当前位置：文档之家 › 北京理工大学出版社矩阵分析习题解答

北京理工大学出版社矩阵分析习题解答

  • 格式：doc
  • 大小：616.00 KB
  • 文档页数：6

2005级电路与系统矩阵分析作业3－1已知)(ij a A =是n 阶正定Hermite 矩阵，在n 维线性空间nC 中向量[]n x x x ,,,21 =α ，[]n y y y ,,,21 =β定义内积*),(βαβαA =。

（1）证明在上述定义下，nC 是酉空间；（2）写出nC 中的Canchy －Schwarz 不等式。

(1)证明：),(αβ＝H A αβ=H H A )(βα=H A βα ，(βα,k )＝),(βαβαk A k H =),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+=+=+=+H H H A A AH A αααα=),(，因为A 为正定H 矩阵，所以0),(≥αα，当且仅当0),(0==ααα时，由上可知cn是酉空间。

証毕。

（2）解： ∑∑==n jnij ij i Hy a x A |||),(|βαβα∑∑==n jnij ijix ax ),(||||ααα，∑∑==n jnij ijiy ay ),(||||βββ由Cauchy-Schwarz 不等式有：∑∑∑∑∑∑≤n jnij ijin jnin jnij ijij ijiy ay x ax y ax *3－3（1）已知.A ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡502613803－－－，试求酉矩阵U,使得U*AU 是上三角矩阵 解：由|λE-A| = (λ+1)3得 λ= －1是A 的特征值，当λ＝－1时，可得|λE-A|＝000000201于是ε1＝（0，1，0）T是A 的特征向量。

选择与ε1正交，并且互相也正交两个向量组成酉阵：U 1= ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100001010则U 1*A U 1= ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---520830631 取A 1= ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--5283，|λE- A 1| = (λ+1)2λ= －1是A 1的特征值。

当λ＝－1时，可得|λE- A 1|＝0021，于是，α1 ＝（ --52，51）T是A 的特征向量，选择与α1正交的向量组成酉阵U 2 = ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡52515152 -，U 2*A 1U 2 = 51⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2112⎥⎦⎤⎢⎣⎡--5283⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2112 =⎥⎦⎤⎢⎣⎡---10101 3－9若S ，T 分别是实对称矩阵和反实对称矩阵，且0)det(≠--iS T E ，试证：1))((---++iS T E iS T E 是酉矩阵，。

证明：令1)(),(---=++=iS T E C iS T E B ，BC iS T E iS T E A =--++=))((，==A BC A A **)(1**1**))(()())((----++++--=iS T E iS T E iS T E iS T E A B C ，又S ，T 分别是实对称矩阵和反实对称矩阵，即有T T S S -==**,，则有，)()())((**1**iS T E iS T E iS T E A B C ++++--=-111))()(()()(-----++--++=--iS T E iS T E iS T E iS T E iS T E ，因为))((iS T E iS T E ++--))((iS T E iS T E --++=显然有E A A =*，同理可得E AA =*，即E AA A A ==**，即证。

3-12 设A 、B 均是正规矩阵，试证：A 与B 酉相似的充要条件是A 与B 的特征值相同。

证明：（1）必要性：因为A ，B 是正规矩阵，所以存在n n U U ⨯∈1使得=1*1AU U),,,(21n diag λλλ ，存在n n U U ⨯∈2使得),,,(''2'12*2n diag BU U λλλ =又因为A 酉相似于B ，所以存在nn UU ⨯∈，使得AU U B *=所以)()(2*22**22*2UU A UU AUU U U BU U ==又因为nn UU ⨯∈n n U U ⨯∈2，所以),,(212*22n n n diag BU U U UU λλλ =⇒∈⨯可记为：n n λλλλλλ==='2'21'1,,, 即A 与B 特征值相同。

（2）充分性：存在n n U U ⨯∈1使得=1*1AU U ),,,(21n diag λλλ ，存在n n U U ⨯∈2使得===⇒=----121*112*12211*2212*2)(),,,()(),,,(U AU U U U diag U B diag BU U n n λλλλλλ )()(121*121--U U A U U 因为n n n n U U U U ⨯-⨯∈∈121,所以n n U U U ⨯-∈121即A 酉相似于B 。

3-13设A 是Hermite 矩阵，且A A =2，则存在酉矩阵U ，使得⎥⎦⎤⎢⎣⎡=000*r E AU U 证明： A 是Hermite 矩阵，则存在mm UU ⨯∈，使得U1-AU=diag （1`λ，2λ，……n λ）则A=()HU 1-⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤n λλλ21()1-U ,由2A =A 可得A 2=()HU 1-⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤n λλλ21()1-U =()H U 1-⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤n λλλ21()1-U =()H U 1-⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤n λλλ21()1-U ⇒ 121λλ=， ……，n n λλ=2,从而可知0，1是A 的特征值,取(){}00,0,11,1,1 =A σ，得出U 1-AU=⎢⎣⎡⎥⎦⎤000r E ，题目得证。

3-14设A 是Hermite 矩阵，且E A =2，则存在酉矩阵U ，使得⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-r n r E E AU U 00*。

证明：A 是Hermite 矩阵，则存在mm U U ⨯∈，使得=⇒=-2211),,,(A diag AU U nλλλE U U n r =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛*2221λλλ 则122221====n λλλ ，则-1和1为A 的特征值，可记121===r λλλ ， 11-==+n r λλ ，即有U H AU=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--r n r E E 题目得证。

3-16设A ，B 均是Hermite 矩阵，且A 正定，试证：AB 与BA 的特征值都是实数。

证明：令2/1A P =，显然P 为Hermite 矩阵而且正定唯一，A 正定⇒A 的特征值全大于0。

所以A 可逆，P可逆2/12/12/12/12/12/1~--==BAA A BA A ABA AAB ；所以AB 与BA 相似BA AB ~，则AB 与BA 的特征值相同）（）（BA AB λλ=，2/12/1*2/12/1BA A BA A =）（，2/12/1BA A 也为H 矩阵⇒2/12/1BA A 的特征值为实数，BA BA A AB ~~2/12/1，所以AB ，BA 的特征值都是实数3-19设A 是正定Hermite 矩阵，且A ∈U nn ⨯，则A=E 。

证明：由E A A UA nn =⇒∈⨯*，A A H A n n =⇒∈⨯*，所以E A =2，由题3－14可知，A 的特征值为1=i λ又A 是正定的，所以A 的特征值全部为1，则存在E AU U U U n n =⇒∈⨯*所以可得E UEU A ==* 即证。

3－20 试证：（1）两个半正定Hermite 矩阵之和是半正定的；（2）半正定Hermite 矩阵与正定Hermite 矩阵之和是正定的。

证明：（1）令A ，B 为半正定Hermite 矩阵，则存在nC x ∈，使得,0,0**≥≥Bx x Ax x 又由Hermite 矩阵的简单性质，)(B A +为Hermite 矩阵，且存在nC x ∈，使得0)(***≥+=+Bx x Ax x x B A x ；则B A +为半正定Hermite 矩阵。

（2）令A 为半正定Hermite 矩阵，B 为正定Hermite 矩阵，则有nC x ∈，使得,0,0**>≥Bx x Ax x 又由Hermite 矩阵的简单性质，)(B A +为Hermite 矩阵，且存在nC x ∈，使得0)(***>+=+Bx x Ax x x B A x ；则B A +为正定Hermite 矩阵。

3-22设A ，B 是n 阶正规矩阵,试证：A 与B 相似的充要条件是A 与B 酉相似。

证明：充公条件：因为A ，B 是n 阶正规矩阵，则存在,n n U U⨯∈n n U V ⨯∈,使得),,,(,),,,(21*21*n n diag BV V diag AU U μμμλλλ ==，其中n λλλ,,,21 ；n μμμ,,,21 分别是A 与B 的特征值。

又因为A 与B 相似，所以其对应的特征值相同。

则有B AUV U V BV V AU U =⇒=--1*1***)(。

令1-=UV W ，则B AW W =*，因为U 、V 是酉矩阵，则W 也是酉矩阵。

所以A 与B 酉相似。

必要条件：因为A 与B 酉相似，则∃,n n U U⨯∈使得B AU U =*，又由于,nn U U ⨯∈ 则E U U =*⇒ 1-*=U U B AU U AU U ==⇒-1*，因而A 与B 相似。

3-23 设A H=A ，试证总存在t>0，使得A+tE 是正定Hermite 矩阵，A-tE 是负定Hermite 矩阵。

证明：H 1Rt t>0min t>0t>0Hermite H H A A A A A λλλλ=∴∈∴∃∴∃ （）的特征值（A ）又A+tE 的特征值（A+tE ）＝（A ）＋总使得（A ）＋又有（A+tE ）＝+tE ＝+tE总使得A+tE 为正定矩阵H2Rtt>0min t<0t>0Hermite H H A A A A A λλλλ=∴∈∴∃∴∃ （）的特征值（A ）又A －tE 的特征值（A －tE ）＝（A ）－总使得（A ）－又有（A-tE ）＝-tE ＝-tE总使得A-tE 为负定矩阵3-26 设A 为n 阶正规矩阵，λ1，λ2，…λn 为A 的特征值，试证：A HA 的特征值为|λ1|2，|λ2|2，…|λn |2。

证明：n 12n H 12n H H12n H H H 12n 12n 222H12n 222H H 12n 2H 12n U U U AU diag A=Udiag U A Udiag U A A=Udiag U Udiag U Udiag U U A A U diag A A A λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ∴∃∈∴∴∴ 为阶正规矩阵，使得＝（，）（，）＝（，）（，）（，）＝（，）（）＝（，）即的特征值为，22n λ 。

合集下载

北京理工大学矩阵分析第四章作业答案

北京理工大学矩阵分析第四章作业答案

A UDV H 1 0 0 2 0 1 0 0 1 0 0 1 . 0 i 0 0 1 0 0
2 2 0 A 8 2 a 0 0 6 是单纯矩阵, 求 a, 并且求矩阵 A的谱分解表达式.
T
2 6
1 6
T
Hale Waihona Puke G1 H 1 1

1 3 1 1 3 3 1 3
1 3
1 3 1 1 3 3 1 3
1 3 1 3 1 3
1 3 1 3 1 3
G2 2 2H 3 3H
4-1：求矩阵 A 的满秩分解
2 1 2 3 1 A 2 5 1 4 1 1 3 1 2 1
对A只进行初等行变换, 得行简化阶梯形,
1 0 0 8 5 2 5 0 1 0 1 5 1 5 0 0 1 1 5 4 5
1 3 1 2 1 6
1 3 1 2 1 6
1 3 0 2 6
4 -3( 2) 已知
求 B 的谱分解.
0 1 1 B 1 0 1 1 1 0
B B H , 所以 B 是正规矩阵.
I - B ( 1)2 ( 2)
m n
, 秩(A)= r
行简化阶梯形 J
A 初等行变换
设主元在 i1 , i2 ,
A 中的第 i1 , i2 ,
, ir 列，则选取 , ir 列组成矩阵 B
m r
r n
,
去掉 J 中的零行，剩下的组成 C A=BC
例：设矩阵的满秩分解为 A=BC, 证明：
矩阵分析

矩阵分析

矩阵分析课后习题答案第二章 内积空间14 . 设A , B 均为厄米特矩阵, 证明: AB 为厄米特矩阵的充要条件是AB = BA .证明： H A A =,H B B =()HH H AB AB B A AB =⇔=即 AB BA =17 . 证明:两个正规矩阵相似( 酉等价) 的充要条件是特征多项式相同.证明：设A , B 是两个n 阶的正规矩阵，如果A 与B 是酉等价的，则存在酉矩阵Q ，使得1H B Q AQ Q AQ -==()11E B E Q AQ Q E A Q E A λλλλ--⇒-=-=-=-即A , B 有相同的特征多项式反之，A , B 有相同的特征多项式，因而有相同的特征值集合{}12,,,n λλλA ,B 是正规矩阵，则存在酉矩阵1Q 及2Q ，使得1111122n Q AQ Q BQ λλλ2--⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥ ⎢⎥ ⎣⎦ 则有 ()()11111121121212B Q Q A Q Q Q QA Q QP A P------=== 易知，112p Q Q -=是酉矩阵，即A , B 是酉相似的。

第三章 矩阵的标准形6 . 在复数域上, 求下列矩阵的约当标准形:()11 -1 2 3 7 -3 3 0 8 4 5 -2⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥ 3 -3 6 ; (2) -2 -5 2; (3) 3 -1 6; (4) -⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥2 -2 4-4 -10 3-2 0 -5⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥2 -2 1 ⎢⎥⎢⎥-1 -1 1⎣⎦解 (1) 特征矩阵为λλλ-1 1 -2⎡⎤⎢⎥-3 +3 - 6⎢⎥⎢⎥-2 2 -4⎣⎦所以行列式因子为()()121D D λλλ==，，()()232D λλλ=-不变因子为()()()()()()()()()231123121,D D d D d d D D λλλλλλλλλλλ== ==, ==-2全部初级因子为()2,,λλλ-故约当标准型为 2J 0 0⎡⎤⎢⎥=0 0 0⎢⎥⎢⎥0 0 0⎣⎦(2) 特征矩阵为λλλ -3 - 7 3⎡⎤⎢⎥ 2 +5 -2⎢⎥⎢⎥ 4 10 - 3⎣⎦所以行列式因子为()()211D D λλ==，()()31()()D i i λλλλ=--+不变因子为()()()()()()()()()231123121,1()()D D d D d d i i D D λλλλλλλλλλλ== ==1, ==--+全部初级因子为1,,i i λλλ- - +故约当标准型为 J i i 1 0 0⎡⎤⎢⎥=0 0⎢⎥⎢⎥0 0 -⎣⎦(3) 特征矩阵为5λλλ -3 0 -8⎡⎤⎢⎥ -3 +1 -6⎢⎥⎢⎥ 2 0 +⎣⎦所以行列式因子为()()()()1231,1,1D D D λλλλλ3= =+ =+不变因子为()()()()()()()()()2231123121,1D D d D d d D D λλλλλλλλλλ== ==+1, ==+全部初级因子为21,1)λλ+ (+故约当标准型为 J -1 0 0⎡⎤⎢⎥= 0 -1 0⎢⎥⎢⎥ 0 1 -1⎣⎦(4) 特征矩阵为λλλ -4 - 5 2⎡⎤⎢⎥ 2 +2 -1⎢⎥⎢⎥ 1 1 - 1⎣⎦所以行列式因子为()()211D D λλ==，()()331D λλ=-不变因子为()()()()()()()()()3231123121,D D d D d d D D λλλλλλλλλ== ==1, ==-1全部初级因子为()31λ-故约当标准型为 J 1 0 0⎡⎤⎢⎥=1 1 0⎢⎥⎢⎥0 1 1⎣⎦8 . 证明: ( 1)方阵A 的特征值全是零的充要条件是存在自然数m ,使得A m = 0; ( 2) 若A m = 0 , 则1A E +=.证明：(1) 如λ为A 的任一特征值，A 为n 阶方阵，则m λ为m A 的特征值，若0m A =则m n E A E λλλ-==，即A 的特征值为0。

北京理工大学数学专业矩阵分析期末试题(MTH17075)

北京理工大学数学专业矩阵分析期末试题(MTH17075)

2011级数学学院矩阵分析期末试题B 卷一、（5分）求λ矩阵()()()()2332331A λλλλλλλ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥-⎢⎥⎣⎦的初等因子和Smith 标准型。

二、（10分）求正规矩阵0110000i A i ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦的谱分解。

三、（15分）已知2001206002A π⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦。

（1）求矩阵A 的Jordan 标准形和最小多项式；（2）求矩阵函数sin ,cos A A 。

四、（10分）设A 是半正定Hermite 矩阵，A ≠O ，B 是正定Hermite 矩阵。

试证：A B B +>。

这里X 表示X 的行列式。

五、（20分）求矩阵2002i A i -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦的奇异值分解和伪逆矩阵。

六、（10分）已知Hermite 二次型()1231113312233,,334f x x x x x ix x ix x x x x x =+-++，求酉变换X=UY ，并将其化成Hermite 二次型的标准型。

七、（10分）x =3上的向量范数？请说明理由。

八、（10分）已知()222000303te A t t t ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求()()()22120,,x d A t dA t d A t dt dt dt dx -⎰。

九、（10分）已知,m m n n A B ⨯⨯∈∈，证明：,,A I A I B B A B A B e e I e I e e e e ⊗⊗⊕=⊗=⊗=⊗。

这里n m A B A I I B ⊕=⊗+⊗。

2013级矩阵分析期末试题B 卷一、（10分）求λ矩阵()()()32211A λλλλλλ⎡⎤⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎣⎦的初等因子组、Smith 标准型和各阶行列式因子。

二、（15分）已知211011013A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦。

（1）求矩阵A 的Jordan 标准形和最小多项式；（2）求矩阵函数sin ,tAA e 。

矩阵分析第1章习题解

矩阵分析第1章习题解

第一章习题1、 试证：22R ⨯中的一组向量（矩阵）线性无关 1112212210010000,,,00001001E E E E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫====⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭解：令1112123214220x E x E x E x E +++= 1234100000100000100010x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⇔= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭12340,0,0,0x x x x ⇔====2、 试证：所有n 阶对称矩阵组成(1)/2n n +维线性空间；所有n 阶反对称矩阵组成(1)/2n n -维线性空间。

解：所有n 阶对称矩阵组成维线性空间的基底是0000001,,();,(1,2,,)0,,i j ij ij jii i j j A a a a i j n i j ==⎧====⎨⎩其它共(1)/2n n +个。

3、 在4R 中，求向量(1,2,1,T α=在基1(1,1,1,1)T α=，2(1,1,1,1)Tα=--，3(1,1,1,1)T α=--，4(1,1,1,1)Tα=--下的坐标。

答： 化为解方程组 1 1 1 11 1 1 -1 -121 -1 1 -11 1 -1 -1 11X ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，用matlab 得 1.25000.2500 -0.2500 -0.2500 4、 在22R⨯中，求矩阵1203A ⎛⎫=⎪⎝⎭在 123411111110,,,11100000E E E E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫====⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭下的坐标。

解：11223344123412111111100311100000=+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭A x E x E x E x E x x x x转化为线性方程，再求解即可。

>> E=[1 1 1 1;1 1 1 0;1 1 0 0;1 0 0 0] E =1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0>> A=[1 2 0 3] A =1 2 0 3>> z=E'\A' z = 3 -3 2 -15、 试证：在22R ⨯中矩阵123411111110,,,11011011E E E E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫====⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭线性无关，并求ab cd α⎛⎫=⎪⎝⎭在基1234,,,E E E E 下的坐标。