E 为AC 的中点， ∴BE ⊥AC ，又PA 与AC 相交， ∴BE ⊥平面PAC ， ∴平面PBE ⊥平面PAC .(2)解：取DC 的中点F ，则点F 即为所求． ∵E ，F 分别是AC ，DC 的中点， ∴EF ∥AD ，又AD ⊄平面PEF ，EF ⊂平面PEF ， ∴AD ∥平面PEF .(3)解：V B －PEF ＝V P －BEF ＝13S △BEF ·PA ＝13×12×32×32×2＝34.16．(2009·天津，19)如图所示，在五面体ABCDEF 中，FA ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ∥FE ，AB ⊥AD ，M 为CE 的中点，AF ＝AB ＝BC ＝FE ＝12AD .(1)求异面直线BF 与DE 所成的角的大小； (2)求证：平面AMD ⊥平面CDE ；(3)求二面角A －CD －E 的余弦值．解答：(1)解：由题设知，BF ∥CE ，所以∠CED (或其补角)为异面直线BF 与DE 所成的角．设P 为AD 的中点，连结EP ，PC .因为FE 綊AP ，所以FA 綊EP .同理，AB 綊PC .又FA ⊥平面ABCD ，所以EP ⊥平面ABCD .而PC ，AD 都在平面ABCD 内，故EP ⊥PC ，EP ⊥AD .由AB ⊥AD ，可得PC ⊥AD .设FA ＝a ，则EP ＝PC ＝PD ＝a ，CD ＝DE ＝EC ＝2a .故∠CED ＝60°.所以异面直线BF 与DE 所成的角的大小为60°.(2)证明：因为DC ＝DE 且M 为CE 的中点，所以DM ⊥CE .连结MP ，则MP ⊥CE .又MP ∩DM ＝M ，故CE ⊥平面AMD .而CE ⊂平面CDE ，所以平面AMD ⊥平面CDE .(3)设Q 为CD 的中点，连结PQ ，EQ .因为CE ＝DE ，所以EQ ⊥CD .因为PC ＝PD ，所以PQ ⊥CD ，故∠EQP 为二面角A －CD －E 的平面角．由(1)可得，EP ⊥PQ ，EQ ＝62a ，PQ ＝22a .于是在Rt△EPQ 中，cos∠EQP ＝PQEQ ＝33.所以二面角A －CD －E 的余弦值为33.13．(2009·重庆)如图所示，四棱锥P －ABCD 中，AB ⊥AD ，AD ⊥DC ，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝AD ＝DC ＝12AB ＝1，M 为PC 的中点，N 点在AB 上且AN ＝13NB .(1)求证：MN ∥平面PAD ；(2)求直线MN 与平面PCB 所成的角．解析：(1)证明：过点M 作ME ∥CD 交PD 于E 点，连结AE . ∵AN ＝13NB ，∴AN ＝14AB ＝12DC ＝EM .又EM ∥DC ∥AB ，∴EM 綊AN ， ∴AEMN 为平行四边形， ∴MN ∥AE ，∴MN ∥平面PAD .(2)解：过N 点作NQ ∥AP 交BP 于点Q ，NF ⊥CB 于点F . 连结QF ，过N 点作NH ⊥QF 于H ，连结MH ， 易知QN ⊥面ABCD ，∴QN ⊥BC ，而NF ⊥BC ， ∴BC ⊥面QNF ，∵BC ⊥NH ，而NH ⊥QF ，∴NH ⊥平面PBC ， ∴∠NMH 为直线MN 与平面PCB 所成的角． 通过计算可得MN ＝AE ＝22，QN ＝34，NF ＝342，∴NH ＝QN ·NF QF＝ON ·NFQN 2＋NF2＝64， ∴sin∠NMH ＝NHMN ＝32，∴∠NMH ＝60°，∴直线MN 与平面PCB 所成的角为60°.14．(2009·广西柳州三模)如图所示，已知直平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ⊥BD ，AD ＝BD ＝a ，E 是CC 1的中点，A 1D ⊥BE .(1)求证：A 1D ⊥平面BDE ； (2)求二面角B －DE －C 的大小．解析：(1)证明：在直平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中， ∵AA 1⊥平面ABCD ，∴AA 1⊥BD . 又∵BD ⊥AD ，∴BD ⊥平面ADD 1A 1，即BD ⊥A 1D . 又∵A 1D ⊥BE 且BE ∩BD ＝B ， ∴A 1D ⊥平面BDE .(2)解：如图，连B 1C ，则B 1C ⊥BE ， 易证Rt△BCE ∽Rt△B 1BC ，∴CEBC ＝BCB 1B，又∵E 为CC 1中点，∴BC 2＝12BB 21.BB 1＝2BC ＝2a .取CD 中点M ，连结BM ，则BM ⊥平面CC 1D 1C ， 作MN ⊥DE 于N ，连NB ，由三垂线定理知：BN ⊥DE ，则∠BNM 是二面角B －DE －C 的平面角．在Rt△BDC 中，BM ＝BD ·BC DC＝22a ，Rt△CED 中，易求得MN ＝1010a ，Rt△BMN 中，tan∠BNM ＝BMMN＝5，则二面角B －DE －C 的大小为arctan 5.15．如图，已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为AB 的中点．(1)求直线B 1C 与DE 所成的角的余弦值； (2)求证：平面EB 1D ⊥平面B 1CD ； (3)求二面角E －B 1C －D 的余弦值．解析：(1)连结A 1D ，则由A 1D ∥B 1C 知，B 1C 与DE 所成的角即为A 1D 与DE 所成的角．连结A 1E ，由正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，可设其棱长为a ，则A 1D ＝2a ，A 1E ＝DE ＝52a ，∴cos∠A 1DE ＝A 1D 2＋DE 2－A 1E 22·A 1D ·DE ＝105.∴直线B 1C 与DE 所成角的余弦值是105.(2)证明取B 1C 的中点F ，B 1D 的中点G ，连结BF ，EG ，GF . ∵CD ⊥平面BCC 1B 1，且BF ⊂平面BCC 1B 1，∴DC ⊥BF . 又∵BF ⊥B 1C ，CD ∩B 1C ＝C ， ∴BF ⊥平面B 1CD .又∵GF 綊12CD ，BE 綊12CD ，∴GF 綊BE ，∴四边形BFGE 是平行四边形， ∴BF ∥GE ，∴GE ⊥平面B 1CD . ∵GE ⊂平面EB 1D ， ∴平面EB 1D ⊥平面B 1CD . (3)连结EF .∵CD ⊥B 1C ，GF ∥CD ，∴GF ⊥B 1C . 又∵GE ⊥平面B 1CD ，∴EF ⊥B 1C ，∴∠EFG 是二面角E －B 1C －D 的平面角． 设正方体的棱长为a ，则在△EFG 中， GF ＝12a ，EF ＝32a ，∴cos∠EFG ＝FGEF ＝33，∴二面角E －B 1C －D 的余弦值为33.16．(2009·全国Ⅱ，18)如图所示，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，D 、E 分别为AA 1、B 1C 的中点，DE ⊥平面BCC 1.(1)求证：AB ＝AC ；(2)设二面角A －BD －C 为60°，求B 1C 与平面BCD 所成的角的大小．解析：(1)证明：取BC 中点F ，连结EF ， 则EF 綊12B 1B ，从而EF 綊DA .连结AF ，则ADEF 为平行四边形，从而AF ∥DE .又DE ⊥平面BCC 1，故AF ⊥平面BCC 1，从而AF ⊥BC ，即AF 为BC 的垂直平分线，所以AB ＝AC .(2)解：作AG ⊥BD ，垂足为G ，连结CG .由三垂线定理知CG ⊥BD ，故∠AGC 为二面角A －BD －C 的平面角．由题设知，∠AGC ＝60°.设AC ＝2，则AG ＝23.又AB ＝2，BC ＝22，故AF ＝ 2.由AB ·AD ＝AG ·BD 得2AD ＝23·AD 2＋22，解得AD ＝2，故AD ＝AF .又AD ⊥AF ，所以四边形ADEF 为正方形．因为BC ⊥AF ，BC ⊥AD ，AF ∩AD ＝A ，故BC ⊥平面DEF ，因此平面BCD ⊥平面DEF . 连结AE 、DF ，设AE ∩DF ＝H ，则EH ⊥DF ，EH ⊥平面BCD . 连结CH ，则∠ECH 为B 1C 与平面BCD 所成的角． 因ADEF 为正方形，AD ＝2，故EH ＝1，又EC ＝12B 1C ＝2，所以∠ECH ＝30°，即B 1C 与平面BCD 所成的角为30°. 13．在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面边长为22，侧棱长为4，E 、F 分别为棱AB 、BC 的中点．(1)求证：平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1； (2)求点D 1到平面B 1EF 的距离d .分析：(1)可先证EF ⊥平面BDD 1B 1.(2)用几何法或等积法求距离时，可由B 1D 1∥BD ，将点进行转移：D 1点到平面B 1EF 的距离是B 点到它的距离的4倍，先求B 点到平面B 1EF 的距离即可．解答：(1)证明：⎭⎪⎬⎪⎫EF ⊥BD EF ⊥B 1B ⇒EF ⊥平面BDD 1B 1⇒平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1. (2)解：解法一：连结EF 交BD 于G 点． ∵B 1D 1＝4BG ，且B 1D 1∥BG ，∴D 1点到平面B 1EF 的距离是B 点到它的距离的4倍． 利用等积法可求．由题意可知，EF ＝12AC ＝2，B 1G ＝17. S △B 1EF ＝12EF ·B 1G ＝12×2×17＝17，S △BEF ＝12BE ·BF ＝12×2×2＝1.∵VB －B 1EF ＝VB 1－BEF ， 设B 到面B 1EF 的距离为h 1，则13×17×h 1＝13×1×4，∴h 1＝41717. ∴点D 1到平面B 1EF 的距离为h ＝4h 1＝161717.解法二：如图，在正方形BDD 1B 1的边BD 上取一点G ，使BG ＝14BD ，连结B 1G ，过点D 1作D 1H ⊥B 1G 于H ，则D 1H 即为所求距离． 可求得D 1H ＝161717(直接法)．14．如图直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱CC 1＝2，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2，M是棱BC 的中点，N 是CC 1中点．求：(1)二面角B 1－AN －M 的大小； (2)C 1到平面AMN 的距离． 解析：(1)∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2，M 是棱BC 的中点，∴AM ⊥BC ，BC ＝2，AM ＝1. ∴AM ⊥平面BCC 1B 1. ∴平面AMN ⊥平面BCC 1B 1.作B 1H ⊥MN 于H ，HR ⊥AN 于R ，连结B 1R ， ∴B 1H ⊥平面AMN .又由三垂线定理知，B 1R ⊥AN .∴∠B 1RH 是二面角B 1－AN －M 的平面角． 由已知得AN ＝3，MN ＝2，B 1M ＝5＝B 1N ，则B 1H ＝322，又Rt△AMN ∽Rt△HRN ，RH AM ＝HNAN ，∴RH ＝66.∴B 1R ＝143，∴cos∠B 1RH ＝RHB 1R ＝714. ∴二面角B 1－AN －M 的大小为arccos 714. (2)∵N 是CC 1中点，∴C 1到平面AMN 的距离等于C 到平面AMN 的距离． 设C 到平面AMN 的距离为h ， 由V C －AMN ＝V N －AMC 得13×12·MN ·h ＝13×12AM ·MC . ∴h ＝22.15．(2009·北京海淀一模)如图所示，四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，且AB ∥CD ，∠BAD ＝90°，PA ＝AD ＝DC ＝2，AB ＝4.(1)求证：BC ⊥PC ；(2)求PB 与平面PAC 所成的角的正弦值； (3)求点A 到平面PBC 的距离．解析：(1)证明：如图，在直角梯形ABCD 中， ∵AB ∥CD ，∠BAD ＝90°，AD ＝DC ＝2， ∴∠ADC ＝90°，且AC ＝22.取AB 的中点E ，连结CE ，由题意可知，四边形ABCD 为正方形， ∴AE ＝CE ＝2.又∵BE ＝12AB ＝2.∴CE ＝12AB ，∴△ABC 为等腰直角三角形， ∴AC ⊥BC .又∵PA ⊥平面ABCD ，且AC 为PC 在平面ABCD 内的射影，BC ⊂平面ABCD ，由三垂线定理得， BC ⊥PC .(2)由(1)可知，BC ⊥PC ，BC ⊥AC ，PC ∩AC ＝C ， ∴BC ⊥平面PAC .PC 是PB 在平面PAC 内的射影，∴∠CPB 是PB 与平面PAC 所成的角．又CB ＝22，PB 2＝PA 2＋AB 2＝20，PB ＝25，∴sin∠CPB ＝BCPB ＝105，即PB 与平面PAC 所成角的正弦值为105.(3)由(2)可知，BC ⊥平面PAC ，BC ⊂平面PBC ， ∴平面PBC ⊥平面PAC .过A 点在平面PAC 内作AF ⊥PC 于F ， ∴AF ⊥平面PBC ，∴AF 的长即为点A 到平面PBC 的距离． 在直角三角形PAC 中， PA ＝2，AC ＝22，PC ＝23，∴AF ＝263.即点A 到平面PBC 的距离为263.16．(2009·吉林长春一模)如图所示，四棱锥P －ABCD 的底面是正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝2，∠PDA ＝45°，点E 、F 分别为棱AB 、PD 的中点．(1)求证：AF ∥平面PCE ； (2)求二面角E －PD －C 的大小； (3)求点A 到平面PCE 的距离．解析：(1)证明：如图取PC 的中点G ，连结FG 、EG ， ∴FG 为△PCD 的中位线， ∴FG ＝12CD 且FG ∥CD .又∵底面四边形ABCD 是正方形，E 为棱AB 的中点， ∴AE ＝12CD 且AE ∥CD ，∴AE ＝FG 且AE ∥FG .∴四边形AEGF 是平行四边形， ∴AF ∥EG .又EG ⊂平面PCE ，AF ⊄平面PCE ， ∴AF ∥平面PCE .(2)解：∵PA ⊥底面ABCD ， ∴PA ⊥AD ，PA ⊥CD .又AD ⊥CD ，PA ∩AD ＝A ，∴CD ⊥平面PAD . 又∵AF ⊂平面PAD ， ∴CD ⊥AF .又PA ＝2，∠PDA ＝45°， ∴PA ＝AD ＝2.∵F 是PD 的中点，∴AF ⊥PD . 又∵CD ∩PD ＝D ， ∴AF ⊥平面PCD .∵AF ∥EG ，∴EG ⊥平面PCD . 又GF ⊥PD ，连结EF ，则∠GFE 是二面角E －PD －C 的平面角． 在Rt△EGF 中，EG ＝AF ＝2，GF ＝1，∴tan∠GFE ＝GE GF＝ 2.∴二面角E －PD －C 的大小为arctan 2.(3)设A 到平面PCE 的距离为h ，由V A －PCE ＝V P －ACE ，即13×12PC ·EG ·h ＝13PA ·12AE ·CB ，得h ＝63，∴点A 到平面PCE 的距离为63.13．(2009·陕西，18)如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝1，AC ＝AA 1＝3，∠ABC ＝60°.(1)求证：AB ⊥A 1C ；(2)求二面角A －A 1C －B 的大小．解析：(1)证明：∵三棱柱ABC －A 1B 1C 1为直三棱柱，∴AB ⊥AA 1，在△ABC 中，AB ＝1，AC ＝3，∠ABC ＝60°，由正弦定理得∠ACB ＝30°，∴∠BAC ＝90°，即AB ⊥AC .∴AB ⊥平面ACC 1A 1，又A 1C ⊂平面ACC 1A 1，∴AB ⊥A 1C .(2)解：如图，作AD ⊥A 1C 交A 1C 于D 点，连结BD ，由三垂线定理知BD ⊥A 1C ，∴∠ADB 为二面角A －A 1C －B 的平面角． 在Rt△AA 1C 中，AD ＝AA 1·AC A 1C＝3×36＝62，在Rt△BAD 中，tan∠ADB ＝ABAD ＝63，∴∠ADB ＝arctan 63，即二面角A －A 1C －B 的大小为arctan 63.14．如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面是边长为a 的正三角形，侧面ABB 1A 1是菱形且垂直于底面，∠A 1AB ＝60°，M 是A 1B 1的中点．(1)求证：BM ⊥AC ；(2)求二面角B －B 1C 1－A 1的正切值； (3)求三棱锥M －A 1CB 的体积．解析：(1)证明：∵ABB 1A 1是菱形，∠A 1AB ＝60°⇒△A 1B 1B 是正三角形，⎭⎪⎬⎪⎫∵M 是A 1B 1的中点，∴BM ⊥A 1B 又∵平面AA 1B 1B ⊥平面A 1B 1C 1⇒BM ⊥平面A 1B 1C 1. ⎭⎪⎬⎪⎫∴BM ⊥A 1C 1又∵AC ∥A 1C 1⇒BM ⊥AC .⎭⎪⎬⎪⎫(2)过M 作ME ⊥B 1C 1且交于点E ，∵BM ⊥平面A 1B 1C 1，⇒BE ⊥B 1C 1，∴∠BEM 为所求二面角的平面角，△A 1B 1C 1中，ME ＝MB 1·sin60°＝34a ，Rt△BMB 1中，MB ＝MB 1·tan60°＝32a ，∴tan∠BEM ＝MB ME＝2，∴所求二面角的正切值是2.(3)VM －A 1CB ＝12VB 1－A 1CB ＝12VA －A 1CB ＝12VA 1－ABC ＝12×13×34a 2·32a ＝116a 3.15．(2009·广东汕头一模)如图所示，已知△BCD 中，∠BCD ＝90°，BC ＝CD ＝1，AB ⊥平面BCD ，∠ADB ＝60°，E 、F 分别是AC 、AD 上的动点，且AE AC ＝AFAD＝λ(0<λ<1)．(1)求证：不论λ为何值，总有EF ⊥平面ABC ； (2)若λ＝12，求三棱锥A －BEF 的体积．解析：(1)证明：∵AB ⊥平面BCD ， ∴AB ⊥CD .又∵在△BCD 中，∠BCD ＝90°， ∴BC ⊥CD . ∵又AB ∩BC ＝B ，∴CD ⊥平面ABC .又∵在△ACD 中，E 、F 分别是AC 、AD 上的动点，且AEAC ＝AFAD＝λ(0<λ<1)，∴不论λ为何值，都有EF ∥CD ， ∴EF ⊥平面ABC .(2)在△BCD 中，∠BCD ＝90°，BC ＝CD ＝1， ∴BD ＝2.又∵AB ⊥平面BCD ， ∴AB ⊥BC ，AB ⊥BD .又∵在Rt△ABD 中，∠ADB ＝60°， ∴AB ＝BD ·tan60°＝6，由(1)知EF ⊥平面ABC ，∴V A －BEF ＝V F －ABE ＝13S △ABE ·EF ＝13×12S △ABC ·EF ＝16×12×1×6×12＝624. 故三棱锥A －BEF 的体积是624.16．在四棱锥P －ABCD 中，侧面PDC 是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD 是面积为23的菱形，∠ADC 为菱形的锐角．(1)求证：PA ⊥CD ；(2)求二面角P －AB －D 的大小； (3)求棱锥P －ABCD 的侧面积；解析：(1)证明：如图所示，取CD 的中点E ，由PE ⊥CD ，得PE ⊥平面ABCD ，连结AC 、AE .∵AD ·CD ·sin∠ADC ＝23，AD ＝CD ＝2，∴sin∠ADC ＝32，即∠ADC ＝60°，∴△ADC 为正三角形，∴CD ⊥AE . ∴CD ⊥PA (三垂线定理)．(2)解：∵AB ∥CD ，∴AB ⊥PA ，AB ⊥AE ， ∴∠PAE 为二面角P －AB －D 的平面角． 在Rt△PEA 中，PE ＝AE ，∴∠PAE ＝45°. 即二面角P －AB －D 的大小为45°. (3)分别计算各侧面的面积： ∵PD ＝DA ＝2，PA ＝6，∴cos∠PDA ＝14，sin ∠PDA ＝154.S △PCD ＝3，S △PAB ＝12AB ·PA ＝12·2·2·3＝6，S △PAD ＝S △PBC ＝12PD ·DA ·sin∠PDA ＝152.∴S P －ABCD 侧＝3＋6＋15.13．把地球当作半径为R 的球，地球上A 、B 两地都在北纬45°，A 、B 两点的球面距离是π3R ，A 点在东经20°，求B 点的位置．解析：如图，求B 点的位置即求B 点的经度，设B 点在东经α，∵A 、B 两点的球面距离是π3R .∴∠AOB ＝π3，因此三角形AOB 是等边三角形，∴AB ＝R ，又∵∠AO 1B ＝α－20°(经度差)问题转化为在△AO 1B 中借助AO 1＝BO 1＝AO cos45°＝22R ，求出∠AO 1B ＝90°，则α＝110°，同理：B 点也可在西经70°，即B 点在北纬45°东经110°或西经70°.14．在球心同侧有相距9cm 的两个平行截面，它们的面积分别为49πcm 2和400πcm 2，求球的表面积和体积．解析：如图，两平行截面被球大圆所在平面截得的交线分别为AO 1、BO 2，则AO 1∥BO 2.若O 1、O 2分别为两截面圆的圆心，则由等腰三角形性质易知OO 1⊥AO 1，OO 2⊥BO 2，设球半径为R ，∵πO 2B 2＝49π， ∴O2B ＝7cm ，同理O 1A ＝20cm. 设OO 1＝x cm ，则OO 2＝(x ＋9)cm. 在Rt △OO 1A 中，R 2＝x 2＋202， 在Rt △OO 2B 中，R 2＝(x ＋9)2＋72， ∴x 2＋202＝72＋(x ＋9)2，解得x ＝15cm. ∴R ＝25cm ，∴S 球＝2500πcm 2， V 球＝43πR 3＝625003πcm 3.15．设A 、B 、C 是半径为1的球面上的三点，B 、C 两点间的球面距离为π3，点A 与B 、C 两点间的球面距离均为π2，O 为球心，求：(1)∠AOB 、∠BOC 的大小； (2)球心O 到截面ABC 的距离．解析：(1)如图，因为球O 的半径为1，B 、C 两点间的球面距离为π3，点A 与B 、C 两点间的球面距离均为π2，所以∠BOC ＝π3，∠AOB ＝∠AOC ＝π2，(2)因为BC ＝1，AC ＝AB ＝2，所以由余弦定理得cos∠BAC ＝34，sin∠BAC ＝74，设截面圆的圆心为O 1，连结AO 1，则截面圆的半径r ＝AO 1，由正弦定理得r ＝BC2sin∠BAC ＝277，所以OO 1＝OA 2－r 2＝217.16．如图四棱锥A －BCDE 中，AD ⊥底面BCDE ，AC ⊥BC ，AE ⊥BE . (1)求证：A 、B 、C 、D 、E 五点共球； (2)若∠CBE ＝90°，CE ＝3，AD ＝1，求B 、D 两点的球面距离．解析：(1)证明：取AB 的中点P ，连结PE ，PC ，PD ，由题设条件知△AEB 、△ADB 、△ABC 都是直角三角形．故PE ＝PD ＝PC ＝12AB ＝PA ＝PB .所以A 、B 、C 、D 、E 五点在同一球面上． (2)解：由题意知四边形BCDE 为矩形， 所以BD ＝CE ＝3，在Rt△ADB 中，AB ＝2，AD ＝1， ∴∠DPB ＝120°，D 、B 的球面距离为23π.17．(本小题满分10分)如图，四棱锥S —ABCD 的底面是正方形，SA ⊥底面ABCD ，E 是SC 上一点．(1)求证：平面EBD ⊥平面SAC ；(2)假设SA ＝4，AB ＝2，求点A 到平面SBD 的距离；解析：(1)∵正方形ABCD ，∴BD ⊥AC ，又∵SA ⊥平面ABCD ，∴SA ⊥BD ，则BD ⊥平面SAC ，又BD ⊂平面BED ，∴平面BED ⊥平面SAC .(2)设AC ∩BD ＝O ，由三垂线定理得BD ⊥SO .AO ＝12AC ＝122AB ＝12·2·2＝2，SA＝4，则SO ＝SA 2＋AO 2＝16＋2＝32，S △BSD ＝12BD ·SO ＝12·22·32＝6.设A 到面BSD 的距离为h ，则V S －ABD ＝V A －BSD ，即13S △ABD ·SA ＝13S △BSD ·h ，解得h ＝43，即点A 到平面SBD 的距离为43.18．(本小题满分12分)如图，正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝4，点E 在C 1C 上且C 1E ＝3EC .(1)证明A 1C ⊥平面BED ； (2)求二面角A 1－DE －B 的大小． 解析：依题设知AB ＝2，CE ＝1，(1)证明：连结AC 交BD 于点F ，则BD ⊥AC . 由三垂线定理知，BD ⊥A 1C .在平面A 1CA 内，连结EF 交A 1C 于点G ， 由于AA 1FC＝AC CE＝22，故Rt△A 1AC ∽Rt△FCE ，∠AA 1C ＝∠CFE ，∠CFE 与∠FCA 1互余．于是A 1C ⊥EF .A 1C 与平面BED 内两条相交直线BD 、EF 都垂直．所以A 1C ⊥平面BED .(2)作GH ⊥DE ，垂足为H ，连结A 1H .由三垂线定理知A 1H ⊥DE ，故∠A 1HG 是二面角A 1－DE －B 的平面角．EF ＝CF 2＋CE 2＝3，CG ＝CE ×CF EF ＝23. EG ＝CE 2－CG 2＝33. EG EF ＝13，GH ＝13×EF ×FD DE ＝215 . 又A 1C ＝AA 21＋AC 2＝26，A 1G ＝A 1C －CG ＝563， tan∠A 1HG ＝A 1GHG ＝5 5.所以二面角A 1－DE －B 的大小为arctan55. 19．(本小题满分12分)如图，四棱锥S －ABCD 的底面是直角梯形，∠ABC ＝∠BCD ＝90°，AB ＝BC ＝SB ＝SC ＝2CD ＝2，侧面SBC ⊥底面ABCD .(1)由SA 的中点E 作底面的垂线EH ，试确定垂足H 的位置；(2)求二面角E －BC －A 的大小．解析：(1)作SO ⊥BC 于O ，则SO ⊂平面SBC ，又面SBC ⊥底面ABCD ，面SBC ∩面ABCD ＝BC ，∴SO ⊥底面ABCD ①又SO ⊂平面SAO ，∴面SAO ⊥底面ABCD ，作EH ⊥AO ，∴EH ⊥底面ABCD ②即H 为垂足，由①②知，EH ∥SO ，又E 为SA 的中点，∴H 是AO 的中点．(2)过H 作HF ⊥BC 于F ，连结EF ，由(1)知EH ⊥平面ABCD ，∴EH ⊥BC ，又EH ∩HF ＝H ，∴BC ⊥平面EFH ，∴BC ⊥EF ，∴∠HFE 为面EBC 和底面ABCD 所成二面角的平面角．在等边三角形SBC 中，∵SO ⊥BC ，∴O 为BC 中点，又BC ＝2.∴SO ＝22－12＝3，EH ＝12SO ＝32， 又HF ＝12AB ＝1， ∴在Rt△EHF 中，tan∠HFE ＝EH HF ＝321＝32， ∴∠HFE ＝arctan 32. 即二面角E －BC －A 的大小为arctan 32. 20．(本小题满分12分)(2010·唐山市高三摸底考试)如图，在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝1，AA 1＝2，N 是A 1D 的中点，M ∈BB 1，异面直线MN 与A 1A所成的角为90°.(1)求证：点M 是BB 1的中点；(2)求直线MN 与平面ADD 1A 1所成角的大小；(3)求二面角A －MN －A 1的大小．解析：(1)取AA 1的中点P ，连结PM ，PN . ∵N 是A 1D 的中点，∴AA 1⊥PN ，又∵AA 1⊥MN ，MN ∩PN ＝N ，∴AA 1⊥面PMN .∵PM ⊂面PMN ，∴AA 1⊥PM ，∴PM ∥AB ，∴点M 是BB 1的中点．(2)由(1)知∠PNM 即为MN 与平面ADD 1A 1所成的角．在Rt△PMN 中，易知PM ＝1，PN ＝12， ∴tan∠PNM ＝PM PN ＝2，∠PNM ＝arctan2.故MN 与平面ADD 1A 1所成的角为arctan2.(3)∵N 是A 1D 的中点，M 是BB 1的中点，∴A 1N ＝AN ，A 1M ＝AM ，又MN 为公共边，∴△A 1MN ≌△AMN .在△AMN 中，作AG ⊥MN 交MN 于G ，连结A 1G ，则∠A 1GA 即为二面角A －MN －A 1的平面角．在△A 1GA 中，AA 1＝2，A 1G ＝GA ＝305， ∴cos∠A 1GA ＝A 1G 2＋GA 2－AA 212A 1G ·GA ＝－23，∴∠A 1GA ＝arccos(－23)， 故二面角A －MN －A 1的大小为arccos(－23)． 21．(2009·安徽，18)(本小题满分12分)如图所示，四棱锥F －ABCD 的底面ABCD 是菱形，其对角线AC ＝2，BD ＝ 2.AE 、CF 都与平面ABCD 垂直，AE ＝1，CF ＝2.(1)求二面角B －AF －D 的大小； (2)求四棱锥E －ABCD 与四棱锥F －ABCD 公共部分的体积．命题意图：本题考查空间位置关系，二面角平面角的作法以及空间几何体的体积计算等知识．考查利用综合法或向量法解决立体几何问题的能力．解答：(1)解：连接AC 、BD 交于菱形的中心O ，过O 作OG ⊥AF ，G 为垂足，连接BG 、DG .由BD ⊥AC ，BD ⊥CF 得BD ⊥平面ACF ，故BD ⊥AF .于是AF ⊥平面BGD ，所以BG ⊥AF ，DG ⊥AF ，∠BGD 为二面角B －AF －D 的平面角．由FC ⊥AC ，FC ＝AC ＝2，得∠FAC ＝π4，OG ＝22. 由OB ⊥OG ，OB ＝OD ＝22，得∠BGD ＝2∠BGO ＝π2. (2)解：连接EB 、EC 、ED ，设直线AF 与直线CE 相交于点H ，则四棱锥E －ABCD 与四棱锥F －ABCD 的公共部分为四棱锥H －ABCD .过H 作HP ⊥平面ABCD ，P 为垂足．因为EA ⊥平面ABCD ，FC ⊥平面ABCD ，所以平面ACEF ⊥平面ABCD ，从而P ∈AC ，HP ⊥AC . 由HP CF ＋HP AE ＝AP AC ＋PCAC ＝1，得HP ＝23. 又因为S 菱形ABCD ＝12AC ·BD ＝2， 故四棱锥H －ABCD 的体积V ＝13S 菱形ABCD ·HP ＝229. 22．(2009·深圳调考一)(本小题满分12分)如图所示，AB 为圆O 的直径，点E 、F 在圆O 上，AB ∥EF ，矩形ABCD 所在平面和圆O 所在的平面互相垂直．已知AB ＝2，EF ＝1.(1)求证：平面DAF ⊥平面CBF ；(2)求直线AB 与平面CBF 所成角的大小； (3)当AD 的长为何值时，二面角D －FE －B 的大小为60°？解析：(1)证明：∵平面ABCD ⊥平面ABEF ，CB ⊥AB ，平面ABCD ∩平面ABEF ＝AB ，∴CB ⊥平面ABEF .∵AF ⊂平面ABEF ，∴AF ⊥CB ，又∵AB 为圆O 的直径，∴AF ⊥BF ，∴AF ⊥平面CBF .∵AF ⊂平面DAF ，∴平面DAF ⊥平面CBF .(2)解：根据(1)的证明，有AF ⊥平面CBF ，∴FB 为AB 在平面CBF 上的射影，因此，∠ABF 为直线AB 与平面CBF 所成的角．∵AB ∥EF ，∴四边形ABEF 为等腰梯形，过点F 作FH ⊥AB ，交AB 于H .AB ＝2，EF ＝1，则AH ＝AB －EF 2＝12. 在Rt△AFB 中，根据射影定理AF 2＝AH ·AB ，得AF ＝1， sin∠ABF ＝AF AB ＝12，∴∠ABF ＝30°，∴直线AB 与平面CBF 所成角的大小为30°.(3)解：过点A 作AM ⊥EF ，交EF 的延长线于点M ，连结DM . 根据(1)的证明，DA ⊥平面ABEF ，则DM ⊥EF ，∴∠DMA 为二面角D －FE －B 的平面角，∠DMA ＝60°.在Rt△AFH 中，∵AH ＝12，AF ＝1， ∴FH ＝32. 又∵四边形AMFH 为矩形，∴MA ＝FH ＝32. ∵AD ＝MA ·tan∠DMA ＝32·3＝32. 因此，当AD 的长为32时，二面角D －FE －B 的大小为60°.。

立体几何初步测试题一、选择题1.棱长都是1的三棱锥的表面积为（ ）A B . C . D . 2.正方体的内切球和外接球的半径之比为（ ）A .1:3B ．2:3C ．3:2D ．3:3 3.在空间内，可以确定一个平面的条件是 ( )A.三个点B.三条直线，它们两两相交，但不交于同一点C. 直线与一点D.两条直线4.若直线l // 平面α，直线α⊂a ，则l 与a 的位置关系是 ( )A .a l //B .l 与a 异面C .l 与a 相交D .l 与a 没有公共点 5.一平面截一球得到直径为6的圆面，球心到这个平面的距离是4，则该球的半径为（ ） A. 132 B. 5 C. 52 D. 46.一条直线若同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线( ) A ．异面 B ．相交 C ．平行 D ．不确定7.半径为R 的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（ ）A ．324R B ．38R C ．324R D ．38R 8.一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且该梯形面积为2，则原梯形的面积为A ．2B ．2C ． 4D ．229. 已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，有下列命题：①m l ⊥⇒βα// ②m l //⇒⊥βα ③βα⊥⇒m l // ④βα//⇒⊥m l 其中正确的命题是（ ）A ．①②B ．③④C ．②④D ．①③10. 一几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为( )．A ．π18200+B ．π9200+C ．π18140+D ．π9140+ 11.如图所示，AB 是圆的直径，PA 垂直于圆所在的平面，C 是圆上不同于AB 的一点， 且AC PA =，则二面角A BC P --的大小为 （ ）A. ︒90 B. ︒60 C. ︒45 D.︒3012.已知正方形321P P AP 的边长为4，点C B ,为边3221,P P P P 的中点，沿CA BC AB ,,折叠成一个三棱锥ABC P -（使321P P P 重合于点P ），则三棱锥ABC P -的外接球表面积为（ ）A . π24B . π12C . π8D . π4 二、填空题13.下图中的三个直角三角形是一个体积为20 3cm 的几何体的三视图，则h ＝_______cm .14.两条不重合的直线b a ,，若α面//,//a b a ，则b 与面α的位置关系为 15. 如图1,在直角梯形ABCD 中,90ADC ∠=︒,//CD AB ,4,2AB AD CD ===.将 ABC ∆沿AC 折起,使平面ADC ⊥平面ABC ,得到几何体D ABC -,如图2所示. 则 几何体D ABC -的体积为16. 若C B A S ,,,是球O 表面上的点，SA ⊥平面ABC ，BC AB ⊥，1==AB SA ,2=BC ,则球O 的体积等于三、解答题第11题第13题第10题图 1图2第15题第12题17. 如图所示，四棱锥ABCD P -的正视图是腰长为4的等腰直角三角形,俯视图为一个正方形与它的一条对角线.（1）根据画三视图的要求，画出该几何体的侧视图。

高一数学必修2立体几何测试题试卷满分：150分考试时间：120分钟班级___________ 姓名__________ 学号_________ 分数___________第Ⅰ卷一、选择题（每小题5分，共60分）1、下列说法正确的是A、三点确定一个平面B、四边形一定是平面图形C、梯形一定是平面图形D、平面α和平面β有不同在一条直线上的三个交点２.有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体应是一个(A、棱台B、棱锥C、棱柱D、都不对3、在正方体1111ABCD A BC D-中，下列几种说法正确的是A、11AC AD⊥B、11DC AB⊥C、1AC与DC成45角D、11AC与1BC成60角4、正三棱锥ABCS—的侧棱长和底面边长相等，如果E、F分别为SC，AB的中点，那么异面直线EF与SA所成角为（）A．090B．060C．045D．0305、下列命题中：（1）、平行于同一直线的两个平面平行；（2）、平行于同一平面的两个平面平行；（3）、垂直于同一直线的两直线平行；（4）、垂直于同一平面的两直线平行.其中正确的个数有A、1B、2C、3D、46、一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45，腰和上底边均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是（）A. 2221+B. 22+ C. 21+ D. 221+７、设a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列四个命题：①若ba⊥，α⊥a，α⊄b，则α//b；②若α//a, βα⊥，则β⊥a；③若β⊥a，βα⊥，则α//a或α⊂a；④若ba⊥，α⊥a，β⊥b，则βα⊥其中正确命题的个数为( )A．0 B．1 C．2 D．38、给出下列关于互不相同的直线,,m n l和平面,αβ的四个命题:（1）,,,mAAlm∉=⊂点αα则l与m不共面；2）l、m是异面直线，ααα⊥⊥⊥nmnlnml则且,,,//,//；（3）若mlml//,//,//,//则βαβα；（4）若ββαα//,//,,,mlAmlml点=⊂⊂ ，则βα//，其中为错误的命题是（）个.Ａ．１个Ｂ．２个Ｃ．３个Ｄ．４个9、下列各图是正方体或正四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点中不共面的一个图是PPRSSPRRSSP PPQRSSP PQRRSSA、B、C、D、10、在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体,则截去8个三棱锥后,剩下的凸多面体的体积是A、23B、76C、45D、5611、已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧且相距是1，那么这个球的半径是( )A.4B.3C.2D.5QPC'B'A'B 1C 1A1D 1BACD12、如图:直三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为V ，点P 、Q 分别在侧棱AA 1和CC 1上，AP=C 1Q ，则四棱锥B —APQC 的体积为A 、2VB 、3VC 、4VD 、5V二、填空题（每小题4分，共16分）13、等体积的球和正方体,它们的表面积的大小关系是S 球_____S 正方体(填”大于、小于或等于”).14、正方体1111ABCD A BC D -中，平面11AB D 和平面1BC D 的位置关系为 15、已知PA 垂直平行四边形ABCD 所在平面，若PC BD ⊥，平行则四边形ABCD 一定是 . 16、如图，在直四棱柱A 1B 1C 1 D 1－ABCD 中，当底面四边形ABCD 满足条件_________时，有A 1 B ⊥B 1 D 1．(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形.) 第Ⅱ卷13、 14、 15、 16、三、解答题(共74分,要求写出主要的证明、解答过程)17、已知圆台的上下底面半径分别是2、5，且侧面面积等于两底面面积之和，求该圆台的母线长. （10分）18、已知E 、F 、G 、H 为空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 上的点，且EH ∥FG 。

高一数学必修2立体几何测试题试卷满分：100分 考试时间：120分钟班级___________ 姓名__________ 学号_________ 分数___________第Ⅰ卷一、选择题（每小题3分，共30分）1、线段AB 在平面α内，则直线AB 与平面α的位置关系是A 、AB α⊂ B 、AB α⊄C 、由线段AB 的长短而定D 、以上都不对2、下列说法正确的是A 、三点确定一个平面B 、四边形一定是平面图形C 、梯形一定是平面图形D 、平面α和平面β有不同在一条直线上的三个交点 3、垂直于同一条直线的两条直线一定A 、平行B 、相交C 、异面D 、以上都有可能 4、在正方体1111ABCD A B C D -中，下列几种说法正确的是A 、11AC AD ⊥B 、11DC AB ⊥ C 、1AC 与DC 成45o 角D 、11AC 与1B C 成60o角5、若直线l ∥平面α，直线a α⊂，则l 与a 的位置关系是A 、l ∥aB 、l 与a 异面C 、l 与a 相交D 、l 与a 没有公共点 6、下列命题中：（1）平行于同一直线的两个平面平行；（2）平行于同一平面的两个平面平行；（3）垂直于同一直线的两直线平行；（4）垂直于同一平面的两直线平行.其中正确的个数有A 、1B 、2C 、3D 、4 7、在空间四边形ABCD 各边AB BC CD DA 、、、上分别取EFGH 、、、四点，如果与EF GH 、能相交于点P ，那么 A 、点P 不在直线AC 上 B 、点P 必在直线BD 上C 、点P 必在平面ABC 内D 、点P 必在平面ABC 外 8、a ，b ，c 表示直线，M 表示平面，给出下列四个命题：①若a ∥M ，b ∥M ，则a ∥b ；②若b ⊂M ，a ∥b ，则a ∥M ；③若a ⊥c ，b ⊥c ，则a ∥b ；④若a ⊥M ，b ⊥M ，则a ∥b .其中正确命题的个数有A 、0个B 、1个C 、2个D 、3个9、已知二面角AB αβ--的平面角是锐角θ，α内一点C 到β的距离为3，点C 到棱ABB 1C 1A 1D 1ACD的距离为4，那么tan θ的值等于A 、34 B 、35C 、7 D 、710、如图:直三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为V ，点P 、Q 分别在侧棱AA 1和CC 1上，AP=C 1Q ，则四棱锥B —APQC 的体积为A 、2V B 、3V C 、4V D 、5V 二、填空题（每小题4分，共16分）11、等体积的球和正方体,它们的表面积的大小关系是S 球_____S 正方体(填”大于、小于或等于”).12、正方体1111ABCD A B C D -中，平面11AB D 和平面1BC D 的位置关系为 13、已知PA 垂直平行四边形ABCD 所在平面，若PC BD ⊥，平行则四边形ABCD 一定是 .14、如图，在直四棱柱A 1B 1C 1 D 1－ABCD 中，当底面四边形ABCD满足条件_________时，有A 1 B ⊥B 1 D 1．(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形.)第Ⅱ卷11、 12、 13、 14、三、解答题(共54分,要求写出主要的证明、解答过程)15、已知圆台的上下底面半径分别是2、5,且侧面面积等于两底面面积之和,求该圆台的母线长. (7分)QP C'B'A'CBA16、已知E 、F 、G 、H 为空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 上的点,且ＥＨ∥ＦＧ．求证：EH ∥BD . (8分)17、已知ABC ∆中90ACB ∠=o,SA ⊥面ABC ,AD SC ⊥,求证：AD ⊥面SBC ．(8分)18、一块边长为10cm 的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下,然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器,试建立容器的容积V 与x 的函数关系式,并求出函数的定义域. (9分)H G FE DB A CS DC B A19、已知正方体1111ABCD A B C D -，O 是底ABCD 对角线的交点. 求证：(１) C 1O ∥面11AB D ；(2)1AC ⊥面11AB D ． (10分)20、已知△BCD 中，∠BCD =90°，BC =CD =1，AB ⊥平面BCD ，∠ADB =60°，E 、F 分别是AC 、AD 上的动点，且(01).AE AFAC ADλλ==<< （Ⅰ）求证：不论λ为何值，总有平面BEF ⊥平面ABC ； （Ⅱ）当λ为何值时，平面BEF ⊥平面ACD ？ (12分)D 1ODBA C 1B 1A 1CFEDBAC高一数学必修2立体几何测试题参考答案一、选择题（每小题5分，共60分）ACDDD BCBDB二、填空题（每小题4分，共16分）11、小于 12、平行 13、菱形 14、对角线A 1C 1与B 1D 1互相垂直三、解答题（共74分,要求写出主要的证明、解答过程）15、解:设圆台的母线长为l ,则 1分圆台的上底面面积为224S ππ=⋅=上 2分圆台的上底面面积为2525S ππ=⋅=下 3分 所以圆台的底面面积为29S S S π=+=下上 4分 又圆台的侧面积(25)7S l l ππ=+=侧 5分于是725l ππ= 6分即297l =为所求. 7分 16、证明：,EH FG EH ⊄Q P 面BCD ，FG ⊂面BCD∴EH ∥面BCD 4分又EH ⊂Q 面BCD ，面BCD I 面ABD BD =，∴EH ∥BD 8分17、证明：90ACB ∠=oQ BC AC ∴⊥ 1分又SA ⊥面ABC SA BC ∴⊥ 3分BC ∴⊥面SAC 4分 BC AD ∴⊥ 6分 又,SC AD SC BC C ⊥=IAD ∴⊥面SBC 8分18、解:如图,设所截等腰三角形的底边边长为xcm .在Rt △EOF 中,15,2EF cm OF xcm ==, 2分所以EO =5分于是13V x =7分 依题意函数的定义域为{|010}x x << 9分19、证明：（1）连结11A C ，设11111AC B D O =I连结1AO ，Q 1111ABCD A B C D -是正方体 11A ACC ∴是平行四边形 ∴A 1C 1∥AC 且 11A C AC = 1分 又1,O O 分别是11,A C AC 的中点，∴O 1C 1∥AO 且11O C AO =11AOC O ∴是平行四边形 3分111,C O AO AO ∴⊂P 面11AB D ，1C O ⊄面11AB D∴C 1O ∥面11AB D 5分 （2）1CC ⊥Q 面1111A B C D 11!CC B D ∴⊥ 6分又1111A C B D ⊥Q ， 1111B D AC C ∴⊥面 7分111AC B D ⊥即 8分 同理可证11A C AB ⊥， 9分 又1111D B AB B =I∴1A C ⊥面11AB D 10分20、证明：（Ⅰ）∵AB ⊥平面BCD ， ∴AB ⊥CD ， ∵CD ⊥BC 且AB ∩BC=B ， ∴CD ⊥平面ABC. 2分 又),10(<<==λλADAF AC AE Θ∴不论λ为何值，恒有EF ∥CD ，∴EF ⊥平面ABC ，EF ⊂平面BEF,∴不论λ为何值恒有平面BEF ⊥平面ABC. 5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，BE ⊥EF ，又平面BEF ⊥平面ACD ，∴BE ⊥平面ACD ，∴BE ⊥AC. 7分 ∵BC=CD=1，∠BCD=90°，∠ADB=60°， ∴,660tan 2,2===οAB BD 9分,722=+=∴BC AB AC 由AB 2=AE ·AC 得,76,76==∴=ACAE AE λ 11分故当76=λ时，平面BEF ⊥平面ACD. 12分。

高中数学必修2立体几何练习题一．单选题（共__小题）1．已知正四棱台的上、下底面边长分别为3和6，其侧面积等于两底面积之和，则该正四棱台的高是（）A．2B．C．3D．2．正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为（）A．75°B．60°C．45°D．30°3．如果棱台的两底面积分别是S，S′，中截面的面积是S0，那么（）A．2B．S0=C．2S0=S+S′D．S02=2S"S4．把边长为1的正方形A B C D沿对角线A C折起，构成三棱锥A B C D，则下列命题：①以A、B、C、D四点为顶点的棱锥体积最大值为；②当体积最大时直线B D和平面A B C所成的角的大小为45°；③B、D两点间的距离的取值范围是（0，]；④当二面角D-A C-B的平面角为90°时，异面直线B C与A D所成角为45°．其中正确结论个数为（）A．4个B．3个C．2个D．1个5、把一个皮球放入如图所示的由8根长均为20c m的铁丝接成的四棱锥形骨架内，使皮球的表面与8根铁丝都有接触点，则皮球的半径（）A．l0cm B．10cm C．10cm D．30cm6．如图，正方体A B C D-A1B1C1D1的棱长为1，点M是对角线A1B上的动点，则A M+M D1的最小值为（）A．B．C．D．27．下列说法正确的是（）A．有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱B．四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形C．有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台D．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥．8．平行六面体A B C D-A1B1C1D1中A B=1，A D=2，A A1=3，∠B A D=90°，∠B A A1=∠D A A1=60°，则A C1的长为（）A．B．C．D．9、如图，正方体A B C D-A1B1C1D1的棱长为2，动点P在对角线B D1上，过点P作垂直于B D1的平面α，记这样得到的截面多边形（含三角形）的周长为y，设B P=x，则当x∈[1，5]时，函数y=f（x）的值域为（）A．[2，6]B．[2，18]C．[3，18]D．[3，6]10．一个棱柱为正四棱柱的充要条件是（）A．底面是正方形，有两个侧面垂直与底面B．底面是正方形，有两个侧面是矩形C．底面是菱形，且过一个顶点的三条棱两两垂直D．各个面都是矩形的平行六面体二．填空题（共__小题）11．在一个棱长为6的正四面体纸盒内放一个正方体，并且能使正方体在纸盒内任意转动，则正方体的棱长的最大值为______•12．一个圆柱的底面面积是16，侧面展开图是正方形，则该圆柱的侧面积是______．13．若用长度分别为1，1，1，1，x，x的六根笔直的铁棒通过焊接其端点（不计损耗）可以得到两种不同形状的三棱锥形的铁架，则实数x的取值范围是______．14．一平面与正方形的十二条棱所成的角都等于α，则s i n12α=______．15．一个正四棱锥的中截面（过各侧棱中点的截面）的面积为Q，则它的底面边长为______．16．若一个n面体中共有m个面是直角三角形，则称这个n面体的“直度”为．由此可知，四棱锥“直度”的最大值为______．17．在三棱锥P-A B C中，给出下列四个命题：①如果P A⊥B C，P B⊥A C，那么点P在平面A B C内的射影是△A B C的垂心；②如果点P到△A B C的三边所在直线的距离都相等，那么点P在平面A B C 内的射影是△A B C的内心；③如果棱P A和B C所成的角为60？，P A=B C=2，E、F分别是棱P B、A C的中点，那么E F=1；④三棱锥P-A B C的各棱长均为1，则该三棱锥在任意一个平面内的射影的面积都不大于；⑤如果三棱锥P-A B C的四个顶点是半径为1的球的内接正四面体的顶点，则P与A两点间的球面距离为π-a r c c o s．其中正确命题的序号是______．18．若长方体的三个面的面积分别为6c m2，3c m2，2c m2，则此长方体的对角线长为______．19．已知长方体A B C D-A1B1C1D1的体积为216，则四面体A B1C D1与四面体A1B C1D 的重叠部分的体积为______．20．一个长方体共一顶点的三条棱长为1，2，3，则这个长方体对角线的长是______三．简答题（共__小题）21．已知正四棱台两底面边长分别为a和b（a＜b）．（1）若侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为45°，求棱台的侧面积；（2）若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的高．22．试构造出一个三棱锥S-A B C，使其四个面中成直角三角形的个数最多，作出图形，指出所有的直角，并证明你的结论．23、已知三棱锥S-A B C的三条侧棱S A、S B、S C两两互相垂直且长度分别为a、b、c，设O为S在底面A B C上的射影．求证：（1）O为△A B C的垂心；（2）O在△A B C内；（3）设S O=h，则++=．参考答案一．单选题（共__小题）1．已知正四棱台的上、下底面边长分别为3和6，其侧面积等于两底面积之和，则该正四棱台的高是（）A．2B．C．3D．答案：A解析：解：设正四棱台的高为h，斜高为x，由题意可得4••（3+6）x=32+62，∴x=．再由棱台的高、斜高、边心距构成直角梯形、可得h==2，故选A．2．正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为（）A．75°B．60°C．45°D．30°答案：C解析：解析：如图，四棱锥P-A B C D中，过P作P O⊥平面A B C D于O，连接A O则A O是A P在底面A B C D上的射影．∴∠P A O即为所求线面角，∵A O=，P A=1，∴c o s∠P A O==．∴∠P A O=45°，即所求线面角为45°．故选C．3．如果棱台的两底面积分别是S，S′，中截面的面积是S0，那么（）A．2B．S0=C．2S0=S+S′D．S02=2S"S答案：A解析：解：不妨设棱台为三棱台，设棱台的高为2r，上部三棱锥的高为a，根据相似比的性质可得：消去r，然后代入一个方程，可得2故选A．4．把边长为1的正方形A B C D沿对角线A C折起，构成三棱锥A B C D，则下列命题：①以A、B、C、D四点为顶点的棱锥体积最大值为；②当体积最大时直线B D和平面A B C所成的角的大小为45°；③B、D两点间的距离的取值范围是（0，]；④当二面角D-A C-B的平面角为90°时，异面直线B C与A D所成角为45°．其中正确结论个数为（）A．4个B．3个C．2个D．1个答案：C解析：解：把边长为1的正方形A B C D沿对角线A C折起，构成三棱锥A B C D，如图所示，则下列命题：①以A、B、C、D四点为顶点的棱锥，当侧面A C D⊥底面A B C时，体积最大值==，正确；②由①可知：当体积最大时直线B D和平面A B C所成的角的大小为∠O B D=45°，正确；③B、D两点间的距离的取值范围是（0，），因此不正确；④当二面角D-A C-B的平面角为90°时，由①可知：异面直线B C与A D所成角为90°，因此不正确．综上可知：只有①②正确．故选：C．5、把一个皮球放入如图所示的由8根长均为20c m的铁丝接成的四棱锥形骨架内，使皮球的表面与8根铁丝都有接触点，则皮球的半径（）A．l0cm B．10cm C．10cm D．30cm答案：B解析：解：因为底面是一个正方形，一共有四条棱，皮球心距这四棱最小距离是10，∵四条棱距离正方形的中心距离为10，所以皮球的表面与8根铁丝都有接触点时，半径应该是边长的一半∴球的半径是10故选B．6．如图，正方体A B C D-A1B1C1D1的棱长为1，点M是对角线A1B上的动点，则A M+M D1的最小值为（）A．B．C．D．2答案：A解析：解：将平面A B A1和平面B C D D1A1放在同一个平面上，如图，则A M+M D1的最小值即为线段A D1，在直角三角形A E D1中，A E=，E D1=，∴A D1==，故选A．7．下列说法正确的是（）A．有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱B．四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形C．有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台D．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥．答案：B解析：解：如图所示：A．如图（1）符合条件但却不是棱柱；B．图中P A⊥底面A B C，A B是圆O的直径，点C是圆上的一点，则四个面都是直角三角形，符合题意；C．其侧棱不相较于一点，故不是棱台；D．以直角三角形的斜边A B为轴旋转得到的是两个对底的圆锥．综上可知：只有B正确．故选B．8．平行六面体A B C D-A1B1C1D1中A B=1，A D=2，A A1=3，∠B A D=90°，∠B A A1=∠D A A1=60°，则A C1的长为（）A．B．C．D．答案：B解析：解：平行六面体，如图所示：∵∠B A A1=∠D A A1=60°∴A1在平面A B C D上的射影必落在直线A C上，∴平面A C C1A1⊥平面A B C D，∵A B=1，A D=2，A A1=3，∵=∴||2=（）2=||2+||2+||2+2+2+2=1+9+4+0+2×1×3×+2×2×3×=23，∴||=，∴A C1等于．故选：B．9、如图，正方体A B C D-A1B1C1D1的棱长为2，动点P在对角线B D1上，过点P作垂直于B D1的平面α，记这样得到的截面多边形（含三角形）的周长为y，设B P=x，则当x∈[1，5]时，函数y=f（x）的值域为（）A．[2，6]B．[2，18]C．[3，18]D．[3，6]答案：D解析：解：∵正方体A B C D-A1B1C1D1的棱长为2，∴正方体的对角线长为6，∵x∈[1，5]，∴x=1或5时，三角形的周长最小，设截面正三角形的边长为t，则由等体积可得，∴t=，∴y m i n=；x=2或4时，三角形的周长最大，截面正三角形的边长为2，∴y m a x=6．∴当x∈[1，5]时，函数y=f（x）的值域为[3，6]．故选D．10．一个棱柱为正四棱柱的充要条件是（）A．底面是正方形，有两个侧面垂直与底面B．底面是正方形，有两个侧面是矩形C．底面是菱形，且过一个顶点的三条棱两两垂直D．各个面都是矩形的平行六面体答案：C解析：解：若底面是正方形，有相对的两个侧面垂直于底面，另外两个侧面不垂直于底面，则棱柱为斜棱柱，故A不满足要求；若底面是正方形，有相对的两个侧面是矩形，另外两个侧面是不为矩形的平行四边形，则棱柱为斜棱柱，故B不满足要求；底面是菱形，且过一个顶点的三条棱两两垂直，则底面为正方形，侧棱与底面垂直，此时棱柱为正四棱柱，故C满足要求；各个面都是矩形的平行六面体，其底面可能不是正方形，故D不满足要求；故选C二．填空题（共__小题）11．在一个棱长为6的正四面体纸盒内放一个正方体，并且能使正方体在纸盒内任意转动，则正方体的棱长的最大值为______•答案：解析：解：设球的半径为r，由正四面体的体积得：，所以r=，设正方体的最大棱长为a，所以，，a=故答案为：12．一个圆柱的底面面积是16，侧面展开图是正方形，则该圆柱的侧面积是______．答案：64π解析：解：圆柱的侧面展开图是正方形，如图；设圆柱的底面半径为r，高为l，∵圆柱的底面面积是16，∴πr2=16，∴r=；∴l=2πr=2π×=8，∴圆柱的侧面积是l2==64π；故答案为：64π．13．若用长度分别为1，1，1，1，x，x的六根笔直的铁棒通过焊接其端点（不计损耗）可以得到两种不同形状的三棱锥形的铁架，则实数x的取值范围是______．答案：（0，）解析：解：根据条件，四根长为1的直铁棒与两根长为x的直铁棒要组成三棱锥形的铁架，有以下两种情况：①底面是边长为1的正三角形，三条侧棱长为1，x，x，如图，此时x应满足：∵A D=，S D=，且S D＜S A+A D，∴＜1+，即x2＜2+，∴＜x＜；②构成三棱锥的两条对角线长为x，其他各边长均为1，如图所示，此时应满足0＜x＜；综上，x的取值范围是（0，）．故答案为：（0，）．14．一平面与正方形的十二条棱所成的角都等于α，则s i n12α=______．答案：解析：解：∵一平面与正方形的十二条棱所成的角都等于α，∴正方体的面对角线与棱的夹角，∵设正方体的棱长为1，∴A到三角形A B1D1中心的距离为：×=，∴A1点到面A B1D1距离为：=，∴s i nα=∴s i n12α=（）6=，故答案为：15．一个正四棱锥的中截面（过各侧棱中点的截面）的面积为Q，则它的底面边长为______．答案：解析：解：∵四棱锥的中截面与底面相似，且相似比为1：2，面积比为1：4，∴若正四棱锥的中截面的面积为Q，则底面面积为4Q，∵底面为正方形，面积为边长的平方，∴它的底面边长为2故答案为216．若一个n面体中共有m个面是直角三角形，则称这个n面体的“直度”为．由此可知，四棱锥“直度”的最大值为______．答案：解析：解：∵四棱锥有5个面组成，∴n=5，当四棱锥的底面是矩形，一条侧棱与底面垂直时，四棱锥的4个侧面都是直角三角形，∴m=4，∴四棱锥“直度”的最大值为，故答案为：．17．在三棱锥P-A B C中，给出下列四个命题：①如果P A⊥B C，P B⊥A C，那么点P在平面A B C内的射影是△A B C的垂心；②如果点P到△A B C的三边所在直线的距离都相等，那么点P在平面A B C 内的射影是△A B C的内心；③如果棱P A和B C所成的角为60？，P A=B C=2，E、F分别是棱P B、A C的中点，那么E F=1；④三棱锥P-A B C的各棱长均为1，则该三棱锥在任意一个平面内的射影的面积都不大于；⑤如果三棱锥P-A B C的四个顶点是半径为1的球的内接正四面体的顶点，则P与A两点间的球面距离为π-a r c c o s．其中正确命题的序号是______．答案：①④⑤解析：解：①若P A⊥B C，P B⊥A C，因为P H⊥底面A B C，所以A H⊥B C，同理B H⊥A C，可得H是△A B C的垂心，正确．②若P A=P B=P C，易得A H=B H=C H，则H是△A B C的外心，不正确．③如果棱P A和B C所成的角为60°，P A=B C=2，E、F分别是棱P B、A C的中点，那么E F=1或；不正确．④如果三棱锥P-A B C的各条棱长均为1，则该三棱锥在任意一个平面内的射影的面积都不大于，正确．⑤如果三棱锥P-A B C的四个顶点是半径为1的球的内接正四面体的顶点，则P与A两点间的球面距离为π-a r c c o s，正确．故答案为：①④⑤．18．若长方体的三个面的面积分别为6c m2，3c m2，2c m2，则此长方体的对角线长为______．答案：解：设长方体的三度分别为：a，b，c，由题意可知：a b=6，b c=2，a c=3所以，a=3，b=2，c=1，所以长方体的对角线长为：故答案为：．19．已知长方体A B C D-A1B1C1D1的体积为216，则四面体A B1C D1与四面体A1B C1D 的重叠部分的体积为______．答案：36解析：解：如图所示，四面体A B1C D1与四面体A1B C1D的重叠部分是以长方体各面中心为定点的多面体，摘出如图，设长方体的过同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，则a b c=216，重叠部分的体积为两个同底面的四棱锥体积和，等于．故答案为：36．20．一个长方体共一顶点的三条棱长为1，2，3，则这个长方体对角线的长是______答案：解：因为在长方体中，底面对角线的平方是底面长和宽的平方和，体对角线的平方等于面对角线的平方加上高的平方；长方体对角线的长：故答案为：三．简答题（共__小题）21．已知正四棱台两底面边长分别为a和b（a＜b）．（1）若侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为45°，求棱台的侧面积；（2）若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的高．答案：解：（1）如图所示，∵P O⊥平面A B C D，侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为45°，∴∠P A O=45°，∴P O=O A=，P O1=O1A1=a．分别取A B，A1B1的中点E，E1，连接O E，O1E1．则P E==，P E1==．∴斜高E E1=P E-P E1=．∴棱台的侧面积S侧==；（2）∵棱台的侧面积等于两底面面积之和，∴=a2+b2，∴E E1=．∴O O1===．22．试构造出一个三棱锥S-A B C，使其四个面中成直角三角形的个数最多，作出图形，指出所有的直角，并证明你的结论．答案：解：如图，S A⊥平面A B C，∠A B C=90°，则∠S A C=∠S A B=90°，又A B⊥B C，所以B C⊥S B，所以∠S B C=90°，即四个面S A B，S A C，S B C，A B C为直角三角形．23、已知三棱锥S-A B C的三条侧棱S A、S B、S C两两互相垂直且长度分别为a、b、c，设O为S在底面A B C上的射影．求证：（1）O为△A B C的垂心；（2）O在△A B C内；（3）设S O=h，则++=．答案：证明：（1）∵S A⊥S B，S A⊥S C，∴S A⊥平面S B C，B C⊂平面S B C．∴S A⊥B C．而A D是S A在平面A B C上的射影，∴A D⊥B C．同理可证A B⊥C F，A C⊥B E，故O为△A B C的垂心．（2）证明△A B C为锐角三角形即可．不妨设a≥b≥c，则底面三角形A B C中，A B=为最大，从而∠A C B为最大角．用余弦定理求得c o s∠A C B=＞0，∴∠A C B为锐角，△A B C为锐角三角形．故O在△A B C内．（3）S B•S C=B C•S D，故S D=，=+，又S A•S D=A D•S O，。

高中数学必修2立体几何测试题及答案（一）一，选择（共80分，每小题4分）1，三个平面可将空间分成n 个部分，n 的取值为（ ）A ，4；B ，4，6；C ，4，6，7 ；D ，4，6，7，8。

2，两条不相交的空间直线a 、b ，必存在平面α，使得（ ）A ，a ⊂α、b ⊂α；B ，a ⊂α、b ∥α ；C ，a ⊥α、b ⊥α；D ，a ⊂α、b ⊥α。

3，若p 是两条异面直线a 、b 外的任意一点，则（ ）A ，过点p 有且只有一条直线与a 、b 都平行；B ，过点p 有且只有一条直线与a 、b 都垂直；C ，过点p 有且只有一条直线与a 、b 都相交；D ，过点p 有且只有一条直线与a 、b 都异面。

4，与空间不共面四点距离相等的平面有（ ）个A ，3 ；B ，5 ；C ，7；D ，4。

5，有空间四点共面但不共线，那么这四点中（ ）A ，必有三点共线；B ，至少有三点共线；C ，必有三点不共线；D ，不可能有三点共线。

6，过直线外两点，作与该直线平行的平面，这样的平面可有（ ）个A ，0；B ，1；C ，无数 ；D ，涵盖上三种情况。

7，用一个平面去截一个立方体得到的截面为n 边形，则（ ）A ，3≤n ≤6 ；B ，2≤n ≤5 ；C ，n=4；D ，上三种情况都不对。

8，a 、b 为异面直线，那么（ ）A ，必然存在唯一的一个平面同时平行于a 、b ；B ，过直线b 存在唯一的一个平面与a 平行；C ，必然存在唯一的一个平面同时垂直于a 、b ；D ，过直线b 存在唯一的一个平面与a 垂直。

9，a 、b 为异面直线，p 为空间不在a 、b 上的一点，下列命题正确的个数是（ ）①过点p 总可以作一条直线与a 、b 都垂直；②过点p 总可以作一条直线与a 、b 都相交；③过点p 总可以作一条直线与a 、b 都平行；④过点p 总可以作一条直线与一条平行与另一条垂直；⑤过点p 总可以作一个平面与一条平行与另一条垂直。