山西省太原五中2015届高三10月月考数学【文】试题及答案

太原五中2017-2018学年度第一学期阶段性检测高 三 数 学出题人、校对人：王文杰、李廷秀、闫晓婷（2017.10）一、选择题（共12小题，每题5分）1.已知集合{}7,5,3,1=A ，{}A x x y yB ∈-==,12，则=⋂B A （ ） A ．{}1 B.{}3 C.{}3,1 D.φ 2.命题p ：R x ∈∃，使0)21(<x ；命题q ：2>a ，2>b 是4>ab 成立的充分条件，则下列命题为假命题的是（ ）A. q p ∧⌝B. q p ∧C. q p ∨D. q p ∨⌝ 3.由曲线x y x y cos ,sin ==和直线π==x x ,0所围成的平面图形的面积，用定积分表示为（ ） A ．⎰-π)sin (cos dx x x B. ⎰-40)sin (cos πdx x x +⎰-ππ4)cos (sin dx x xC.(sin cos )x x dx π-⎰D. ⎰-40)cos (sin πdx x x +⎰-ππ4)sin (cos dx x x4.已知函数)(x f 是R 上的奇函数，当0>x 时为减函数，且0)2(=f ，则=>-}0)2({x f x （ ）A. ),4()2,0(+∞⋃B. ),4()0,(+∞⋃-∞C. ),2()2,0(+∞⋃D. )4,2()0,(⋃-∞ 5.已知函数1ln 2)(--=x x x f ，则)(x f y =的图象大致为（ ）A. B.C. D. 6.已知函数1)sin()(++=ϕωx x f 0(>ω，)20πϕ≤≤的图象相邻两条对称轴之间的距离为π，且在3π=x 时取得最大值2，若58)(=αf ，且653παπ<<，则=+)32sin(πα（ ）A. 2512B. 2512-C. 2524D. 2524-7.已知2,1()(4)2,12x ax x f x ax x ⎧->⎪=⎨-+≤⎪⎩是R 上的单调递增函数，则a 的取值范围是（ ） A.(,2]-∞- B.[2,8) C. (,8)-∞ D. (,10]-∞-8.已知函数()2,01,0xe xf x x ax x ⎧≤⎪=⎨++>⎪⎩，()()1F x f x x =--，且函数()F x 有2个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A. (],0-∞B. [)1,+∞C. ()0,+∞D. )1,(-∞9.定义在R 上的函数)(x f 满足：(1))()(x f x f -=-，(2))()2(x f x f =+，(3)]1,0[∈x时，)1(log )(243+-=x x x f ，则函数x x f y 3log )(-=的零点个数是（ ）A.2B.4C.6D.810.已知数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，1()(1)2n n n n S a +=-，*N n ∈，则该数列前9 项和9S = （ ） A.1012-B.921-C.921D. 102111.已知,,A B C 是直线l 上的不同三点，点O 不在l 上，则关于x 的方程22=++x x 的解集为（ ）A.10,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭B.11,2⎧⎫--⎨⎬⎩⎭C.12⎧⎫-⎨⎬⎩⎭D. {}0 12.设定义在(0,)+∞上的函数()f x 的导函数为()f x '，且xx f x x f )(2)(->'，则下面 结论正确的是（ ） A.3(sin )(cos )33f f ππ≤ B.3(sin )(cos )33f f ππ< C.3(sin)(cos )33f f ππ≥ D.3(sin )(cos )33f f ππ> 二、填空题（共4小题，每题5分） 13.不等式2320x x -+>的解集是 .14.已知正数,a b 满足2ab a b =+，则a b +的最小值为 .15.函数2()2f x x =在区间[0,1]上的值域为 .16.已知函数221()2(1)4,()(1)f x x a x a g x a x=+--=-+，则()f x 和()g x 图象的公切线条数的可能值是 .三、解答题（解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.(12分)已知向量(cos ,0),(0,3sin )a x b x ==，函数2()()3sin 2f x a b x =++（1）求函数()f x 的最小值及取得最小值时x 的取值集合； （2）求()f x 的单调递增区间.18.（12分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d . （1）已知1315,,222n n d a S ===-，求1a 和n . （2）设1m >且满足211210,30m m m m a a a S -+--+==，求m 的值.19.（12分）已知ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且2A C =. （1）若a =，求角C 的大小；（2）若,,,C B A c b a <<是三个连续的正整数，求ABC ∆的面积.20.（12分）已知函数121)(-++=x x x f （1）求关于x 的不等式()2f x <的解集； （2）R x ∈∀，00>∃x ，使得00)(x ax x f +≥)0(>a 成立，求实数a 的取值范围．21.（10分）在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 225223（t 为参数）,在极坐标系（与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为θρsin 52=． （1）求圆C 的圆心到直线l 的距离；（2）设圆C 与直线l 交于点A 、B ，若点P 的坐标为3(，)5，求PBPA 11+．22.（12分）已知函数2()ln(1)ln 2f x ax x ax =+-+-（a 是常数，0a >）. （1）求证：02a <≤时，()f x 在1[,)2+∞上是增函数；（2）若对于任意的(1,2)a ∈，总存在01[,1]2x ∈，使不等式20()(1)f x m a >-成立，求实数m 的取值范围.太原五中2017-2018学年度第一学期阶段性检测答案高三数学（理）命题、校对：王文杰、李廷秀、闫晓婷（2017. 10）一、选择题(每小题5分，共60分)二、填空题(每小题5分，共20分)13. (,2)(1,1)(2,)-∞-⋃-⋃+∞ 14.3+ 15. 3[1,]8- 16.1,2,3 解析：()22(1),f x x a '=+-设公切线与()f x 相切于2(,2(1)4),A m m a m a +--则切线方程为2[2(1)4][22(1)]().y m a m a m a x m -+--=+--21(),g x x'=-设公切线与()g x 相切于21(,(1)),B n a n -+则切线方程为221[(1)](),y n a n x n --+=--整理得222(1).y n x n a =-+-+因此有22222222(1)22(1),.42(1)2(1)m a n n m a m a n a m n a ⎧⎧+-=-+=-⇒⎨⎨--=-++=-⎩⎩整理可得21214a n n -=+. 令322124(),().42x h x x h x x x-'=+=易知()h x 在(,0)-∞单调递减，在)单调递减，在)+∞单调递增，结合图像可知，当1a <+时，有一条公切线，当1a =+1a >+. 三、解答题(本大题6小题，共70分) 17.(本小题满分12分） 解：：,0)()62sin(22)2cos 212sin 23(222sin 32cos 2)(),sin 3,(cos )1(min =∴-+=-+=+-==+x f x x x x x x f x x π当且仅当1)62sin(-=-πx 时取到等号，此时2262πππ-=-k x ，解得ππk x +-=6.所以x 的取值集合为,6x x k k Z ππ⎧⎫=-+∈⎨⎬⎩⎭. (2)令222,262k x k k Z πππππ-≤-≤+∈，解得63k x k ππππ-≤≤+.所以()f x 的单调递增区间是[,],.63k k k Z ππππ-+∈18.(本小题满分12分） 解：（1）由题意得1111(1)22(1)115222a n n n na ⎧+-=⎪⎪⎨-⎪+=-⎪⎩ 解得1310a n =-⎧⎨=⎩(2)由{}n a 是等差数列，可得211,0m m m m a a a a -++=∴=或2m a =.12121(21)()(21)3022,21158m m m m m a a S m a a m m ---+==-=∴=-=∴= 19.(本小题满分12分）（1）解:3,a c =∴由正弦定理可得sin ,A C =又2,sin 2sin cos ,cos .6A C A C C C C π=∴=∴=∴= （2）,c b a <<故设*,1,2,,c n b n a n n N ==+=+∈由2A C =可得sin sin sin 22sin cos ,cos .2sin 2A aA C C C C C c==∴==由余弦定理可得22222a b c aab c+-=，代入可得：222(1)(2)22(1)(2)2n n n n n n n +++-+=++，解得314,6,5,4,cos ,sin sin 242a n a b c C C S ab C c =∴===∴==∴=== 20．(本小题满分10分）解：（1）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<<-+--≤-=-++=)21(3)211(2)1(3121)(x x x x x x x x x f ， 由2)(<x f 得：⎩⎨⎧<--≤231x x 或 ⎪⎩⎪⎨⎧<+-<<-22211x x 或 ⎪⎩⎪⎨⎧<≥2321x x 解得：210<<x 或3221<≤x 所以不等式的解集为：⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<320x x . （2）R x ∈∀，00>∃x ，使得00)(x a x x f +≥)0(>a 成立，等价于min 00min )()(x ax x f +≥， 由（1）知23)(min =x f ， 当00>x 时，a x a x 200≥+（当a x =0时取等号），所以a x a x 2)(min 00=+ 从而232≤a ，故实数a 的取值范围为]169,0(.21．(本小题满分12分）（1） θρsin 52:=C ∴θρρsin 52:2=C∴052:22=-+y y x C ，即圆C 的标准方程为5)5(22=-+y x ．直线l 的普通方程为035=--+y x ．所以，圆C 的圆心到直线l 的距离为22323550=--+． （2）设直线l 圆C 的两个交点A 、B 分别对应参数1t ，2t ，则将方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 225223代入052:22=-+y y x C 得：04232=+-t t ∴2321=+t t ，421=⋅t t ∴01>t ，02>t由参数t 的几何意义知：11t t PA ==，22t t PB ==∴4231111212121=⋅+=+=+t t t t t t PB PA . 22．(本小题满分12分） （1）解：当02a <≤时，22222122(2)(1)()()()01212212ax a ax a ax a a f x x ax a ax a ax a---+'=-≥-=>+++ 所以()f x 在1[,)2+∞单调递增.（2）由（1）可知，当1[,1]2x ∈时，max 11()(1)ln()122f x f a a ==++-， 所以只需证明：对211(1,2),(1ln )12a a m a a +∀∈>---恒成立.设 211(1)()ln(),(1,2),228x x x x x ϕ+--=-+∈211121()0,()1244(1)x x x x x x x ϕϕ--+'=-+=>∴++单调递增，又(1)0,()0x ϕϕ=∴>2221111(1)(1ln )[1].12128a a a a a a a +--∴--<--+--问题等价于：2211(1)(1,2),[1]128a aa m aa--∀∈>--+-恒成立，即3118(1)84(1)ama a+>=+++恒成立，14m∴≥.。

2019-2020学年山西省太原五中高三（上）10月月考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题有且只有一个正确选项）1. 若集合A＝{x|x(x−1)<0}，B＝{y|yx2}，则（）A.A＝BB.A⊆BC.A∪B＝RD.B⊆A【答案】B【考点】集合的包含关系判断及应用一元二次不等式的应用函数的值域及其求法【解析】利用不等式的解法求出集合A，函数的值域求解集合B，然后判断两个集合的关系．【解答】集合A＝{x|x(x−1)<0}＝{x|0<x<1}，B＝{y|yx2}＝{y|y≥0}．可知：A⊆B．2. 若复数z=1−i1+i，则z=()A.1B.−1C.iD.−i【答案】C【考点】复数的运算【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．【解答】∵z=1−i1+i =(1−i)2(1+i)(1−i)=−i，∴z=i．3. 设非空集合P，Q满足P∩Q＝P，则（）A.∀x∈Q，有x∈PB.∀x∉Q，有x∉PC.∃x0∉Q，使得x0∈PD.∃x0∈P，使得x0∉P【答案】B【考点】全称命题与特称命题全称量词与存在量词【解析】根据交集运算结果判定集合关系，再结合Venn图判断元素与集合的关系即可．【解答】∵ P ∩Q ＝P ，∴ P ⊆Q∴ A 错误；B 正确；C 错误；D 错误．4. 已知a =(12)13,b =log 23,c =log 47，则a ，b ，c 的大小关系为( )A.a <b <cB.b <a <cC.c <a <bD.a <c <b【答案】 D【考点】指数函数与对数函数的关系 【解析】利用对数函数、指数函数的单调性直接求解． 【解答】解：∵ a =(12)13,b =log 23,c =log 47，∴ 0<a =(12)13<(12)0=1， b =log 23=log 49>c =log 47>log 44=1， ∴ a ，b ，c 的大小关系为a <c <b ． 故选D .5. 已知△ABC 中，E 是BC 上一点，BE →=2EC →，若AB →=λAE →+μAC →，则λ+μ＝（ ） A.1 B.2 C.3 D.4【答案】 A【考点】平面向量的基本定理 【解析】根据向量的运算法则，由AE →，AC →表示向量AB →，求出λ+μ即可． 【解答】由条件得，AB →=AE →+EB →=AE →−23BC →=AE →−23(AC →−AB →)；∴ 13AB →=AE →−23AC →；∴ AB →=3AE →−2AC →；由于AB →=λAE →+μAC →，∴ λ+μ＝3−2＝1．6. 如图是函数f(x)＝Asin(ωx+φ)(A>0, ω>0, x∈R)在区间[−π6, 5π6]上的图象，为了得到y＝sinx(x∈R)的图象，只需将函数f(x)的图象上所有的点（）A.向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变B.向右平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C.向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变D.向右平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变【答案】D【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式，再根据函数y＝Asin(ωx+φ)的图象变换规律，得出结论．【解答】根据函数f(x)＝Asin(ωx+φ)(A>0, ω>0, x∈R)在区间[−π6, 5π6]上的图象，可得A＝1，2πω=5π6+π6，∴ω＝2．再根据五点法作图，2⋅(−π6)+φ＝0，求得φ=π3，故函数f(x)＝sin(2x+π3)．故把f(x)的图象向右平移π6个单位长度，可得y＝sin2x的图象；再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可得y＝sinx的图象，7. 函数f(x)＝|lnx|−18x2的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】 C【考点】函数的图象与图象的变换 【解析】根据函数的定义域，极限，单调性判断． 【解答】f(x)的定义域为{x|x >0}，排除A ． 当x →0+时，f(x)→+∞，排除D ． 当x >1时，f(x)＝lnx −x 28，f′(x)=1x −x4，令f′(x)＝0解得x ＝2， 当x >2时，f′(x)<0，∴ f(x)在(2, +∞)上是减函数，排除B ．8. 如图示，在圆O 中，若弦AB ＝6，AC ＝10，则AO →⋅BC →的值为（ ）A.−16B.−2C.32D.16【答案】 C【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【解析】先计算 AO →⋅AB →、AO →⋅AC →，再利用 AO →⋅BC →=AO →⋅(AC →−AB →)，即可求得结论． 【解答】设圆的半径等于R ，则AO →⋅AB →=R ×6×cos∠OAB ＝R ×6×62R =18， AO →⋅AC →=R ×10×cos∠OAC ＝R ×10×102R =50，∴ AO →⋅BC →=AO →⋅(AC →−AB →)=AO →⋅AC →−AO →⋅AB →=50−18＝32，9. 已知圆O 的半径为1，PA ，PB 为该圆的两条切线，A ，B 为两切点，那么PA →⋅PB →的最小值为( ) A.−4+√2 B.−3+√2 C.−4+2√2 D.−3+2√2【答案】 D【考点】平面向量数量积的性质及其运算 基本不等式在最值问题中的应用 基本不等式平面向量数量积的运算 【解析】要求PA →⋅PB →的最小值，我们可以根据已知中，圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，结合切线长定理，设出PA ，PB 的长度和夹角，并将PA →⋅PB →表示成一个关于x 的函数，然后根据求函数最值的办法，进行解答． 【解答】解：如图所示：设OP =x(x >0)，则PA =PB =√x 2−1，∠APO =α，则∠APB =2α， sinα=1x ，PA →⋅PB →=|PA →|⋅|PB →|cos2α =√x 2−1×√x 2−1(1−2sin 2α) =(x 2−1)(1−2x 2) =x 2+2x 2−3≥2√2−3，∴ 当且仅当x 2=√2时取“=”， 故PA →⋅PB →的最小值为2√2−3． 故选D ．10. 在△ABC 中，若3(CA →⋅AB →+CB →⋅AB →)=2|AB →|2，则tanA +1tanB 的最小值为（ ） A.√5 B.2√5 C.√6D.√62【答案】B【考点】基本不等式及其应用平面向量数量积的性质及其运算 【解析】根据向量的加减的几何意义可得3(a 2−b 2)＝2c 2，再根据余弦定理和正弦定理可得6sinBcosA ＝sinC ，化简整理可得tanA ＝5tanB ，再根据基本不等式即可求出最小值 【解答】∵ 3(CA →⋅AB →+CB →⋅AB →)=2|AB →|2，∴ 3(CA →⋅AB →+CB →⋅AB →)＝3(CA →+CB →)⋅AB →=3(CA →+CB →)⋅(CB →−CA →)＝3(|CB →|2−|CA →|2)＝2|AB →|2，即3(a 2−b 2)＝2c 2，由余弦定理可得a 2＝b 2+c 2−2bccosA ， ∴ 3(c 2−2bccosA)＝2c 2， ∴ 6bccosA ＝c 2， 即6bcosA ＝c ，∴ 6sinBcosA ＝sinC ＝sin(A +B)＝sinAcosB +cosAsinB ， ∴ 5sinBcosA ＝sinAcosB ， ∴ tanA ＝5tanB ，∵ A ，B 是三角形的内角， ∴ tanA >0，tanB >0， ∴ tanA +1tanB=5tanB +1tanB≥2√5tanB ⋅1tanB=2√5，当且仅当tanA =√5，tanB =√55时取等号，∴ tanA +1tanB 的最小值为2√5，11. 若α∈(π4, π)且3cos2α=4sin(π4−α)，则sin2α的值为（ ） A.79B.−79C.−19D.19【答案】 C【考点】二倍角的正弦公式 二倍角的余弦公式 两角和与差的正弦公式 【解析】由条件化简可得 3(cosα+sinα)=2√2，平方可得1+sin2α=89，从而解得sin2α的值． 【解答】解：∵ α∈(π4, π)，且3cos2α=4sin(π4−α)， ∴ 3(cos 2α−sin 2α)=4(√22cosα−√22sinα)，化简可得：3(cosα+sinα)=2√2， 平方可得1+sin2α=89，解得：sin2α=−19. 故选C .12. 已知O 是平面上一定点，A ﹑B ﹑C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →=OA →+λ(AB→|AB →|sinB+AC→|AC →|sinC)λ∈[0, +∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的（ ）A.外心B.内心C.重心D.垂心【答案】 C【考点】 三角形五心向量加减法的应用 【解析】将|AB →|sinB =|AC →|sinC 提取出来，转化成λt(AB →+AC →)，而λt(AB →+AC →)表示与AD →共线的向量，点D 是BC 的中点，故P 的轨迹一定通过三角形的重心． 【解答】解：∵ |AB →|sinB =|AC →|sinC 设它们等于1t ， ∴ OP →=OA →+λ⋅1t (AB →+AC →)，而AB →+AC →=2AD →，λ⋅1t (AB →+AC →)表示与AD →共线的向量AP →，而点D 是BC 的中点，所以即P 的轨迹一定通过三角形的重心． 故选C .二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上已知两个单位向量a →与b →的夹角为60∘，则向量a →−b →在向量a →方向上的投影为________．【答案】 12【考点】 向量的投影数量积表示两个向量的夹角 【解析】运用向量数量积的定义和性质，向量的平方即为模的平方，向量的投影概念，计算即可得到所求值． 【解答】解：两个单位向量和夹角为60∘， 可得a →⋅b →=1×1×12=12，则(a →−b →)⋅a →=a →2−a →⋅b →=1−12=12，所以向量a →−b →在向量a →方向上的投影为(a →−b →)⋅a →|a →|=12. 故答案为：12.若点M 是△ABC 所在平面内一点，且满足|3AM →−AB →−AC →|=0，则△ABM 与△ABC 的面积之比值为________．【答案】13【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【解析】可画出图形，取BC 边的中点D ，从而得出AB →+AC →=2AD →，从而根据|3AM →−AB →−AC →|=0可得出AM →=23AD →，从而根据三角形的面积公式即可得出△ABM 与△ABC 的面积之比值． 【解答】如图，取BC 的中点为D ，则AB →+AC →=2AD →，∵ |3AM →−AB →−AC →|=0， ∴ 3AM →−AB →−AC →=0→， ∴ 3AM →=2AD →，∴ AM →=23AD →，∴ |AM →|=23|AD →|，∴ S △ABM =23S △ABD =23×(12S △ABC )=13S △ABC ，∴S△ABMS△ABC =13．√3tan10+1(4cos210−2)sin10=________．【答案】4【考点】三角函数的恒等变换及化简求值【解析】利用两角和与差的三角函数以及二倍角公式化简求解即可．【解答】原式=√3sin10+cos102cos20sin10cos10=2sin(10+30)2cos20sin10cos10=2sin40sin20cos20=4sin40sin40=4．将函数f(x)=√3sinx−cosx的图象沿着x轴向右平移a个单位(a>0)后的图象关于y 轴对称，则a的最小值为________【答案】π6【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】利用辅助角公式进行化简，结合平移求出函数解析式，利用函数关于y轴对称，建立方程进行求解即可．【解答】f(x)＝2sin(x−π3)，将f(x)的图象沿着x轴向右平移a个单位(a>0)后的图象关于y轴对称，得y＝2sin(x−a−π3)，此时得−a−π3=π2+kπ，得a=−5π6−kπ，∵a>0，∴当k＝−1时，a＝π−5π6=π6，即a的最小值为π6，三、解答题（本大题4小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）已知函数f(x)＝2sinx(sinx+cosx)−a的图象经过点(π2,1)，a∈R．（1）求a的值，并求函数f(x)的单调递增区间；（2）若当x∈[0, π2]时，不等式f(x)≥m恒成立，求实数m的取值范围．【答案】函数f(x)＝2sinx(sinx+cosx)−a的图象经过点(π2,1)，∴2sinπ2(sinπ2+cosπ2)−a＝1，即2−a＝1，解得a＝1；∴函数f(x)＝2sinx(sinx+cosx)−1＝2sin2x+2sinxcosx−1＝2×1−cos2x2+sin2x−1＝sin2x−cos2x=√2sin(2x−π4)；令−π2+2kπ≤2x−π4≤π2+2kπ，k∈Z；解得−π8+kπ≤x≤3π8+kπ，k∈Z；∴f(x)的单调递增区间为[−π8+kπ, 3π8+kπ]，k∈Z；当x∈[0, π2]时，2x−π4∈[−π4, 3π4]，∴√2sin(2x−π4)≥√2×(−√22)＝−1；又不等式f(x)≥m恒成立，∴实数m的取值范围是m≤−1．【考点】正弦函数的单调性函数恒成立问题【解析】（1）根据函数f(x)的图象过点(π2,1)求出a的值，再化f(x)为正弦型函数，求出它的单调递增区间；（2）求出x∈[0, π2]时f(x)的最小值，再求m的取值范围．【解答】函数f(x)＝2sinx(sinx+cosx)−a的图象经过点(π2,1)，∴2sinπ2(sinπ2+cosπ2)−a＝1，即2−a＝1，解得a＝1；∴函数f(x)＝2sinx(sinx+cosx)−1＝2sin2x+2sinxcosx−1＝2×1−cos2x2+sin2x−1＝sin2x−cos2x=√2sin(2x−π4)；令−π2+2kπ≤2x−π4≤π2+2kπ，k∈Z；解得−π8+kπ≤x ≤3π8+kπ，k ∈Z ；∴ f(x)的单调递增区间为[−π8+kπ, 3π8+kπ]，k ∈Z ；当x ∈[0, π2]时，2x −π4∈[−π4, 3π4]，∴ √2sin(2x −π4)≥√2×(−√22)＝−1；又不等式f(x)≥m 恒成立，∴ 实数m 的取值范围是m ≤−1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足2c−b a=cosBcosA ．（1）求角A 的大小；（2）若a ＝2√5，求△ABC 面积的最大值． 【答案】 ∵2c−b a=cosBcosA ，∴ (2c −b)⋅cosA ＝a ⋅cosB ，由正弦定理，得：(2sinC −sinB)⋅cosA ＝sinA ⋅cosB ． ∴ 整理得2sinC ⋅cosA −sinB ⋅cosA ＝sinA ⋅cosB ． ∴ 2sinC ⋅cosA ＝sin(A +B)＝sinC ． 在△ABC 中，sinC ≠0． ∴ cosA =12，∠A =π3． 由余弦定理cosA =b 2+c 2−a 22bc=12，a ＝2√5．∴ b 2+c 2−20＝bc ≥2bc −20∴ bc ≤20，当且仅当b ＝c 时取“＝”． ∴ 三角形的面积S =12bcsinA ≤5√3．∴ 三角形面积的最大值为5√3． 【考点】 正弦定理 【解析】（1）把条件中所给的既有角又有边的等式利用正弦定理变化成只有角的形式，整理逆用两角和的正弦公式，根据三角形内角的关系，得到结果．（2）利用余弦定理写成关于角A 的表示式，整理出两个边的积的范围，表示出三角形的面积，得到面积的最大值． 【解答】 ∵2c−b a=cosBcosA ，∴ (2c −b)⋅cosA ＝a ⋅cosB ，由正弦定理，得：(2sinC −sinB)⋅cosA ＝sinA ⋅cosB ． ∴ 整理得2sinC ⋅cosA −sinB ⋅cosA ＝sinA ⋅cosB ． ∴ 2sinC ⋅cosA ＝sin(A +B)＝sinC ．在△ABC 中，sinC ≠0． ∴ cosA =12，∠A =π3． 由余弦定理cosA =b 2+c 2−a 22bc=12，a ＝2√5．∴ b 2+c 2−20＝bc ≥2bc −20∴ bc ≤20，当且仅当b ＝c 时取“＝”． ∴ 三角形的面积S =12bcsinA ≤5√3．∴ 三角形面积的最大值为5√3．设函数f(x)＝lnx +x 2−2ax +a 2，a ∈R ．（1）当a ＝0时，曲线y ＝f(x)与直线y ＝3x +m 相切，求实数m 的值；（2）若函数f(x)在[1, 3]上存在单调递增区间，求a 的取值范围． 【答案】当a ＝0时，f(x)＝lnx +x 2，x ∈(0, +∞)， f′(x)=1x +2x >0，令f′(x)＝3，解得：x ＝1或x =12，代入f(x)得切点坐标为(1, 1)，或(12, 14−ln2)，将切点坐标代入直线y ＝3x +m ，解得：m ＝−2或m =−54−ln2； f′(x)=1x +2x −2a =2x 2−2ax+1x，x ∈[1, 3]，设g(x)＝2x 2−2ax +1，假设函数f(x)在[1, 3]上不存在单调递增区间，必有g(x)≤0， 于是{g(1)=3−2a ≤0g(3)=19−6a ≤0 ，解得：a ≥196， 故要使函数f(x)在[1, 3]上存在单调递增区间， 则a 的范围是(−∞, 196)．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 利用导数研究函数的单调性 【解析】（1）将a ＝0代入f(x)，求出f(x)的导数，得到f′(x)＝3，解得x 的值，求出切点坐标，代入求出m 的值即可；（2）假设函数f(x)在[1, 3]上不存在单调递增区间，必有g(x)≤0，得到关于a 的不等式组，解出即可． 【解答】当a ＝0时，f(x)＝lnx +x 2，x ∈(0, +∞)， f′(x)=1x +2x >0，令f′(x)＝3，解得：x ＝1或x =12，代入f(x)得切点坐标为(1, 1)，或(12, 14−ln2)，将切点坐标代入直线y ＝3x +m ，解得：m ＝−2或m =−54−ln2； f′(x)=1x +2x −2a =2x 2−2ax+1x，x ∈[1, 3]，设g(x)＝2x 2−2ax +1，假设函数f(x)在[1, 3]上不存在单调递增区间，必有g(x)≤0， 于是{g(1)=3−2a ≤0g(3)=19−6a ≤0 ，解得：a ≥196， 故要使函数f(x)在[1, 3]上存在单调递增区间， 则a 的范围是(−∞, 196)．如图，D 是直角△ABC 斜边BC 上一点，AB ＝AD ，记∠CAD ＝α，∠ABC ＝β．（1）证明：sinα+2cos 2β＝1；（2）若AC =√3DC ，求α+2β的值． 【答案】证明：∵ α=π2−∠BAD =π2−(π−2β)＝2β−π2， ∴ sinα＝sin(2β−π2)＝−cos2β，即sinα+cos2β＝0．∴ sinα+2cos 2β＝sinα+cos2β+1＝0+1＝1，得证． ∵ △ADC 中由正弦定理 DCsinα=ACsin(π−β)，即DCsinα=ACsinβ， 则sinβ=√3sinα，∵ 由（1）得sinβ=−√3cos2β=−√3(1−2sin2β)， 即2 √3sin2β−sinβ−√3=0， 解得sinβ=√32，或sinβ=−√33，∵ 0<β<π2， ∴ sinβ=√32， ∴ β=π3，可得α＝2β−π2=π6， ∴ α+2β=5π6．【考点】正弦定理【解析】（1）利用诱导公式可求得α＝2β−π2，进而利用诱导公式求得sinα＝−cos2β，整理得sinα+cos2β＝0．原式得证．（2）根据正弦定理可求得sinβ=√3sinα进而利用（1）中的结论求得sinβ−√3(1−2sin2β)代入sinβ=√3sinα即可求得sinβ，进而求得β的值，即可求解+2β的值．【解答】证明：∵α=π2−∠BAD=π2−(π−2β)＝2β−π2，∴sinα＝sin(2β−π2)＝−cos2β，即sinα+cos2β＝0．∴sinα+2cos2β＝sinα+cos2β+1＝0+1＝1，得证．∵△ADC中由正弦定理DCsinα=ACsin(π−β)，即DCsinα=ACsinβ，则sinβ=√3sinα，∵由（1）得sinβ=−√3cos2β=−√3(1−2sin2β)，即2 √3sin2β−sinβ−√3=0，解得sinβ=√32，或sinβ=−√33，∵0<β<π2，∴sinβ=√32，∴β=π3，可得α＝2β−π2=π6，∴α+2β=5π6．已知函数f(x)＝e x，g(x)＝lnx+a．（1）设ℎ(x)＝xf(x)，求ℎ(x)的最小值；（2）若曲线y＝f(x)与y＝g(x)仅有一个交点P，证明：曲线y＝f(x)与y＝g(x)在点P处有相同的切线，且a∈(2,52)．【答案】∵f(x)＝e x，∴ℎ(x)＝xf(x)＝xe x，∴ℎ′(x)＝(x+1)e x，当x<−1时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减；当x>−1时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增，故x＝−1时，ℎ(x)取得最小值−1e．证明：∵g(x)＝lnx+a．∴设t(x)＝f(x)−g(x)＝e x−lnx−a，则t′(x)=e x−1x =xe x−1x(x>0)，由（1）得T(x)＝xe x−1在(0, +∞)单调递增，又T(12)<0，T(2)>0，∴存在x0∈(12,1)使得T(x0)＝0，∴当x∈(0, x0)时，t′(x)<0，t(x)单调递减；当x∈(x0, +∞)时，t′(x)>0，t(x)单调递增，∴t(x)）的最小值为t(x0)=e x0−lnx0−a=0，由T(x0)＝0得e x0=1x，∴曲线y＝f(x)与y＝g(x)在P点处有相同的切线，又a=e x0−lnx0，∴a=1x+x0，∵x0∈(12,1)，∴a∈(2,52)．【考点】利用导数研究函数的最值利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】（1）求出ℎ′(x)＝(x+1)e x，利用导数性质能求出x＝−1时，ℎ(x)取得最小值−1e．（2）设t(x)＝f(x)−g(x)＝e x−lnx−a，则t′(x)=e x−1x =xe x−1x(x>0)，推导出存在x0∈(12,1)使得T(x0)＝0，求出t(x)）的最小值为t(x0)=e x0−lnx0−a=0，由此能证明曲线y＝f(x)与y＝g(x)在P点处有相同的切线，并能求出a∈(2,52)．【解答】∵f(x)＝e x，∴ℎ(x)＝xf(x)＝xe x，∴ℎ′(x)＝(x+1)e x，当x<−1时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减；当x>−1时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增，故x＝−1时，ℎ(x)取得最小值−1e．证明：∵g(x)＝lnx+a．∴设t(x)＝f(x)−g(x)＝e x−lnx−a，则t′(x)=e x−1x =xe x−1x(x>0)，由（1）得T(x)＝xe x−1在(0, +∞)单调递增，又T(12)<0，T(2)>0，∴存在x0∈(12,1)使得T(x0)＝0，∴当x∈(0, x0)时，t′(x)<0，t(x)单调递减；当x∈(x0, +∞)时，t′(x)>0，t(x)单调递增，∴t(x)）的最小值为t(x0)=e x0−lnx0−a=0，由T(x0)＝0得e x0=1x，∴曲线y＝f(x)与y＝g(x)在P点处有相同的切线，又a =e x 0−lnx 0，∴ a =1x 0+x 0，∵ x 0∈(12,1)，∴ a ∈(2,52)．选做题：请在22、23题中任选一题作答，写清题号．如果多做，则按所做第一题记分．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为：{x =2cosαy =sinα （α为参数）．以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin(θ−π3)=2．（1）求直线l 的直角坐标方程；（2）若点P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 距离的最大值，并求出此时点P 的坐标． 【答案】由ρsin(θ−π3)=2，得ρsinθcos π3−ρcosθsin π3=2，即12ρsinθ−√32ρcosθ=2，代入{x =ρcosθy =ρsinθ，得√3x −y +4=0． ∴ 直线l 的直角坐标方程为√3x −y +4=0；由曲线C 的参数方程{x =2cosαy =sinα （α为参数），可设P(2cosα, sinα)，则点P 到直线l 距离d =|2√3cosα−sinα+4|2=|√13sin(α−β)−4|2(tanβ=2√3)．∴ 当sin(α−β)＝−1时，点P 到直线l 距离取最大值为√13+4， 此时α−β=−π2+2kπ，k ∈Z ，α=β−π2+2kπ，k ∈Z ． ∴ cosα=cos(β−π2)=√3√13，sinα=√13，∴ P 点坐标为(4√3913,√1313)． 【考点】参数方程与普通方程的互化 圆的极坐标方程 【解析】（1）把ρsin(θ−π3)=2展开两角差的正弦，然后结合极坐标与直角坐标的互化公式即可求得直线l 的直角坐标方程；（2）设P(2cosα, sinα)，写出点到直线的距离公式，再由三角函数求最值． 【解答】由ρsin(θ−π3)=2，得ρsinθcos π3−ρcosθsin π3=2，即12ρsinθ−√32ρcosθ=2，代入{x =ρcosθy =ρsinθ ，得√3x −y +4=0． ∴ 直线l 的直角坐标方程为√3x −y +4=0；由曲线C 的参数方程{x =2cosαy =sinα（α为参数），可设P(2cosα, sinα)，则点P到直线l距离d=|2√3cosα−sinα+4|2=|√13sin(α−β)−4|2(tanβ=2√3)．∴当sin(α−β)＝−1时，点P到直线l距离取最大值为√13+4，此时α−β=−π2+2kπ，k∈Z，α=β−π2+2kπ，k∈Z．∴cosα=cos(β−π2)=√3√13，sinα=√13，∴P点坐标为(4√3913,√1313)．设函数f(x)＝|x+1|+|x−1|，x∈R，不等式f(x)≤2√3的解集为M．（1）求M；（2）当a，b∈M时，证明：√3|a+b|≤|ab+3|．【答案】不等式即|x+1|+|x−1|≤2√3，而|x+1|+|x−1|表示数轴上的x对应点到−1、1对应点的距离之和，−√3和√3对应点到−1、1对应点的距离之和正好等于2√3，故不等式的解集为M＝[−√3, √3]；要证√3|a+b|≤|ab+3|，只要证3(a+b)2≤(ab+3)2，即证：3(a+b)2−(ab+3)2＝3(a2+b2+2ab)−(a2⋅b2+6ab+9)＝3a2+3b2−a2⋅b2−9＝(a2−3)(3−b2)≤0，而由a，b∈M，可得−√3≤a≤√3，−√3≤b≤√3，∴a2−3≤0，3−b2≥0，∴(a2−3)(3−b2)≤0成立，故要证的不等式√3|a+b|≤|ab+3|成立．【考点】不等式的证明【解析】（1）由条件利用绝对值的意义求出不等式f(x)≤2√3的解集M．（2）用分析法证明此不等式，分析使此不等式成立的充分条件为(a2−3)(3−b2)≤0，而由条件a，b∈M可得(a2−3)(3−b2)≤0成立，从而证得要证的不等式．【解答】不等式即|x+1|+|x−1|≤2√3，而|x+1|+|x−1|表示数轴上的x对应点到−1、1对应点的距离之和，−√3和√3对应点到−1、1对应点的距离之和正好等于2√3，故不等式的解集为M＝[−√3, √3]；要证√3|a+b|≤|ab+3|，只要证3(a+b)2≤(ab+3)2，即证：3(a+b)2−(ab+3)2＝3(a2+b2+2ab)−(a2⋅b2+6ab+9)＝3a2+3b2−a2⋅b2−9＝(a2−3)(3−b2)≤0，而由a，b∈M，可得−√3≤a≤√3，−√3≤b≤√3，∴a2−3≤0，3−b2≥0，∴(a2−3)(3−b2)≤0成立，故要证的不等式√3|a+b|≤|ab+3|成立．。

太原五中2014—2015学年度第二学期阶段检测高 三 数 学(理)命题人:刘晓瑜 校题人： 王文杰 (2015.5.25)本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）．满分150分，考试时间120分钟．第I 卷（选择题 共60分）一．选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一选项是符合题目要求的）1. 已知集合错误！未找到引用源。

则错误！未找到引用源。

为（ ）Ａ．错误！未找到引用源。

Ｂ．错误！未找到引用源。

Ｃ．错误！未找到引用源。

Ｄ．错误！未找到引用源。

2. 甲乙两人从错误！未找到引用源。

门课程中各选修两门，则甲乙所选的课程中至少有错误！未找到引用源。

门不相同．．．的选法共有（ ） A ．30种 B ．36种 C ．60种 D ．72种3．已知向量(cos ,2),(sin ,1),//a b a b αα=-= 则tan()4πα-等于( )A ．3 B.3- C.13 D. 13- 4．错误！未找到引用源。

的展开式中错误！未找到引用源。

的系数是（ ）A.-3B.3C.-4D.45．实数错误！未找到引用源。

满足错误！未找到引用源。

，使错误！未找到引用源。

取得最大值的最优解有2个，则错误！未找到引用源。

的最小值为（ ） A.0 B.-2 C.1 D.-16．已知点A 、B 、C 、D 均在球O 上，AB ＝BC ＝错误！未找到引用源。

,AC ＝3，若三棱锥D －ABC 体积的最大值为错误！未找到引用源。

，则球O 的表面积为A ．36πB ．16πC ．12πD ．错误！未找到引用源。

π7. 已知实数[1,10]x ∈，执行右图所示的程序框图，则输出x 的值不小于55的概率为（ ）A.19 B.29C.49D.598．某单位安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班，每人4天．甲说：我在1日和3日都有值班; 乙说：我在8日和9日都有值班；丙说：我们三人各自值班的日期之和相等．据此可判断丙必定值班的日期是 A.2日和5日 B ．5日和6日 C ．6日和11日 D ．2日和11日9. 以下四个命题中,其中真命题的个数为( )①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②对于命题p ：x R ∃∈，使得210x x ++<. 则⌝p ：x R ∀∈， 均有210x x ++≥；③两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数就越接近于1④命题错误！未找到引用源。

太原五中2014—2015学年度第一学期月考(10月)高三历史(文)出题、校对：郭素英【试卷综析】本套试题就知识考点来讲，没有偏、难、怪、冷，基本上都是学生熟知的知识点。

在能力考查方面全面考查了《考试大纲》规定的四个方面的能力目标。

同时侧重考查了“获取和解读信息”“调动和运用知识”的能力。

在主观性试题中，四项能力要求都有一定的体现，更侧重于考查“描述和阐释事物”“论证和探究问题的能力”。

试题原创性好，命制较为科学成功，强调基础、彰显能力是其最突出的特色。

一、选择题（本大题24小题，共48分）【题文】1．朱子《全书·语录》说“封建”之意，一是“君民之情相亲，可以久安而无患”；二是“圣人不以天下为己私，分与亲贤共理”。

但这套体制也有重大缺陷，即A.膏粱子弟“不学而居民上，为害岂有涯哉？”B. 天下未“放开做，使恢复有余地”C.“来来去去，无长之意，不可恃以为固也”D.“事权之太分，委琐不足恃，重迟不易举”【知识点】A1古代中国·古代东西方的政治制度·西周的政治制度【答案解析】A 解读材料关键信息，“君民之情相亲”、“分与亲贤共理”，据此判断此“封建”制度为分封制。

结合所学知识可以判断，分封制以血缘关系为纽带，实行世卿世禄制度，贵族子弟“不学而居民上”，成为分封制的重大缺陷。

故选：A【思路点拨】解答本题的关键在于最大限度地获取有效信息，并作出正确判断。

【题文】2.右图为西汉州（部）设置情况简表（局部），皇帝给刺史规定了“六条问事”的基本职责，其中五条都是针对两千石郡守的，而对国王的监察却未列入明文，这主要是由于A．惩戒秦亡，着意涵养同姓B．王国气盛，中央暂时隐忍C．郡守掌军，威胁中央集权D．推恩令行，王国患已消【知识点】A1古代中国·古代东西方的政治制度·从汉至明清政治制度的演变【答案解析】D 本题解答的关键在于准确识记刺史设置的相关史实。

汉武帝将全国地方划分为13个监察区，每州派遣一名刺史，当时已经颁布推恩令，王国势力已经消弱，设置刺史的主要目的是监察地方官员和强宗豪右，加强中央集权。