初中数学相似三角形几何动点问题模型专题汇总

相似三角形的动点问题题型( 整理)相似三角形的动点问题一、动点型例 1、如图，已知等边三角形 ABC 中，点 D，E，F 分别为边 AB ，AC ，BC 的中点，M 为直线 BC 上一动点，△DMN 为等边三角形（点 M 的位置改变时，△ DMN 也随之整体移动）．（1）如图 1，当点 M 在点 B 左侧时，请你判断EN 与 MF 有怎样的数量关系？点 F 是否在直线NE 上？都请直接写出结论，不必证明或说明理由；（2）如图2，当点M 在BC 上时，其它条件不变，（1）的结论中 EN 与 MF 的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图 2 证明；若不成立，请说明理由；（3）若点 M 在点 C 右侧时，请你在图 3 中画出相应的图形，并判断（ 1）的结论中 EN 与 MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请直接写出结论，不必证明或说明理由．例 2、如图，在矩形 ABCD 中， AB=12cm ，BC=8cm ．点 E、F、G 分别从点 A、B、C 三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动．点 E、 G 的速度均为 2cm/s，点 F 的速度为 4cm/s，当点 F 追上点 G（即点 F 与点 G 重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第 t 秒时，△EFG 的面积为 S（cm2）（1）当 t=1 秒时， S 的值是多少？（2）写出 S 和 t 之间的函数解析式，并指出自变量 t 的取值范围（3）若点 F 在矩形的边 BC 上移动，当 t 为何值时，以点 E、B、F 为顶点的三角形与以点 F、C、G 为顶点的三角形相似？请说明理由．迁移应用1、如图，已知△ ABC 是边长为 6cm 的等边三角形，动点 P、Q 同时从 A、B 两点出发，分别沿AB、BC 匀速运动，其中点 P 运动的速度是 1cm/s，点 Q 运动的速度是2cm/s，当点 Q 到达点 C 时， P、 Q两点都停止运动，设运动时间为 t（s），（1）当 t＝2 时，判断△ BPQ 的形状，并说明理由；（2）设△ BPQ 的面积为 S（cm2），求 S 与 t 的函数关系式；（3）作 QR//BA 交 AC 于点 R，连结 PR，当 t 为何值时，△ APR∽△ PRQ？2、如图，在直角梯形A BCD 中， AB ∥DC，∠D=90o，AC⊥BC，AB=10cm,BC=6cm，F 点以2cm／秒的速度在线段 AB 上由 A 向 B 匀速运动，E 点同时以 1cm／秒的速度在线段 BC 上由 B 向 C 匀速运动，设运动时间为 t 秒(0<t<5) ．1）求证：△ ACD ∽△ BAC ；2）求： DC 的长；3）试探究：△BEF 可以为等腰三角形吗？若能，求 t 的值；若不能，请说明理由．3、如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC，∠B=90°，AD=6 ，BC=8 ， AB=3 3，点 M 是 BC 的中点．点 P 从点 M 出发沿 MB 以每秒 1 个单位长的速度向点B 匀速运动，到达点B 后立刻以原速度沿 BM 返回；点 Q 从点M 出发以每秒 1 个单位长的速度在射线 MC 上匀速运动．在点 P， Q的运动过程中，以 PQ 为边作等边三角形 EPQ，使它与梯形ABCD 在射线 BC 的同侧．点 P，Q 同时出发，当点 P 返回到点 M 时停止运动，点Q 也随之停止．设点P，Q 运动的时间是t 秒（t ＞0）．（1）设 PQ 的长为 y，在点 P 从点 M 向点 B 运动的过程中，写出 y 与 t 之间的函数关系式（不必写 t 的取值范围）；（2）当 BP=1 时，求△ EPQ 与梯形 ABCD 重叠部分的面积；（3）随着时间 t 的变化，线段 AD 会有一部分被△ EPQ 覆盖，被覆盖线段的长度在某个时刻会达到最大值，请回答：该最大值能否持续一个时段？若能，直接写出 t 的取值范围；若不能，请说明理由．二、动点加动线例 1、如图，在 Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3 ，AB=5 ．点 P 从点 C 出发沿 CA 以每秒 1 个单位长的速度向点A 匀速运动，到达点A 后立刻以原来的速度沿 AC 返回；点 Q 从点 A 出发沿 AB 以每秒1 个单位长的速度向点B 匀速运动．伴随着P、Q 的运动， DE 保持垂直平分 PQ，且交PQ 于点 D，交折线Q同时出发，当点P也随之停止．设点QB-BC-CP 于点 E．点 P、Q 到达点 B 时停止运动，点P、Q 运动的时间是 t 秒（t＞0）．（1）当 t=2 时，AP=，点Q到AC的距离是；（2）在点P 从 C 向 A 运动的过程中，求△APQ 的面积S 与t 的函数关系式；（不必写出t 的取值范围（3）在点 E 从 B 向 C 运动的过程中，四边形QBED 能否成为直角梯形？若能，求 t 的值．若不能，请说明理由；（4）当 DE 经过点 C 时，请直接写出t 的值．迁移应用1、如图，已知矩形 ABCD 的边长 AB=3cm ，BC=6cm ．某一时刻，动点 M 从 A 点出发沿 AB 方向以 1cm/s 的速度向 B 点匀速运动；同时，动点N 从 D 点出发沿 DA 方向以 2cm/s 的速度向 A 点匀速运动，问：是否存在时刻 t，使以 A 、M 、 N 为顶点的三角形与△ ACD 相似？若存在，求 t的值．2、如图，正方形 ABCD 的边长为 4，E 是 BC 边的中点，点 P 在射线 AD 上，过 P 作 PF⊥AE于 F．（1）求证：△ PFA∽△ ABE ；（2）当点 P 在射线 AD 上运动时，设 PA=x，是否存在实数 x，使以 P，F，E 为顶点的三角形也与△ ABE相似？若存在，请求出 x 的值；若不存在，说明理由．3、如图，已知 A（8，0），B（0，6），两个动点P、Q 同时在△ OAB 的边上按逆时针方向（→ O →A→B→O→）运动，开始时点 P 在点 B 位置，点 Q 在点 O 位置，点 P 的运动速度为每秒 2 个单位，点 Q 的运动速度为每秒 1 个单位．（1）在前 3 秒内，求△ OPQ 的面积 S 与时间 t 之间的关系式；并求出△ OPQ 的最大面积；（2）在前 10 秒内，秋 P、Q 两点之间的最小距离，并求此时点 P、Q 的坐标；（3）在前 15 秒内，探究 PQ 平行于△ OAB 一边的情况，并求平行时点P、Q 的坐标．yBO A x4、已知：如图，在平面直角坐标系中，△ ABC 是直角三角形，∠ ACB ，点 A、C 的坐标分别为A(-3,0) ，C(1,0)，BC AC34,（1）求过点 A 、B 的直线的函数表达式；（2）在 X 轴上找一点 D,连接 DB ，使得△ ADB与△ ABC 相似（不包括全等），并求点 D 的坐标；（3）在（ 2）的条件下，如 P、Q 分别是 AB 和AD 上的动点，连接 PQ，设y B AP=DQ=m ，问是否存在这样的 m使得△ APQ 与△ ADB 相似，如存A O C x在，请求出 m 的值；如不存在，请说明理由．145、如图，四边形 OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点 A 在 x 轴上，点 C 在 Y 轴上，将边 BC 折叠，使点 B 落在边 OA 的点 D 处．已知折叠 CE= 5 5，且EA 3DA 4（1）判断 OCD 与△ ADE 是否相似？请说明理由；（2）求直线 CE 与 x 轴交点 P 的坐标；（3）是否存在过点 D 的直线 L ，使直线 L 、直线 CE 与 x 轴所围C yB成的三角形和△ CDE 相似？如 E 果存在，请直接写出其解析式并O D A x 画出相应的直线；如果不存在，请说明理由．6、△ ABC 中， AB=AC=5 ，BC=6 ，点 P 从点 B 开始沿 BC 边以每秒 1 的速度向点 C 运动，点 Q 从点 C 开始沿 CA 边以每秒 2 的速度向点 A 运动，DE 保持垂直平分 PQ，且交 PQ 于点 D，交BC 于点 E．点 P，Q 分别从 B，C 两点同时出发，当点 Q 运动到点 A 时，点 Q、p 停止运动，设它们运动的时间为 x．1）当 x=秒时，射线DE经过点C；2）当点 Q 运动时，设四边形 ABPQ 的面积为 y，求 y 与 x 的函数关系式；3）当点 Q 运动时，是否存在以P、Q、C 为顶点的三角形与△ PDE 相似？若存在，求出 x 的值；若不存在，请说明理由．7、如图，梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB=CD=20cm ，AD=40cm ，∠ D=120°，点 P、Q 同时从 C 点出发，分别以 2cm/s 和 1cm/s 的速度沿着线段 CB 和线段 CD 运动，当 Q 到达点 D，点 P 也随之停止运动．设运动时间为 t（s）（1）当 t 为何值时，△ CPQ 与△ ABP 相似；（2）设△APQ 与梯形 ABCD 重合的面积为 S，求 S 与t的函数关系式，写出自变量的取值范围．8、如图，直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，∠DAB=90 °， AD=2DC=4 ，AB=6 ．动点 M 以每秒 1 个单位长的速度，从点 A 沿线段 AB 向点 B运动；同时点 P 以相同的速度，从点 C 沿折线 C-D-A 向点 A 运动．当点 M 到达点 B 时，两点同时停止运动．过点 M 作直线 l ∥AD ，与线段 CD 的交点为 E，与折线 A-C-B 的交点为 Q．点 M 运动的时间为 t（秒）．（1）当 t=0.5 时，求线段 QM 的长；（2）当 0＜t＜2 时，如果以 C、P、Q 为顶点的三角形为直角三角形，求t 的值；（3）当 t＞2 时，连接 PQ 交线段 AC 于点 R．请探究CQ是否为定值，若是，试求这个定值；若不RQ是，请说明理由．9、如图 1，直角梯形 ABCD 中，∠ A=∠B=90°，AD=AB=6cm ，BC=8cm ，点 E 从点 A 出发沿AD 方向以 1cm/s 的速度向中点 D 运动；点 F 从点 C 出发沿 CA 方向以 2cm/s 的速度向终点 A 运动，当点 E、点 F 中有一点运动到终点，另一点也随之停止．设运动时间为 ts．（1）当 t 为何值时，△ AEF 和△ ACD 相似？（2）如图 2，连接 BF，随着点 E、F 的运动，四边形 ABFE 可能是直角梯形？若可能，请求出t 的值及四边形 ABFE 的面积；若不能，请说明理由；（3）当 t 为何值时，△ AFE 的面积最大？最大值是多少？10、如图，在平面直角坐标系中．四边形OABC 是平行四边形．直线 l 经过 O、C 两点．点 A 的坐标为（8，0），点B 的坐标为（11，4），动点P 在线段 OA 上从点 O 出发以每秒 1 个单位的速度向点 A 运动，同时动点 Q 从点 A 出发以每秒2 个单位的速度沿 A→B→C 的方向向点 C 运动，过点 P 作 PM 垂直于 x 轴，与折线 O 一 C-B 相交于点 M ．当 P、Q 两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点 P、Q 运动的时间为 t 秒（ t＞0）．△ MPQ 的面积为 S．（1）点 C 的坐标为，直线l 的解析式为。

专题12难点探究专题：相似三角形中动点问题压轴题六种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【考点一相似三角形动点中求时间多解问题（利用分类讨论思想）】 (1)【考点二相似三角形动点中求线段长多解问题（利用分类讨论思想）】 (2)【考点三相似三角形动点中求线段及线段和最值问题】 (4)【考点四相似三角形中的动点问题与函数图像问题】 (5)【考点五相似三角形中的动点问题与几何综合问题】 (7)【考点六相似三角形中的动点探究应用问题】 (9)【典型例题】【考点一相似三角形动点中求时间多解问题（利用分类讨论思想）】【变式训练】1．（2023秋·安徽安庆·九年级统考期末）如图，在钝角A出发运动到点B停止，动点E运动的速度为2cm/s．如果两点同时运动，那么当以点2．（2023·上海·九年级假期作业）如图，米/秒的速度同时开始运动，其中点直移动到点A为止．经过多长时间后，3．（2022·辽宁·灯塔市第一初级中学九年级期中）如图，在平面直角坐标系内，已知点0），动点P从点A开始在线段段BA上以每秒2个单位长度的速度向点(1)当t为何值时，△APQ与△AOB相似？(2)当t为何值时，△APQ的面积为24 5【考点二相似三角形动点中求线段长多解问题（利用分类讨论思想）】【变式训练】2．（2023春·江苏无锡·八年级宜兴市实验中学校考阶段练习）如图，在矩形连接BD，点M，N分别是边BC，终落在BD上，当PBM为直角三角形时，线段3．（2023·江苏盐城·校考一模）如图，在动点，过点E作DE⊥为等腰三角形时，当BCF4．（2023·山东济宁·统考一模）如图，在矩形点P是直线BC上的一个动点．若【考点三相似三角形动点中求线段及线段和最值问题】【变式训练】1．（2023·江苏苏州AE翻折得AFE△连接PF，则PQ2．（2023·湖北襄阳·统考模拟预测）如图，矩形△M，连接EM、BM，将BEM为．3．（2023春·安徽·九年级专题练习）如图，在正方形，上的动点，且BEG是AB CD为．4．（2023·江苏南通·统考三模）点C 的坐标为()0,3上一点，且3AQ PQ =【考点四相似三角形中的动点问题与函数图像问题】例题：（2023春·河南安阳·九年级统考期末）如图，正方形ABCD 一边AB 在直线l 上，P 是直线l 上点A 左侧的一点，24AB PA ==，E 为边AD 上一动点，过点P ，E 的直线与正方形ABCD 的边交于点F ，连接BE BF ，，若设DE x =，BEF △的面积为S ，则能反映S 与x 之间函数关系的图象是（）A ．B ．．．2023·山西运城·统考二模）如图中，36B ∠=︒，动点P 速运动至点C 停止．点P 的运动速度为，设点P 的运动时间为t （函数图像如图2所示．当AP 时，BP 的长为（）A ．252+B ．425-C ．4+2．（2023·河南焦作·统考二模）如图，在Rt ABC △中，过点P 作直线l AB ⊥，交折线ACB 于点Q ．设AP x =A ．．．．2023·安徽合肥·校联考二模）如图，在正方形ABCD 中，1AB =，动点P 从A 点出发沿和BC 上匀速移动，连接DP 交BC 或BC 的延长线于Q ，记点移动的距离为x ，的函数图像大致是（）A ．B ．C ．D ．4．（2023·黑龙江·模拟预测）如图，已知直线l 是线段AB 的中垂线，l 与AB 相交于点C ，D 是位于直线AB 下方的l 上的一动点（点D 不与点C 重合），连接AD BD ，，过点A 作AE BD ∥，过点B 作BE AE ⊥于点E ，若6AB =，设AD x =，AE y =，则y 关于x 的函数关系用图像可以大致表示为（）．A ．B ．C ．D ．【考点五相似三角形中的动点问题与几何综合问题】例题：（2023春·山东济宁·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，矩形OABC 的两边分别在x 轴和y 轴上，点B 的坐标为()12,8，现有两动点P ，Q ，点P 以每秒3个单位的速度从点O 出发向终点A 运动，同时点Q 以每秒2个单位的速度从点A 出发向终点B 运动，连接PC ，PQ ，CQ ．设运动时间为t 秒()0t >．(1)点P 的坐标为______，点Q 的坐标为______（用含t 的代数式表示）；(2)请判断四边形APCQ 的面积是否会随时间t 的变化而变化，并说明理由；(3)若A ，P ，Q 为顶点的三角形与OCP △相似时，请求出t 的值．【变式训练】(1)BM =________；BN =__________．(2)若BMN 与ABC 相似，求t 的值；(3)连接AN CM ，，如图2，若AN CM ⊥BC=，点E是AD边上的一个动点，以CE为边在CE的右（2）如图2，四边形ABCD是矩形，2AB=，4CG CE=，连接DG，BE．判断线段DG与BE，有怎样的数量关系和位置关系，侧作矩形CEFG，且:1:2并说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，点E是从点A运动D点，则点G的运动路径长度为______；+的最小值为______．（4）如图3，在（2）的条件下，连接BG，则2BG BE【考点六相似三角形中的动点探究应用问题】【变式训练】【基础巩固】（1）参照小慧提供时思路，利用图（2）请证明上述结论；（2）A 、B 、C 、是同一直线l 上从左到右顺次的点，点P 是直线外一动点，【尝试应用】①若2AB =，1BC =，延长AB 至D ，使CD BC =【拓展提高】②拓展：若AB m =，BC n =，()m n ≠，P 点在长为___________（用含m 、n 的式子表示）．。

相似三角形的动点问题一、动点型例1如图，已知等边三角形ABC中，点D, E, F分别为边AB , AC, BC的中点，M为直线BC上一动点，△ DMN为等边三角形(点M的位置改变时，△ DMN也随之整体移动).(1)如图1,当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？点F是否在直线NE 上？都请直接写出结论，不必证明或说明理由；(2)如图2,当点M在BC上时，其它条件不变，(1 )的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；(3)若点M在点C右侧时，请你在图3中画出相应的图形，并判断(1)的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请直接写出结论，不必证明或说明理由.例2、如图，在矩形ABCD中，AB=12cm , BC=8cm .点E、F、G分别从点A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动. 点E、G的速度均为2cm/s,点F的速度为4cm/s, 当点F追上点G (即点F与点G重合)时，三个点随之停止移动.设移动开始后第t秒时，△ EFG的面积为S ( cm2)(1 )当t=1秒时，S的值是多少？(2)写出S和t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围(3)若点F在矩形的边BC上移动，当t为何值时，以点E、B、为顶点的三角形与以点F、C、G 为顶点的三角形相似？请说明理由.圜②图③迁移应用1如图，已知△ ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q 到达点C 时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t( s),(1 )当t= 2时，判断△ BPQ的形状，并说明理由；(2 )设厶BPQ的面积为S (cm2)，求S与t的函数关系式；(3)作QR//BA交AC于点R,连结PR,当t为何值时，△ APR s^ PRQ?2、如图，在直角梯形ABCD 中，AB // DC，/ D=90o, AC丄BC, AB=10cm,BC=6cm, F 点以2cm/秒的速度在线段AB上由A向B匀速运动，E点同时以1cm/秒的速度在线段BC 上由B向C匀速运动，设运动时间为t秒(0<t<5).1) 求证：△ ACD BAC;2) 求：DC的长；3) 试探究：△ BEF可以为等腰三角形吗？若能，求t的值；若不能，请说明理由.3、如图，在直角梯形ABCD 中，AD // BC,/ B=90° , AD=6 , BC=8 , AB=3 . 3，点M是BC的中点.点P从点M出发沿MB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，到达点B后立刻以原速度沿BM返回；点Q从点M出发以每秒1个单位长的速度在射线MC上匀速运动.在点P，Q的运动过程中，以PQ为边作等边三角形EPQ，使它与梯形ABCD在射线BC的同侧.点P, Q同时出发，当点P返回到点M时停止运动，点Q也随之停止.设点P, Q运动的时间是t秒(t > 0)(1 )设PQ的长为y，在点P从点M向点B运动的过程中，写出y与t之间的函数关系式 (不必写t 的取值范围)；(2)当BP=1时，求△ EPQ与梯形ABCD重叠部分的面积;(3)随着时间t的变化，线段AD会有一部分被△ EPQ覆盖, 刻会达到最大值，请回答：该最大值能否持续一个时段？若能，直接写出t的取值范围；若不能，请说明理由.、动点加动线例1、如图，在Rt△ABC中，/ C=90 ° , AC=3 , AB=5 .点P从点C出发沿CA以每秒1 个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A 出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动.伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ,且交PQ于点D,交折线QB-BC-CP于点E.点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止.设点P、Q运动的时间是t秒(t> 0).(1 )当t=2时，AP= __________ ，点Q到AC的距离是 ___________________ ;(2)在点P从C向A运动的过程中，求△ APQ的面积S与t的函数关系式；(不必写出t 的取值范围(3)在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形？若能，求t的值.若不能，请说明理由;迁移应用1、如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm , BC=6cm .某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s 的速度向A点匀速运动，问：是否存在时刻t，使以A、M、N为顶点的三角形与△ ACD相似？若存在，求t的值. (4)当DE经过点C时，请直接写出t的值.2、如图，正方形 ABCD 的边长为4, E 是BC 边的中点，点 P 在射线AD 上，过P 作PF 丄 AE 于 F .(1) 求证：△ PFAABE ;(2) 当点P 在射线AD 上运动时，设PA=x ，是否存在实数x ，使以P , F , E 为顶点的三角 3、如图，已知 A (8, 0), B (0, 6)，两个动点 P 、Q 同时在△ OAB 的边上按逆时针方 向(T O f A T B T O f)运动，开始时点 P 在点B 位置，点Q 在点O 位置，点P 的运动速 度为每秒2个单位，点Q 的运动速度为每秒1个单位.(1) 在前3秒内，求△ OPQ 的面积S 与时间t 之间的关系式；并求出△ OPQ 的最大面积；(2) 在前10秒内，秋P 、Q 两点之间的最小距离，并求此时点 P 、Q 的坐标；(3) 在前15秒内，探究PQ 平行于△ OAB —边的情况，并求平行时点 P 、Q 的坐标.4、已知：如图，在平面直角坐标系中，△ ABC 是直角三角形，/ ACB ，点A 、C 的坐标分 (1) 求过点A 、B 的直线的函数表达式;(2) 在X 轴上找一点D,连接DB ,使得△ ADB 与厶ABC 相似(不包括全等)，并求点形也与△ ABE 相似？若存在，请求出x 的值;若不存在，说明理由.SEC别为 A(-3,0) , C(1,O), BC 3AC 4x的坐标；(3)在(2)的条件下，如P、Q分别是AB和AD上的动点，连接PQ,设AP=DQ=m，问是否存在这样的m使得△ APQ与厶ADB相似，如存在，请求出m的值；如不存在，请说明理由.OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点A在x轴上，点BC折叠，使点B落在边OA的点D处.已知折叠CE= 5 5，且-EA5、如图，四边形在Y轴上，将边DA (1) 判断OCD与厶ADE是否相似？请说明理由;(2) 求直线CE与x轴交点P的坐标;(3) 是否存在过点D的直线L ,使直线L、直线CE与x轴所围成的三角形和△ CDE相似?如果存在，请直接写出其解析式并画出相应的直线；如果不存在，请说明理由.6、A ABC中，AB=AC=5 , BC=6，点P从点B开始沿BC边以每秒1的速度向点C运动，点Q从点C开始沿CA边以每秒2的速度向点A运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交BC于点E.点P, Q分别从B, C两点同时出发，当点Q运动到点A时，点Q、p停止运动，设它们运动的时间为x.1) ____________ 当x= 秒时，射线DE经过点C;2) 当点Q运动时，设四边形ABPQ的面积为y,求y与x的函数关系式;3) 当点Q运动时，是否存在以的P、Q、C为顶点的三角形与△ PDE相似？若存在，求出值；若不存在，请说明理由.7、如图，梯形ABCD 中，AD // BC, AB=CD=20cm , AD=40cm，/ D=120 °，点P、Q 同时从C点出发，分别以2cm/s和1cm/s的速度沿着线段CB和线段CD运动，当Q到达点D, 点P也随之停止运动.设运动时间为t (s)(1 )当t为何值时，△ CPQ与厶ABP相似；(2)设厶APQ与梯形ABCD重合的面积为S,求S与t的函数关系式，写出自变量的取值范围.8、如图，直角梯形ABCD 中，AB // DC,/ DAB=90 ° , AD=2DC=4 , AB=6 .动点M 以每秒1个单位长的速度，从点A沿线段AB向点B运动；同时点P以相同的速度，从点C沿折线C-D-A向点A运动.当点M到达点B时，两点同时停止运动. 过点M作直线I // AD , 与线段CD的交点为E,与折线A-C-B的交点为Q.点M运动的时间为t (秒)(1 )当t=0.5时，求线段QM的长；(2)当O v t V2时，如果以C、P、Q为顶点的三角形为直角三角形，求t的值;CQ(3) 当t>2时，连接PQ交线段AC于点R.请探究—Q是否为定值，若是，试求这个定RQ值；若不是，请说明理由.DE PC卫眩B9、如图1,直角梯形ABCD 中，/ A= / B=90° , AD=AB=6cm , BC=8cm，点E 从点A 出发沿AD方向以1cm/s的速度向中点D运动；点F从点C出发沿CA方向以2cm/s的速度11向终点A运动，当点E、点F中有一点运动到终点，另一点也随之停止.设运动时间为ts.(1 )当t为何值时，△ AEF和厶ACD相似？(2)如图2,连接BF，随着点E、F的运动，四边形ABFE可能是直角梯形？若可能，请求出t的值及四边形ABFE的面积；若不能，请说明理由；(3)当t为何值时，△ AFE的面积最大？最大值是多少？11, 4)，动点P在线段OA上从点O出发以每秒1 10、如图，在平面直角坐标系中.四边形OABC是平行四边形•直线I经过0、C两点.点A的坐标为(8, 0),点B的坐标为(12个单位的速度向点A运动，同时动点Q从点A出发以每秒2个单位的速度沿A T C的方向向点C运动，过点P作PM垂直于x轴，与折线0 —C-B相交于点M .当P、Q两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点P、Q运动的时间为t秒(t> 0).^MPQ的面积为S.(1 )点C的坐标为__________________ ，直线l的解析式为________________________ 。

中考数学几何专项——相似模型(相似三角形)相似模型相似模型一：A字型特征：DE∥BC模型结论：根据A字型相似模型，可以得出以下结论：C∠B=∠XXXAC²=AD×AB相似模型二：X型特征：AC∥BD模型结论：根据X型相似模型，可以得出以下结论：AO×OB=OC×ODBOC∽△DOACAOC∽△DOB相似模型三：旋转相似特征：成比例线，段共端点模型结论：根据旋转相似模型，可以得出以下结论：BEF∽△BCDDEF∽△DABAEB∽△DEC相似模型四：三平行模型特征：AB∥EF∥CD模型结论：根据三平行模型，可以得出以下结论：ABE∽△CDF相似模型五：半角模型特征：90度，45度；120度，60度模型结论：根据半角模型，可以得出以下结论：ABN∽△MAN∽△MCAABD∽△CAE∽△CBA相似模型六：三角形内接矩形模型特征：矩形EFGH或正方形EFGH内接与三角形模型结论：根据三角形内接矩形模型，可以得出以下结论：ABC∽△EFH相似模型七：十字模型特征：正方形HDGB模型结论：根据十字模型，可以得出以下结论：若AF=BE，则AF⊥BE，且为长方形若AF⊥BE，则AF=BEBDBC平行四边形，且△GME∽△HNF，△MED≌△BFA。

下面给出几个几何问题。

1.在△ABC中，AB＝AC，且有以下七个结论：①D为AC中点；②AE⊥BD；③BE：EC＝2：1；④∠ADB＝∠CDE；⑤∠AEB＝∠CED；⑥∠BMC＝135°；⑦BM：MC＝2：1.求AC和CD的比值。

2.在平行四边形ABCD中，AB∥CD，线段BC，AD相交于点F，点E是线段AF上一点且满足∠BEF=∠C，其中AF=6，DF=3，CF=2，求AE的长度。

3.在Rt△ABD中，过点D作CD⊥BD，垂足为D，连接XXX于点E，过点E作EF⊥BD于点F，若AB=15，CD=10，求4.在□ABCD中，E为BC的中点，连接AE，AC，分别交BD于M，N，求5.在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AD，BC相交于点E，过E作EF∥AB交BD于点F。

相似三角形提高一、相似三角形动点问题∥AC．动点D从点A出1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BB1发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF⊥AC交射线BB1于F，G是EF中点，连接DG．设点D运动的时间为t秒．（1）当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度；（2）当△DEG与△ACB相似时，求t的值．2.如图，在△ABC中， ABC＝90°，AB=6m，BC=8m，动点P以2m/s的速度从A点出发，沿AC 向点C移动．同时，动点Q以1m/s的速度从C点出发，沿CB向点B移动．当其中有一点到达终点时，它们都停止移动．设移动的时间为t秒．（1）①当t=2.5s时，求△CPQ的面积；②求△CPQ的面积S（平方米）关于时间t（秒）的函数解析式；（2）在P，Q移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形时，求出t的值．3.如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在边AB上运动，DE平分∠CDB 交边BC于点E，EM⊥BD，垂足为M，EN⊥CD，垂足为N．（1）当AD＝CD时，求证：DE∥AC；（2）探究：AD为何值时，△BME与△CNE相似？4.如图所示，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm 的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，当P点到达B点时，Q点随之停止运动．设运动的时间为x．（1）当x为何值时，PQ∥BC？（2）△APQ与△CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能说明理由．5.如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从A开始向点B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0＜t＜6）。

已知N1=N2 结论：AADE S AABC模型浅析如图，在相似三角形的判定中，我们通过做平行线，从而得出A 型或8型相似.在做题使，我们也常常关注题 目由平行线所产生的相似三角形.模型题源【例1】如图，在ABC 中，中线AF 、BD 、CE 相交于点。

，求证:模型1: 4、 8模型相似模型OF _OE OD \加一五一下一5DE 1证法一：如图①，连接。

£七是中点，，——=一.，DE//BCBC 2OF DF 1OF I•••△EODsacoB（8 模型）.••& = &!=2.同理：—=1OC BC 2 OA 2• OF _OE _OD _1GF BF 1 证法二：如图②，过尸作"V/AC 交8。

于点G, ••加是中点，； ------ =——=-AD BC 2QF 1•；AD=CD,:.——=一・•:FG"AD, •二△G 。

/（8 模型）AD 2OF GF 1 lXi OE 1 OD 1 . OF OE OD 1 OAAD 2 OC2OB2 OAOCOB2【例2】如图，点从厂分别在菱形A8C 。

的边AB 、AO 上，且AE=O 凡BF 交DE 于点、G,延长斯交C 。

的延长AF 线于H,若——=2,DF••市一无一方一天图②求器的值.解答：:四边形A8CQ是菱形，：.AB^=BC=CD=AD.设。

/=小则OF=AE=a, AF=EB=2a. 9：HD//AB, MHFDsABFAHD DF ■ —AB AF HFFB1=一,••HD = 1.5a, 2FHBH1=-93：.FH1= -BH 3■:HD”EB,：.△DGHs NGB,：-------- =GBHDEB\.5a2a_3=-9 4.BGHB4-7练习:1 .如图，D 、上分别是△ABC 的边AB 、8C 上的点，且DE 〃AC, AE,。

相交于点0,若S ：： S^COA =1： 25.则 S/.BD E 与Szxc 的比是.DE 1解答：VDE//AC, AADOE^ACOA,又 S SOE ： S^COA = 1： 25,； -------- -AC 52 .如图所示，在248CO 中，G 是8c 延长线上的一点，AG 与BD 交于点、E,与OC 交于点F,此图中的相似三 角形共有对.解：：四边形ABCD 是平行四边形，，AD 〃BC, AB//CD，(1) AABD^ACDB ： (2) AABE^AFDE ； (3) A AED ^A GEB ：(4) AABG^AFCG^AFDA,可以组成3对相似三角形.，图形中一共有6对相似三角形.3.如图，在aABC 中，中线8。

∴ CDE
OCD
C． E
又 AB 6 ， AC 2 5 ， CD 5
OC 2 ， OD 1
B
易得 OCD ∽ OAC ∴ OCD
OAC ，
从而 CDE OAC
若以点 C、 D、E 为顶点的三角形与 ABC 相似
则有以下两种情况：
．
O 1D
．
Ax
DE DC
DE
ⅰ ）当
时，即
AC AB
25
5
，解得：
DE
的两个三角形相似时，对等角的夹边作讨论的题型，简称
S.A.S 型 .
题型分为横竖型和斜线型两大类：
横竖型：动点在平行于坐标轴的直线上；斜线型：动点在倾斜的直线上
.
（等角类型分为锐角、钝角；等角的位置有公共角、对顶角、内错角等，还可通过三
角比的计算得到等角 .）
注： 求斜线上的点坐标方法可以采用代数方法 （两点间距离公式） ，还可以用几何方法
2
2
即所求函数解析式为 y
1 x2
3x
5 ．定义域为
1
x
5．
2
2
（ 3） ∵ 四边形 AFPG 是矩形， ∴ PG AF
2 (5
x) ．
2
由 FPM
GPM 135 ，可知，当 PMF 与 PMG 相似时，有两种情况：
PFM
PGM 或 PFM
PMG ．
（ ⅰ ）如果 PFM
PGM ，那么 PF PM ．即得 PF PG ． PG PM
（ 3）如果点 P 在直线 AB 上，且 POB 与 BCD 相似，求点 P 的坐标．
y
B A1
-1 O 1
x
-1

相似三角形中的动点问题【典例1】如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，动点P从点A开始以每秒2个单位长度沿AB向终点B运动，同时，动点Q从点C开始沿C−D−A以每秒3个单位长度向终点A运动，它们同时到达终点．连接PQ交AC于点E．过点E作EF⊥PQ，交直线CD于点F．（1）当点Q在线段CD上时，求证：CEAE =32．（2）当DQ=1时，求△APE的面积．（3）在P，Q的运动过程中，是否存在某一位置，使得以点E，F，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求BP的长；若不存在，请说明理由．（1）证明△CQE∽△APE（2）①当点Q在CD上时，如图1，CQ=CD−DQ=3．过点E作AB的垂线交AB于点M，交CD于点N．②当点Q在AD上时，如图2，作EM⊥AB于点M，设EM=ℎ，再利用相似三角形的性质求解三角形的高，再利用面积公式计算即可；（3）分三种情况讨论：①当点Q在CD上时，设CQ=3t，则AP=2t，若点F在Q的右侧，如图3，当△FEQ∽△ABC，则∠1=∠2，作PH⊥CD于点H，而∠B=∠PHQ=90°，∴△ABC∽△PHQ，则PHQH =ABBC=2，从而可得答案；若点F在Q的左侧，如图4，△FEQ∽△ABC，点F与点C重合，从而可得答案；②当点Q在AD上时，如图5，△FEQ∽△ABC，EFEQ =BABC=2，∠FEG=∠B=90°，作EN⊥CD于点N，EG⊥AD于点G．，则∠NEQ=90°，再结合相似三角形的性质建立方程可得答案．（1）当点Q在线段CD上时，由题意可得：AB∥CD，CQ=3t，AP=2t，∴△CQE∽△APE，∴CE AE =CQAP=32．（2）①当点Q在CD上时，如图1，CQ=CD−DQ=3．过点E作AB的垂线交AB于点M，交CD于点N．由CQAP =V点QV点P=32，得AP=2．由△CQE∽△APE，得ENEM =CEAE=32，∴EM=25MN=45，∴S△APE=12AP⋅EM=12×2×45=45．②当点Q在AD上时，如图2，作EM⊥AB于点M，设EM=ℎ．AQ=AD−DQ=1，AP=23(CD+DQ)=103．同理：△AME∽△ABC，∴EM AM =BCAB=12，∴AM=2EM=2ℎ．同理：△PME∽△PAQ，得EMPM =AQPA=1103=310，∴PM=103EM=103ℎ．∴AP=PM+AM=103ℎ+2ℎ=103，解得ℎ=58，∴S△APE=12AP⋅EM=12×103×58=2524．∴△APE 的面积为45或2524．（3）①当点Q 在CD 上时，设CQ =3t ，则AP =2t ．若点F 在Q 的右侧，如图3，当△FEQ∽△ABC ，则∠1=∠2．作PH ⊥CD 于点H ，而∠B =∠PHQ =90°， ∴△ABC ∽△PHQ ，则PHQH =ABBC =2， ∴QH =12PH =1．∵HD =AP =2t ，∴CD =CQ +QH +HD =3t +1+2t =4， 解得t =35．∴BP =4−2t =4−65=145．若点F 在Q 的左侧，如图4，△△ABC ，点F 与点C 重合．∵AC =√AB 2+BC 2=√42+22=2√5， 又∵CEAE =32 ∴AE =25AC =4√55． ∵由△FEQ∽△ABC 结合对顶角可得：∠AEP =∠B =90°，而∠PAE =∠BAC ， ∴△AEP∽△ABC ，∴AE AB =APAC ，即4√554=2√5，则AP =2，∴BP =AB −AP =2．②当点Q 在AD 上时，如图5，△FEQ∽△ABC ，EFEQ =BABC =2，∠FEG =∠B =90°， 作EN ⊥CD 于点N ，EG ⊥AD 于点G ．，则∠NEQ =90°，由∠FEQ =∠NEG =90°，得∠FEN =∠QEG ， ∴Rt △FEN∽Rt △QEG ， ∴ENEG =EFEQ =2． 同理可得：AGEG =BCAB=12， 设AG =k ，则EG =2AG =2k ，EN =2EG =4k ． ∴DG =EN =4k ，AD =AG +DG =5k ， 由AD =2，得5k =2，k =25， ∴AG =25，EG =45． 由题意，AQ BP =V 点Q V 点P=6−3t 4−2t=32，设AQ =3x ，则BP =2x ，AP =4−2x ，QG =AQ −AG =3x −25， 由△QGE∽△QAP ，得EGAP =QGQA ，即454−2x =3x−253x，化简，得15x 2−26x +4=0， 解得x 1=13+√10915（舍去），x 2=13−√10915．∴BP =2x =26−2√10915． 综上所述，BP 的长为145或2或26−2√10915．1．（2023秋·江苏常州·九年级常州市第二十四中学校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为(20,0)和(0,15)，动点P从点A出发在线段AO上以每秒2cm的速度向原点O运动，动直线EF从x轴开始以每秒1cm的速度向上平行移动(即EF∥x轴)，分别与y轴、线段AB交于点E、F，连接EP、FP，设动点P与动直线EF同时出发，运动时间为t秒．（1）求t=9时，△PEF的面积；（2）直线EF、点P在运动过程中，是否存在这样的t使得△PEF的面积等于40cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由；（3）当t为何值时，△EOP与△BOA相似．【思路点拨】（1）由于EF//x轴，则S△PEF=12⋅EF⋅OE,t=9时，OE=9，关键是求EF.易证△BEF∽△BOA，则EFOA=BEBO，从而求出EF的长度，得出△PEF（2）假设存在这样的t，使得△PEF的面积等于40cm2，则根据面积公式列出方程，由根的判别式进行判断，得出结论；（3）如果△EOP与△BOA相似，由于∠EOP=∠BOA=90°，则只能点O与点O对应，然后分两种情况分别讨论：①点P与点A对应；②点P与点B对应．即可得解．【解题过程】（1）∵EF//OA，∴∠BEF=∠BOA又∵∠B=∠B，∴△BEF∽△BOA，∴EFOA =BEBO，当t=9时，OE=9，OA=20，OB=15，BE=OB−OE=15−9=6，∴EF=20×615=8，∴S△PEF=12EF⋅OE=12×8×9=36(cm2)；（2）不存在．理由：∵△BEF∽△BOA，∴EF=BE⋅OABO =(15−t)⋅2015=43(15−t)，∴12×43(15−t)×t=40，整理，得t2−15t+60=0，∵△=152−4×1×60<0，∴方程没有实数根．∴不存在使得△PEF的面积等于40cm2的t值；（3）当∠EPO=∠BAO时，△EOP∽△BOA，∴OPOA =OEOB，即20−2t20=t15，解得t=6；当∠EPO=∠ABO时，△EOP∽△AOB，∴OPOB =OEOA，即20−2t15=t20，解得t=8011．∴当t=6s或t=8011s时，△EOP与△BOA相似．2．（2022·四川·九年级专题练习）如图1，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm．某一时刻，动点M从点A出发，沿AB以1cm/s的速度向点B匀速运动：同时点N从点D出发，沿DA方向以2cm/s的速度向点A匀速运动，点N运动到点A时停止运动，运动时间为t．（1）若△AMN是等腰直角三角形，则t=___________（直接写出结果）．（2）是否存在时刻t，使以A、M、N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求t的值，若不存在，请说明理由．（3）如图2，连接CN 、CM ，试求CN +2CM 的最小值． 【思路点拨】（1）根据题意可知只有AM =AN 时，△AMN 是等腰直角三角形，再根据题意可用t 表示出AM =t ，AN =6−2t ，列出等式，解出t 即可；（2）分类讨论①当△ACD ∼△NMA 时和②当△CAD ∼△NMA 时，列出比例式，代入数据，即可求解； （3）取CN 中点E ，作E 点关于CD 的对称点E ′，连接CE ′．作M 点关于BC 的对称点M ′，连接CM ′，E ′M ′．根据作图可知CE ′=CE ，CM ′=CM ，即可知当CE ′+CM ′最小时CN +2CM 最小，即最小值为E ′M ′的长．连接E ′E 并延长，交CD 于点F ，AB 于点G ．由作图结合题意易求出E ′G =E ′F +AD =t +6，BG =12AB =32，BM ′=BM =AB −AM =3−t ，从而可求出GM ′=BG +BM ′=92−t ．在Rt △E ′GM ′中，利用勾股定理可求出E ′M ′=√E ′G 2+GM ′2=√2(t +34)2+4418，最后根据二次函数的性质，即得出t =0时，√2(t +34)2+4418最小，即此时E ′M ′=152，故可求出CN +2CM 的最小值为15．【解题过程】（1）∵∠MAN =90°，∴若△AMN 是等腰直角三角形时，只有AM =AN ．根据题意可知AM =t ，DN =2t AN =AD −DN =6−2t ， ∴t =6−2t ， 解得t =2， 故答案为：2．（2）∵∠MAN =∠ADC =90°，∴以A 、M 、N 为顶点的三角形与△ACD 相似分为两种情况， ①当△ACD ∼△NMA 时，有ADAN =CDAM ，即66−2t =3t ， 解得：t =32；②当△CAD ∼△NMA 时，有ADAM =CDAN ，即6t =36−2t ， 解得：t =125．当t =32或t =125时，以A 、M 、N 为顶点的三角形与△ACD 相似；（3）如图，取CN中点E，作E点关于CD的对称点E′，连接CE′．作M点关于BC的对称点M′，连接CM′，E′M′．根据作图可知CE′=CE，CM′=CM，∴CN+2CM=2(CE+CM)=2(CE′+CM′)，∴当CE′+CM′最小时CN+2CM最小，∵CE′+CM′≥E′M′，∴CE′+CM′的最小值为E′M′的长，即CN+2CM的最小值为2E′M′的长．如图，连接E′E并延长，交CD于点F，AB于点G．∵作E点关于CD的对称点E′，∴E′F//AD，E′F=EF．又∵E为中点，∴E′F=EF=12DN=t，G为AB中点，∴E′G=E′F+AD=t+6，BG=12AB=32．∵作M点关于BC的对称点M′，∴BM′=BM=AB−AM=3−t，∴GM′=BG+BM′=32+3−t=92−t．在Rt△E′GM′中，E′M′=√E′G2+GM′2=√(6+t)2+(92−t)2=√2(t+34)2+4418，∵t≥0，2>0∴t=0时，√2(t+34)2+4418最小，即E′M′=√2×(34)2+4418=152．∴CN+2CM=2E′M′=15．3．（2022秋·江苏泰州·九年级校联考阶段练习）如图1，四边形ABCD是矩形，点P是对角线AC上的一个动点（不与A、C重合），过点P作PE⊥CD于点E，连接PB，已知AD＝3，AB＝4，设AP＝m．（1）当m＝1时，求PE的长；（2）连接BE，试问点P在运动的过程中，能否使得△P AB≌△PEB？请说明理由；（3）如图2，过点P作PF⊥PB交CD边于点F，设CF＝n，试判断5m+4n的值是否发生变化，若不变，请求出它的值；若变化，请说明理由．【思路点拨】（1）根据勾股定理得出AC，进而利用相似三角形的判定和性质解答即可；（2）根据全等三角形的性质和勾股定理解答即可；（3）根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理解答即可．【解题过程】解：（1）连接BE，由已知：在Rt△ADC中，AC＝√AD2+DC2=√32+42=5，当AP＝m＝1时，PC＝AC﹣AP＝5﹣1＝4，∵PE⊥CD，∴∠PEC＝∠ADC＝90°，∵∠ACD＝∠PCE，∴△ACD∽△PCE，∴AD PE =ACPC，即3PE=54，∴PE＝125；（2）如图1，当△P AB≌△PEB时，∴P A ＝PE ，∵AP ＝m ，则PC ＝5﹣m ， 由（1）得：△ACD ∽△PCE ， ∴3PE =55−m， ∴PE ＝3(5−m)5，由P A ＝PE ，即3(5−m)5=m ，解得：m ＝158， ∴EC ＝√PC 2−PE 2=√(5−158)2−(158)2=52，∴BE ＝√EC 2+BC 2=√(52)2+32=√312≠AB ，∴△P AB 与△PEB 不全等， ∴不能使得△P AB ≌△PEB ；（3）如图2，延长EP 交AB 于G ，∵BP ⊥PF ， ∴∠BPF ＝90°， ∴∠EPF +∠BPG ＝90°， ∵EG ⊥AB ， ∴∠PGB ＝90°， ∴∠BPG +∠PBG ＝90°， ∴∠PBG ＝∠EPF ， ∵∠PEF ＝∠PGB ＝90°， ∴△BPG ∽△PFE ，∴BG PE =PGEF，由（1）得：△PCE∽△ACD，PE＝3(5−m)5，∴EC DC =PCAC，即EC4=5−m5，∴EC＝4(5−m)5，∴BG＝EC＝4(5−m)5，∴3−3(5−m)54(5−m)5−n=4(5−m)3(5−m)=43，∴5m+4n＝16．4．（2023秋·河北保定·九年级统考期末）如图（1），在矩形ABCD中，AB=6cm，tan∠ABD=43，E、F 分别是AB、BD中点，连接EF，点P从点E出发，沿EF方向匀速运动，速度为1cm/s，同时，点Q从点D 出发，沿DB方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动，连接PQ，设运动时间为ts（0<t<4），解答下列问题：∴t=1（1）当0<t<2.5时，FQ=______．（用含有t的式子表示）（2）当点Q在线段DF上运动时，若△PQF的面积为0.6cm2，求t的值；（3）当t为______时，△PQF为等腰三角形?（直接写出结果）．【思路点拨】（1）先由题目条件求出AD，再利用勾股定理求出DF，当0<t<2.5时，接着判断出点Q的位置，即可求解．（2）先判断出△QMF∽△BEF，进而得出，再利用面积公式建立方程求解即可．（3）分点Q在DF和BF上，利用相似三角形的性质建立方程求解即可得出结论．【解题过程】（1）在矩形ABCD中，∠A=90°∴在直角三角形DBA中tan∠ABD=ADAB =AD6=43∴AD=8∵E、F分别是AB、BD中点，∴EF=12AD=4∵BD=√AB2+AD2=10∴DF=12BD=5∴Q从D到F的时间为52=2.5当0<t<2.5时，Q在线段DF上，∴FQ=DF−DQ=5−2t．故答案为：5−2t．（2）过点Q作QM⊥EF交EF延长线于点M，可知：QM∥BE，∴△QMF∽△BEF，∴QM BE =QFBF，∴QM3=5−2t5，可得QM=35(5−2t)，∴S△PFQ=12×PF⋅QM=12×(4−t)×35(5−2t)=0.6=35，解得：t=92（舍去）或t=2，∴当t=2时，△PQF的面积为0.6cm2；故答案为：t=2．（3）当点Q在DF上时，如图PF=QF∴4−t=5−2t∴t=1当点Q在BF上时，如图PF=QF∴4−t=2t−5∴t=3当PQ=FQ时，如图∴12(4−t)2t−5=45∴t=207当PF=PQ时，如图∴12(2t−5)4−t=45∴t=19 6所以t=1或3或207或196时，△PQF为等腰三角形．故答案为：t=1或3或207或196．5．（2023秋·山东青岛·九年级山东省青岛第五十九中学校考阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，CD⊥AB于点D．点P从点D出发，沿线段DC向点C运动，点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停止运动．设运动时间为t秒．（1）用含t的代数式分别表示线段CP=_______________、CQ=_______________．（2）在运动过程中是否存在某一时刻t，使得S△CPQ:S△ABC=9:100？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．（3）是否存在某一时刻t，使得△CPQ为直角三角形？若存在，求出所有满足条件的t的值；若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）利用勾股定理可求出AB长，再用等积法就可求出线段CD的长，据此求解即可；（2）过点P作PH⊥AC，垂足为H，通过三角形相似即可用t的代数式表示PH，从而可以求出S与t之间的函数关系式；利用S△CPQ:S△ABC=9:100建立t的方程，解方程即可解决问题；（3）分两种情况，利用相似三角形得出比例式建立方程求解，即可得出结论．【解题过程】（1）解：如图1，∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，∴AB =√62+82=10，∵CD ⊥AB ，∴S △ABC =12BC ⋅AC =12AB ⋅CD ， ∴CD =BC·AC AB =6×810=245，由题意得CQ =PD =t ，∴CP =245−t故答案为：t ，245−t ；（2）解：过点P 作PH ⊥AC ，垂足为H ，如图2所示．由题可知CQ =PD =t ，CP =245−t ，∵∠ACB =∠CDB =90°，∴∠HCP =90°−∠DCB =∠B ，∵PH ⊥AC ，∴∠CHP =90°，∴∠CHP =∠ACB ，∴△CHP ∽△BCA ，∴ PH AC =PC AB ， ∴ PH 8=4.8−t 10，∴PH =9625−45t ，∴S △CPQ =12CQ ⋅PH =12t (9625−45t)=−25t 2+4825t ；存在某一时刻t ，使得S ΔCPQ :S ΔABC =9:100，∵S ΔABC =12×6×8=24，且S △CPQ :S △ABC =9:100，∴(−25t 2+4825t):24=9:100，整理得：5t 2−24t +27=0，即(5t −9)(t −3)=0，解得：t =95或t =3，∵0≤t ≤245， ∴当t =95秒或t =3秒时，S ΔCPQ :S ΔABC =9:100； （3）解：由（2）知∠ACD =∠B ①当∠CPQ =∠BCA =90°时，∴△CPQ ∽△BCA ，∴CP BC =CQ AB ，∴245−t 6=t 10， ∴t =3；②当∠CQP =∠BCA =90°时，∴△CQP ∽△BCA ，∴CP AB =CQ BC ，∴245−t 10=t 6∴t=95，即：t为3秒或95秒时，△CPQ为直角三角形．6．（2022·山东青岛·统考一模）如图，在矩形ABCD中，BD是对角线，AB=6cm，BC=8cm．点E从点D 出发，沿DA方向匀速运动，速度是2cm/s；点F从点B出发，沿BD方向匀速运动，速度是1cm/s，MN 是过点F的直线，分别交AB、BC于点M、N，且在运动过程中始终保持MN⊥BD．连接EM、EN、EF，两点同时出发，设运动时间为t（s）（0＜t＜3．6），请回答下列问题：（1）求当t为何值时，△EFD～△ABD？（2）设四边形BMEN的面积为S（cm2），求S关于t之间的函数关系式；（3）求当t为何值时，△EFD为等腰三角形；（4）将△EMN沿直线MN t的值；若不存在，请说明理由；【思路点拨】（1）由题意得，DE=2t，BF=t，在Rt△ABD中，BD=10，DF=BD=BF=10-t，当△ABD∼△EFD，利用对应边成比例，即可求出t值；（2）证得△BFM∼△BAD，可求出BM=53t，BN=54t，AM=AB-BM=6-53t，代入面积表达式，即可求出关系式；（3）分种情况进行讨论即可，注意结果是否符合；（4）假设t值存在，则四边形EKCD为矩形，利用勾股定理表示出EN2=EK2+NK2=16916t2−52t+100，EM2=AM2+AE2=616t2−52t+100，可知t=0，不符合题意，可知不存在符合的t值．【解题过程】（1）解：由题意得，DE=2t，BF=t，∵四边形ABCD为矩形，∴∠BAD=90°，在Rt△ABD中，BD=√AB2+AD2=√62+82=10，∴DF=BD=BF=10-t，当△ABD∼△EFD时，则EDAD =DFDB，即2t8=10−t10，解得：t=207．即当t为207时，△EFD～△ABD；（2）∵MN⊥BD，∴∠MFB=90°，∵∠MBF=∠MBF，∴△BFM∼△BAD，∴BF AB =BMBD，即t6=BM10，∴BM=53t，同理BN=54t，∴AM=AB-BM=6-53t，S=S梯形ABNE −S△AME=(8−2t+54t)×62−(8−2t)×(6−53t)2=−53t2+12512t，即S关于t之间的函数关系式为：S=−53t2+12512t；（3）ED=DF时，则2t=10-t，解得：t=103；ED=EF时，过点E作EG⊥BF于G，∵ED=EF，∴△EFD为等腰三角形，又∵EG⊥DF，∴DG=12DF=10−t2，∵∠EDG=∠BDA，∠EGD=∠BAD=90°，∴△EGD∼△BAD，∴DG AD =EDBD，即10−t28=2t10，∴t=5021；EF=FD时，过点F作FH⊥AD，∵EF=FD，∴△EFD为等腰三角形，又∵FH⊥ED，∴HD=12ED=t，∵∠ADB=∠HDF，∠BAD=∠FHD，∴△DHF∼△DAB，即t8=10−t10，∴t=409＞3.6（舍去）；综上所述，当t=103或5021时，△EFD为等腰三角形；（4）假设存在符合题意的t，则EM=EN，过点E作EK⊥BC交BC于K，则四边形EKCD为矩形，∴ED=CK=2t，EK=CD=6，NK=BC-BN-CK=8−54t−2t=8−134t，∴EN2=EK2+NK2=62+(842=16916t2−52t+100，EM2=AM2+AE2=(6−53t)2+(8−2t)2=616t2−52t+100，∴169 16t2−52t+100=619t2−52t+100，即t1=t2=0，∵t=0不符合题意，∴不存在符合题意的t．7．（2023春·山东青岛·九年级专题练习）已知，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC=6cm，BD=8cm.延长BC至点E，使CE=BC，连接ED，点F从点E出发，沿ED方向向点D运动，速度为1cm s⁄，过点F作FG⊥ED垂足为点F交CE于点G；点H从点A出发，沿AD方向向点D运动，速度为1cm s⁄，过点H作HP∥AB，交BD于点P，当F点停止运动时，点H也停止运动.设运动时间为t(0<t≤3)，解答下列问题：（1）求证：∠BDE=90°；（2）是否存在某一时刻t，使G点在ED的垂直平分线上?若存在，求出t值；若不存在，请说明理由.（3）设六边形PCGFDH的面积为S(cm2)，求S与t的函数关系式；（4）连接HG，是否存在某一时刻t，使HG∥AC?若存在，求出t值；若不存在，请说明理由.【思路点拨】（1）根据菱形和等腰三角形的性质，得四边形ACED为平行四边形、∠E=∠CDE，从而完成证明；（2）根据平行四边形和垂直平分线的性质分析，即可得到答案；（3）根据菱形和勾股定理的性质，得CE；延长CP，交AD于点M，根据相似三角形的性质，得MD；设AD和BC的距离为ℎ，根据三角形面积的性质，得ℎ=245cm，根据相似三角形的性质得S△GFES△BDE=t6，通过计算即可得到答案；（4）根据相似三角形的性质，得GE=5t3cm，根据平行四边形和一元一次方程的性质计算，即可得到答案．【解题过程】（1）∵菱形ABCD，∴AC⊥BD，AD=BC，AD//BC，AO=CO=12AC，BO=DO=12BD，∴∠CBD+∠ACB=90°，∠CBD=∠CDB，∵CE=BC，∴AD=CE，CD=CE，∴四边形ACED为平行四边形，∠E=∠CDE，∴AC//DE，∴∠ACB=∠E，∴∠CDB+∠CDE=90°，即∠BDE=90°；（2）∵四边形ACED为平行四边形，∴DE=AC=6cm，∵FG⊥ED，∴当EF=DF=12DE时，使G点在ED的垂直平分线上，∴t=12DE1cm s⁄=3s；（3）∵点F从点E出发，沿ED方向向点D运动，速度为1cm s⁄，点H从点A出发，沿AD方向向点D运动，速度为1cm s⁄，∴AH=EF=t(cm)，∵AC⊥BD，AC=6cm，BD=8cm，AO=CO=12AC，BO=DO=12BD，∴CE=BC=CD=AD=√(12AC)2+(12BD)2=5cm，∴DH=AD−AH=5−t(cm)，∵菱形ABCD，∴∠ADP=∠CDP，∵HP，∴∠HPD=∠CDP，∴∠ADP=∠HPD，∴PH=DH，如图，延长CP，交AD于点M，∵HP，∴∠MHP=∠MDC，∵∠PMH=∠CMD，∴△MPH∽△MCD，∴S△MPH S△MCD =PHCD=DHCD=5−t5，MHMD=MHMH+DH=PHCD=5−t5，∴MH MH+5−t =5−t5，∴MH=(5−t)2t，∴MD=MH+DH=(5−t)2t +5−t=5(5−t)t，设AD和BC的距离为ℎ，∴S△ACD=12AC×OD=12AD×ℎ，∴ℎ=245cm，∵∠BDE=90°，FG⊥ED，∴△GFE∽△BDE，∴S△GFE S△BDE =EFDE=t6，∴六边形PCGFDH的面积，=S△MCD−S△MPH+S△CDE−S△GFE=S△MCD−5−t5×S△MCD+S△CDE−t6×S△BDE=t5×S△MCD+S△CDE−t6×S△BDE=t5×12×MD×ℎ+12×CE×ℎ−t6×12×(BC+CE)×ℎ=t5×12×5(5−t)t×245+12×5×245−t6×12×10×245=12−12t5+12−4t=24−32t5cm，∴S=24−32t5(0<t≤3)；（4）∵△GFE∽△BDE，∴GE BE =EFDES，∴GE=EF×BEDE =t×(BC+CE)6=t×106=5t3cm，∵DH=AD−AH=5−t(cm)，当GE=DH时，得5t3=5−t，∴t=158，∵AD//BE，GE=DH，∴四边形HGED为平行四边形，∴HG//DE，∵AC//DE，∴HG//AC，∴当t=158时，HG//AC．8．（2022秋·山西运城·九年级校考阶段练习）如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD=1，AB=BC=4，CD=5．（1）求梯形ABCD的面积S；（2）动点P从点B出发，以1cm/s的速度，沿B→A→D→C方向，向点C运动：动点Q从点C出发，以1cm/s 的速度，沿C→D→A方向，向点A运动，过点Q作QE⊥BC于点E．若P、Q两点同时出发，当其中一点到达目的地时整个运动随之结束，设运动时间为t秒．问：①在运动过程中，是否存在这样的t P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DP为底的等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．②在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、A、D为顶点的三角形与△COE相似？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）作DF∥AB交BC于F，即易证四边形ABFD是平行四边形，从而可求出DF=AB=3，BF=AD=1，CF=3．再利用勾股定理逆定理即可证∠ABC=∠DFC=90°，最后利用梯形的面积公式计算即可；（2）①在图1的基础上作QG⊥AB于G，易证四边形BEQG是矩形，即得出BG=EQ，QG=BE．又易证△CEQ∽△CFD，得出EQDF =CECF=CQCD，从而可用t表示出CE=35t，EQ=45t，BG=45t，QG=BE=4−35t．PG=t5，即可利用勾股定理得出PQ2=(15t)2+(4−35t)2，最后根据等腰三角形的定义列出等式，解出t即可；②分类讨论当△PAD∽△QEC时和当△PAD∽△CEQ时，根据对应边成比例计算即可．【解题过程】（1）如图1，作DF∥AB交BC于F，∵AD∥BC，∴四边形ABFD是平行四边形，∴DF=AB=3，BF=AD=1，∴CF=BC−BF=3．∵32+42=52，即CF2+DF2=CD2，∴∠DFF=90°，∴∠ABC=∠DFC=90°，∴S梯形ABCD =12(1+4)×4=10；（2）①如图2，在图1的基础上作QG⊥AB于G，由题意可知t≤6．∵∠B=∠QEB=90°，∴四边形BEQG是矩形，∴BG=EQ，QG=BE．∵EQ∥DF，∴△CEQ∽△CFD，∴EQ DF =CECF=CQCD，∴EQ 4=CE 3=t 5， ∴CE =35t ，EQ =45t ，∴BG =45t ，QG =BE =BC −CE =4−35t ．在Rt △PQG 中，PG =BP −BG =t −45t =t 5， ∴PQ 2=PG 2+QG 2=(15t)2+(4−35t)2，由PQ 2=DQ 2得，(15t)2+(4−35t)2=(5−t)2， 解得：t 1=13−√1092，t 2=13+√1092(舍去)， ∴当t =13−√1092时，使得以P 、D 、Q 为顶点的三角形恰好是以DP 为底的等腰三角形；②如图3，当△PAD∽△QEC 时，∵∠A =∠QEC =90°，∴PA AD =QE CE，即AP 1=43， ∴AP =43，∴t =4−43=83； 当△PAD∽△CEQ 时，∴PA AD =CE QE ，即PA 1=34，∴PA =34，∴t =4−34=134．综上所述：t =83或134．9．（2022秋·陕西咸阳·九年级期末）在平面直角坐标系中，过原点O及点A（8，0），C（0，6）作矩形OABC，连接OB，点D为OB的中点，点E是线段AB上的动点，连接DE，作DF⊥DE，交OA于点F，连接EF．已知点E从A点出发，以每秒1个单位长度的速度在线段AB上移动，设移动时间为t秒．（1）如图①，当t＝3时，求DF的长；（2）如图②，当点E在线段AB上移动的过程中，DFDE的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出DFDE的值；（3）连接AD，当AD将△DEF分成的两部分的面积之比为1：2时，求相应的t＜3时的值．【思路点拨】（1）当t=3时，可知DE//OA，DE=12OA=4，则四边形DFAE是矩形，得DF=AE=3；（2）作DM⊥OA于点M，DN⊥AB N，根据两个角相等，可证明ΔDMF∽ΔDNE，得DFDE =DMDN=34；（3）作DM⊥OA于点M，DN⊥AB于点N，则点G为EF的三等分点，利用（2）同理可得E、F的坐标，从而得出点G的坐标，代入直线AD的解析式即可解决问题．【解题过程】（1）当t=3时，E为AB的中点，∵A(8,0)，C(0,6)，∴OA=8，OC=6，∵点D为OB的中点，∴DE//OA，DE=12OA=4，∵四边形OABC是矩形，∴OA⊥AB，∴DE⊥AB，∴∠OAB=∠DEA=90°，又∵DF⊥DE，∴∠EDF=90°，∴四边形DFAE是矩形，∴DF=AE=3；（2）DFDE的大小不变，理由如下：如图，作DM⊥OA于点M，DN⊥AB于点N，∵四边形OABC是矩形，∴OA⊥AB，∴四边形DMAN是矩形，∴∠MDN=90°，DM//AB，DN//OA，∴BDDO =BNNA,DOBD=OMMA，∵点D是OB的中点，∴M，N分别是OA，OB的中点，∴DM=12AB=3,DN=12OA=4，∵∠EDF=90°，∴∠FDM=∠EDN，又∵∠DMF=∠DNE=90°，∴ΔDMF∽ΔDNE，∴DFDE =DMDN=34；（3）作DM⊥OA于点M，DN⊥AB于点N，若AD将ΔDEF的面积分成1:2的两部分，设AD交EF于点G，则点G为EF的三等分点，如图，NE=3−t，由ΔDMF∽ΔDNE得，MF=34(3−t)，∴AF=4+MF=−34t+254，∵点G为EF的三等分点，∴G(3t+7112,23 t)，设直线AD的表达式为y=kx+b，将A(8,0)，D(4,3)代入得{8k+b=04k+b3，解得{k=−34b=6，∴直线AD的表达式为y=−34x+6，将G(3t+7112,23t)代入得：t=7541，∴当t<3时的值为t=7541．10．（2022秋·河北邯郸·九年级邯郸市第二十三中学校考期末）如图（1），在四边形ABCD中，AB∥DC，CB⊥AB，AB=14cm，BC=CD=6cm，动点P从点D开始沿DA边匀速运动，动点Q从点A开始沿AB边匀速运动，它们的运动速度均为1cm/s．点P和点Q同时出发，设运动的时间为t(s)，0<t<10．（1）用含t的代数式表示AP；（2）当以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABD相似时，求t的值；（3）如图（2），延长QP、BD，两延长线相交于点M，当ΔQMB为直角三角形时，直接写出．．．．t的值．【思路点拨】（1）作DH⊥AB于H，得矩形DHBC，则CD=BH=6cm，DH=BC=6cm，AH=8cm，由勾股定理可求得AD的长，从而可得AP；（2）分两种相似情况加以考虑，根据对应边成比例即可完成；（3）分∠QMB=90°和∠MQB=90°两种情况考虑即可，再由相似三角形的性质即可求得t的值．【解题过程】（1）如图，作DH⊥AB于H则四边形DHBC是矩形∴CD=BH=6cm，DH=BC=6cm∴AH=8cm在RtΔADH中，由勾股定理得AD=√DH2+AH2=√62+82=10(cm)∵DP=tcm∴AP=AD−DP=(10−t)cm（2）①当ΔAPQ∽ΔADB时则有APAQ =ADAB∴10−tt =1014解得：t=356②当ΔAPQ∽ΔABD时则有APAQ =ABAD∴10−tt =1410解得：t=256综上所述，当t=356或256时，以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABD相似；（3）①当∠QMB=90°时，ΔQMB为直角三角形如图，过点P作PN⊥AB于N，DH⊥AB于H∴∠PNQ=∠BHD∵∠QMB=90°∴∠PQN+∠DBH=90°∵∠PQN+∠QPN=90°∴∠QPN=∠DBH∴ΔPNQ∽ΔBHD∴QN PN =DHBH=66=1即QN=PN∵PN∥DH∴ΔAPN∽ΔADH∴PN AP =DHAD=610=35，ANAP=AHAD=810=45∴PN=35AP=35(10−t)，AN=45AP=45(10−t)∴QN=AN−AQ=45(10−t)−t=8−95t由QN=PN得：8−95t=35(10−t)解得：t=53②当∠MQB=90°时，ΔQMB为直角三角形，如图则PQ∥DH∴ΔAPQ∽ΔADH∴AQ AP =AHAD=45∴AQ=45AP即t=45(10−t)解得：t=409综上所述，当t=53或409时，ΔQMB是直角三角形．11．（2022秋·山东青岛·九年级统考期中）如图1，在RtΔABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，CD⊥AB 于点D．点P从点D出发，沿线段DC向点C运动，点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停止．设运动时间为t秒．（1）当ΔPQC 是等腰三角形时，请直接写出t 值为 ．（2）如图2，在运动过程中是否存在某一时刻t ，使得沿PC 翻折ΔCPQ 所得到的四边形CQPM 是菱形？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；（3）如图3，连接BP ，设四边形BPQC 的面积为S ．求S 与t 之间的函数关系式；（4）是否存在某一时刻t ，使得P 、Q 、B 三点共线？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由． 【思路点拨】（1）根据勾股定理及等面积法可求CD ，由等腰三角形的性质分PC =QC 、PC =QP 、PQ =CQ 三种情况讨论即可求解；（2）根据菱形的性质可知，当PQ =CQ 时复合题意，过点Q 作QF ⊥CD ，证ΔABC ∼ΔQCF ，得CF =35t ，由PC =2×35t =245−t ，即可求解；（3）过点Q 作QH ⊥CD ，证ΔABC ∼ΔQCH ，得10t=8QH，即QH =45t ，证ΔABC ∼ΔBCD ，得BD =185，由S =S Δ⬚PCQ +S ΔBPC =12PC ⋅QH +12PC ⋅BD 即可求解； （4）过点P 作PG ⊥BC ，可得，ΔABC ∼ΔCPG ，得245−t 10=CG8，即CG =45(245−t)，BG =6−45(245−t)，由S ΔPBC =12PC ⋅BD =12BC ⋅PG 可得PG =35(245−t)，由CQPG =66−45(245−t)，当ΔBCQ ∼ΔBGP 时，B 、P 、Q 三点共线，得t35(245−t)=66−45(245−t)，即可求解；【解题过程】（1）解：∵∠ACB =90°，AC =8，BC =6， ∴AB =√AC 2+BC 2=√82+62=10， ∵CD ⊥AB ， ∴CD =AC⋅BC AB=6×810=245，∵ΔPQC 是等腰三角形，①当PC =QC 时，即245−t =t ，解得：t =125；②当PC =QP 时，如图，过点P 作PE ⊥AC ，∵PC =QP ，PE ⊥AC ， ∴QE =CE ，∵PE ⊥AC ，CD ⊥AB ，∠ACB =90°， ∴∠A =∠ACD ， ∴ΔABC ∼ΔPCE ， ∴AB PC=BC EC， 即，10245−t=612t，解得：t =14455．③当PQ =CQ 时，过点Q 作QF ⊥CD ，∵∠A =∠ACD ， ∴ΔABC ∼ΔQCF ， ∴ABQC =BCCF，即10t =6CF ， ∴CF =35t ，∵PQ =CQ ，QF ⊥CD ， ∴CF =PF =35t ， ∴PC =2×35t =245−t ，解得：t=2411，故当ΔPQC是等腰三角形时，t值为125或14455或2411．（2）当PQ=CQ时，四边形CQPM是菱形，过点Q作QF⊥CD，∵∠A=∠ACD，∴ΔABC∼ΔQCF，∴AB QC =BCCF，即10t=6CF，∴CF=35t，∵PQ=CQ，QF⊥CD，∴CF=PF=35t，∴PC=2×35t=245−t，解得：t=2411，（3）如图，过点Q作QH⊥CD，∵∠A=∠ACD，∴ΔABC∼ΔQCH，∴AB QC =ACQH，即10t=8QH，∴QH =45t ，易证ΔABC ∼ΔBCD ，AB BC=BC BD ，即106=6BD ，解得：BD =185．S =S Δ⬚PCQ +S ΔBPC =12PC ⋅QH +12PC ⋅BD =12×(245−t)(45t +185)=−25t 2+325t +21625；（4）如图过点P 作PG ⊥BC ，可得，ΔABC ∼ΔCPG ，∴CPAB =CGAC ，即245−t 10=CG 8，∴CG =45(245−t)， ∴BG =6−45(245−t)，∵S ΔPBC =12PC ⋅BD =12BC ⋅PG ， ∴PG =PC⋅BD BC =(245−t)×1856=35(245−t)，∴CQPG =t 35(245−t)，BCBG =66−45(245−t)，当ΔBCQ ∼ΔBGP 时，B 、P 、Q 三点共线， 所有t35(245−t)=66−45(245−t)，解得：t 1=12√6−185，t 2=−12√6−185（舍去）， ∴当t =12√6−185时，P 、Q 、B 三点共线．12．（2023秋·浙江金华·九年级统考期末）如图1，在矩形ABCD 中，AB =6，BC =3，动点P 从点A 出发，沿AB 边以每秒2个单位的速度向点B 运动，同时，动点Q 从点B 出发，沿BC −CD 匀速向终点D 运动，点P 、Q 同时到达终点，BD 与PQ 交于点E ．过点B 作BF ⊥PQ 于点F ．设点P 、Q 的运动时间为t 秒．（1）求点Q的运动速度．（2）如图2，当点Q与点C重合时，求BE的长．（3）在点P、Q的运动过程中，是否存在某一时刻，使得以B、E、F为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，求运动时间t的值；若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）求出点P运动的时间即Q运动的时间计算解题即可；（2）当点Q与点C重合时，求出BD长，利用△EPB∽△ECD解题即可；（3）分①点Q在BC边上，②点Q在DC边上，点Q在P的右侧时，③点Q在DC边上，点Q在P的左侧时三种情况利用三角形相似解题即可．【解题过程】（1）解：由题可知点P运动的时间为62=3s，点Q运动的速度为：3+63=3，（2）如图，当点Q与点C重合时，∴t=33=1∴BP=AB−AP=6−2×1=4，在Rt△BDC中，BD=√BC2+CD2=√32+62=3√5，∵AB∥CD∴△EPB∽△ECD∴BE ED =BPCD即3√5−BE=46解得：BE =65√5（3）解：∵BF ⊥PQ ∴∠BFE =∠C =90°，当△BEF ∽△BDC 时，则∠BEF =∠BDC ∴PQ ∥CD 不符合题意， 当△BEF ∽△DBC 时， ∴∠BEF =∠DBC , 当点Q 在BC 边上∴BQ =EQ =3t ，EP =PQ −3t 过点Q 作QH ∥CD 交BD 于点H ， 则AB ∥CD ∥QH ,∴HQBP =EQ EP ,HQCD=BQ BC∴HQ =EQ×BP EP =3t(6−2t)PQ−3t,∴3t(6−2t)PQ−3t6=3t 3，解得：PQ =2t +3，在Rt △PQB 中，PB 2+BQ 2=PQ 2 即(2t +3)2=(6−2t)2+(3t)2, 解得：t =1或t =3(舍去)当点Q 在DC 边上，点Q 在P 的右侧时， 如图，过Q 作QH ∥BC 交AB 、BD 于点H 、M ，则HB=QC=3t−3，DQ=9−3t ∵QH∥BC，BC∥AD∴QH∥BC∥AD，∴△BMH∽△BDA∴HM AD =HBAB即3t−36=HM3解得HM=32t−32，∴QE=MQ=3−(32t−32)=92−32t，PH=6−2t−(3t−3)=9−5t∵AB∥CD∴△BPE∽△DQE∴PB DQ =PEEQ即6−2t9−3t =PE92−32t，解得PE=3−t∴PQ=PE+EQ=3−t+92−32t=152−52t在Rt△PQH中，PH2+HQ2=PQ2即(152−52t)2=(9−5t)2+32解得t=95或t=1(舍去)；如图，当点Q在P的左侧时，过Q作QH∥BC交AB、BD于点H、M，则∠PEB=∠EDQ=∠DEQ=∠PBE∴PE=PB=6−2t，EQ=QD=9−3t，∴PQ=6−2t+9−3t=15−5t在Rt △PQH 中，PH 2+HQ 2=PQ 2 即(15−5t)2=(9−5t)2+32 解得t =94综上所述，当t =1或t =95或t =94时，以B 、E 、F 为顶点的三角形与△BCD 相似13．（2023秋·江苏无锡·九年级无锡市南长实验中学校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点B (6,5)，过点B 作x 轴的垂线，垂足为A ，作y 轴的垂线，垂足为C ．点D 从O 出发，沿y 轴正方向以每秒1个单位长度运动；点E 从O 出发，沿x 轴正方向以每秒3个单位长度运动；点F 从B 出发，沿BA 方向以每秒2个单位长度运动．当E 点运动到点A 时，三点随之停止运动．运动过程中△ODE 关于直线DE 的对称图形是△O ′DE ，设运动时间为t ．（1）用含t 的代数式分别表示点E ，点F 的坐标；（2）若△ODE 与以点A ，E ，F 为顶点的三角形相似，求t 的值；（3）是否存在这样的t ，使得以D ，E ，F ，O′所围成的四边形中有一组对边平行?若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由． 【思路点拨】（1）由题可得OE =3t ，OD =t ，BF =2t ，易证四边形OABC 是矩形，从而得到AB =OC ，BC =OA ，即可求出AF ， OE ，即可求出点E ，点F 的坐标（2）只需两种情况讨论①当△ODE ∽△AEF ，②当△ODE ∽△AFE ，然后运用相似三角形的性质即可求解；（3）过点O′作x轴的平行线与y轴交于点M，与过点E的y轴的平行线交于点N，如图1，易得△MDO′∽△NO′E，设MO′=a，根据相似三角形的性质可得出a=35t，然后分两种情况讨论即可求解．【解题过程】（1）由题可得OE=3t，OD=t，BF=2t，∵BA⊥x轴，BC⊥y轴，∠AOC=90°，∴∠AOC=∠BAO=∠BCO=90°，∴四边形OABC是矩形，∴AB=OC，BC=OA，∵B(12,10)，∴BC=OA=12，AB=OC=10，∴AF=10−2t，OE=12−3t，∴点E的坐标为(3t,0)，点F的坐标为(12,10−2t)；（2）①当△ODE∽△AEF时，则有ODAE =OEAF，∴t 12−3t =3t10−2t，解得t1=0(舍去)，t2=267，②当△ODE∽△AFE时，则有ODAF =OEAE，∴t 10−2t =3t12−3t，解得t1=0(舍去)，t2=6，∵点E运动到点A时，三点随之停止运动，∴3t≤12，∴t≤4，∴t=6舍去，综上所述：t的值为267；（3）过点O′作x轴的平行线与y轴交于点M，与过点E的y轴的平行线交于点N，如图1，则有∠DMN=90°，∠N=90°，由折叠可得：DO′=DO=t，O′E=OE=3t，∠DO′E=∠DOE=90°，∴∠DMO′=∠N=90°，∠MDO′=90°−∠MO′D=∠NO′E，∴△MDO′∽△NO′E，∴MO′NE =MDNO′=O′DEO′=t3t=13，∴NE=3MO′，NO′=3MD，设MO′=a，则有OM=NE=3a，NO′=3t−a，MD=3a−t，∴3t−a=3(3a−t)，解得：a=35t，∴MO′=35t，OM=95t，∴点O′的坐标为(35t,95t)，①若DO′∥EF，如图2，延长O′D交x轴于S，则有O′M∥OS，∠DSE=∠FEA，∴∠MO′D=∠DSE=∠FEA，∵∠O′MD=∠EAF=90°，∴∠O ′MD ∽∠EAF ，∴MO ′AE =MD AF ， ∴35t 6−3t =95t−t 5−2t ，解得：t 1=0(舍去)，t 2=32， 经检验：t =32是分式方程的解， ②若OF∥DE ，如图3，过点O ′作x 轴的平行线与AB 交于点Q ，延长DE 交 BA 的延长线于点T ，同①可得 ：△DOE ∽△FQO ′，∴OD QF =OE QO ′，t95t−(5−2t )=3t 6−35t ，解得t 1=0(舍去)，t 2=74，综上所述：t 的值为32或74． 14．（2023秋·吉林长春·九年级长春市解放大路学校校考阶段练习）如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =3，AB =5，点D 为边AB 上一点且BD =2．动点P 从点A 出发，沿AB 以每秒1个单位长度的速度向终点B 运动，且点P 不与点A 、B 、D 重合．过动点P 作PQ ⊥AB 交折线AC −CB 于点Q ，作点P 关于点D 的对称点E ，连结QE ．设点P 的运动时间为t 秒．（1）当点Q 与点C 重合时，t =________；（2）用含t的代数式表示PE的长；（3）当△PEQ∽△CAB时，求t的值；（4）当Q在BC上运动时，若△BEQ为等腰三角形，直接写出此时t的值．【思路点拨】（1）利用面积计算即可；（2）分两种情况讨论即可；（3）由△PEQ∽△CAB可得PEAC =PQBC，代入线段计算即可；（4）画出图形，分类讨论即可．【解题过程】（1）∵∠C=90°，AC=3，AB=5，∴BC=√AB2−AC2=4，当点Q与点C重合时，S△ABC=12AC⋅BC=12PQ⋅AB∴S△ABC=12×3×4=12PQ×5∴PQ=125，∴PA=√AC2−PQ2=95，∴t=PA÷1=95，故答案为：95；（2）由题意可得，PA=t，PB=AB−PA=5−t，AD=AB−BD=3∵点P关于点D的对称点E，∴PD=DE，∴PE=2PD，当点P在点D的右边时，0<t<3，此时PD=AD−PA=3−t=DE，∴PE=2PD=6−2t，当点P在点D的左边时，3<t<5，此时PD=PA−AD=t−3=DE，∴PE=2PD=2t−6，综上所述，PE ={6−2t(0<t <3)2t −6(3<t <5)（3）当0<t ≤95时，点Q 在AC 边上，点P 在点D 的右边，PE =6−2t ∵∠APQ =∠ACB =90°∴△PAQ ∽△CAB ，∴PA AC=PQ BC ， ∴t 3=PQ 4∴PQ =43t ∵△PEQ ∽△CAB∴PE AC =PQ BC ∴6−2t 3=43t 4 ∴t =2（舍）当95<t <3时，点Q 在BC 边上，点P 在点D 的右边，PE =6−2t ，∵∠BPQ =∠ACB =90°∴△PBQ ∽△CBA ，∴BP BC =PQ AC =BQ AB ， ∴5−t 4=PQ 3=BQ 5 ∴PQ =34(5−t)，BQ =54(5−t)∵△PEQ ∽△CAB∴PE AC =PQ BC ∴6−2t 3=34(5−t)4t =5123，当3<t<5时，点Q在BC边上，点P在点D的左边，此时PQ=34(5−t)，PE=2t−6∵△PEQ∽△CAB∴PE AC =PQBC∴2t−63=34(5−t)4t=141 41综上，当△PEQ∽△CAB时，t=5123，t=14141（4）当当Q在BC上运动时，95<t<5，当95<t<3时，点Q在BC边上，点P在点D的右边，PE=6−2t，PQ=34(5−t)此时△BEQ为钝角三角形，若△BEQ为等腰三角形，则EB=EQ=AB−PE−PA=5−(6−2t)−t=t−1，在Rt△PQE中，PQ2+PE2=QE2，∴[34(5−t)]2+(6−2t)2=(t−1)2，此方程无解当3<t<5时，点Q在BC边上，点P在点D的左边，PE=2t−6，PQ=34(5−t)，BE=PA−PE=t−(2t−6)=6−t，BQ=54(5−t)。

专题10难点探究专题：相似三角形中动点问题压轴题六种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【考点一相似三角形动点中求时间多解问题（利用分类讨论思想）】 (1)【考点二相似三角形动点中求线段长多解问题（利用分类讨论思想）】 (6)【考点三相似三角形动点中求线段及线段和最值问题】 (15)【考点四相似三角形中的动点问题与函数图像问题】 (21)【考点五相似三角形中的动点问题与几何综合问题】 (26)【考点六相似三角形中的动点探究应用问题】 (34)【典型例题】【类型一相似三角形动点中求时间多解问题（利用分类讨论思想）】【答案】185或367或365【分析】根据题意可知B∠【变式训练】1．（2023春·山东烟台·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，已知6cm OA =，8cm OB =．点P 从点B 开始沿BA 边向终点A 以1cm /s 的速度移动；点Q 从点A 开始沿AO 边向终点O 以1cm /s 的速度移动．有一点到达终点，另一点也停止运动．若P 、Q 同时出发，运动时间为(s)t ．(1)用含t 的代数式分别表示线段AQ 和AP 的长；(2)当t 为何值时，APQ △与AOB 相似？【答案】(1)()cm,10cmAQ t AP t ==-(1)求t为多少秒时，CPQ(1)填空：当t =___________时，AF CE =(2)当BEF △与BEH △相似时，求t 的值．【答案】(1)2；2(2)t 的值为2或4或317+．【分析】（1）证明DAF EBH △∽△，利用相似三角形的性质解决问题即可；（2）由EBH DAF ∽，利用相似三角形的性质求得时，利用相似三角形的性质列式计算即可求解．【详解】（1）解：∵8BC AD ==，点E ∵4AF CE ==，即：24t =，∴2t =，∵EH DF ∥，∴DAF EBH △∽△，DA EB 84当BEF BHE △∽△时：BE BH 即()24212t t =-⨯，解得：317t =+(负值已舍综上，t 的值为2或4或3+【点睛】此题考查了相似图形，掌握相似三角形的判定和性质等相关知识是解题的关键．【类型二相似三角形动点中求线段长多解问题（利用分类讨论思想）】例题：（2023·河南洛阳·统考一模）矩形则DE 的长为．【答案】2或8【分析】由矩形的性质，垂直的定义推出DAE BEC ∠=∠，即可证明ADE ECB ∽△△，得到::DE BC AD EC =，设DE x =，列出关于x 的方程，求出x 的值即可．【详解】解：设DE x =，∵四边形ABCD 是矩形，∴90D C ∠=∠=︒，4BC AD ==，10CD AB ==，∴90DAE AED ∠+∠=︒，∵90AEB ∠=︒，∴18090BEC AED AEB ︒︒∠+∠=-∠=，∴DAE BEC ∠=∠，∴ADE ECB ∽△△，∴::DE BC AD EC =，即():44:10x x =-，整理得210160x x -+=，∴2x =或8，∴DE 的长是2或8．故答案为：2或8．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质，关键是由条件证明ADE ECB ∽△△，并注意有两个答案．【变式训练】∴CD CE DE CA CB AB==，∴4543CE DE ==，解得165CE=，125DE=，如图2所示，当CA CP =时，∵四边形ABOC 是矩形，∴8AC OB ==，∴82CP BP ==，，∵PBE CBO ∽，【点睛】本题考查了相似三角形的性质，等腰三角形的性质，坐标与图形，勾股定理，矩形的性质等知识，注意分类讨论思想的运用．3．（2023·安徽蚌埠·校考一模）如图，在边AB，BC上的动点，且的长为．【答案】5cm或8cm∠只能为锐角，【分析】说明DFE∠=︒两种情况求解即可．90FED当90FED ∠=︒时，如图，设2AD n =，∵2AD BE =，【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，定理，运用了分类讨论的思想．理解题意并运用分类讨论是解题的关键．．（2023·江苏徐州·统考三模）如图，在【答案】154或307【答案】4或134或11926【分析】由翻折变换的性质得：时，②当BF CF=时，F在则BG FG ==12BF ，90BCG B A ∠=︒-∠=∠，又90CGB ACB ∠=∠=︒，【类型三相似三角形动点中求线段及线段和最值问题】【答案】8 5【分析】作点理可求得AB=点H，交AB于点则PC PC'=，【变式训练】【答案】35【分析】作点D关于直线点E，首先根据相似三角形的判定与性质，即可求得求解．DE D E '∴=，PD PD =D 是AB 的中点，12BD BA ∴=，AC BC ⊥Q ，DE BC ⊥【答案】2【分析】证明FEH△∽△利用勾股定理求出AO 【详解】解：矩形CDEF【点睛】本题主要考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，平行线分相等成比例，勾股定理，对的弦是直径，三角形三边关系定理等知识点．掌握相似三角形的性质，平行线分线段成比例是解题的关键．3．（2023·湖北襄阳·统考模拟预测）如图，矩形【答案】32【分析】取BE 的中点，连接12BH BE =，可得到BH BF∵BEM△沿着BM翻折得到∴BF BE=，∵4BC=，E是BC中点，【类型四相似三角形中的动点问题与函数图像问题】．B ．C ．D ．【答案】B【分析】分别求出点F 在边上时，点F 与点C 重合时时，点F 在边BC 上时，S 与x 之间的函数关系式，即可求解．【详解】解：24AB PA ==，【变式训练】1．（2023·河南焦作·统考二模）如图，在Rt ABC △中，90,3,4ACB AC BC ∠=︒==，点P 为边AB 上一动点，过点P 作直线l AB ⊥，交折线ACB 于点Q ．设,AP x CQ y ==，则y 关于x 的函数图象大致是（）A ．．．．【答案】B【分析】分两种情况：当点在AC 时，当点Q BC 时，结合相似三角形的判定和性质，即可求解．【详解】解：∵903,4ACB BC ∠===，∵直线l AB ⊥，∴BPQ ACB ∠=∠=∵B B ∠=∠，故选：B．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键．2．（2023·安徽合肥在AB和BC上匀速移动，连接x的函数图像大致是（A．B．C．．【答案】C【分析】分三种情况讨论得出y关于x的函数关系式即可得出答案．【详解】解：①当点P与点重合时，【点睛】本题考查动点问题函数图像，考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，反比例函数及一次函数的图像．解题的关键和难点在于根据点3．（2023·黑龙江下方的l上的一动点．．．D ．【答案】B【分析】根据AE BD ∥得ABD ∠=∠，根据直线是线段AB 的中垂线可得AD x ==，132BC AB ==，再证AEB BCD ，然后根据相似三角形列比例式化简可得18y x =，再结合x >【类型五相似三角形中的动点问题与几何综合问题】例题：（2023春·山东济宁·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，矩形OABC 的两边分别在x 轴和y 轴上，点B 的坐标为()12,8，现有两动点P ，Q ，点P 以每秒3个单位的速度从点O 出发向终点A 运动，同时点Q 以每秒2个单位的速度从点A 出发向终点B 运动，连接PC ，PQ ，CQ ．设运动时间为t 秒()0t >．(1)点P的坐标为______，点(2)请判断四边形APCQ的面积是否会随时间(3)若A，P，Q为顶点的三角形与【变式训练】【答案】（1）DG BE =；（2）12DG BE DG BE =⊥，．理由见解析；【分析】（1）通过证明()SAS DCG BCE ≌△△全等，得到DG BE =（2）通过证明DCG BCE ∽△△得到12DG CG BE CE ==，BEC DGC ∠=∠∵矩形ECGF 、矩形ABCD ∴90ECG BCD ∠=∠=︒∴DCG BCE ∠=∠，∵:2:41:2CD CB ==，则90ENC CMG ∠=∠=∵90ECG ∠=︒，∴ECN GCM ∠+∠=∠∴ECN CGM ∠=∠，根据解析（3）可知，点G ∵DG GG '=，∴BG DG BG GG BG '+=+=特例故知：（1）勤奋小组从特殊情况入手：如图1，45B ∠=︒，E 为AB 的中点，则变式探究（2）希望小组受此启发，作了如下改变：如图2，将（1）中“B ∠∵90CAB ∠=︒，AD BC ⊥∴45MAE NBE ∠=∠=︒，∵90AME ENB ∠=∠=︒，∴AME △和ENB △为等腰直角三角形，同理可得四边形M END是矩形，∴90∠=︒，MEN⊥，∵EF CE∠+∠=∠+∠∴MEG CEN CEN同（2）可得EMG ENF △∽△，∴EG EM EF EN=，∵B α∠=，AE kBE =，∴cos cos EM AE kEB αα=⋅=⋅【类型六相似三角形中的动点探究应用问题】例题：（2023·辽宁锦州·统考一模）探究完成以下问题：【初步认识】(1)如图1，在四边形ABCD 中，90BAD BCD ∠=∠=︒，连接AC ，BD ，过点A 作AE AC ⊥交CB 的延长线于点E ．求证：E ACD ∠=∠；【特例研究】【答案】(1)证明见解析；(2)①证明见解析；②AE MN ∥，理由见解析；(3)223或4．【分析】（1）根据题可得90AEC ACE ∠+∠=︒、ACD ∠+论；（2）①先证明(ASA)BAE DAC ≌可得BE DC =，再说明BE DC =即可证明结论；②先说明ABD △和AEC △都是等腰直角三角形，进而得到明90ANE AMB ∠=∠=︒可得AEN ABM ∽可得EAB ∠45ANM AEB ∠=∠=︒，进而得到45AEB MNF ∠=∠=︒（3）当点E 在线段BC 的延长线上时，过点O 作OP ⊥证明OPF OHE ∽，由相似三角形的性质得OP PF OH HE=段BC 上时，过点O 作OP CD ⊥于点F ，OH BC ⊥于点【详解】（1）证明：AE AC ⊥ ，90CAE ∴∠=︒．90AEC ACE ∴∠+∠=︒．90BCD ∠=︒ ，（2）①90EAC BAD ∠=∠=︒ ．EAC BAC BAD BAC ∴∠-∠=∠-∠，即BAE CAD ∠=∠．AB AD = ，由（1）知AEC ACD ∠=∠，(ASA)BAE DAC ∴ ≌．BE DC ∴=．∵M ，F 分别是BD ，BC 的中点，MF ∴是BCD △的中位线．2CD MF ∴=．2BE MF ∴=．②//AE MN ，理由如下：连接AM ，AN ，由①知，BAE DAC ≌△△，AE AC ∴=．AB AD = ，90EAC BAD ∠=∠=︒，∴ABD △和AEC △都是等腰直角三角形．45AEC ACE ∴∠=∠=︒，45ABD ADB ∠=∠=︒．AEC ABD ∴∠=∠．又N Q 为EC 中点，M 为BD 中点，AN EC ∴⊥，AM BD ⊥．90ANE AMB ∴∠=∠=︒．AEN ABM ∴△∽△．（3）解：①如图：当点CF 交于点K ，335,AB AB BC == ,∴5BC =∵四边形ABCD 是矩形，∴90BCD AB CD ∠=︒⊥，同理可得OPF OHE ∽，即∴3354CF CP PF =+=+=【变式训练】【基础巩固】（1）参照小慧提供时思路，利用图（2）请证明上述结论；（2）A 、B 、C 、是同一直线l 上从左到右顺次的点，点【尝试应用】①若2AB =，1BC =，延长AB 至D ，使【拓展提高】②拓展：若AB m =，BC n =，()m n ≠∥，交作CE APAPB CEB ∴∽PA AB∴=，CE BC∠平分APC PB∴∠=∠APB CPB ∴∠=∠，CPB E=延长PC至T，使CT PCPT PC∴=，2，==BC CD1∴四边形PBTD是平行四边形，∴=，BT PD∠，PB平分APC=延长PC至Q，使PQ AP，PCD QCB∴∽(1)操作推断如图1，点P是正方形纸片ABCD的边AD的中点，沿BP 连接PF．则BPF∠＝︒．(2)迁移探究设BF与AD交于E，∵DF AB∥，∴ABH DFH∽，∴AB AH BH==，。

相似三角形提高一、相似三角形动点问题1.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B 作射线BB 1∥AC ．动点D 从点A 出发沿射线AC 方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E 从点C 沿射线AC 方向以每秒3个单位的速度运动．过点D 作DH ⊥AB 于H ，过点E 作EF ⊥AC 交射线BB1于F ，G 是EF 中点，连接DG ．设点D 运动的时间为t 秒．（1）当t 为何值时，AD=AB ，并求出此时DE 的长度；（2）当△DEG 与△ACB 相似时，求t 的值．2.如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB=6m ，BC=8m ，动点P 以2m/s 的速度从A 点出发，沿AC 向点C 移动．同时，动点Q 以1m/s 的速度从C 点出发，沿CB 向点B 移动．当其中有一点到达终点时，它们都停止移动．设移动的时间为t 秒．（1）①当t=2.5s 时，求△CPQ 的面积；②求△CPQ 的面积S （平方米）关于时间t （秒）的函数解析式；（2）在P ，Q 移动的过程中，当△CPQ 为等腰三角形时，求出t 的值．3.如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，点D 在边AB 上运动，DE 平分∠CDB 交边BC 于点E ，EM ⊥BD ，垂足为M ，EN ⊥CD ，垂足为N ．（1）当AD ＝CD 时，求证：DE ∥AC ；（2）探究：AD 为何值时，△BME 与△CNE 相似？4.如图所示，在△ABC 中，BA ＝BC ＝20cm ，AC ＝30cm ，点P 从A 点出发，沿着AB 以每秒4cm 的速度向B 点运动；同时点Q 从C 点出发，沿CA 以每秒3cm 的速度向A 点运动，当P 点到达B 点时，Q 点随之停止运动．设运动的时间为x ．（1）当x 为何值时，PQ ∥BC ？（2）△APQ 与△CQB 能否相似？若能，求出AP 的长；若不能说明理由．5.如图，在矩形ABCD 中，AB=12cm ，BC=6cm ，点P 沿AB 边从A 开始向点B 以2cm/s 的速度移动；点Q 沿DA 边从点D 开始向点A 以1cm/s 的速度移动．如果P 、Q 同时出发，用t （s ）表示移动的时间（0＜t ＜6）。

相似三角形第一部分 相似三角形模型分析一、相似三角形判定的基本模型认识（一）A 字型、反A 字型（斜A 字型）BDE（平行）BDE（不平行）（二）8字型、反8字型J OADBCAB CD（蝴蝶型）（平行） （不平行） （三）母子型BDD（四）一线三等角型：三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景（五）一线三直角型：（六）双垂型：ADC 二、相似三角形判定的变化模型旋转型：由A字型旋转得到。

8字型拓展CB EDA共享性GABEF一线三等角的变形一线三直角的变形第二部分相似三角形典型例题讲解母子型相似三角形例1：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，BE∥CD交CA延长线于E．求证：OEOAOC⋅=2．例2：已知：如图，△ABC中，点E在中线AD上, ABCDEB∠=∠．求证：（1）DADEDB⋅=2；（2）DACDCE∠=∠．例3：已知：如图，等腰△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，CG∥AB，BG分别交AD、AC于E、F．求证：EGEFBE⋅=2．相关练习：1、如图，已知AD为△ABC的角平分线，EF为AD的垂直平分线．求证：FCFBFD⋅=2．A CDEBGMF EHDCBA2、已知：AD 是Rt △ABC 中∠A 的平分线，∠C=90°，EF 是AD 的垂直平分线交AD 于M ，EF 、BC 的延长线交于一点N 。

求证：(1)△AME ∽△NMD; (2)ND 2=NC ·NB3、已知：如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，E 是AC 上一点，CF ⊥BE 于F 。

求证：EB ·DF=AE ·DB4.在∆ABC 中，AB=AC ，高AD 与BE 交于H ，EF BC ⊥，垂足为F ，延长AD 到G ，使DG=EF ，M 是AH 的中点。

求证：∠=︒GBM 905．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）、（3）小题满分各5分）已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =2，AC =4，P 是斜边AB 上的一个动点，PD ⊥AB ，交边AC 于点D （点D 与点A 、C 都不重合），E 是射线DC 上一点，且∠EPD =∠A ．设A 、P 两点的距离为x ，△BEP 的面积为y ．（1）求证：AE =2PE ；（2）求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域； （3）当△BEP 与△ABC 相似时，求△BEP 的面积．双垂型1、如图，在△ABC 中，∠A=60°，BD 、CE 分别是AC 、AB 上的高 求证：（1）△ABD ∽△ACE ；（2）△ADE ∽△ABC ；(3)BC=2ED2、如图，已知锐角△ABC ，AD 、CE 分别是BC 、AB 边上的高，△ABC 和△BDE 的面积分别是27和3，DE=62，求：点B 到直线AC 的距离。

专题17 动点在相似三角形中的分类讨论【专题说明】由动点产生的相似三角形问题一般在函数和几何图中出现，函数一般是一次函数和二次函数，几何图形一般是三角形和四边形。

题型一般有是否存在点P ，使得：①△PDE ∽△ABC ②以P 、D 、E 为顶点的三角形与△ABC 相似。

一般以大题为主，也有出现在填空后两题。

函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题过程 ：① 求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边和角的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。

根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。

②或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。

③若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示 各边的长度，之后利用相似来列方程求解。

涉及知识点： 全等相似的性质及判定，一元二次方程解法，直角三角形中锐角三角函数，勾股定理，求线段的长，要用到两点间的距离公式。

【精典例题】1、如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx (a ≠0)过点A (3，－3)和点B (33，0)．过点A 作直线AC ∥x 轴，交y 轴于点C .(1)求抛物线的表达式；(2)在抛物线上取一点P ，过点P 作直线AC 的垂线，垂足为D .连结OA ，使得以A ，D ，P 为顶点的三角形与△AOC 相似，求出对应点P 的坐标；(3)抛物线上是否存在点Q ，使得S △AOC ＝13S △AOQ ？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【思路生成】(1)将点A 和点B 的坐标代入y ＝ax 2＋bx 中，解出a 和b 的值即可；(2)首先根据题意可得出点C 的坐标为(0，－3)，设P (x ，y )，则PD ＝|y ＋3|，AD ＝|x －3|，然后分△OAC ∽△P AD 和△OAC ∽△APD 两种情况进行讨论，得出结果；(3)首先求出△AOC 的面积，进而得出△AOQ 的面积，然后根据点A 和点B 的坐标得出点Q 的位置．解：(1)根据题意可得⎩⎨⎧3a ＋3b ＝－3，27a ＋33b ＝0，解得⎩⎨⎧a ＝12，b ＝－332，∴抛物线的表达式为y ＝12x 2－332x ；(2)根据题意可得点C 的坐标为(0，－3)，则OC ＝3，AC ＝3， 设P (x ，y )，则PD ＝y ＋3，AD ＝x － 3.若△OAC ∽△P AD ，则AC OC ＝AD PD ，即33＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －3y ＋3，∵y ＝12x 2－332x ，∴±33＝x －312x 2－332x ＋3，整理得x 2－53x ＋12＝0或者x 2－3x ＝0，前者解得x ＝43或3(舍去)，后者解得x ＝0或3(舍去)， ∴P 1(43，6)或P 2(0，0)；若△OAC ∽△APD ，则AC OC ＝PD AD ，即±33＝y ＋3x －3，∵y ＝12x 2－332x ，∴±33＝12x 2－332x ＋3x －3，整理得3x 2－113x ＋24＝0或者3x 2－73x ＋12＝0，前者解得x ＝833或3(舍去)，后者解得x ＝433或3(舍去)．∴P 3⎝⎛⎭⎫433，－103或P 4⎝⎛⎭⎫833，－43. 综上所述，P 点坐标为(43，6)或(0，0)或⎝⎛⎭⎫433，－103或⎝⎛⎭⎫833，－43；(3)∵OC ＝3，AC ＝3，∴S △AOC ＝OC ·AC 2＝332.∵S △AOC ＝13S △AOQ ，∴S △AOQ ＝932.∵OB ＝33，点A 到x 轴的距离d ＝3，∴S △AOB ＝OB ·d 2＝932，故存在点Q ，使得S △AOC ＝13S △AOQ ，此时点Q 的坐标为(33，0)．显然过B 点且平行于直线OA 的直线y ＝－3(x －33)与该抛物线的另一交点也符合条件，由－3(x－33)＝12x 2－332x ，整理得x 2－3x －18＝0，解得x ＝33或－2 3.当x ＝－23时，y ＝15，此时点Q 坐标为(－23，15)．∴点Q 的坐标为(33，0)或(－23，15)．2、如图1，抛物线经过点A (4，0)、B （1，0)、C （0，－2）三点．（1）求此抛物线的解析式；（2）P 是抛物线上的一个动点，过P 作PM ∴x 轴，垂足为M ，是否存在点P ，使得以A 、P 、M 为顶点的三角形与∴OAC 相似？若存在，请求出符合条件的 点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC 上方的抛物线是有一点D ，使得∴DCA 的面积最大，求出点D 的坐标．图1 思路点拨1．已知抛物线与x 轴的两个交点，用待定系数法求解析式时，设交点式比较简便． 2．数形结合，用解析式表示图象上点的坐标，用点的坐标表示线段的长． 3．按照两条直角边对应成比例，分两种情况列方程． 4．把∴DCA 可以分割为共底的两个三角形，高的和等于OA ． 满分解答（1）因为抛物线与x 轴交于A (4，0)、B （1，0)两点，设抛物线的解析式为)4)(1(--=x x a y ，代入点C 的 坐标（0，－2），解得21-=a ．所以抛物线的解析式为22521)4)(1(212-+-=---=x x x x y ． （2）设点P 的坐标为))4)(1(21,(---x x x ． ∴如图2，当点P 在x 轴上方时，1＜x ＜4，)4)(1(21---=x x PM ，x AM -=4． 如果2==CO AOPM AM ，那么24)4)(1(21=----xx x ．解得5=x 不合题意． 如果21==CO AO PMAM ，那么214)4)(1(21=----x x x ．解得2=x ． 此时点P 的坐标为（2，1）．∴如图3，当点P 在点A 的右侧时，x ＞4，)4)(1(21--=x x PM ，4-=x AM ． 解方程24)4)(1(21=---x x x ，得5=x ．此时点P 的坐标为)2,5(-．解方程214)4)(1(21=---x x x ，得2=x 不合题意． ∴如图4，当点P 在点B 的左侧时，x ＜1，)4)(1(21--=x x PM ，x AM -=4．解方程24)4)(1(21=---x x x ，得3-=x ．此时点P 的坐标为)14,3(--． 解方程214)4)(1(21=---x x x ，得0=x ．此时点P 与点O 重合，不合题意． 综上所述，符合条件的 点P 的坐标为（2，1）或)14,3(--或)2,5(-．图2 图3 图4 （3）如图5，过点D 作x 轴的垂线交AC 于E ．直线AC 的解析式为221-=x y ． 设点D 的横坐标为m )41(<<m ，那么点D 的坐标为)22521,(2-+-m m m ，点E 的坐标为)221,(-m m ．所以)221()22521(2---+-=m m m DE m m 2212+-=．因此4)221(212⨯+-=∆m m S DAC m m 42+-=4)2(2+--=m ．当2=m 时，∴DCA 的面积最大，此时点D 的坐标为（2，1）．图5 图63、如图1，已知抛物线的方程C 1：1(2)()y x x m m=-+- (m ＞0)与x 轴交于点B 、C ，与y 轴交于点E，且点B 在点C 的左侧．（1）若抛物线C 1过点M (2, 2)，求实数m 的值； （2）在（1）的条件下，求∴BCE 的面积；（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H ，使得BH ＋EH 最小，求出点H 的坐标； （4）在第四象限内，抛物线C 1上是否存在点F ，使得以点B 、C 、F 为顶点的三角形与∴BCE 相似？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由．图1思路点拨1．第（3）题是典型的“牛喝水”问题，当H 落在线段EC 上时，BH ＋EH 最小．2．第（4）题的解题策略是：先分两种情况画直线BF ，作∴CBF ＝∴EBC ＝45°，或者作BF //EC ．再用含m 的式子表示点F 的坐标．然后根据夹角相等，两边对应成比例列关于m 的方程． 满分解答（1）将M (2, 2)代入1(2)()y x x m m =-+-，得124(2)m m =-⨯-．解得m ＝4．（2）当m ＝4时，2111(2)(4)2442y x x x x =-+-=-++．所以C (4, 0)，E (0, 2)． 所以S ∴BCE ＝1162622BC OE ⋅=⨯⨯=．（3）如图2，抛物线的对称轴是直线x ＝1，当H 落在线段EC 上时，BH ＋EH 最小． 设对称轴与x 轴的交点为P ，那么HP EO CP CO=．因此234HP =．解得32HP =．所以点H 的坐标为3(1,)2．（4）∴如图3，过点B 作EC 的平行线交抛物线于F ，过点F 作FF ′∴x 轴于F ′．由于∴BCE ＝∴FBC ，所以当CE BC CB BF=，即2BC CE BF =⋅时，∴BCE ∴∴FBC ．设点F 的坐标为1(,(2)())x x x m m -+-，由''FF EO BF CO =，得1(2)()22x x m m x m+-=+． 解得x ＝m ＋2．所以F ′(m ＋2, 0)．由'CO BF CE BF =4m BF +=．所以BF =由2BC CE BF =⋅，得2(2)m +=整理，得0＝16．此方程无解．图2 图3 图4∴如图4，作∴CBF ＝45°交抛物线于F ，过点F 作FF ′∴x 轴于F ′，由于∴EBC ＝∴CBF ，所以BE BC BC BF =，即2BC BE BF =⋅时，∴BCE ∴∴BFC ．在Rt∴BFF′中，由FF ′＝BF ′，得1(2)()2x x m x m+-=+．解得x ＝2m ．所以F ′(2,0)m ．所以BF′＝2m ＋2，2)BF m =+．由2BC BE BF =⋅，得2(2)2)m m +=+．解得2m =±综合∴、∴，符合题意的m 为2+4、如图1，Rt∴ABC 中，∴ACB ＝90°，AC ＝6 cm ，BC ＝8 cm ，动点P 从点B 出发，在BA 边上以每秒5 cm 的速度向点A 匀速运动，同时动点Q 从点C 出发，在CB 边上以每秒4 cm 的速度向点B 匀速运动，运动时间为t 秒（0＜t ＜2），连接PQ ．（1）若∴BPQ 与∴ABC 相似，求t 的值；（2）如图2，连接AQ 、CP ，若AQ ∴CP ，求t 的值； （3）试证明：PQ 的中点在∴ABC 的一条中位线上．图1 图2思路点拨1．∴BPQ 与∴ABC 有公共角，按照夹角相等，对应边成比例，分两种情况列方程．2．作PD ∴BC 于D ，动点P 、Q 的速度，暗含了BD ＝CQ ．3．PQ 的中点H 在哪条中位线上？画两个不同时刻P 、Q 、H 的位置，一目了然．满分解答（1）Rt∴ABC 中，AC ＝6，BC ＝8，所以AB ＝10． ∴BPQ 与∴ABC 相似，存在两种情况：∴ 如果BP BA BQ BC =，那么510848t t =-．解得t ＝1．∴ 如果BP BC BQ BA =，那么588410t t =-．解得3241t =．图3 图4（2）作PD ∴BC ，垂足为D ．在Rt∴BPD 中，BP ＝5t ，cos B ＝45，所以BD ＝BP cos B ＝4t ，PD ＝3t ．当AQ ∴CP 时，∴ACQ ∴∴CDP ．所以AC CD QC PD =，即68443t t t -=．解得78t =．图5 图6（3）如图4，过PQ 的中点H 作BC 的垂线，垂足为F ，交AB 于E ． 由于H 是PQ 的中点，HF //PD ，所以F 是QD 的中点． 又因为BD ＝CQ ＝4t ，所以BF ＝CF ． 因此F 是B C 的中点，E 是AB 的中点． 所以PQ 的中点H 在∴ABC 的中位线EF 上．5、如图1，已知抛物线211(1)444b y x b x =-++（b 是实数且b ＞2）与x 轴的正半轴分别交于点A 、B （点A位于点B 是左侧），与y 轴的正半轴交于点C ．（1）点B 的坐标为______，点C 的坐标为__________（用含b 的代数式表示）；（2）请你探索在第一象限内是否存在点P ，使得四边形PCOB 的面积等于2b ，且∴PBC 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q ，使得∴QCO 、∴QOA 和∴QAB 中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．图1 思路点拨1．第（2）题中，等腰直角三角形PBC 暗示了点P 到两坐标轴的距离相等．2．联结OP ，把四边形PCOB 重新分割为两个等高的三角形，底边可以用含b 的式子表示． 3．第（3）题要探究三个三角形两两相似，第一直觉这三个三角形是直角三角形，点Q 最大的可能在经过点A 与x 轴垂直的直线上． 满分解答（1）B 的坐标为(b , 0)，点C 的坐标为(0, 4b )．（2）如图2，过点P 作PD ∴x 轴，PE ∴y 轴，垂足分别为D 、E ，那么∴PDB ∴∴PEC ． 因此PD ＝PE ．设点P 的坐标为(x, x)． 如图3，联结OP ．所以S 四边形PCOB ＝S ∴PCO ＋S ∴PBO ＝1152428b x b x bx ⨯⋅+⨯⋅=＝2b ．解得165x =．所以点P 的坐标为(1616,55)．图2 图3（3）由2111(1)(1)()4444b y x b x x x b =-++=--，得A (1, 0)，OA ＝1． ∴如图4，以OA 、OC 为邻边构造矩形OAQC ，那么∴OQC ∴∴QOA ．当BA QA QA OA =，即2QA BA OA =⋅时，∴BQA ∴∴QOA ．所以2()14b b =-．解得8b =±Q 为(1,2+．∴如图5，以OC 为直径的圆与直线x ＝1交于点Q ，那么∴OQC ＝90°。

专题15 相似三角形之动点问题1．如图，在Rt ABC V 中，9034C AC BC Ð=°==，，，点E 是直角边AC 上动点，点F 是斜边AB 上的动点（点F 与A B 、两点均不重合）．且EF 平分Rt ABC V 的周长，设AE 长为x ．(1)试用含x 的代数式表示AF = ；(2)若AEF △的面积为165，求x 的值；(3)当AEF △是等腰三角形时，求出此时AE 的长．∵BC AC FD ⊥，∴BC DF ∥．∴FDA BCA ∽V V ∴BC DF AB AF =，即∵EMA C Ð=Ð=∴EAM BAC ∽V V ∴AE AM AB AC=，1(6)x -同理FAN BAC ∽V V ∴FA AN AB AC=，∴16253x x -=，2．如图，在ABC V 中，90ABC а＝，4AB ＝，3BC ＝，点P 从点A 出发，沿线段AB 以每秒5个单位长度的速度向终点B 运动，当点P 不与点A 、B 重合时，作点P 关于直线AC 的对称点Q ，连结PQ ，以PQ 、PB 为边作PBMQ Y ．设PBMQ Y 与ABC V 重叠部分图形的面积为S ，点P 的运动时间为t 秒．(1)直接用含t 的代数式表示线段PQ 的长并写出t 的取值范围；(2)当点M 落在边AC 上时，求t 的值及此时PBMQ Y 的面积；(3)求S 与t 之间的函数关系式；(4)当PBMQ Y 的对角线的交点到ABC V 的两个顶点的距离相等时，直接写出t 的值．由意得5AP t ＝，PO QO ＝∴225AC AB BC +=＝，∵ABC AOP ∽△△，AC BC \=1122ABC S AB BC AC =×=Q △125AB BC BM AC ×\==∵四边形PQMB 是平行四边形，(45PQMB TQO S S S t =-=-Y △当2455t << 时，如图3﹣BT AC⊥Q 125AB BC BT AC \==g 2224AT AB BT \=-=则AK CK =，设AK CK =在Rt CBK V 中，2CK BC =∴()22234x x =+-，解得258x =，∵OL AB ∥，QO OB = ，∴直线OL 平分QP ，∴点L 在线段PQ 上，且AL ∴5t =．3．如图，在矩形ABCD 中，BC CD >，,BC CD 分别是一元二次方程214480x x -+=的两个根，连结BD ，动点P 从B 出发，以1个单位每秒速度，沿BD 方向运动，同时，动点Q 从点D 出发，以同样的速度沿射线DA 运动，当点P 到达点D 时，点Q 即停止运动，设运动时间为t 秒.以PQ 为斜边作Rt PQM D ，使点M 落在线段BD 上.(1)求线段BD 的长度；D面积的最大值；(2)求PDQ(3)当PQMD与BCDD相似时，求t的值.4．如图，在ABC V 中，10cm AB = ，20cm BC =，点P 从点A 开始沿AB 边向B 点以2cm /s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以4cm /s 的速度移动，如果P Q ， 分别从A B ， 同时出发，问经过几秒钟，△△P B Q A B C : ．5．如图，在ABC V 中，90C Ð=°，6AC =，8BC =，D 是BC 边的中点，E 为AB 边上的一个动点，作90DEF Ð=°，EF 交射线BC 于点F ．设BE x =，BED V 的面积为y ．(1)求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；(2)如果以B 、E 、F 为顶点的三角形与BED V 相似，求BED V 的面积．【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，函数关系式．注意（2）中都要分情况进行讨论：要分BEF Ð时钝角还是锐角进行分类讨论，不要丢掉任何一种情况．6．如图，矩形ABCD 中，AD AB ==25， ，P 为CD 边上的动点，当ADP △与BCP V 相似时，求DP 长．7．如图，在ABC V 中，908C AC Ð=°=，cm ，动点P 从点C 出发沿着C B A --的方向以2cm/s 的速度向终点A 运动，另一动点Q 同时从点A 出发沿着AC 方向以1cm/s 的速度向终点C 运动，P 、Q 两点同时到达各自的终点，设运动时间为t （s ）．APQ V 的面积为2cm S ．(1)求BC的长；(2)求S与t的函数关系式，并写出的取值范围；V相似？(3)当t为多少秒时，以P、C、Q为顶点的三角形和ABC8．如图，在ABC V 中，8cm 10cm AB AC ==、，点P 从A 出发，以2cm/s 的速度向B 运动，同时点Q 从C 出发，以3cm/s 的速度向A 运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动的时间为s t ,(1)则AP = ；AQ = ____ (用含t 的代数式表示)(2)求运动时间t 的值为多少时，以A 、P 、Q 为顶点的三角形与ABC V 相似？9．如图1，在Rt ABC △中，=90=6cm =8cm ACB AC BC а，，，动点P 从点B 出发，在BA 边上以每秒5cm 的速度向点A 匀速运动，同时动点Q 从点C 出发，在CB 边上以每秒4cm 的速度向点B 匀速运动，运动时间为t 秒()02t ＜＜，连接PQ ．(1)若BPQ V 与ABC V 相似，求t 的值；(2)直接写出BPQ V 是等腰三角形时t 的值；(3)如图2，连接AQ 、CP ，若AQ CP ⊥，求t 的值．则12BG PB ==∵=QBG ABC ÐÐ∴BGQ BCA ~V V BG BQ =5∵PM BC ACB ⊥Ð，∴PM AC ∥，10．如图1，在ABC V 中，90,3,4BCA AC BC а＝＝＝，点P 为斜边AB 上一点，过点P 作射线PD PE ⊥，分别交AC 、BC 于点D ，E ．(1)问题产生∶若P 为AB 中点，当,PD AC PE BC ⊥⊥时，PD PE= ；(2)问题延伸：在（1）的情况下，将若∠DPE 绕着点P 旋转到图2的位置，PD PE 的值是否会发生改变？如果不变，请证明；如果改变，请说明理由；(3)问题解决：如图3，连接DE ，若PDE V 与ABC V 相似，求BP 的值．（3）如图2，连接CP，如图3，当PDE △∽△∵90DPE ACB Ð+Ð=°∴点C 、D 、P 、E 共圆，综上所述：165BP =或【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质．通过添加合适的辅助线证明三角形相似是解题的关键．同时，本题考查了三角形的中位线定理，以及利用四点共圆证明角相等，是一道综合题．11．如图，在平面直角坐标系内，已知点A （0，6）、点B （8，0），动点P 从点A 开始在线段AO 上以每秒1个单位长度的速度向点O 移动，同时动点Q 从点B 开始在线段BA 上以每秒2个单位长度的速度向点A 移动，设点P 、Q 移动的时间为t 秒．(1)当t 为何值时，△APQ 与△AOB 相似？(2)当t 为何值时，△APQ 的面积为245∵QE⊥AO，BO⊥AO，∴QE∥BO，∴△AEQ∽△AOB，∴45QE BOAQ AB==44812．如图，在矩形ABCD中，12AB=cm，=3AD cm，点E、F同时分别从D、B两点出发，以1cm/s 的速度沿DC、BA向终点C、A运动，点G、H分别为AE、CF的中点，设运动时间为t（s）．(1)求证：四边形EGFH是平行四边形．(2)填空：①当t为______s时，四边形EGFH是菱形；②当t为______s时，四边形EGFH是矩形．13．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4cm ，BC ＝8cm ，点D ，E 分别为边AB ，AC 的中点，连结DE ，点P 从点B 出发，沿折线BD －DE －EA 运动，到点A 后立即停止．点P 在BD 的速度运动，在折线DE －EA 上以1cm/s 的速度运动．在点P 的运动过程中，过点P 作PQ ⊥BC 于点Q ，以PQ 为边作正方形PQMN ，点M 在线段BQ 上．设点P 的运动时间为t （s ）．(1)当点P 在线段DE 上时，求正方形PQMN 的边长．(2)当点N 落在边AB 上时，求t 的值．(3)在点P 的整个运动过程中，记正方形PQMN 与△ABC 重叠部分图形面积为S （cm ²），求S 与t 的函数关系式，写出相应t的取值范围．14．如图，矩形ABCD 中，15AB cm =，10BC cm =，动点P 从点A 出发，沿AB 边以2/s cm 的速度cm的速度向点A匀速移动，一个动点到达端向点B匀速移动，动点Q从点D出发，沿DA边以1/s点时，另一个动点也停止运动，点P，Q同时出发，设运动时间为s t．(1)当t为何值时，APQ△的面积为216cm(2)t为何值时，以A，P，Q为顶点的三角形与ABCV相似．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，一元二次方程的解法等知识，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键，同时注意分类讨论思想的运用．15．阅读与思考如图是两位同学对一道习题的交流，请认真阅读下列对话并完成相应的任务．解决问题：(1)写出正确的比例式及后续解答．(2)指出另一个错误，并给出正确解答．拓展延伸：(3)如图，已知矩形ABCD的边长AB＝3cm，BC＝6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．16．如图，在平面直角坐标系中，已知OA＝12厘米，OB＝6厘米．点P从点O开始沿OA向点A 以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BO向点O以1厘米/秒的速度移动．当一点运动到终点时，另一点也随之停止．如果P、Q同时出发，用t(秒)表示移动的时间(0＜t＜6)，求当V POQ与V AOB相似时t的值．17．如图，△ABC中，AB＝AC＝10cm．BC＝16cm，动点P从点C出发沿线段CB以2cm/s的速度向点B运动，同时动点Q从点B出发沿线段BA以1cm/s的速度向点A运动，当其中一个动点停止运动时另一个动点也停止运动，设运动时间为t（单位：s），以点Q为圆心，BQ长为半径的⊙Q与射线BA、线段BC分别交于点D，E，连接DP．(1)当t为何值时，线段DP与⊙Q相切；(2)若⊙Q与线段DP只有一个公共点，求t的取值范围；(3)当△APC是等腰三角形时，直接写出t的值．18．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，AC＝6，点P，Q同时从点B出发，点P以每秒5个单位长度的速度沿折线BA﹣AC运动，点Q以每秒3个单位长度的速度沿折线BC﹣CA运动，当点P，Q相遇时，两点同时停止运动，设点P运动的时间为t秒，△PBQ的面积为S．(1)当P，Q两点相遇时，t＝ 秒；(2)求S关于t的函数关系式，并直接写出t的取值范围．90PHB C \Ð=Ð=°，B B ÐÐ=Q ，ΔΔABC PBH \∽，\PH BP AC AB=，165PC t =-，113(16522S PQ PC t t =´=´´-当833t ……时，如图，248PQ t =-，118(248)22S PQ BC t =´=´-=-19．如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝16，BC＝12．动点P 从点B 出发，沿线段BA 以每秒 2 个单位长度的速度向终点 A 运动，同时动点Q 从点 A 出发，沿折线AC—CB 以每秒 2 个单位长度的速度向点 B 运动．当点P 到达终点时，点Q 也停止运动．设运动的时间为t 秒．(1)AB= ；(2)用含t 的代数式表示线段CQ 的长；(3)当Q 在AC 上运动时，若以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABC 相似，求t 的值；(4)设点O 是PA 的中点，当OQ 与△ABC 的一边垂直时，请直接写出t 的值．【点睛】本题考查了勾股定理，动点问题，相似三角形的性质与判定，分类讨论是解题的关键．20．如图，抛物线23y ax bx =+-交x 轴于()30A -,，()10B ,两点，与y 轴交于点.C 连接AC ，BC ．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，点P 为抛物线在第三象限的一个动点，PM x ⊥轴于点M ，交AC 于点G ，PE AC ⊥于点E ，当PGE V 的面积为1时，求点P 的坐标；(3)如图2，若Q 为抛物线上一点，直线OQ 与线段AC 交于点N ，是否存在这样的点Q ，使得以A ，O ，N 为顶点的三角形与ABC V 相似．若存在，请求出此时点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）把()30A -，和()10B ，的坐标代入抛物线解析求出a 和b 即可求解；（2）求出直线AC 的解析式为3y x =--，设()223P n n n +-，，则()3G n n --，，由三角形面积可得出1n =-或2n =-，则可得出答案；（3）分两种情况，①若AON ABC V V ∽，②若AON ACB V V ∽，由相似三角形的性质可求出ON 的长，求出N 点坐标，联立直线ON 和抛物线的解析式可求出答案．（1）解：∵抛物线y =a 2x +bx -3交x 轴于()30A -，，()10B ，两点，∴933030a b a b --=ìí+-=î ，解得12a b =ìí=î，∴该抛物线的解析式为223y x x =+-；（2）解：∵抛物线的解析式为223y x x =+-，∴0x =时，=3y -，∴()03C -，，∴AO OC =．∵=90AOC а，∴45CAO Ð=°．∵PM OA ⊥，PE AC ⊥，∴45PGM PGE GPE Ð=Ð=Ð=°，设直线AC 的解析式为y kx m =+，∴303k m m +=ìí=-î ，∴13k m =-ìí=-î，∴直线AC 的解析式为3y x =--，设()223P n n n +-，，则()3G n n --，，∴94 AK=，∴93344 OK=-=，∴39,44Næö--ç÷èø，∴直线ON的解析式为3y=。

初三数学---相似三角形的动点问题模型：图務中，如果存在一个或者两个动点，求两个动点与某一个定点所构成的三角邢与原三角形相似 如图：RtAABC 中，AB=8, AO10*点卩以每秒1个单位由A 点向B 点够动，点Q 以每秒2个单位由匚点向A 点移动，当其中一点到达时，两个运动的点同时停止运动，问：如杲设运动吋间为匚当t 为 多少时’ AAPQ 与△ABC 相似？分祈：(1)动点：在本筷型中，卩、Q 为两个动点，线段AP 、BP. CQ. AQ 长随时莊找生改变.但是， AP 段代表P 点移动的距离，可以用 ________________ 来表示，那么BP 线段可以用 ____ 来表示一同理,CQ 线段代表Q 点移动的距离，可以用 ______ 表示，AQ 则囲 _______ 養示.(2)相似：两种情况：①△APQ S AABC;②厶APQ S AACB证明：〒先 AP 二 __ , BP= ___________ , CQ=_______, AQ= __________①当△APQ S AABC 时②当△APQ CO AACB 时AP _ <)AE - <AP L?AC _：t ( \ t _ f ? a~ r \d'lQ _ ( 3:X =.-.t =当亡=或上=时’ AAPQ 与△ABC 相似.总结：在劫点型间題中，我们要注意两项：1，把国形中所有变化的議段的长度全部用字母表示出来; 2. 在求证三角瑙相似时，要记住有两种情况！例1在RtAABC中，ZC=90D , AO20cm. BC=15cm.现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点（：出发’沿线段OJ也向点B方向运动.如果点卩的速度是4切/秒「点Q的速度是2cm/秒，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点吋，就停止运动.设运动的时间为t秒，（1）用含t的代数式表示RtACPQ的血积Sj <2）当说秋时*人Q两点之间的距离是务少？（3）当t为多少秒时，以点C.Q为顶点的三箱形与比相似?例2如图*在矩形ABCD中，AB-12CJT, BC-ficm，点卩沿妞边从点A开始向点B以2cm/s的速度移动：点◎沿DA边从点D开始问点A以lcm/s的速度’如果化Q同时出发，用t （s）袤示移动的时虬共屮0<t<6（那么：（1）当t为何值时，△QA卩是等腰直角三角形？住）求四边形QAPC的谄枳，提出一牛与计算结果有关的结论；（3）当t为何值时，以点Q、A. P为顶点的三角形与△ABC相似？A P U例3如圈所示，在A ABC BA=BC=20cm J AC=30cm,点卩从A 点出发，沿着屈以每秒4伽的速度向11 点运动；同时点Q 从匚点出发，沿CA 以每秋3cm 的速度向A 点运动’设运动时间为x, ｛门当x 为何值时,能，请说明理由.例巾如图，在平面直角坐标系内，己知点A (0,6X 点H (8+0),动点卩从点A 幵始在线段AO 上以每秒I 个单位长度的速度向点0移动*同时动点Q 从点R 开始在线段BA 上以每秒2个单位抵度的速度向点A 移动’设点巴Q 移动的时间为t 秒.(D 求直线AB K 解析式；(2)当t 为何值时+ MPQ 与MOR 相伽课堂练习PQ//BC?的值* (3) AAPQ 能否与ACQB 相似？若能，求出2的长；若不<3)当t 为何值时’ 24MPQ 的血积为g 个平方单位?*砒Q1*如图*直角梯形ABCD中，AD/7BC. AB丄BC,若AD=2, BC=3, AB^7,动点P在AB上，则使△PAD与△PBC相似的PA的值？(求出所有可能的情形)2.如图’在长方形ABCD中，AB-2T BC=4, Q是DC边的中点，P为一动点，若点P从B点出发：以1个单位/秒的速度沿着BC方向运动.设从点B出发运动了1秒，(1)写出AAQP的面积y关于x的函数关系式.并求出自变量從的取值范围.(2)问当x取何值时，AAQP是等腰三角形？3,如图，AABC中，ZC=90° , AC=3cm, BC=4cm,动点P从点B岀发以2cm/s的速度向点C移动，动点Q 从C出发以1cm/s的速度向点A移动，如果动点P、Q同时出发，耍使ACPQ与ACBA相似「所需要的时间是多少秒？P4. i □图，正方形ABCD 的边长为4, E 是BC 边的中点，点P 在射线AD 上，过P 点作PF 丄AE 丁 F. 1 ）求证：A PFA^A ABE ：<2)当点P 在射线AD 上运动时，设PA=x,是否存在实数也使以P 、F 、E 为顶点的三角形也与A ABE相似？若存在，请求出x 的值：若不存在，说明理由*5. 如图，已^flAABC 是边长是6cm 的等边三角形，动点P 、Q 同时从A 、B 两点出发，分别沿AB 、BC 匀速运动，其中，点P 运动的速度是Icm/s,点Q 送动的速度是2cm/s.当点Q 到达点C 时，P 、Q 两点 都停止运动，设运动时间为t, (I)当"2时，判断ZXBPQ 的形状，并说明理由；(2)设ABPQ 的面积为 S,求S 与I 的函数关系式：(3)作QR//BA 交AC 于点R,连接PR*当t 为何值时，AAPR^APRQ?BRC。

相似三角形的动点问题一、动点型例1、如图，已知等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形（点M的位置改变时，△DMN也随之整体移动）．（1）如图1，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？点F是否在直线NE上？都请直接写出结论，不必证明或说明理由；（2）如图2，当点M在BC上时，其它条件不变，（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；（3）若点M在点C右侧时，请你在图3中画出相应的图形，并判断（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请直接写出结论，不必证明或说明理由．例2、如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=8cm．点E、F、G分别从点A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动．点E、G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t秒时，△EFG的面积为S（cm2）（1）当t=1秒时，S的值是多少？（2）写出S和t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围（3）若点F在矩形的边BC上移动，当t为何值时，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F、C、G为顶点的三角形相似？请说明理由．迁移应用1、如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q 到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），（1）当t＝2时，判断△BPQ的形状，并说明理由；（2）设△BPQ的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；（3）作QR//BA交AC于点R，连结PR，当t为何值时，△APR∽△PRQ？2、如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠D=90o，AC⊥BC，AB=10cm,BC=6cm，F点以2cm／秒的速度在线段AB上由A向B匀速运动，E点同时以1cm／秒的速度在线段BC 上由B向C匀速运动，设运动时间为t秒(0<t<5)．1）求证：△ACD∽△BAC；2）求：DC的长；3）试探究：△BEF可以为等腰三角形吗？若能，求t的值；若不能，请说明理由．3、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=6，BC=8，AB=33，点M 是BC的中点．点P从点M出发沿MB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，到达点B后立刻以原速度沿BM返回；点Q从点M出发以每秒1个单位长的速度在射线MC上匀速运动．在点P，Q的运动过程中，以PQ为边作等边三角形EPQ，使它与梯形ABCD在射线BC的同侧．点P，Q同时出发，当点P返回到点M时停止运动，点Q也随之停止．设点P，Q运动的时间是t秒（t＞0）．（1）设PQ的长为y，在点P从点M向点B运动的过程中，写出y与t之间的函数关系式（不必写t的取值范围）；（2）当BP=1时，求△EPQ与梯形ABCD重叠部分的面积；（3）随着时间t的变化，线段AD会有一部分被△EPQ覆盖，被覆盖线段的长度在某个时刻会达到最大值，请回答：该最大值能否持续一个时段？若能，直接写出t的取值范围；若不能，请说明理由．二、动点加动线例1、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A 出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B 时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．（1）当t=2时，AP= ，点Q到AC的距离是；（2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S与t的函数关系式；（不必写出t 的取值范围（3）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形？若能，求t的值．若不能，请说明理由；（4）当DE经过点C时，请直接写出t的值．迁移应用1、如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s 的速度向A点匀速运动，问：是否存在时刻t，使以A、M、N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求t的值．2、如图，正方形ABCD 的边长为4，E 是BC 边的中点，点P 在射线AD 上，过P 作PF ⊥AE 于F ．（1）求证：△PFA ∽△ABE ；（2）当点P 在射线AD 上运动时，设PA=x ，是否存在实数x ，使以P ，F ，E 为顶点的三角形也与△ABE 相似？若存在，请求出x 的值；若不存在，说明理由．3、如图，已知A （8，0），B （0，6），两个动点P 、Q 同时在△OAB 的边上按逆时针方向（→O →A →B →O →）运动，开始时点P 在点B 位置，点Q 在点O 位置，点P 的运动速度为每秒2个单位，点Q 的运动速度为每秒1个单位．（1）在前3秒内，求△OPQ 的面积S 与时间t 之间的关系式；并求出△OPQ 的最大面积； （2）在前10秒内，秋P 、Q 两点之间的最小距离，并求此时点P 、Q 的坐标；（3）在前15秒内，探究PQ 平行于△OAB 一边的情况，并求平行时点P 、Q 的坐标．4、已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC 是直角三角形，∠ACB ，点A 、C 的坐标分别为A(-3,0)，C(1,0)，43AC BC , （1）求过点A 、B 的直线的函数表达式；（2）在X 轴上找一点D,连接DB ，使得△ADB 与△ABC 相似（不包括全等），并求点Dyx O AB的坐标；（3）在（2）的条件下，如P、Q分别是AB和AD上的动点，连接PQ，设AP=DQ=m，问是否存在这样的m使得△APQ与△ADB相似，如存在，请求出m的值；如不存在，请说明理由．5、如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点A在x轴上，点C在Y轴上，将边BC折叠，使点B落在边OA的点D处．已知折叠CE=55，且43DAEA（1）判断OCD与△ADE是否相似？请说明理由；x（2）求直线CE与x轴交点P的坐标；（3）是否存在过点D的直线L，使直线L、直线CE与x轴所围成的三角形和△CDE相似？如果存在，请直接写出其解析式并画出相应的直线；如果不存Array在，请说明理由．6、△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点P从点B开始沿BC边以每秒1的速度向点C运动，点Q从点C开始沿CA边以每秒2的速度向点A运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交BC于点E．点P，Q分别从B，C两点同时出发，当点Q运动到点A时，点Q、p停止运动，设它们运动的时间为x．1）当x= 秒时，射线DE经过点C；2）当点Q运动时，设四边形ABPQ的面积为y，求y与x的函数关系式；3）当点Q运动时，是否存在以P、Q、C为顶点的三角形与△PDE相似？若存在，求出x 的值；若不存在，请说明理由．7、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=20cm，AD=40cm，∠D=120°，点P、Q同时从C点出发，分别以2cm/s和1cm/s的速度沿着线段CB和线段CD运动，当Q到达点D，点P也随之停止运动．设运动时间为t（s）（1）当t为何值时，△CPQ与△ABP相似；（2）设△APQ与梯形ABCD重合的面积为S，求S与t的函数关系式，写出自变量的取值范围．8、如图，直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠DAB=90°，AD=2DC=4，AB=6．动点M以每秒1个单位长的速度，从点A沿线段AB向点B运动；同时点P以相同的速度，从点C沿折线C-D-A向点A运动．当点M到达点B时，两点同时停止运动．过点M作直线l∥AD，与线段CD 的交点为E ，与折线A-C-B 的交点为Q ．点M 运动的时间为t （秒）． （1）当t=0.5时，求线段QM 的长；（2）当0＜t ＜2时，如果以C 、P 、Q 为顶点的三角形为直角三角形，求t 的值； （3）当t ＞2时，连接PQ 交线段AC 于点R ．请探究RQCQ是否为定值，若是，试求这个定值；若不是，请说明理由．9、如图1，直角梯形ABCD 中，∠A=∠B=90°，AD=AB=6cm ，BC=8cm ，点E 从点A 出发沿AD 方向以1cm/s 的速度向中点D 运动；点F 从点C 出发沿CA 方向以2cm/s 的速度向终点A运动，当点E、点F中有一点运动到终点，另一点也随之停止．设运动时间为ts．（1）当t为何值时，△AEF和△ACD相似？（2）如图2，连接BF，随着点E、F的运动，四边形ABFE可能是直角梯形？若可能，请求出t的值及四边形ABFE的面积；若不能，请说明理由；（3）当t为何值时，△AFE的面积最大？最大值是多少？10、如图，在平面直角坐标系中．四边形OABC是平行四边形．直线l经过O、C两点．点A的坐标为（8，0），点B的坐标为（11，4），动点P在线段OA上从点O出发以每秒1个单位的速度向点A运动，同时动点Q从点A出发以每秒2个单位的速度沿A→B→C的方向向点C运动，过点P作PM垂直于x轴，与折线O一C-B相交于点M．当P、Q两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点P、Q运动的时间为t秒（t＞0）．△MPQ的面积为S．（1）点C的坐标为，直线l的解析式为。

动点问题 题型方法归纳动态几何特点—---问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置.） 动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、 相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或 其三角函数、线段或面积的最值。

下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨. 一、三角形边上动点1、直线364y x =-+与坐标轴分别交于A B 、两点,动点P Q 、同时从O 点出发，同时到达A 点，运动停止．点Q 沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度,点P 沿路线O →B →A 运动．（1）直接写出A B 、两点的坐标；（2）设点Q 的运动时间为t 秒，OPQ △的面积为S ,求出S 与t 之间的函数关系式；（3）当485S =时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标．提示:第（2)问按点P 到拐点B 所有时间分段分类；图（3）B图（1）B图（2）2、如图,AB 是⊙O 的直径，弦BC=2cm ，∠ABC=60º． （1）求⊙O 的直径;(2）若D 是AB 延长线上一点,连结CD,当BD 长为多少时，CD 与⊙O 相切；（3）若动点E 以2cm/s 的速度从A 点出发沿着AB 方向运动，同时动点F 以1cm/s 的速度从B 点出发沿BC 方向运动，设运动时间为)20)((<<t s t ，连结EF ，当t 为何值时，△BEF 为直角三角形． 注意：第（3）问按直角位置分类讨论OM AD∥．过顶点D平行于x轴的直线交射线OM于点C，B在x轴正半轴上，连结BC．（1）求该抛物线的解析式；t s．问当t （2）若动点P从点O出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动，设点P运动的时间为()为何值时，四边形DAOP分别为平行四边形？直角梯形?等腰梯形？，动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位（3)若OC OB的速度沿OC和BO运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t()s，连接PQ,当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小？并求出最小值及此时PQ的长．Array注意：发现并充分运用特殊角∠DAB=60°当△OPQ面积最大时，四边形BCPQ的面积最小。

【证明】∵∠ACD＝∠BCA，∠DAC＝∠B， ∴△ACD∽△BCA，∴CADD＝AACB. ∵CD＝CE，∴∠CDE＝∠CED，∴∠ADB＝∠CEA. ∵∠DAC＝∠B，∴△ADB∽△CEA， ∴AACB＝BADE，∴CADD＝BADE，∴CD·BD＝AD·AE.
模型展示
结论
条件：∠C＝∠ABD＝∠E＝90°. 结论：△ABC∽△BDE.
条件：∠C＝∠AGD＝∠F＝90°. 结论：△ABC∽△EDF.
3 【2023·济南市中区期末】如图，在矩形ABCD中，点 E是BC的中点，EF⊥AE交CD于点F.
(1)求证：△ABE∽△ECF. 【证明】∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝∠C＝90°，∴∠＝90°， ∴∠AEB＋∠CEF＝90°，∴∠BAE＝∠CEF， ∴△ABE∽△ECF.
模型2 8字型 【模型解读】两个三角形若有“一对对顶角＋一对等角”， 则出现“8”字型相似．没有说明对应角的关系时，需分 ∠B＝∠C或∠B＝∠D两种情况讨论．
模型展示
结论
条件：AB∥CD． 结论：△AOB∽△DOC．
条件：∠A＝∠C或∠B＝∠D． 结论：△AOB∽△COD．
2 【2023·济南期末】如图，AD，BC相交于点P，连接 AC，BD，且∠1＝∠2，AC＝3，CP＝2，DP＝1，求 BD的长．
第九章 图形的相似
专题(四) 相似三角形的四大 模型
模型1 A字型 【模型解读】两个三角形若有“一个公共角＋一对等角”， 则出现“A”字型相似，没有说明对应角的关系时，需分 ∠AED＝∠B或∠AED＝∠C两种情况讨论．
模型展示
结论
条件：DE∥BC． 结论：△AED∽△ACB．
模型展示
结论 条件：∠AED＝∠B 或AADC＝AAEB. 结论：△ AED∽△ABC．