北京理工大学2017-2018学年第一学期 2017级硕士研究生〈矩阵分析〉终考试题 一、（10分）设线性变换f 在基123[1,1,1],[1,0,1],[0,1,1] ααα=-=-=下的矩阵表示为101110123A -????=????-?? （1）求f 在基123[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]εεε===下的矩阵表示。 （2）求f 的核与值域。 二、（10分）求矩阵20000i A ????=?????? 的奇异值分解。 三、（10分）求矩阵111222111A -????=-????--?? 的谱分解。 四、（15分）已知(1)n u R n ∈>为一个单位列向量，令T A I uu =-，证明 （1）21A =； （2）对任意的X R ∈，如果有AX X ≠，那么22AX X <。 五、（15分）已知矩阵1212a A a ??-??=????-???? ， （1）问当a 满足什么条件时，矩阵幂级数121()k k k A ∞ =+∑绝对收敛？ （2）取a = 0，求上述矩阵幂级数的和。
七、（20分）求下列矩阵的矩阵函数2,sin ,cos tA e A A π π 300030021 01300103123001013000301 00013()()()A A A ??????????? ???===?????? ???????????? 八、（5分）已知 sin 53sin 2sin 52sin sin 5sin sin sin 5sin 2sin 52sin sin 5sin sin 5sin 2sin 52sin sin 53sin t t t t t t tA t t t t t t t t t t t t +--????=-+-????--+?? 求矩阵A 。 九、（5分）已知不相容线性方程组 141223341 10 x x x x x x x x +=??+=??+=??+=? 求其最佳最小二乘解。 十、（10分）已知Hermite 二次型 12312132131(,,)f x x x ix x x x ix x x x =+-+ 求酉变换X UY =将123(,,)f x x x 化为标准型。
现场质量管理与突破性快速改善 课程目标： 建立品质稳定的现场及快速突破性改善的团队和机制，通过系统化改善大幅度降低运营成本。参加人员： 生产现场管理人员、质量经理/主管、项目/质量/工艺工程师等。 课程大纲： 第一天9：00~16：30 ●第1讲:标准化作业 ●现场质量管理的基本要义 ?问题提出与团队组建 自我介绍/分组 ?培训目标及要求 团队突破训练 ?制造业的微笑曲线与痛苦指数 ?现场控制的指标意义 ?中美日制造现场管理比较 ?现场管理四层修炼 观看优秀现场录像 ?卓越现场管理7要点 ?回答学员问题 提问及回答老师问题 ●标准作业的意义与基本要求 ?如何减少员工随意操作带来的浪费及品质风险 ?如何减少对员工经验的依赖及流动风险 ?如何科学设计作业程序以减少劳动强度并提升效率 ?标准化与持续改进 ●标准化作业 ?标准作业的SMART原则 ?标准作业三票 ?SIP的要点与要求 ●培训的标准化 ?作业培训标准化要求 第二天9：00~16：30 ●第3讲:制造过程监控与审核 ●制造过程监控 ?对KPC的预控制 ?X-R控制图 ?过程能力分析与改善 ?KCC的识别与确定 ?KCC监控与数据分析 提问及回答老师问题 ●制造过程审核 ?墨菲定律 ?分层审核的目的/策略及要点 ?过程审核方法及要点 ?分层审核与过程审核的综合运用 分组练习1 ●第4讲:不合格品控制(S.I.R) ●不合格品与可疑品 ?定义不合格品与可疑品的方法及 意义 ?不合格品与可疑品的发生与发现 ●不合格品隔离/评审与处臵 ?不合格品隔离方法 ?不合格品快速评审 ?不合格品处臵方式及跟踪 ●废品率降低与质量成本分析 ?废品率的统计/分类与分析 ?质量损失统计/分析方法及结果应 用 提问及回答老师问题 第三天9：00~16：30 ●第6讲:质量问题快速根除 ●线索生成 ?如何利用现场数据迅速发现问 题的时空规律并选用最佳解决工具 ?对于长期存在的老大难问题, 如何运用4步拆装法迅速判定问题是 由哪些零件引起的，还是装配过程中 的失误造成的 ?对于零件制造过程中的问题, 如何快速问题是由哪些过程参数造成 的,还是材料或加工方法造成的 ?对于铸造/热处理/焊接/喷涂/玻 璃制造等特殊过程，如何锁定重要过 程参数以及最佳作业条件(水平) 分组讨论2 ●线索确认 ?经过前轮筛选，无论存在多少 可疑因子，如何快速确定问题的真正 原因以及最佳解决方法 ?当问题尚处于开发(样品或试 生产)阶段，如何从根源上有效解决 ●效果验证 ?如何用最小样本及臵信度验证 问题的真因及改善效果 分组练习3 ●第7讲:现场质量管理经验库 ●经验库的建立 ?经验库是一切改善的起点和终
课程名称：矩阵分析 一、课程编码：1700002 课内学时： 32 学分： 2 二、适用学科专业：计算机、通信、软件、宇航、光电、生命科学等工科研究生专业 三、先修课程：线性代数，高等数学 四、教学目标 通过本课程的学习，要使学生掌握线性空间、线性变换、Jordan标准形，及各种矩阵分解如QR分解、奇异值分解等，正规矩阵的结构、向量范数和矩阵范数、矩阵函数，广义逆矩阵、Kronecker积等概念和理论方法，提升研究生的数学基础，更好地掌握矩阵理论，在今后的专业研究或工作领域中熟练应用相关的矩阵分析技巧与方法，让科研结果有严格的数学理论依据。 五、教学方式 教师授课 六、主要内容及学时分配 1、线性空间和线性变换（5学时） 1.1线性空间的概念、基、维数、基变换与坐标变换 1.2子空间、线性变换 1.3线性变换的矩阵、特征值与特征向量、矩阵的可对角化条件 2、λ-矩阵与矩阵的Jordan标准形（4学时） 2.1 λ-矩阵及Smith标准形 2.2 初等因子与相似条件 2.3 Jordan标准形及应用； 3、内积空间、正规矩阵、Hermite 矩阵（6学时） 3.1 欧式空间、酉空间 3.2标准正交基、Schmidt方法 3.3酉变换、正交变换 3.4幂等矩阵、正交投影 3.5正规矩阵、Schur 引理 3.6 Hermite 矩阵、Hermite 二次齐式 3.7.正定二次齐式、正定Hermite 矩阵 3.8 Hermite 矩阵偶在复相合下的标准形
4、矩阵分解（4学时） 4.1矩阵的满秩分解 4.2矩阵的正交三角分解（UR、QR分解） 4.3矩阵的奇异值分解 4.4矩阵的极分解 4.5矩阵的谱分解 5、范数、序列、级数（4学时） 5.1向量范数 5.2矩阵范数 5.3诱导范数（算子范数） 5.4矩阵序列与极限 5.5矩阵幂级数 6、矩阵函数（4学时） 6.1矩阵多项式、最小多项式 6.2矩阵函数及其Jordan表示 6.3矩阵函数的多项式表示 6.4矩阵函数的幂级数表示 6.5矩阵指数函数与矩阵三角函数 7、函数矩阵与矩阵微分方程（2学时） 7.1 函数矩阵对纯量的导数与积分 7.2 函数向量的线性相关性 7.3 矩阵微分方程 (t) ()() dX A t X t dt = 7.4 线性向量微分方程 (t) ()()() dx A t x t f t dt =+ 8、矩阵的广义逆（3学时） 8.1 广义逆矩阵 8.2 伪逆矩阵 8.3 广义逆与线性方程组 课时分配说明：第一章的课时根据学生的数学基础情况可以调整，最多5学时，如学生线
矩阵分析及其应用 3.1 矩阵序列 定义3.1 设矩阵序列{A (k)},其中A (k)=() (k ij a )∈C m ?n ,当k →∞， )(k ij a →a ij 时，称矩阵序列{A (k)}收敛，并称矩阵A=(a ij )为矩 阵序列{A (k)}的极限，或称{A (k)}收敛于A, 记为 A A k k =∞ →)(lim 或 A (k)→ A 不收敛的矩阵序列称为发散的。 由定义，矩阵序列A (k) 发散的充要条件为存在ij 使 得数列) (k ij a 发散。 类似地，我们可以定义矩阵收敛的Cauchy 定义 定义3.1' 矩阵序列{A (k)}收敛的充要条件为 对任给ε>0 存在N(ε), 当 k , l ≥ N(ε) 时有 ||A (k)-A (l )|| < ε 其中||.||为任意的广义矩阵范数。 例1 ???? ? ? ??- =∑=-n k n n k k e n n 12) ()sin()1sin(11A 如果直接按定义我们因为求不出A (n )的极限从而 很难应用定义3.1证明收敛。 相反，由于∑∑∑+=+=+=-≤≤n m k n m k n m k k k k k k 112 1 2 ) 1(1 1 ) sin( < 1/m 从而只要l 充分大，则当m, n > l 时就有 ε≤∑ +=n m k k k 1 2 ) sin( 这样A (l ) 收敛。 定理3.1 A (k)→ A 的充要条件为 ||A (k) -A||→0 证明：利用广义矩阵范数的等价性定理，仅对∞范数可以证明。 即 c 1 ||A (k) -A||∞ ≤ ||A (k) -A||≤ c 2 ||A (k) -A||∞ 性质0 若A (k)→ A ， 则 ||A (k)|| → ||A|| 成立。
矩阵分析及其应用 3.1矩阵序列 定义3.1设矩阵序列｛应)｝,其中A?)=(#))￡Cms,当k—oo, 佝时，称矩阵序列｛A00｝收敛，并称矩阵A=(佝)为矩阵序列｛A00｝的极限,或称｛A00｝收敛于A,记为lim A a)= A或A,k)-> A ks 不收敛的矩阵序列称为发散的。 由定义，矩阵序列A(k)发散的充要条件为存在ij使 得数列站发散。 类似地，我们可以定义矩阵收敛的Cauchy定义 定义31矩阵序列｛A00｝收敛的充要条件为 对任给￡>0存在N(E),当k,l> N(E)时有 IIA(k)-A(/)ll < ￡ 其中11.11为任意的广义矩阵范数。 例 1 A(n) e~n sin(-) n y，sin(R) k=l K 7 如果直接按定义我们因为求不出A㈤的极限从 而很难应用定义3.1证明收敛。 相反，由于t^< t^< v 1/m 从而只要/充分大，则当m, n > /时就有 n z sin(A) 这样A")收 定理3.1 A(k)->A的充要条件为 HA'10-AII T O 证明：利用广义矩阵范数的等价性定理，仅对co范数可以证明。 即ci IIA(k) -AIL < IIA(k) -All< c2 IIA(k) -AIL
性质 1.设A(k,—> A mxn, B,k,—> B mxn>则 a- A(k)+P ? B(k) -> a- A+P B, V a,PeC 性质2.设A(k)—> A mxn, B,k)—> B nx/,则 A(k)由如一A B 证明：由于矩阵范数地等价性，我们E以只讨论相容的 矩阵范数。 IIA(k).B(k)-A-BII < II A(k) -B(k) -A-B(k)ll+IIAB(k)- A-BII 2005级电路与系统矩阵分析作业 3－1已知)(ij a A =是n 阶正定Hermite 矩阵，在n 维线性空间n C 中向量 []n x x x ,,,21 =α ，[]n y y y ,,,21 =β定义内积*),(βαβαA =。 （1）证明在上述定义下，n C 是酉空间；（2）写出n C 中的Canchy －Schwarz 不等式。 (1)证明：),(αβ＝H A αβ=H H A )(βα=H A βα ，(βα,k )＝),(βαβαk A k H = ),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+=+=+=+H H H A A A H A αααα=),(，因为A 为正定H 矩阵，所以0),(≥αα，当且仅当0),(0==ααα时， 由上可知 c n 是酉空间。証毕。 （2）解： ∑∑==n j n i j ij i H y a x A |||),(|β αβα ∑∑= =n j n i j ij i x a x ),(||||ααα，∑∑= =n j n i j ij i y a y ),(||||βββ 由Cauchy-Schwarz 不等式有： ∑∑∑∑∑∑≤ n j n i j ij i n j n i n j n i j ij i j ij i y a y x a x y a x * 3－3（1）已知.A ＝???? ??????502613803 －－－，试求酉矩阵U,使得U*AU 是上三角矩阵 解：由|λE-A| = (λ+1) 3 得 λ= －1是A 的特征值，当λ＝－1时，可得|λE-A|＝0 00000 2 01于是ε1＝ （0，1，0）T 是A 的特征向量。选择与ε1正交，并且互相也正交两个向量组成酉阵：U 1= ???? ??????100001010 则U 1*A U 1= ?? ?? ??????---52083063 1 取A 1= ??????--5283，|λE- A 1| = (λ+1)2 λ= －1是A 1的特征值。 当λ＝－1时，可得|λE- A 1|＝0021，于是，α1 ＝（ --52，5 1）T 是A 的特征向量，选择与α1 正交的向量组成酉阵U 2 = ????? ? ??? ???525 1515 2 -，U 2*A 1U 2 = 51??????-2112??????--5283??????-2112 =?? ????---10101 3－9若S ，T 分别是实对称矩阵和反实对称矩阵，且0)det(≠--iS T E ，试证：1 ))((---++iS T E iS T E 是酉矩阵，。 证明：令1)(),(---=++=iS T E C iS T E B ，BC iS T E iS T E A =--++=))((，==A BC A A * *)( 1**1**))(()())((----++++--=iS T E iS T E iS T E iS T E A B C ，又S ，T 分别是实对称矩阵和反实 对称矩阵，即有T T S S -==**,，则有，)()())((* *1**iS T E iS T E iS T E A B C ++++--=- 111))()(()()(-----++--++=--iS T E iS T E iS T E iS T E iS T E ，因为))((iS T E iS T E ++-- 中科院矩阵分析与应用大作业 按照上面建立函数文件，脚本文件。名字不要随便改，要改的话要同内部函数名一起修改。下面放代码，总共七段代码，第一个是主程序进行人机交互，其余为接口函数实现矩阵的各个分解功能。另外容我小小的收点下载券，毕竟花了大概8小时左右。 %%矩阵分解：LU分解；QR分解(schmidt)；Householder；Givens %%2016.11.22 clc,clear all; Matrix=input('请输入需要进行分解的矩阵：'); disp('请选择需要对矩阵进行的操作:'); disp('1.LU分解');disp('2.QR分解'); disp('3.Householder约简');disp('4.Givens约简'); n=input(''); clc;%清除命令窗口内容 Matrix%显示输入矩阵 %%分解操作 switch n case1 LUfactor(Matrix);%LU分解 case2 QR(Matrix);%QR分解 case3 houseHolder(Matrix);%householder约简case4 Givens(Matrix);%Givens约简 end function LUfactor(A) [m n]=size(A); %判断矩阵是否为方阵 if m~=n error('矩阵非方阵，请重新输入！'); end %判断矩阵是否奇异 if det(A)==0 error('矩阵奇异，请重新输入！'); end %判断矩阵顺序主子式是否全不为0 n=size(A,1); flagMat=zeros(n,1); for i=1:n if det(A(1:i,1:i))==0 flagMat(i)=1; end end %以顺序主子式是否含0来决定采用的LU分解方式if any(flagMat)==0 disp('顺序主子式均不为0，采用A=LU'); disp('***LU分解结果***') [L U]=LUFull(A) else disp('顺序主子式存在0，采用PA=LU'); disp('***LU分解结果***') [L U P]=LUPart(A) end 第一章 线性空间与线性变换 （以下题目序号与课后习题序号不一定对应，但题目顺序是一致的，答案为个人整理，不一定正确，仅供参考，另外，此答案未经允许不得擅自上传） （此处注意线性变换的核空间与矩阵核空间的区别） 1.9.利用子空间定义，)(A R 是m C 的非空子集，即验证)(A R 对m C 满足加法和数乘的封闭性。 1.10.证明同1.9。 1.11.rankA n A N rankA A R -==)(dim ,)(dim （解空间的维数） 1.13.提示：设),)(- ?==n j i a A n n ij （，分别令T i X X ),0,0,1,0,0(K K ==(其中1位于i X 的第i 行），代入0=AX X T ，得0=ii a ；令T ij X X )0,0,10,0,1,0,0(K K K ==（其中1位于ij X 的第i 行和第j 行） ，代入0=AX X T ，得0=+++jj ji ij ii a a a a ，由于0==jj ii a a ，则0=+ji ij a a ，故 A A T -=，即A 为反对称阵。若X 是n 维复列向量，同样有0=ii a ， 0=+ji ij a a ， 再令T ij i X X ),0,1,0,0,,0,0(K K K ='=(其中i 位于ij X 的第i 行，1位于ij X 的第j 行），代入0=AX X H ，得0)(=-++ij ji jj ii a a i a a ，由于 0==jj ii a a ，ij ji a a -=，则0==ji ij a a ，故0=A 1.14.AB 是Hermite 矩阵，则AB BA A B AB H H H ===)( 1.15.存在性：令2 ,2H H A A C A A B -=+=，C B A +=，其中A 为任意复矩阵，可验证C C B B H H -==, 唯一性：假设11C B A +=，1111,C C B B H H -==，且C C B B ≠≠11,，由 2011级数学学院矩阵分析期末试题B 卷 一、（5分）求λ矩阵()()()()2 332331A λλλλλλλ??-? ???=-??-??? ? 的初等因子和Smith 标准型。 二、（10分）求正规矩阵0110000i A i ????=-?????? 的谱分解。 三、（15分）已知2001206002A π?? ??=?????? 。 （1）求矩阵A 的Jordan 标准形和最小多项式；（2）求矩阵函数sin ,cos A A 。 四、（10分）设A 是半正定Hermite 矩阵，A ≠O ，B 是正定Hermite 矩阵。试证：A B B +>。这里X 表示X 的行列式。 五、（20分）求矩阵2002i A i -????=????-?? 的奇异值分解和伪逆矩阵。 六、（10分）已知Hermite 二次型()1231113312233,,334f x x x x x ix x ix x x x x x =+-++，求酉变换X=UY ，并将其化成Hermite 二次型的标准型。 七、（10 分）x = 3 上的向量范数？请说明 理由。 八、（10分）已知()2220 003 03t e A t t t ????=????? ?，求()()()22120,,x d A t dA t d A t dt dt dt dx -?。 九、（10分）已知,m m n n A B ??∈∈ ，证明：,,A I A I B B A B A B e e I e I e e e e ??⊕=?=?=?。这里n m A B A I I B ⊕=?+?。 2013级矩阵分析期末试题B 卷 一、（10分）求λ矩阵()()()3 2211A λλλλλλ????=+????+??? ? 的初等因子组、Smith 标准型和各阶行列式因子。 二、（15分）已知211011013A ????=-?????? 。 （1）求矩阵A 的Jordan 标准形和最小多项式；（2）求矩阵函数sin ,tA A e 。 三、（10分）已知矩阵220820006A ????=?????? ，证明A 可对角化，并求A 的谱分解。 四、（10分）设,n n A B C ?∈，A 是正定Hermite 矩阵，B 是Hermite 矩阵。证明：AB 的特征值都是实数。 五、（15分）求矩阵20000A i ????=?????? 的奇异值分解。 六、（10分）证明12122x x x x x α=-++是2 上的向量范数， {}1212min ,x x x x x β=++不是2 上的向量范数。 七、（10分）已知()222303000t t A t t e ????=?????? ，求()()()22120,,x d A t dA t d A t dt dt dt dx -?。 八、（10分）已知,m n p q A B ??∈∈ ，证明：()()()rank A B rank A rank B ?=。 九、（10分）已知不相容方程组123121 212332102212643x x x x x x x x x x ++=??+=??+=??++=?，求其最佳最小二乘解。 内部资料，考试前★绝密 关键词：激光原理，60分，及格 名词解释 1 自发辐射，受激跃迁，受激辐射 ☆ 处于高能级的原子在没有任何外界作用的情况下，自发地向低能级跃迁，并发射光子的过程称为自发辐射跃迁，发出的光辐射是自发辐射 处于低能级的原子在频率为v 的辐射场作用下，吸收一个能量为hv 的光子并向高能级跃迁的过程称为受激吸收跃迁 处于高能级的原子在频率为v 的辐射场作用下，向E1能级跃迁并发射与外来光子能量相同的光子的过程称为受激辐射跃迁 2光子简并度 ☆ 处于同一光子态或同一光波模式的光子数密度 3 增益饱和 ☆ 由于光强增加导致反转粒子数减少，由于反转粒子数减少引起激光器增益系数下降 4 （固体）激光器斜率效率与总体效率 ☆ 固体激光器的斜率效率是指超过阈值部分的输入能量（的功率）转化为输出能量（或功率）的效率，表达式为 斜率效率ηs =E out E in ?E th P 同理 总体效率指输入能量（功率）转化为输出能量（功率）的效率，表达式 总体效率ηt =E out E in P 同理 5 异质结，禁带宽度 异质结是由不同的材料构成的结，形成结的两种材料有相近的结构以保持晶格的连续性，但一般要求材料有不同的禁带宽度与电子亲和能，他们是决定结区能带结构及特性的主要因素。禁带宽度指在直接禁带半导体材料中，导带底与价带顶之间的能量间距。 6 主动稳频 稳频技术实质是稳定激光谐振腔腔长，主动稳频技术是指在稳定腔长过程中加入人为可控因素、方法是选取一个稳定的参考标准频率，当外界影响使激光振荡频率偏离这个标准频率，某一系统能鉴别这个误差信号，并将其反馈给控制系统自动调节腔长，使激光振荡频率回复到标准频率。常用的主动稳频方法有兰姆凹陷稳频，塞曼效应稳频。分子饱和吸收稳频。 7 稳定腔与非稳腔 ☆ 稳定腔：的腔，满足 10 21<北京理工大学出版社矩阵分析习题解答
中科院矩阵分析与应用大作业
矩阵分析课后习题解答版
北京理工大学数学专业矩阵分析期末试题(MTH17075)
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