矩阵分析课后习题解答整理版

第一章线性空间与线性变换

（以下题目序号与课后习题序号不一定对应，但题目顺序是一致的，答案为个人整理，不一定正确，仅供参考，另外，此答案未经允许不得擅自上传）

（此处注意线性变换的核空间与矩阵核空间的区别）

.利用子空间定义，)

R对m C满足加法

(A

R是m C的非空子集，即验证)

(A

和数乘的封闭性。

.证明同。

.rankA n A N rankA A R -==)(dim ,)(dim （解空间的维数）

.提示：设),)(-

⨯==n j i a A n n ij （，分别令T i X X ),0,0,1,0,0( ==(其中1位于i X 的第i 行）

，代入0=AX X T ，得0=ii a ；令T ij X X )0,0,10,0,1,0,0( ==（其中1位于ij X 的第i 行和第j 行），代入0=AX X T ，得0=+++jj ji ij ii a a a a ，由于0==jj ii a a ，则0=+ji ij a a ，故A A T -=，即A 为反对称阵。若X 是n 维复列向量，同样有0=ii a ，0=+ji ij a a ，再令

T ij i X X ),0,1,0,0,,0,0( ='=(其中i 位于ij X 的第i 行，1位于ij X 的第j

行），代入0=AX X H ，得0)(=-++ij ji jj ii a a i a a ，由于0==jj ii a a ，ij ji a a -=，则0==ji ij a a ，故0=A

.AB 是Hermite 矩阵，则AB BA A B AB H H H ===)(

.存在性：令2

,2H

H A A C A A B -=+=，C B A +=，其中A 为任意复矩阵，可验证C C B B H H -==,

唯一性：假设11C B A +=，1111,C C B B H

H -==，且C C B B ≠≠11,，

由1111C B C B A H H H -=+=，得C A A C B A A B H

H =-==+=2,211（矛盾)

第二章酉空间和酉变换

（注意实空间与复空间部分性质的区别）

法二：设~2121),,()0,0,1,0,0)(,,(X e e e e e e e n T n i ==（1在第i 行）；~

2121),,()0,0,1,0,0)(,,(Y e e e e e e e n T n j ==（1在第j 行） 根据此题内积定义⎩⎨⎧≠===j i j i X Y e e H j i 01),~

~（ 故n e e e ,,21是V 的一个标准正交基。

（注意，在无特别定义的情况下，内积的定义默认为X

,

(）

)

Y

Y

X H

先求得C 使Λ=AC C H ，假设CB P =，使I AP P H =，则有Λ=-1)(H BB ，依次式求得B ，进而求得P 。(此方法不一定正确）

将），，（321ααα进行列变换化为阶梯型知可取21αα，为其中两个基，

另两个基可取T T )1,0,0,0(,0,1,0,043==

αα）（，化标准正交基略。 略

第二章矩阵的分解

注：例（1）中的Jordan 标准型有误，⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎣

⎡=111

1

J ，Jordan 标准型不唯一，各

Jordan

块之间可以互换，互换的原则是：同一特征值对应

的Jordan 块之间可以互换；不同特征值对应的Jordan 块整体可以互换。

、同

方法同上

由O A k =知A 的特征值全为0（x x A x Ax x k k λλ=⇒=≠∀,0），则I A +的特征值全为1，根据行列式与特征值的关系，则1=+I A

略

见课本P67例见课本P69例

第三章 范数及其应用

（1）22

A A A m F ≥=，{}22222,min

B A B A B A AB F F ≤≤

（2）22

221

)()(m ax A A n

A A A tr A A n A n F F H H i ≤⇒

=≥=λ ∞

≤≤≤m m F A n A A A 1

2易证。

第七章广义逆矩阵