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九年级相似三角形动点问题

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相似三角形动点问题一．选择题（共1小题）1．如图，小正方形的边长均为1，每个小格的顶点称为格点，以格点连线为边的三角形叫格点三角形．在如图5×5的方格中，作格点三角形和△ABC相似，则所作的格点三角形中，最小面积和最大面积分别为（）A．0.5，2.5 B．0.5，5 C．1，2.5 D．1，5二．填空题（共10小题）2．（2013•平顶山三模）如图，P是Rt△ABC斜边AB上的动点（P异于A、B），∠C=90°，∠B=30°，过点P的直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，当=_________时，截得的三角形面积为△ABC面积的．3．如图，在正方形ABCD中，M是BC边上的动点，N在CO上，且，若AB=1，设BM=x，当x=_________时，以A、B、M为顶点的三角形和以N、C、M为顶点的三角形相似．4．平面直角坐标系中，已知点O（0，0）、A（0，2）、B（1，0），点P是反比例函数图象上的一个动点，过点P作PQ⊥x轴，垂足为点Q．若以点O、P、Q为顶点的三角形与△OAB相似，则点P的坐标是_________．5．如图，点A的坐标为（1，1），点C是线段OA上的一个动点（不运动至O，A两点），过点C作CD⊥x轴，垂足为D，以CD为边在右侧作正方形CDEF．连接AF并延长交x轴的正半轴于点B，连接OF，若以B，E，F为顶点的三角形与△OFE相似，B点的坐标是_________．6．（2012•泉州）在△ABC中，P是AB上的动点（P异于A、B），过点P的直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC 相似，我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线，简记为P（l x）（x为自然数）．（1）如图①，∠A=90°，∠B=∠C，当BP=2PA时，P（l1）、P（l2）都是过点P的△ABC的相似线（其中l1⊥BC，l2∥AC），此外，还有_________条；（2）如图②，∠C=90°，∠B=30°，当=_________时，P（l x）截得的三角形面积为△ABC面积的．7．以图中的格点为顶点，画一个与已知△ABC相似的三角形（相似比不为1）．8．如图，已知抛物线y=x2+bx+c与坐标轴交于A、B、C三点，A点的坐标为（﹣1，0），过点C的直线与x轴交于点Q，点P是线段BC上的一个动点，过P作PH垂直OB于点H，若PB=5t，且0＜t＜1，存在使P，H，Q为顶点的三角形与三角形COQ相似的t的值有_________．9．（2004•枣庄）在方格纸中，每个小格的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图5×5的方格纸中，以A、B为顶点作格点三角形与△OAB相似（相似比不能为1），则另一个顶点C的坐标为_________．10．（2006•荆门）在方格纸中，每个小格的顶点称为格点，以格点连线为边的三角形叫格点三角形．在如图5×5的方格中，作格点△ABC和△OAB相似（相似比不为1），则点C的坐标是_________．11．如图，在钝角三角形ABC中，AB=6cm，AC=12cm，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A 点止．点D运动的速度为1cm/秒，点E运动的速度为2cm/秒．如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是_________．三．解答题（共19小题）12．如图，在△ABC中，AB=6cm，AC=12cm，动点M从点A出发，以1cm∕秒的速度向点B运动，动点N从点C 出发，以2cm∕秒的速度向点A运动，若两点同时运动，是否存在某一时刻t，使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．13．在如图所附的格点图中画出两个相似的三角形．14．在如图的正方形网格中有一个格点三角形ABC．请在图中画一个与△ABC相似且相似比不等于1的格点三角形，并写出它们的相似比．15．（2003•绍兴）已知∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分线，按以下要求解答问题：（1）将三角板的直角顶点P在射线OM上移动，两直角边分别与边OA，OB交于点C，D．①在图甲中，证明：PC=PD；②在图乙中，点G是CD与OP的交点，且PG=PD，求△POD与△PDG的面积之比；（2）将三角板的直角顶点P在射线OM上移动，一直角边与边OB交于点D，OD=1，另一直角边与直线OA，直线OB分别交于点C，E，使以P，D，E为顶点的三角形与△OCD相似，在图丙中作出图形，试求OP的长．16．（2012•镇江模拟）如图，矩形ABCD中，AB=6cm，AD=3cm，CE=2cm，动点P从A出发以每秒2cm的速度向终点B运动，同时动点Q也从点A出发以每秒1cm的速度向终点E运动．设运动的时间为t秒．解答下列问题：（1）当0＜t≤3时，以A、P、Q为顶点的三角形能与△ADE相似吗？（不必说理由）（2）连接DQ，试求当t为何值时？△ADQ为等腰三角形．（3）求t为何值时？直线PQ平分矩形ABCD的面积．17．已知：Rt△OAB在直角坐标系中的位置如图所示，P（3，4）为OB的中点，点C为折线OAB上的动点，线段PC把Rt△OAB分割成两部分．在图上画出所有线段PC，使分割得到的三角形与Rt△OAB相似，并直接写出点C的坐标．18．在△ABC中，∠C=90°（1）如图1，P是AC上的点，过点P作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似．例如：过点P作PD∥BC 交AB于D，则截得的△ADP与△ABC相似．请你在图中画出所有满足条件的直线．（2）如图2，Q是BC上异于点B，C的动点，过点Q作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，直接写出满足条件的直线的条数．（不要求画出具体的直线）19．（2006•肇庆）如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问：（1）经过多少时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的？（2）是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．20．如图是一个10×10格点正方形组成的网格．△ABC是格点三角形（顶点在网格交点处），请你完成下面问题，在图中画出与△ABC相似的格点△A1B1C1和△A2B2C2，且△A1B1C1与△ABC的相似比是2，△A2B2C2与△ABC的相似比是．21．（2006•防城港）在△ABC中，∠ACB=90°，O为AC上的动点．（1）当OA=AC时，以O为圆心，OA的长为半径的圆与AB交于D，连接CD（如图），则图中相似的三角形有_________；（2）当OA满足AC＜OA＜AC时，以O为圆心，OA的长为半径的圆交AB于D，交AC的延长线于E（如图）．①请你在图中适当添加一条辅助线，然后找出图中相似三角形（注：相似三角形只限于使用图中的六个字母），并加以证明；②若⊙O的半径为5，AD=8，求tanB．22．已知：如图，把矩形OCBA放置于直角坐标系中，OC=3，BC=2，取AB的中点M，连结MC，把△MBC沿x 轴的负方向平移OC的长度后得到△DAO．（1）直接写出点D的坐标；（2）已知点B与点D在经过原点的抛物线上，点P在第一象限内的该抛物线上移动，过点P作PQ⊥x轴于点Q，连结OP．若以O、P、Q为顶点的三角形与△DAO相似，试求出点P的坐标．23．Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6厘米，BC=8厘米，动点P从点A开始在线段AC上以1厘米/秒的速度向点C 移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以2厘米/秒的速度向点A移动，当一个动点先运动到终点时，整个运动过程结束．设点P、Q移动的时间为t秒．（1）设△APQ的面积为y（厘米2），请你求出y与t的函数关系式，写出自变量t的取值范围，并求出当t为何值时，△APQ的面积最大；（2）在整个运动过程中，是否会存在以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请你求出此时t的值；若不存在，请你说明理由．24．已知：如图，网格中的每个小正方形的边长都是1个单位，请在图中画出一个与格点△DEF相似但相似比不等于1的格点三角形．25．如图，在正方形网格上有若干个三角形，找出与△ABC相似的三角形．26．如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm，某一时刻，动点M从点A出发沿AB方向以1cm/s的速度向点B匀速运动；同时，动点N从点D沿DA方向以2cm/s的速度向点A匀速运动．（1）经过多少时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的？（2）是否存在时刻t，使A、M、N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．27．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，BC=10，对角线AC=4，动点E从点B出发，以2cm/s的速度向点C运动，运动时间为t（s）（0≤t≤5）．那么当t为何值时，以A、E、C为顶点的三角形与△ADC相似．28．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．动点M从点A出发，以每秒1cm的速度沿AC向终点C移动，同时动点P从点B出发，以每秒2cm的速度沿BA向终点A移动，连接PM，设移动时间为t（单位：秒，0＜t＜2.5）．当t为何值时，以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似？29．已知：如图，在平面直角坐标系中，A、B两点分别在x轴，y轴的正半轴上，点A（6，0），∠BAO=30°．（1）求点B的坐标；（2）点P是线段AB上的动点，若使△POA为等腰三角形，求点P的坐标；（3）在第一象限内是否存在点Q，使得以Q、O、B为顶点的三角形与△OAB相似？若存在，请求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．30．（2013•黔西南州）如图，已知抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C（1）求抛物线的函数解析式．（2）设点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且以AO为边的四边形AODE是平行四边形，求点D的坐标．（3）P是抛物线上第一象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P，M，A为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2014年1月Sissi的初中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共1小题）1．如图，小正方形的边长均为1，每个小格的顶点称为格点，以格点连线为边的三角形叫格点三角形．在如图5×5的方格中，作格点三角形和△ABC相似，则所作的格点三角形中，最小面积和最大面积分别为（）A．0.5，2.5 B．0.5，5 C．1，2.5 D．1，5考点：相似三角形的性质；勾股定理．专题：网格型．分析：作出面积最小和面积最大的格点三角形，因为相似三角形的面积比等于相似比的平方，所以此题只要求得两三角形的一组对应边的比即可．根据格点三角形边长的求解方法，易得AB，DE与GH的长．即可得出问题的解．解答：解：如图所示，△DEF和△GHI分别是面积最小和面积最大的三角形．因为△DEF，△GHI和△ABC都相似，AB=，DE=1，GH=，所以它们的相似比为DE：AB=1：，GH：AB=：，又因为相似三角形的面积比等于相似比的平方，而△ABC的面积为2×1=1，故△DEF和△GHI面积分别为0.5，5．故选B．点评：此题考查了相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方．解此题还要注意格点三角形边长的求解方法：用勾股定理求解．二．填空题（共10小题）2．（2013•平顶山三模）如图，P是Rt△ABC斜边AB上的动点（P异于A、B），∠C=90°，∠B=30°，过点P的直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，当=或或时，截得的三角形面积为△ABC面积的．考点：相似三角形的判定与性质．分析：根据相似三角形的性质，可得符合条件的直线有4条，再分别讨论，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案，解题时注意不要漏解．解答：解：设P（l x）截得的三角形面积为S，S=S△ABC，则相似比为1：2，①第1条l1，此时P为斜边AB中点，l1∥AC，∴，②第2条l2，此时P为斜边AB中点，l2∥BC，∴，③第3条l3，此时BP与BC为对应边，且=∴，④第4条l4，此时AP与AC为对应边，且，∴=，∴=，∴当=或或时，截得的三角形面积为Rt△ABC面积的，故答案为：或或．点评：此题考查了相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．3．如图，在正方形ABCD中，M是BC边上的动点，N在CO上，且，若AB=1，设BM=x，当x=或时，以A、B、M为顶点的三角形和以N、C、M为顶点的三角形相似．考点：相似三角形的性质；正方形的性质．专题：分类讨论．分析：根据正方形的四条边都相等求出CN的长度，再根据相似三角形对应边成比例，分①CN与BM是对应边，②CN与AB是对应边两种情况列式求解即可．解答：解：∵，AB=1，∴CN=×1=，∵BM=x，∴CM=1﹣x，①当CN与BM是对应边时，=，即=，解得x=，②当CN与AB是对应边时，=，即=，解得x=．综上所述，x的值是或．故答案为：或．点评：本题考查了正方形的四条边都相等，相似三角形的对应边成比例的性质，因为对应边没有明确，注意要分情况讨论求解，避免漏解而导致出错．4．平面直角坐标系中，已知点O（0，0）、A（0，2）、B（1，0），点P是反比例函数图象上的一个动点，过点P作PQ⊥x轴，垂足为点Q．若以点O、P、Q为顶点的三角形与△OAB相似，则点P的坐标是（，﹣）或（﹣，）或（，﹣）或（﹣，）．考点：反比例函数综合题．分析：由A（0，2）、B（1，0），可求得OA与OB的长，然后分别从当，即OQ=2PQ时，△OPQ∽△ABO与当，即PQ=2OQ时，△OPQ∽△BAO去分析求解即可求得答案．解答：解：∵A（0，2）、B（1，0），∴OA=2，OB=1，∵PQ⊥x轴，∴∠PQO=∠AOB=90°，当，即OQ=2PQ时，△OPQ∽△ABO，设点P（x，﹣x），∴﹣x=﹣，解得：x=±，∴点P的坐标是：（，﹣）或（﹣，）；当，即PQ=2OQ时，△OPQ∽△BAO，设点P（x，﹣2x），∴﹣2x=﹣，解得：x=±，∴点P的坐标是：（，﹣）或（﹣，）．综上可得：点P的坐标是：（，﹣）或（﹣，）或（，﹣）或（﹣，）．故答案为：（，﹣）或（﹣，）或（，﹣）或（﹣，）．点评：此题考查了相似三角形的判定与性质以及反比例函数上点的性质．此题难度适中，注意掌握方程思想、分类讨论思想与数形结合思想的应用．5．如图，点A的坐标为（1，1），点C是线段OA上的一个动点（不运动至O，A两点），过点C作CD⊥x轴，垂足为D，以CD为边在右侧作正方形CDEF．连接AF并延长交x轴的正半轴于点B，连接OF，若以B，E，F为顶点的三角形与△OFE相似，B点的坐标是（，0）或（3，0）．考点：相似三角形的性质；坐标与图形性质；正方形的性质．专题：压轴题；推理填空题．分析：根据点A坐标是（1，1）可以确定∠AOB=45°，又四边形CDEF是正方形，所以0D=CD=DE，即可证明△OFE的边OE=2EF，再根据“以B，E，F为顶点的三角形与△OFE相似”分①EF=2EB，②EB=2EF两种情况讨论，根据△ACF与△AOB相似，相似三角形对应高的比等于对应边的比列出比例式计算即可求出正方形的边长，从而OB的长亦可求出．解答：解：过点A作AH⊥OB，∵点A的坐标为（1，1），∴AH=OH=1，∠AOB=45°，∴OD=CD，设CF=x，∵四边形CDEF是正方形，∴CF∥DE，CD=CF=EF=DE，∴CD=CF=EF=DE=x，∴OE=OD+DE=2EF，∵以B，E，F为顶点的三角形与△OFE相似，∴①EF=2EB，则EB=x，∴OB=OE+EB=2x+x=x，∵CF∥DE，∴△ACF∽△AOB，∴=，即=1﹣x，解得x=，OB=×=，∴点B的坐标为（，0），②EB=2EF时，则EB=2x，∴OB=OE+EB=2x+2x=4x，∵CF∥DE，∴△ACF∽△AOB，∴=，即=1﹣x，解得x=，OB=4x=4×=3，∴点B的坐标为（3，0）．综上所述，点B的坐标是（，0）或（3，0）．故答案为：（，0）或（3，0）．点评：此题考查了相似三角形的性质对应高的比等于对应边的比的性质，解题的关键是根据点A的坐标（1，1）确定出OE=2EF，注意要分情况讨论，避免漏解．6．（2012•泉州）在△ABC中，P是AB上的动点（P异于A、B），过点P的直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线，简记为P（l x）（x为自然数）．（1）如图①，∠A=90°，∠B=∠C，当BP=2PA时，P（l1）、P（l2）都是过点P的△ABC的相似线（其中l1⊥BC，l2∥AC），此外，还有1条；（2）如图②，∠C=90°，∠B=30°，当=或或时，P（l x）截得的三角形面积为△ABC面积的．考点：相似三角形的判定与性质．专题：压轴题．分析：（1）过点P作l3∥BC交AC于Q，则△APQ∽△ABC，l3是第3条相似线；（2）按照相似线的定义，找出所有符合条件的相似线．总共有4条，注意不要遗漏．解答：解：（1）存在另外1 条相似线．如图1所示，过点P作l3∥BC交AC于Q，则△APQ∽△ABC；故答案为：1；（2）设P（l x）截得的三角形面积为S，S=S△ABC，则相似比为1：2．如图2所示，共有4条相似线：①第1条l1，此时P为斜边AB中点，l1∥AC，∴=；②第2条l2，此时P为斜边AB中点，l2∥BC，∴=；③第3条l3，此时BP与BC为对应边，且=，∴==；④第4条l4，此时AP与AC为对应边，且=，∴==，∴=．故答案为：或或．点评：本题引入“相似线”的新定义，考查相似三角形的判定与性质和解直角三角形的运算；难点在于找出所有的相似线，不要遗漏．7．以图中的格点为顶点，画一个与已知△ABC相似的三角形（相似比不为1）．考点：作图—相似变换．专题：作图题．分析：可让相似比为1：，把原各边长都乘以后画出各边即可．解答：解：△A′B′C′就是所求的三角形．点评：本题考查了相似作图，得到相应的相似比是解决本题的关键．8．如图，已知抛物线y=x2+bx+c与坐标轴交于A、B、C三点，A点的坐标为（﹣1，0），过点C的直线与x轴交于点Q，点P是线段BC上的一个动点，过P作PH垂直OB于点H，若PB=5t，且0＜t＜1，存在使P，H，Q为顶点的三角形与三角形COQ相似的t的值有．考点：二次函数综合题．专题：压轴题．分析：由于直线过C点，因此C点的坐标为（0，﹣3），那么抛物线的解析式中c=﹣3，然后将A点的坐标代入抛物线的解析式中即可求出b的值；根据CQ所在直线的解析式即可求出Q的坐标，也就得出了OQ的长，然后求OH的长．利用抛物线的解析式，那么可求出B的坐标．在直角三角形BPH中，可根据BP=5t以及∠CBO的正弦值（可在直角三角形COB中求出）．得出BH的长，根据OB的长即可求出OH的长．然后OH，OQ的差的绝对值就是QH的长；再分①当H在Q、B之间．②在H在O，Q之间两种情况进行讨论；根据不同的对应角得出的不同的对应成比例线段来求出t的值．解答：解：根据题意过点C的直线与x轴交于点Q，得出C点坐标为：（0，﹣3），将A点的坐标为（﹣1，0），C（0，﹣3）代入二次函数解析式求出：b=﹣，c=﹣3；得y=x2﹣x﹣3，它与x轴交于A，B两点，得B（4，0）．∴OB=4，又∵OC=3，∴BC=5．由题意，得△BHP∽△BOC，∵OC：OB：BC=3：4：5，∴HP：HB：BP=3：4：5，∵PB=5t，∴HB=4t，HP=3t．∴OH=OB﹣HB=4﹣4t．由y=x﹣3与x轴交于点Q，得Q（4t，0）．∴OQ=4t．①当H在Q、B之间时，QH=OH﹣OQ=（4﹣4t）﹣4t=4﹣8t．②当H在O、Q之间时，QH=OQ﹣OH=4t﹣（4﹣4t）=8t﹣4．综合①，②得QH=|4﹣8t|；①当H在Q、B之间时，QH=4﹣8t，若△QHP∽△COQ，则QH：CO=HP：OQ，得=，解得：t=；若△PHQ∽△COQ，则PH：CO=HQ：OQ，得=，即t2+2t﹣1=0．解得：t1=﹣1，t2=﹣﹣1（舍去），②当H在O、Q之间时，QH=8t﹣4．若△QHP∽△COQ，则QH：CO=HP：OQ，得=，解得：t=；若△PHQ∽△COQ，则PH：CO=HQ：OQ，得=，即t2﹣2t+1=0．∴t1=t2=1（舍去）．综上所述，存在t的值，t1=﹣1，t2=，t3=，故答案为：﹣1，，．点评：本题主要考查了二次函数的性质、三角形相似等重要知识点，要注意要分Q的不同位置进行分类讨论，而在每种分类情况下又要根据不同的对应相似三角形进一步分类讨论，不要漏解．9．（2004•枣庄）在方格纸中，每个小格的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图5×5的方格纸中，以A、B为顶点作格点三角形与△OAB相似（相似比不能为1），则另一个顶点C的坐标为（5，2），（4，4）．考点：相似三角形的判定；坐标与图形性质．专题：压轴题；分类讨论．分析：要求△ABC与△OAB相似，因为相似比不为1，由三边对应相等的两三角形全等，知△OAB的边AB不能与△ABC 的边AB对应，则AB与AC对应或者AB与BC对应并且此时AC或者BC是斜边，分两种情况分析即可．解答：解：∵OA=2，OB=1，AB=∴当AB与AC对应时，有=或者=∴AC=或AC=5∵C在格点上∴AC=不合题意，则AC=5∴C点坐标为（5，2）同理当AB与BC对应时，可求得BC=或者BC=5，也是只有后者符合题意，此时C点坐标为（4，4）∴C点坐标为（5，2）或者（4，4）．点评：本题结合坐标系，重点考查了相似三角形的判定的理解及运用．10．（2006•荆门）在方格纸中，每个小格的顶点称为格点，以格点连线为边的三角形叫格点三角形．在如图5×5的方格中，作格点△ABC和△OAB相似（相似比不为1），则点C的坐标是（4，0）或（3，2）．考点：坐标与图形性质；相似三角形的判定．专题：压轴题；网格型．分析：△ABC和△OAB相似，并且AB=，OA=2，OB=1，△ABC和△OAB相似应分两种情况讨论，当△BCA∽△OAB 时和当△ABC∽△OBA时，根据相似三角形的性质求得AC，BC的值后，分别以A，B为圆心，AC，BC为半径作圆，两圆的交点即为C，易得到点C的坐标．解答：解：△ABC和△OAB相似，并且AB=，OA=2，OB=1，△ABC和△OAB相似应分两种情况讨论，当△BCA∽△OAB时，==，即==，解得AC=5，BC=2，分别以A，B为圆心，5，2为半径作圆，两圆的交点C的坐标是（3，2）；同理当△ABC∽△OBA时，圆心坐标是（4，0）．故本题答案为：（4，0）或（3，2）．点评：分两种情况进行讨论，理解圆心是圆的弦的垂直平分线的交点是解决本题的关键．11．如图，在钝角三角形ABC中，AB=6cm，AC=12cm，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止．点D运动的速度为1cm/秒，点E运动的速度为2cm/秒．如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是3秒或4.8秒．考点：相似三角形的性质．专题：动点型；分类讨论．分析：如果以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，由于A与A对应，那么分两种情况：①D与B对应；②D与C对应．根据相似三角形的性质分别作答．解答：解：如果两点同时运动，设运动t秒时，以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，则AD=t，CE=2t，AE=AC﹣CE=12﹣2t．①当D与B对应时，有△ADE∽△ABC．∴AD：AB=AE：AC，∴t：6=（12﹣2t）：12，∴t=3；②当D与C对应时，有△ADE∽△ACB．∴AD：AC=AE：AB，∴t：12=（12﹣2t）：6，∴t=4.8．故当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是3秒或4.8秒．点评：主要考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例．本题分析出以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，有两种情况是解决问题的关键．三．解答题（共19小题）12．如图，在△ABC中，AB=6cm，AC=12cm，动点M从点A出发，以1cm∕秒的速度向点B运动，动点N从点C出发，以2cm∕秒的速度向点A运动，若两点同时运动，是否存在某一时刻t，使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．考点：相似三角形的性质．专题：动点型．分析：首先设经过t秒时，△AMN与△ABC相似，可得AM=t，CN=2t，AN=12﹣2t（0≤t≤6），然后分别从当MN∥BC时，△AMN∽△ABC与当∠AMN=∠C时，△ANM∽△ABC去分析，根据相似三角形的对应边成比例即可求得答案．解答：解：存在t=3秒或4.8秒，使以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似（无此过程不扣分）设经过t秒时，△AMN与△ABC相似，此时，AM=t，CN=2t，AN=12﹣2t（0≤t≤6），（1）当MN∥BC时，△AMN∽△ABC，（1分）则，即，（3分）解得t=3；（5分）（2）当∠AMN=∠C时，△ANM∽△ABC，（6分）则，即，（8分）解得t=4.8；（10分）故所求t的值为3秒或4.8秒．（11分）点评：此题考查了平行线的性质与判定．此题难度适中，解此题的关键是分类讨论思想与数形结合思想的应用．13．在如图所附的格点图中画出两个相似的三角形．考点：作图—相似变换；相似三角形的性质．专题：网格型；开放型．分析：根据相似三角形的性质只要对应边的比相等，对应角相等就行．所以在本题中我们可以把图形的各边都放大2倍．解答：解：点评：本题主要考查了相似三角形的性质，对应边的相似比相等，对应角相等，14．在如图的正方形网格中有一个格点三角形ABC．请在图中画一个与△ABC相似且相似比不等于1的格点三角形，并写出它们的相似比．考点：作图—相似变换．分析：根据画一个与△ABC相似且相似比不等于1的格点三角形，可以将三角形缩小变为原来的，进而得出它们的相似比．解答：解：如图所示：将各边缩小为原来的一半即可得出答案．相似比为：．点评：此题主要考查了相似三角形的画法以及相似比的求法，根据题意画出缩小为原来一半的三角形是解决问题的关键．15．（2003•绍兴）已知∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分线，按以下要求解答问题：（1）将三角板的直角顶点P在射线OM上移动，两直角边分别与边OA，OB交于点C，D．①在图甲中，证明：PC=PD；②在图乙中，点G是CD与OP的交点，且PG=PD，求△POD与△PDG的面积之比；（2）将三角板的直角顶点P在射线OM上移动，一直角边与边OB交于点D，OD=1，另一直角边与直线OA，直线OB分别交于点C，E，使以P，D，E为顶点的三角形与△OCD相似，在图丙中作出图形，试求OP的长．考点：相似三角形的判定与性质；三角形内角和定理；直角三角形全等的判定；角平分线的性质．专题：代数几何综合题；压轴题；数形结合；分类讨论．分析：（1）①可通过构建全等三角形来求解；②可根据相似比来求面积比．（2）分两种情况进行讨论：①当C在OA上上时；②当C在OA延长线上时；解答：解：（1）①证明：过P作PH⊥OA，PN⊥OB，垂足分别为H，N，得∠HPN=90°∴∠HPC+∠CPN=90°∵∠CPN+∠NPD=90°∴∠HPC=∠NPD∵OM是∠AOB的平分线∴PH=PN又∵∠PHC=∠PND=90°∴△PCH≌△PDN∴PC=PD②∵PC=PD∴∠PDG=45°∵∠POD=45°∴∠PDG=∠POD∵∠GPD=∠DPO∴△POD∽△PDG∴．（2）①若PC与边OA相交，∵∠PDE＞∠CDO令△PDE∽△OCD∴∠CDO=∠PED∴CE=CD∵CO⊥ED∴OE=OD∴OP=ED=OD=1②若PC与边OA的反向延长线相交过P作PH⊥OA，PN⊥OB，垂足分别为H，N，∵∠PED＞∠EDC令△PDE∽△ODC∴∠PDE=∠ODC∵∠OEC=∠PED∴∠PDE=∠HCP∵PH=PN，Rt△PHC≌Rt△PND∴HC=ND，PC=PD∴∠PDC=45°∴∠PDO=∠PCH=22.5°∴∠OPC=180°﹣∠POC﹣∠OCP=22.5°∴OP=OC．设OP=x，则OH=ON=∴HC=DN=OD﹣ON=1﹣∵HC=HO+OC=+x∴1﹣=+x∴x=即OP=点评：本题主要考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定和性质等知识点，根据三角形相似或全等得出线段之间以及角之间的关系是解题的关键．16．（2012•镇江模拟）如图，矩形ABCD中，AB=6cm，AD=3cm，CE=2cm，动点P从A出发以每秒2cm的速度向终点B运动，同时动点Q也从点A出发以每秒1cm的速度向终点E运动．设运动的时间为t秒．解答下列问题：（1）当0＜t≤3时，以A、P、Q为顶点的三角形能与△ADE相似吗？（不必说理由）（2）连接DQ，试求当t为何值时？△ADQ为等腰三角形．（3）求t为何值时？直线PQ平分矩形ABCD的面积．考点：相似形综合题．分析：（1）不能相似，因为相似时，只能∠AQP=90°，∠QPA=30°，而△ADE中的锐角不能为30°；（2）分为三种情况：①当AD=AQ=3cm时，②当DA=DQ时，过D作DM⊥AE于M，③当QA=QD时，求出AQ长即可；（3）连接AC，取AC中点O（即AO=OC），当直线PQ过O时，直线PQ平分矩形ABCD的面积，根据△ROC≌△POA，求出CR=AP=2t，得出RE=2t﹣2，EQ=5﹣t，根据△RQE∽△PQA得出=，代入求出即可．解答：解：（1）不能相似；（2）∵四边形ABCD是矩形，∴DC=AB=6cm，∠ADC=90°，分为三种情况：①当AD=AQ=3cm时，此时t=3；②当DA=DQ时，过D作DM⊥AE于M，在Rt△ADE中，AD=3，DE=DC﹣CE=6cm﹣2cm=4cm，由勾股定理得：AE=5cm，由三角形的面积公式得：S△ADE=×AD×DE=AE×DM，∴DM=cm，在Rt△ADM中，由勾股定理得：AM==（cm），∵DM⊥AQ，AD=DQ，∴AQ=2AM=cm（三线合一定理），即t=；③当QA=QD时，过Q作QN⊥AD于N，则AN=ND=，∵∠ADC=∠ANQ=90°∴QN∥DC，∵DN=AN，∴EQ=AQ=AE=×5cm=cm，即t=综合上述，当t为3秒或秒或秒时，△ADQ是等腰三角形．（3）连接AC，取AC中点O（即AO=OC），当直线PQ过O时，直线PQ平分矩形ABCD的面积，∵四边形ABCD是矩形，∴DC∥AB，∴∠OCR=∠OAP，∵在△ROC和△POA中，，∴△ROC≌△POA（ASA），∴CR=AP=2t，∵CE=2，∴RE=2t﹣2，EQ=5﹣t，∵DC∥AB，∴△RQE∽△PQA，∴=，=，解得：t1=3，t2=0（舍去）．即t=3秒时，直线PQ平分矩形ABCD的面积．点评：本题考查了相似三角形的性质和判定，矩形的性质，全等三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形性质，平行线的性质等知识点的综合运用，用了分类讨论思想和方程思想，难度偏大．17．已知：Rt△OAB在直角坐标系中的位置如图所示，P（3，4）为OB的中点，点C为折线OAB上的动点，线段PC把Rt△OAB分割成两部分．在图上画出所有线段PC，使分割得到的三角形与Rt△OAB相似，并直接写出点C的坐标．考点：作图—相似变换．专题：作图题；分类讨论．分析：根据平行于三角形一边的直线分成的三角形与原三角形相似，可得PC∥AB，PC∥OA时，分割得到的三角形与Rt△OAB 相似，根据网格结构写出此时点C的坐标即可；又当PC⊥OB时，分割得到的三角形与Rt△OAB也相似，根据网格结构，利用勾股定理求出OB的长度，然后根据相似三角形对应边成比例列式求出BC的长度，再求出AC的长度，从而得到此时点C的坐标．解答：解：如图，PC∥AB时，△OCP∽△OAB，此时点C的坐标为（3，0），PC∥OA时，△PCB∽△OAB，此时点C的坐标为（6，4），PC⊥OB时，△CPB∽△OAB，根据勾股定理得，OB==10，∵P（3，4）为OB的中点，∴PB=OB=5，∴=，即=，解得BC=，AC=AB﹣BC=8﹣=，。

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相似三角形的动点问题题型(整理).doc

相似三角形的动点问题题型(整理).doc

相似三角形的动点问题题型( 整理)相似三角形的动点问题一、动点型例 1、如图，已知等边三角形 ABC 中，点 D，E，F 分别为边 AB ，AC ，BC 的中点，M 为直线 BC 上一动点，△DMN 为等边三角形（点 M 的位置改变时，△ DMN 也随之整体移动）．（1）如图 1，当点 M 在点 B 左侧时，请你判断EN 与 MF 有怎样的数量关系？点 F 是否在直线NE 上？都请直接写出结论，不必证明或说明理由；（2）如图2，当点M 在BC 上时，其它条件不变，（1）的结论中 EN 与 MF 的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图 2 证明；若不成立，请说明理由；（3）若点 M 在点 C 右侧时，请你在图 3 中画出相应的图形，并判断（ 1）的结论中 EN 与 MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请直接写出结论，不必证明或说明理由．例 2、如图，在矩形 ABCD 中， AB=12cm ，BC=8cm ．点 E、F、G 分别从点 A、B、C 三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动．点 E、 G 的速度均为 2cm/s，点 F 的速度为 4cm/s，当点 F 追上点 G（即点 F 与点 G 重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第 t 秒时，△EFG 的面积为 S（cm2）（1）当 t=1 秒时， S 的值是多少？（2）写出 S 和 t 之间的函数解析式，并指出自变量 t 的取值范围（3）若点 F 在矩形的边 BC 上移动，当 t 为何值时，以点 E、B、F 为顶点的三角形与以点 F、C、G 为顶点的三角形相似？请说明理由．迁移应用1、如图，已知△ ABC 是边长为 6cm 的等边三角形，动点 P、Q 同时从 A、B 两点出发，分别沿AB、BC 匀速运动，其中点 P 运动的速度是 1cm/s，点 Q 运动的速度是2cm/s，当点 Q 到达点 C 时， P、 Q两点都停止运动，设运动时间为 t（s），（1）当 t＝2 时，判断△ BPQ 的形状，并说明理由；（2）设△ BPQ 的面积为 S（cm2），求 S 与 t 的函数关系式；（3）作 QR//BA 交 AC 于点 R，连结 PR，当 t 为何值时，△ APR∽△ PRQ？2、如图，在直角梯形A BCD 中， AB ∥DC，∠D=90o，AC⊥BC，AB=10cm,BC=6cm，F 点以2cm／秒的速度在线段 AB 上由 A 向 B 匀速运动，E 点同时以 1cm／秒的速度在线段 BC 上由 B 向 C 匀速运动，设运动时间为 t 秒(0<t<5) ．1）求证：△ ACD ∽△ BAC ；2）求： DC 的长；3）试探究：△BEF 可以为等腰三角形吗？若能，求 t 的值；若不能，请说明理由．3、如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC，∠B=90°，AD=6 ，BC=8 ， AB=3 3，点 M 是 BC 的中点．点 P 从点 M 出发沿 MB 以每秒 1 个单位长的速度向点B 匀速运动，到达点B 后立刻以原速度沿 BM 返回；点 Q 从点M 出发以每秒 1 个单位长的速度在射线 MC 上匀速运动．在点 P， Q的运动过程中，以 PQ 为边作等边三角形 EPQ，使它与梯形ABCD 在射线 BC 的同侧．点 P，Q 同时出发，当点 P 返回到点 M 时停止运动，点Q 也随之停止．设点P，Q 运动的时间是t 秒（t ＞0）．（1）设 PQ 的长为 y，在点 P 从点 M 向点 B 运动的过程中，写出 y 与 t 之间的函数关系式（不必写 t 的取值范围）；（2）当 BP=1 时，求△ EPQ 与梯形 ABCD 重叠部分的面积；（3）随着时间 t 的变化，线段 AD 会有一部分被△ EPQ 覆盖，被覆盖线段的长度在某个时刻会达到最大值，请回答：该最大值能否持续一个时段？若能，直接写出 t 的取值范围；若不能，请说明理由．二、动点加动线例 1、如图，在 Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3 ，AB=5 ．点 P 从点 C 出发沿 CA 以每秒 1 个单位长的速度向点A 匀速运动，到达点A 后立刻以原来的速度沿 AC 返回；点 Q 从点 A 出发沿 AB 以每秒1 个单位长的速度向点B 匀速运动．伴随着P、Q 的运动， DE 保持垂直平分 PQ，且交PQ 于点 D，交折线Q同时出发，当点P也随之停止．设点QB-BC-CP 于点 E．点 P、Q 到达点 B 时停止运动，点P、Q 运动的时间是 t 秒（t＞0）．（1）当 t=2 时，AP=，点Q到AC的距离是；（2）在点P 从 C 向 A 运动的过程中，求△APQ 的面积S 与t 的函数关系式；（不必写出t 的取值范围（3）在点 E 从 B 向 C 运动的过程中，四边形QBED 能否成为直角梯形？若能，求 t 的值．若不能，请说明理由；（4）当 DE 经过点 C 时，请直接写出t 的值．迁移应用1、如图，已知矩形 ABCD 的边长 AB=3cm ，BC=6cm ．某一时刻，动点 M 从 A 点出发沿 AB 方向以 1cm/s 的速度向 B 点匀速运动；同时，动点N 从 D 点出发沿 DA 方向以 2cm/s 的速度向 A 点匀速运动，问：是否存在时刻 t，使以 A 、M 、 N 为顶点的三角形与△ ACD 相似？若存在，求 t的值．2、如图，正方形 ABCD 的边长为 4，E 是 BC 边的中点，点 P 在射线 AD 上，过 P 作 PF⊥AE于 F．（1）求证：△ PFA∽△ ABE ；（2）当点 P 在射线 AD 上运动时，设 PA=x，是否存在实数 x，使以 P，F，E 为顶点的三角形也与△ ABE相似？若存在，请求出 x 的值；若不存在，说明理由．3、如图，已知 A（8，0），B（0，6），两个动点P、Q 同时在△ OAB 的边上按逆时针方向（→ O →A→B→O→）运动，开始时点 P 在点 B 位置，点 Q 在点 O 位置，点 P 的运动速度为每秒 2 个单位，点 Q 的运动速度为每秒 1 个单位．（1）在前 3 秒内，求△ OPQ 的面积 S 与时间 t 之间的关系式；并求出△ OPQ 的最大面积；（2）在前 10 秒内，秋 P、Q 两点之间的最小距离，并求此时点 P、Q 的坐标；（3）在前 15 秒内，探究 PQ 平行于△ OAB 一边的情况，并求平行时点P、Q 的坐标．yBO A x4、已知：如图，在平面直角坐标系中，△ ABC 是直角三角形，∠ ACB ，点 A、C 的坐标分别为A(-3,0) ，C(1,0)，BC AC34,（1）求过点 A 、B 的直线的函数表达式；（2）在 X 轴上找一点 D,连接 DB ，使得△ ADB与△ ABC 相似（不包括全等），并求点 D 的坐标；（3）在（ 2）的条件下，如 P、Q 分别是 AB 和AD 上的动点，连接 PQ，设y B AP=DQ=m ，问是否存在这样的 m使得△ APQ 与△ ADB 相似，如存A O C x在，请求出 m 的值；如不存在，请说明理由．145、如图，四边形 OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点 A 在 x 轴上，点 C 在 Y 轴上，将边 BC 折叠，使点 B 落在边 OA 的点 D 处．已知折叠 CE= 5 5，且EA 3DA 4（1）判断 OCD 与△ ADE 是否相似？请说明理由；（2）求直线 CE 与 x 轴交点 P 的坐标；（3）是否存在过点 D 的直线 L ，使直线 L 、直线 CE 与 x 轴所围C yB成的三角形和△ CDE 相似？如 E 果存在，请直接写出其解析式并O D A x 画出相应的直线；如果不存在，请说明理由．6、△ ABC 中， AB=AC=5 ，BC=6 ，点 P 从点 B 开始沿 BC 边以每秒 1 的速度向点 C 运动，点 Q 从点 C 开始沿 CA 边以每秒 2 的速度向点 A 运动，DE 保持垂直平分 PQ，且交 PQ 于点 D，交BC 于点 E．点 P，Q 分别从 B，C 两点同时出发，当点 Q 运动到点 A 时，点 Q、p 停止运动，设它们运动的时间为 x．1）当 x=秒时，射线DE经过点C；2）当点 Q 运动时，设四边形 ABPQ 的面积为 y，求 y 与 x 的函数关系式；3）当点 Q 运动时，是否存在以P、Q、C 为顶点的三角形与△ PDE 相似？若存在，求出 x 的值；若不存在，请说明理由．7、如图，梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB=CD=20cm ，AD=40cm ，∠ D=120°，点 P、Q 同时从 C 点出发，分别以 2cm/s 和 1cm/s 的速度沿着线段 CB 和线段 CD 运动，当 Q 到达点 D，点 P 也随之停止运动．设运动时间为 t（s）（1）当 t 为何值时，△ CPQ 与△ ABP 相似；（2）设△APQ 与梯形 ABCD 重合的面积为 S，求 S 与t的函数关系式，写出自变量的取值范围．8、如图，直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，∠DAB=90 °， AD=2DC=4 ，AB=6 ．动点 M 以每秒 1 个单位长的速度，从点 A 沿线段 AB 向点 B运动；同时点 P 以相同的速度，从点 C 沿折线 C-D-A 向点 A 运动．当点 M 到达点 B 时，两点同时停止运动．过点 M 作直线 l ∥AD ，与线段 CD 的交点为 E，与折线 A-C-B 的交点为 Q．点 M 运动的时间为 t（秒）．（1）当 t=0.5 时，求线段 QM 的长；（2）当 0＜t＜2 时，如果以 C、P、Q 为顶点的三角形为直角三角形，求t 的值；（3）当 t＞2 时，连接 PQ 交线段 AC 于点 R．请探究CQ是否为定值，若是，试求这个定值；若不RQ是，请说明理由．9、如图 1，直角梯形 ABCD 中，∠ A=∠B=90°，AD=AB=6cm ，BC=8cm ，点 E 从点 A 出发沿AD 方向以 1cm/s 的速度向中点 D 运动；点 F 从点 C 出发沿 CA 方向以 2cm/s 的速度向终点 A 运动，当点 E、点 F 中有一点运动到终点，另一点也随之停止．设运动时间为 ts．（1）当 t 为何值时，△ AEF 和△ ACD 相似？（2）如图 2，连接 BF，随着点 E、F 的运动，四边形 ABFE 可能是直角梯形？若可能，请求出t 的值及四边形 ABFE 的面积；若不能，请说明理由；（3）当 t 为何值时，△ AFE 的面积最大？最大值是多少？10、如图，在平面直角坐标系中．四边形OABC 是平行四边形．直线 l 经过 O、C 两点．点 A 的坐标为（8，0），点B 的坐标为（11，4），动点P 在线段 OA 上从点 O 出发以每秒 1 个单位的速度向点 A 运动，同时动点 Q 从点 A 出发以每秒2 个单位的速度沿 A→B→C 的方向向点 C 运动，过点 P 作 PM 垂直于 x 轴，与折线 O 一 C-B 相交于点 M ．当 P、Q 两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点 P、Q 运动的时间为 t 秒（ t＞0）．△ MPQ 的面积为 S．（1）点 C 的坐标为，直线l 的解析式为。

相似三角形的动点问题(共6张PPT)

相似三角形的动点问题(共6张PPT)


当△ABC与△ADE相似时,会有什么情况？
在△ABC中，点D、E分别是边AB、 AC上的动点：
如果P、Q分别从B、C同时出发，问：
△PAD和△PBC相似，求PD的值。
当△ABC与△ADE相似时,会有什么情况？
当∠ B =_______或
时△ABC∽△AED
△PAD和△PBC相似，求PD的值。
△PAD和△PBC相似，求PD的值。
相似三角形的动点问题
第1页，共6页。
常见的相似三角形的基本图形：
（7）
第2页，共6页。
在△ABC中，点D、E分别是边AB、 AC上的动点：
当∠ B =_______或
= 时△ABC∽△ADE
当∠ B =_______或
= 时△ABC∽△AED
思考：
当△ABC与△ADE相似时,会有什么情况？
第3页，共6页。
△PAD和△PBC相似，求PD的值。
当△ABC与△ADE相似时,会有什么情况？
当△ABC与△ADE相似时,会有什么情况？
点P从点B出发，沿着BC向点C以2cm/秒的速度移动;点Q从点C出发，沿着CA向点A以1cm/秒的速度移动。
如图，AD∥BC，∠D=90°，DC=7，AD=2，BC=4．若在边DC上有动点P使
② 经过多少秒时以C、P、Q为顶点的三角形恰好与⊿ABC
相似？
A
A
Q Q
B
P
CB
P
C
③求当t为何值时，S⊿CPQ的最大值和S四边形ABPQ的最小值？
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如图，AD∥BC，∠D=90°，DC=7，
AD=2，BC=4．若在边DC上有动点P，
△PAD和△PBC相似，求PD的值。
完整版相似三角形的动点问题题型整理

完整版相似三角形的动点问题题型整理

相似三角形的动点问题一、动点型例1如图，已知等边三角形ABC中，点D, E, F分别为边AB , AC, BC的中点，M为直线BC上一动点，△ DMN为等边三角形(点M的位置改变时，△ DMN也随之整体移动).(1)如图1,当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？点F是否在直线NE 上？都请直接写出结论，不必证明或说明理由；(2)如图2,当点M在BC上时，其它条件不变，(1 )的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；(3)若点M在点C右侧时，请你在图3中画出相应的图形，并判断(1)的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请直接写出结论，不必证明或说明理由.例2、如图，在矩形ABCD中，AB=12cm , BC=8cm .点E、F、G分别从点A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动. 点E、G的速度均为2cm/s,点F的速度为4cm/s, 当点F追上点G (即点F与点G重合)时，三个点随之停止移动.设移动开始后第t秒时，△ EFG的面积为S ( cm2)(1 )当t=1秒时，S的值是多少？(2)写出S和t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围(3)若点F在矩形的边BC上移动，当t为何值时，以点E、B、为顶点的三角形与以点F、C、G 为顶点的三角形相似？请说明理由.圜②图③迁移应用1如图，已知△ ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q 到达点C 时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t( s),(1 )当t= 2时，判断△ BPQ的形状，并说明理由；(2 )设厶BPQ的面积为S (cm2)，求S与t的函数关系式；(3)作QR//BA交AC于点R,连结PR,当t为何值时，△ APR s^ PRQ?2、如图，在直角梯形ABCD 中，AB // DC，/ D=90o, AC丄BC, AB=10cm,BC=6cm, F 点以2cm/秒的速度在线段AB上由A向B匀速运动，E点同时以1cm/秒的速度在线段BC 上由B向C匀速运动，设运动时间为t秒(0<t<5).1) 求证：△ ACD BAC;2) 求：DC的长；3) 试探究：△ BEF可以为等腰三角形吗？若能，求t的值；若不能，请说明理由.3、如图，在直角梯形ABCD 中，AD // BC,/ B=90° , AD=6 , BC=8 , AB=3 . 3，点M是BC的中点.点P从点M出发沿MB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，到达点B后立刻以原速度沿BM返回；点Q从点M出发以每秒1个单位长的速度在射线MC上匀速运动.在点P，Q的运动过程中，以PQ为边作等边三角形EPQ，使它与梯形ABCD在射线BC的同侧.点P, Q同时出发，当点P返回到点M时停止运动，点Q也随之停止.设点P, Q运动的时间是t秒(t > 0)(1 )设PQ的长为y，在点P从点M向点B运动的过程中，写出y与t之间的函数关系式 (不必写t 的取值范围)；(2)当BP=1时，求△ EPQ与梯形ABCD重叠部分的面积;(3)随着时间t的变化，线段AD会有一部分被△ EPQ覆盖, 刻会达到最大值，请回答：该最大值能否持续一个时段？若能，直接写出t的取值范围；若不能，请说明理由.、动点加动线例1、如图，在Rt△ABC中，/ C=90 ° , AC=3 , AB=5 .点P从点C出发沿CA以每秒1 个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A 出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动.伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ,且交PQ于点D,交折线QB-BC-CP于点E.点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止.设点P、Q运动的时间是t秒(t> 0).(1 )当t=2时，AP= __________ ，点Q到AC的距离是 ___________________ ;(2)在点P从C向A运动的过程中，求△ APQ的面积S与t的函数关系式；(不必写出t 的取值范围(3)在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形？若能，求t的值.若不能，请说明理由;迁移应用1、如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm , BC=6cm .某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s 的速度向A点匀速运动，问：是否存在时刻t，使以A、M、N为顶点的三角形与△ ACD相似？若存在，求t的值. (4)当DE经过点C时，请直接写出t的值.2、如图，正方形 ABCD 的边长为4, E 是BC 边的中点，点 P 在射线AD 上，过P 作PF 丄 AE 于 F .(1) 求证：△ PFAABE ;(2) 当点P 在射线AD 上运动时，设PA=x ，是否存在实数x ，使以P , F , E 为顶点的三角 3、如图，已知 A (8, 0), B (0, 6)，两个动点 P 、Q 同时在△ OAB 的边上按逆时针方 向(T O f A T B T O f)运动，开始时点 P 在点B 位置，点Q 在点O 位置，点P 的运动速 度为每秒2个单位，点Q 的运动速度为每秒1个单位.(1) 在前3秒内，求△ OPQ 的面积S 与时间t 之间的关系式；并求出△ OPQ 的最大面积；(2) 在前10秒内，秋P 、Q 两点之间的最小距离，并求此时点 P 、Q 的坐标；(3) 在前15秒内，探究PQ 平行于△ OAB —边的情况，并求平行时点 P 、Q 的坐标.4、已知：如图，在平面直角坐标系中，△ ABC 是直角三角形，/ ACB ，点A 、C 的坐标分 (1) 求过点A 、B 的直线的函数表达式;(2) 在X 轴上找一点D,连接DB ,使得△ ADB 与厶ABC 相似(不包括全等)，并求点形也与△ ABE 相似？若存在，请求出x 的值;若不存在，说明理由.SEC别为 A(-3,0) , C(1,O), BC 3AC 4x的坐标；(3)在(2)的条件下，如P、Q分别是AB和AD上的动点，连接PQ,设AP=DQ=m，问是否存在这样的m使得△ APQ与厶ADB相似，如存在，请求出m的值；如不存在，请说明理由.OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点A在x轴上，点BC折叠，使点B落在边OA的点D处.已知折叠CE= 5 5，且-EA5、如图，四边形在Y轴上，将边DA (1) 判断OCD与厶ADE是否相似？请说明理由;(2) 求直线CE与x轴交点P的坐标;(3) 是否存在过点D的直线L ,使直线L、直线CE与x轴所围成的三角形和△ CDE相似?如果存在，请直接写出其解析式并画出相应的直线；如果不存在，请说明理由.6、A ABC中，AB=AC=5 , BC=6，点P从点B开始沿BC边以每秒1的速度向点C运动，点Q从点C开始沿CA边以每秒2的速度向点A运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交BC于点E.点P, Q分别从B, C两点同时出发，当点Q运动到点A时，点Q、p停止运动，设它们运动的时间为x.1) ____________ 当x= 秒时，射线DE经过点C;2) 当点Q运动时，设四边形ABPQ的面积为y,求y与x的函数关系式;3) 当点Q运动时，是否存在以的P、Q、C为顶点的三角形与△ PDE相似？若存在，求出值；若不存在，请说明理由.7、如图，梯形ABCD 中，AD // BC, AB=CD=20cm , AD=40cm，/ D=120 °，点P、Q 同时从C点出发，分别以2cm/s和1cm/s的速度沿着线段CB和线段CD运动，当Q到达点D, 点P也随之停止运动.设运动时间为t (s)(1 )当t为何值时，△ CPQ与厶ABP相似；(2)设厶APQ与梯形ABCD重合的面积为S,求S与t的函数关系式，写出自变量的取值范围.8、如图，直角梯形ABCD 中，AB // DC,/ DAB=90 ° , AD=2DC=4 , AB=6 .动点M 以每秒1个单位长的速度，从点A沿线段AB向点B运动；同时点P以相同的速度，从点C沿折线C-D-A向点A运动.当点M到达点B时，两点同时停止运动. 过点M作直线I // AD , 与线段CD的交点为E,与折线A-C-B的交点为Q.点M运动的时间为t (秒)(1 )当t=0.5时，求线段QM的长；(2)当O v t V2时，如果以C、P、Q为顶点的三角形为直角三角形，求t的值;CQ(3) 当t>2时，连接PQ交线段AC于点R.请探究—Q是否为定值，若是，试求这个定RQ值；若不是，请说明理由.DE PC卫眩B9、如图1,直角梯形ABCD 中，/ A= / B=90° , AD=AB=6cm , BC=8cm，点E 从点A 出发沿AD方向以1cm/s的速度向中点D运动；点F从点C出发沿CA方向以2cm/s的速度11向终点A运动，当点E、点F中有一点运动到终点，另一点也随之停止.设运动时间为ts.(1 )当t为何值时，△ AEF和厶ACD相似？(2)如图2,连接BF，随着点E、F的运动，四边形ABFE可能是直角梯形？若可能，请求出t的值及四边形ABFE的面积；若不能，请说明理由；(3)当t为何值时，△ AFE的面积最大？最大值是多少？11, 4)，动点P在线段OA上从点O出发以每秒1 10、如图，在平面直角坐标系中.四边形OABC是平行四边形•直线I经过0、C两点.点A的坐标为(8, 0),点B的坐标为(12个单位的速度向点A运动，同时动点Q从点A出发以每秒2个单位的速度沿A T C的方向向点C运动，过点P作PM垂直于x轴，与折线0 —C-B相交于点M .当P、Q两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点P、Q运动的时间为t秒(t> 0).^MPQ的面积为S.(1 )点C的坐标为__________________ ，直线l的解析式为________________________ 。

初中数学相似三角形几何动点问题模型专题汇总

初中数学相似三角形几何动点问题模型专题汇总

初中数学相似三角形几何动点问题模型专题汇总这节课我们学什么1.动点函数型----横竖型问题2.动点函数型----斜线型问题3.动点几何型----二次相似问题4.动点几何形----A-A问题知识点梳理1.本专项的前半部分为二次函数中动点相似三角形之函数型，主要为有一对等角的两个三角形相似时，对等角的夹边作讨论的题型，简称S.A.S型.题型分为横竖型和斜线型两大类：横竖型：动点在平行于坐标轴的直线上；斜线型：动点在倾斜的直线上.（等角类型分为锐角、钝角；等角的位置有公共角、对顶角、内错角等，还可通过三角比的计算得到等角.）注：求斜线上的点坐标方法可以采用代数方法（两点间距离公式），还可以用几何方法构造相似三角形或是三角比来求解.2.本专项的后半部分为二次函数中动点相似三角形之几何．题型分为A-A和两次相似两大类：A-A：确定一组相等的角，讨论分析另一组角，可以结合等腰三角形的性质或者锐角三角比；两次相似：借助第一次证明的相似三角形相等的角，结合已知条件证明第二次相似．典型例题分析1、动点横竖型问题例1.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，二次函数214y x bx c =-++的图像经过点()4,0A 、()0,2C ．（1）试求这个二次函数的解析式，并判断点()2,0B -是否在该函数的图像上； （2）设所求函数图像的对称轴与x 轴交于点D ，点E 在对称轴上，若以点C 、D 、E 为顶点的三角形与ABC ∆相似，试求点E 的坐标．【答案：（1）∵c bx x y ++-=241过点40A （，）、02C （，） ∴2,21==c b ∴211242y x x =-++∵当2x =-时，0y = ∴点(2,0)B -在该二次函数的图像上； （2）∵二次函数的对称轴为直线1x = ∴D ∵点E 在对称轴上，且对称轴平行y 轴 ∴OCD CDE ∠=∠又6AB =，AC =CD =2OC =，1OD =易得OCD OAC ∆∆∽∴OCD OAC ∠=∠， 从而CDE OAC ∠=∠若以点C 、D 、E 为顶点的三角形与ABC ∆相似 则有以下两种情况：．A．C ．Oxy 1ⅰ）当AB DC AC DE =时，即6552=DE ，解得：35=DE ∴点E 的坐标为)35,1( ⅰ）当AC DC AB DE =时，即5256=DE ，解得：3=DE ∴点E 的坐标为)3,1( 综上点E 的坐标为)35,1(或)3,1(.】 例2.如图，已知在ABC ∆中，90A ∠=︒，AB AC ==直线DE BC //，分别交边AB 、AC 于点D 和点E ，P 是线段DE 上的一个动点，过点P 分别作PM BC ⊥，PF AB ⊥，PG AC ⊥，垂足分别为点M 、F 、G ，设BM x =，四边形AFPG 的面积为y ． （1）求PM 的长；（2）求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（3）联结MF 、MG ，当PMF ∆与∆相似时，求BM 的长．【答案：解：（1）过点A 作AH BC ⊥，垂足为点H ，交DE 于点Q ． ∵90BAC ∠=︒，AB AC ==，∴6BC =． 又∵AH BC ⊥，∴132BH CH BC ===，Q 是ABC ∆的重心．∴113QH AH ==． ∵DE BC //，PM BC ⊥，AH BC ⊥，∴1PM QH ==．（2）延长FP ，交BC 于点N ．∵90BAC ∠=︒，AB AC =，∴45B ∠=︒．于是，由FN AB ⊥，得45PNM ∠=︒．又由PM BC ⊥，得1MN PM ==，PN =∴1BN BM MN x =+=+，1)FB FN x ==+．∴1))AF AB FB x x =-=+=-，1)1)FP FN PN x x =-=+-． ∵PF AB ⊥，PG AC ⊥，90BAC ∠=︒，∴90BAC PFA PGA ∠=∠=∠=︒．∴四边形AFPG 是矩形．∴1))y FP AF x x =⋅=--， 即所求函数解析式为215322y x x =-+-．定义域为15x <<．（3）∵四边形AFPG 是矩形，∴)5(22x AF PG -==． 由135FPM GPM ∠=∠=︒，可知，当PMF ∆与PMG ∆相似时，有两种情况：PFM PGM ∠=∠或PFM PMG ∠=∠．（ⅰ）如果PFM PGM ∠=∠，那么PF PMPG PM=．即得PF PG =．∴1))22x x -=-．解得3x =．即得3BM =． （ⅰ）如果PFM PMG ∠=∠，那么PF PMPM PG=．即得2PM PF PG =⋅．∴1))1x x --=．解得13x =，23x =-．即得3BM =或3BM =∴当PMF ∆与PMG ∆相似时，BM 的长等于33或3．】2、 动点斜线型问题例3.已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数213y x bx c =-++的图像经过点1()1,A -和点()2,2B ，该函数图像的对称轴与直线OA 、OB 分别交于点C 和点D ．（1）求这个二次函数的解析式和它的对称轴； （2）求证：ABO CBO ∠=∠；（3）如果点P 在直线AB 上，且POB ∆与BCD ∆相似，求点P 的坐标．【答案：（1）解：由题意，得解得∴所求二次函数的解析式为．对称轴为直线1x =．（2）证明：由直线OA 的表达式y x =-，得点C 的坐标为11-（，）．∵，，∴AB BC =．又∵，，∴OA OC =．∴ABO CBO ∠=∠．（3）解：由直线OB 的表达式y x =，得点D 的坐标为(1,1)． 由直线AB 的表达式，得直线与x 轴的交点E 的坐标为40-（，）． ∵POB ∆与BCD ∆相似，ABO CBO ∠=∠ ∴BOP BDC ∠=∠或BOP BCD ∠=∠．10=AB 10=BC 2=OA 2=OC（i ）当BOP BDC ∠=∠时，由135BDC ∠==︒，得135BOP ∠=︒． ∴点P 不但在直线AB 上，而且也在x 轴上，即点P 与点E 重合． ∴点P 的坐标为40-（，）． （ii ）当BOP BCD ∠=∠时，由POB BCD ∆∆∽，得．而，，，∴．又∵，∴．作PH x ⊥轴，垂足为点H ，BF x ⊥轴，垂足为点F ． ∵PH BF //，∴．而2BF =，6EF =，∴，．∴．∴点P 的坐标为48(,)55．综上所述，点P 的坐标为(4,0)-或48(,)55．】3、 动点几何型—二次相似问题例4.如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CE 是斜边AB 上的中线，10AB =，4tan 3A =，点P 是CE 延长线上的一动点，过点P 作PQ CB ⊥，交CB 延长线于点Q ，设,EP x BQ y ==． （1）求y 关于x 的函数关系式及定义域；（2）联结PB ，当PB 平分CPQ ∠时，求PE 的长；（3）过点B 作BF AB ⊥交PQ 于F ，当BEF ∆和QBF ∆相似时，求x 的值．22=BO 2=BD 10=BC 102=BE【答案：（1）在Rt ABC 中，︒=∠90ACB ，∵34tan ==AC BC A ，10=AB ∴8=BC ，6=AC ∵CE 是斜边AB 上的中线，∴521===AB BE CE ∴ABC PCB ∠=∠，∵︒=∠=∠90ACB PQC ∴BQC ABC ∆∆∽，∴54==AB BC PC CQ ，即5458=++x y ∴445y x =-，定义域为5x >． （2）过点B 作BM PC ⊥，垂足为M ．∵PB 平分CPQ ∠，PQ BQ ⊥，垂足为Q ． ∴y BQ BM ==∵52485353=⨯==BC BM ∴524454=-x ∴11=x （3）∵︒=∠=∠90ACB Q ，A QBF ∠=∠ ∴BQF ABC ∆∆∽ 当BEF ∆和QBF ∆相似时，可得BEF ∆和ABC ∆也相似． 分两种情况： 1)当A FEB ∠=∠时，在Rt FBE ∆E 中，︒=∠90FBE ，5=BE ，y BF 35=∴534)454(35⨯=-x ，解得10=x ； 2)当ABC FEB ∠=∠时，在Rt FBE ∆中，︒=∠90FBE ，5=BE ，y BF 35=∴543)454(35⨯=-x ，解得16125=x ； 综合16125=x 或10．】 4、 动点几何型—A -A 问题例5. 如图，已知等边ABC ∆的边长为6，点D 是边BC 上的一个动点，折叠ABC ∆， 使得点A 恰好与边BC 上的点D 合，折痕为EF （点E 、F 分别在边AB 、AC 上）． （1）当:5:4AE AF =时，求BD 的长： （2）当ED BC ⊥时，求EB 的值；（3）当以B 、E 、D 为顶点的三角形与DEF ∆相似时，求BE 的长．【答案：（1）∵ABC ∆是等边三角形， ∴，.由题意可知AEF DEF ∆∆≌，∴，，.∴.∵，∴.又∵，∴. ∵，∴BDE CFD ∆∆∽. 方法①∵BDE CFD ∆∆∽，∴. 设，则由知，，， ，.设，则.∴.即整理，得解得，即.︒=∠=∠=∠60C B A CA BC AB ==︒=∠=∠60A EDF AE DE =AF DF =BDF EDF BDE ∠=∠+∠C CFD BDF ∠+∠=∠=∠+∠EDF BDE C CFD ∠+∠C EDF ∠=︒=∠60CFD BDE =∠C B ∠=∠k AE 5=4:5:=AF AE k AF 4=k AE DE 5==k AF DF 4==k BE 56-=k CF 46-=x BD =x CD -=64=x 4=BD ABCDEF方法②∵BDE CFD ∆∆∽， ∴（相似三角形的周长的比等于相似比）.∴.又，，∴.解得：.方法③过点E 作，过点D 作设，，依题意易得，，，.在Rt BEM ∆中，，在Rt FDN ∆中，，易证DEM FDN ∆∆∽，.进而可得，整理，得 (1)在Rt FDN ∆中，依据勾股定理可得 (2)整理（2），并将（1）代入（2），可得.解得（不合题意，舍去）.即.（2）当时，如图.6==+AB BE DE 6==+AC FC DF BD CD -=64=BD BC EM ⊥AC DN ⊥k AE 5=x BD =k AF 4=k AE DE 5==k AF DF 4==k BE 56-=k CF 46-=x CD -=6k x 2018-=01272=+-x x 31=x 42=x 4=BD BC ED ⊥︒=︒-︒=∠-︒=∠30609090B BED ABCDEFMN.过点作，垂足为.， .在Rt BED ∆中，，在Rt DEH ∆中，，在Rt EHF ∆中，.∴.（3）分两种情况讨论：①当以、、为顶点的三角形与DEF ∆相似，顶点、、分别与、、对应时，可得. ∴EF BC //.∴，.易得AEF ∆、DEF ∆、DFC ∆、DEB ∆是四个边长相等的等边三角形.∴.②当以、、为顶点的三角形与DEF ∆相似，顶点、、分别与、、对应时，可得.又，， ∴.易得AEF ∆、DEF ∆、DFC ∆、DEB ∆四个边长相等的等边三角形.∴.综上所述，当以、、为顶点的三角形与DEF ∆相似时，.】E DF EH ⊥H ︒=︒-︒=∠-︒=∠30609090EDF DEH ︒=︒-︒=∠-∠=∠453075DEH DEF FEH B E D B D E D E F DEF BDE ∠=∠︒=∠=∠60B AEF ︒=∠=∠60AEF DEF B E D B D E D F E DFE BDE ∠=∠DFC BDE ∠=∠AFE DFE ∠=∠B E D 3=BE课后练习练1. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于A 、B 两点（点A在点B 的左侧），点B 的坐标为()3,0，与y 轴交于点()0,3C ，顶点为D ． （1）求抛物线的解析式及顶点D 坐标； （2）联结AC 、BC ，求ACB ∠的正切值；（3）点P 是抛物线的对称轴上一点，当PBD ∆与CAB ∆相似时，求点P 坐标．【答案：（1）抛物线2y x bx c =++过点()3,0B ，()0,3C∴9303b c c ++=⎧⎨=⎩∴43b c =-⎧⎨=⎩∴243y x x =-+∴顶点D 的坐标为()2,1- （2）∵抛物线243y x x =-+与x 轴交于点A 、B （A 在B 的左侧） ∴()1,0A 又∵()0,0O ，()0,3C ，()3,0B ∴3BO CO ==∵90COB ∠=︒∴45,OBC BC ∠=︒=过点A 作AH BC ⊥，垂足为H ，∴90AHB ∠=︒∵2AB =∴AH BH =CH BC BH =-=∴1tan 2AH ACB CH ∠=== （3）∵抛物线243y x x =-+的对称轴为直线2x = 点P 是抛物线对称轴上一点，∴可设点P 的坐标为()2,n 把对称轴直线2x =与x 轴的交点记为E ，则点E 的坐标为()2,0∵()2,1D -，()3,0B ∴1,DE BE BD ==∵90BED ∠=︒∴45EDB EBD ∠=∠=︒ ∴45CBO BDE ∠=∠=︒∴当PBD ∆与CAB ∆相似时，点P 在点D 的上方，并存在以下两种情况：1)BD BA DP BC==2n =∴()2,2P 2)BD BC DP BA ==13n =-∴12,3P ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 综上所述，当PBD ∆与CAB ∆相似时，点()2,2P 或12,3P ⎛⎫- ⎪⎝⎭．】练2. 如图，二次函数2y ax bx c =++的图像经过点()()()3,0,1,0,0,3A B C -.（1）求此函数的解析式；（2）用配方法（写出配方过程）将此函数化为()2y a x m k =++的形式，并写出其顶点坐标；（3）在线段AC 上是否存在点P （不含A 、C 两点），使ABP ∆与ABC ∆相似？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案：（1）由题意得：⎪⎩⎪⎨⎧==+-=++30039c c b a c b a ，解得：⎪⎩⎪⎨⎧==-=321c b a .∴此函数解析式为322++-=x x y .（2）322++-=x x y 13)12(2+++--=x x 4)1(2+--=x .∴顶点为14（，）. （3）假设存在点P ，使ABP ∆与ABC ∆相似， 则AP AB AC AB =或ABAPAC AB =.当APABAC AB =时，AC AP =.（不合题意，舍去） 当ABAPAC AB =时，328=AP .由题意易得直线AC 的解析式为：3+-=x y ， 设()3,+-x x P ，其中03x <<，则()()3283322=+-+-x x . 解得：317,3121==x x （舍去）. ∴⎪⎭⎫⎝⎛38,31P .】练3. 如图，已知梯形ABCD 中，AD BC //，AB BC ⊥，4AB =，5AD CD ==，3cot 4C ∠=．点P 在边BC 上运动（点P 不与点B 、点C 重合），一束光线从点A 出发，沿AP 的方向射出，经过BC 反射后，反射光线PE 交射线CD 于点E ．（1）当PE CE =时，求BP 的长度；（2）当点E 落在线段CD 上时，设BP x =，DE y =，试求y 与x 之间的函数关系，并写出其定义域；（3）联结PD ，若以点A 、P 、D 为顶点的三角形与PCE ∆相似，试求BP 的长度． 【答案：（1）根据已知，得8BC =，APB EPC ∠=∠ ∵PE CE =∴EPC C ∠=∠∴APB C ∠=∠ （方法一）∵34cot C ∠=∴43=AB BP ∵4AB =∴3BP =即3BP =时，PE CE = （方法二）∴AP DC //∴5PC AD == ∴3BP =即3BP =时，PE CE = （2）延长PE 与AD 的延长线交于点F ， ∵BP x =∴8PC x =-，2AF x =∵DE y = 5DC AD ==∴5EC y =- 25DF x =- ∵AF BC // ∴ECDE PC DF =即y yx x -=--5852 ∴()3525+-=x x y∵点E 在线段CD 上 ∴函数定义域为x ≤25<8 （3）∵AD BC //∴DAP APB ∠=∠， ∵APB EPC ∠=∠∴DAP EPC ∠=∠ 若APD ∆与PCE ∆，则有如下两种情况： （ⅰ）ADP C ∠=∠时，推出2BP =时，APD PEC ∆∆∽； （ⅰ）APD C ∠=∠时（法一）又∵ADP DPC ∠=∠∴APD DCP ∆∆∽A DBD（备用图）DA BEP∴PC AD PD ⋅=2∵()22254x PD -+=∴()()x x -=-+855162解得22152,1±=x ，经检验，均符合题意 故22152,1±=x 时，APD PCE ∆∆∽； ∴当BP 为2，2215±时，APD ∆与PCE ∆相似． （法二）过点D 作DH AP ⊥于点H ∵DAP APB ∠=∠∴ADAHAP BP AD DH AP AB ==, ∵224x AP += ∴22165,1620xx AH xDH +=+=∴2216516xx x HP +-+=∵34cot C ∠=∴43cot ==∠DH HP DPH 22216203165164x x x x +⋅=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+ 解得22152,1±=x 经检验，均符合题意 故22152,1±=x 时，APD PCE ∆∆∽； ∴当BP 为2，2215±时，APD ∆与PCE ∆相似．】课后小测验1.如图，抛物线215222y x x =-+-与x 轴相交于A 、B ，与轴相交于点C ，过点C 作CD x //轴，交抛物线于点D ． （1）求梯形ABCD 的面积；（2）若梯形ACDB 的对角线AC 、BD 交于点E ，求点E 的坐标，并求经过A 、B 、E 三点的抛物线的解析式；（3）点P 是射线CD 上一点，且PBC ∆与ABC ∆相似，求符合条件的P 点坐标．【答案：（1）10A （，）、40B （，）、02C -（，）、52D -（，）8ACDB S =梯形.由抛物线的对称性有25=E x 过E 作EN AB ⊥，83=+==CD AB AB BC BE OC EN ， 43=EN ，43-=E y ，53(,)24E -2153()324y x =-- （3）当点P 在C 的右侧，由题意有PCA BAC ∠=∠， 若AC ACPC AB=，即3PC =时，PAC BAC ∆∆∽；此时3CP =，32P -（，）； 若AC AB PC AC =，=时，PAC ABC ∆∆∽；此时203CP =，2023P -（，）．y。