高三数学10月月考试题 理15

2024—2025学年广西南宁市第一中学高三上学期10月月考数学试卷一、单选题(★) 1. 已知集合，则（）A．B．C．D．(★★) 2. 已知，且，其中是虚数单位，则（）A．B．C．D．(★★) 3. 已知定义域为的函数不是偶函数，则（）A．B．C．D．(★★) 4. 已知一组数据的平均数是3，方差为4，则数据的平均数和方差分别是（）A．B．C．D．(★★) 5. 已知递增的等差数列的前项和为，则（）A． 70B． 80C． 90D． 100(★★★) 6. 在中，，若，则（）A．B．C．D．(★★★) 7. 已知函数在区间内既有最大值，又有最小值，则的取值范围是（）A．B．C．D．(★★★★) 8. 不等式对所有的正实数, 恒成立，则的最大值为（）A． 2B．C．D． 1二、多选题(★★★★) 9. 如图，已知为圆锥的底面的直径，，C为底面圆周上一点，弧的长度是弧的长度的2倍，异面直线与所成角的余弦值为，则（）．A．圆锥的体积为B．圆锥的侧面积为C．直线与平面所成的角大于D．圆锥的外接球的表面积为(★★★) 10. 已知抛物线的焦点分别为，若分别为上的点，且直线平行于轴，则下列说法正确的是（）A．若，则B．若，是等腰三角形C．若，则四边形是矩形D．四边形可能是菱形(★★★) 11. 设，定义在上的函数满足，且，则（）A．B．C．为偶函数D．三、填空题(★★) 12. 的展开式中，含的项的系数为 ________ ．（用数字作答）(★★) 13. 在平面直角坐标系中，若角的终边过点，角的终边与角的终边关于轴对称，则 ______ ．(★★★) 14. 已知椭圆的左焦点为，若关于直线的对称点恰好在上，且直线与的另一个交点为，则 ______ ．四、解答题(★★★) 15. 已知的内角所对的边分别为.(1)求角A的大小；(2)求的最大值.(★★★) 16. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，，点M是棱PC的中点．(1)求证：平面P AD；(2)求平面P AB与平面BMD所成锐二面角的余弦值．(★★★) 17. 中国体育代表团在2024年巴黎奥运会上取得了优异的成绩．为了解学生对奥运会的了解情况，某校组织了全校学生参加的奥运会知识竞赛，从一、二、三年级各随机抽取100名学生的成绩（满分： 100分，各年级总人数相等），统计如下：4060学校将测试成绩分为及格（成绩不低于60分）和不及格（成绩低于60分）两类，用频率估计概率，所有学生的测试成绩结果互不影响．(1)从一、二年级各随机抽一名学生，记表示这两名学生中测试成绩及格的人数，求的分布列和数学期望；(2)从这三个年级中随机抽取两个年级，并从抽取的两个年级中各随机抽取一名学生，求这两名学生测试成绩均及格的概率．(★★★★) 18. 已知双曲线的两条渐近线方程为为上一点．(1)求双曲线的方程；(2)若过点的直线与仅有1个公共点，求的方程；(3)过双曲线的右焦点作两条互相垂直的直线，，且与交于两点，记的中点与交于两点，记的中点为．若，求点到直线的距离的最大值．(★★★) 19. 已知函数（其中）．(1)当时，证明：是增函数；(2)证明：曲线是中心对称图形；(3)已知，设函数，若对任意的恒成立，求的最小值．。

成都2024～2025学年度上期高2025届十月考试数学试卷（答案在最后）一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的，请把正确的选项填涂在答题卡相应位置.1.已知集合{}1,2,4A =,2{|20}B x N x x =∈+-≤,则A B = A.{}2,1,0,1,2,4-- B.{}0,1,2,4 C.{}1,2,4D.{}12.2024年巴黎奥运会中国代表队获得金牌榜第一,奖牌榜第二的优异成绩.首金是中国组合黄雨婷和盛李豪在10米气步枪混合团体赛中获得,两人在决赛中14次射击环数如右图,则A.盛李豪的平均射击环数超过10.6B.黄雨婷射击环数的第80百分位数为10.65C.盛李豪射击环数的标准差小于黄雨婷射击环数的标准差D.黄雨婷射击环数的极差小于盛李豪射击环数的极差3.已知0.10.6a =,0.6log 0.3b =,0.6log 0.4c =,则a ,b ,c 的大小关系为A.b c a>> B.a b c>> C.c b a>> D.a c b>>4.已知实数a ,b ,c 满足a b c >>，且0a b c ++=，则下列说法正确的是A.22ab cb > B.222a c c a+≥ C.||||a b > D.0ab bc +>5.“函数2()ln(22)f x x ax =-+的值域为R”的一个充分不必要条件是A.[2,2]- B.(0,2⎤⎦C．(,2[2,)⎤-∞+∞⎦U D．[2,)+∞6.核燃料是重要的能量来源之一，在使用核燃料时，为了冷却熔化的核燃料，可以不断向反应堆注入水，但会产生大量放射性核元素污染的冷却水，称为核废水.核废水中含有一种放射性同位素氚，它有可能用辐射损伤细胞和组织，影响生物的繁殖和生态平衡.已知氚的半衰期约为12年，则氚含量变成初始量的110000大约需要经过()年.（lg 20.3010≈）A.155 B.159C.162D.1667.若函数()y f x =的图象如图1所示，则如图2对应的函数可能是A.(12)y f x =-B.1(1)2y f x =-C.(12)y f x =-- D.1(1)2y f x =--8.已知函数11,0,()2221,0.x x x f x x ⎧+>⎪=⎨⎪-≤⎩,则方程()(3)2f x f x +-=的所有根之和为A．0B．3C．6D．9二、选择题:本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。

高三年级10月考数学参考答案一、单项选择题 二、多项选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 B C C D A A DA 三、填空题12．0 13．π 14． 4+四、解答题15.（本小题满分13分）解：（1）由223n S n n =+得当1n =时，115a S ==，当2n ≥时，22123[2(1)3(1)]41n n n a S S n n n n n -=-=+--+-=+所以41n a n =+由34log 141n n a b n =+=+，所以3nn b =（2）由（1）知(41)3n n n a b n =+125393(41)3nn T n =⨯+⨯+++ ①23135393(43)3(41)3n n n T n n +=⨯+⨯++-++ ② ①-②得212154343(41)3n n n T n +-=+⨯++⨯-+⨯ 119(132154(41)313n n n T n -+--=+-+⨯-），所以131(2322n n T n +=--⨯.16.（本小题满分15分）解：（1）由正弦定理得222sin C sin sin sinA B A B =+222a b c ⇒+-=， 由余弦定理得222cos 2a b c C ab +-==，因为(0)C π∈，，所以4C π=， 因为sin B C =所以sin B =，因为(02B π∈，，所以3B π=（2）512A B C ππ=--=，sin sin()A B C =+=由正弦定理sin sin sin a b c A B C ==得a==，b =由21sin 12ABC S ab C ===+△， 得2c =. 17. （本小题满分15分） 解：（1）因为()ln f x x x =-，所以()()ln a a g x f x x x x x =-=--，0x >，，2221()1a x x a g x x x x -++'=-+=，令2211()(24m x x x a x a =-++=--++ ①当14a -≤时，()0g x '≤恒成立，此时()g x 在(0)+∞，上单调递减； ②当104a -<<时，()0m x >x<<所以()g x 在(0上单调递减，在上单调递增，在)+∞上单调递减； ③当0a >时，()0m x >0x<<< 所以()g x 在(0上单调递增，在)+∞上单调递减； 9 10 11AD ABD BC综上所述： 当14a -≤时，()g x 的单调递减区间为(0)+∞，，无单调递增区间； 当104a -<<时， ()g x的单调递减区间为(0和)+∞单调递增区间为；当0a >时，()g x的单调递增区间为(0，单调递减区间为)+∞；（2）由()ln f x x x =-，1()xf x x -'=，由()0f x '>得01x <<，()0f x '<得1x >所以()f x 在(01)，上单调递增，在(1)+∞，上单调递减，所以max ()(1)1f x f ==-，所以min |()|1f x =，设ln 1()2x g x x =+，则21ln ()xg x x -'=由()0g x '>得0e x <<，由()0g x '<得e x >，所以()g x 在(0e)，上单调递增， 在(e )+∞，上单调递减，所以max ()g x =(e)g 111e 2=+<所以max min ()|()|g x f x <，所以ln 1|()|2x f x x >+对任意的(0)+∞，恒成立.18. （本小题满分17分）解：（1）(0)1()e (0)1x g g x g ''==-=，所以()g x 在(0(0))g ，处的切线方程为：(11y x =+(1)1h b c =+-，2()1(1)1bh x h b x ''=-=-，，所以()h x 在(1(1))h ，处切线方程为：(1)2y b x b c =-+-所以2111b c b -=-=-，即1(1)c a =-≥； 所以c 的最小值为1（2）()e x g x =，则()e x g x '= 所以ln (02a x ∈，时ln ()0()2a g x x '<∈+∞，，时()0g x '> 所以()g x 在ln (02a ，上单调递减，在ln ()2a +∞，上单调递增，故min ln ln ()(22a a g x g ==- ()b h x x c x =+-，则()h x在(0上单调递减，在)+∞上单调递增 令()0h x =，即20x cx b -+=，24c b ∆=- 1.0∆>即c >(0+∞，）上()h x 的两个零点为12x x ，，同时它们恰好为()g x 的零点. 12()0()0ln 102g x g x a ⎧⎪=⎪∴=⎨⎪⎪-<⎩即12122e e e x x a ⎧=⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩又1212x x c x x b +==，，则2e 1e c ab a ⎧=>⎪⎨>⎪⎩，此时 1ln ln e e e a a a b a a a b a -++--=>，令1ln y a a a =-+，则21110y a a '=--<，y ∴递减且a →+∞时y →-∞，则2212e e e (0e )y -+∈，，故2212e e e e a b a -+->. 2.0∆≤即0c <≤在(0)+∞，上()0h x ≥，此时只需min ()0g x ≥即21e a ≤≤即可. 此时，e e e b a b a a a -⋅=，令()e a a k a =，则10e a a k -'=≤，即k 在2[1e ]，递减，22e 1[e e k -∴∈，而e 1b >，故22e e e a b a -->. 综上所述，e a b a -的取值范围为22e (e )-+∞， 19．（本小题满分17分） （1）设{}n a 的公差为d ，32318S a ==所以26a =，323a a d -==，3n a n =； 由214b b q ==，313(1)141bq T q -==-，所以22520q q -+=，2q =或12q =（舍）所以2n n b =. 1132a b ==，所以1223c c ==，；2264a b ==，所以3446c c ==，3398a b ==，所以5689c c ==，；441216a b ==，所以7812c c =，16=.3574812c c c +=+==，所以1k =.（2）221233(363)(222)222nn n n n n n M S T n ++=+=+++++++=+- 231nn M b =-，即2133223212n n n n +++-=⋅-所以233222n n n +=⋅+，当1n =时符合，令233222n n r n n =+-⋅-1234081826r r r r ====，，，，524r =，64r =-16622n n n r r n +-=+-⋅当4n ≥时，10n n r r +-<所以123456r r r r r r <<<>>> 所以有且只有1n =符合.（3）由2122122(36)(1)n n n n n n n n a b d c c c c -+++=-得 1(96)2(1)(3)2(33)2n nn n n n d n n ++=-+111(1)(32(33)2n n n n n +=-++ 22221111()(32(313)2(313)2(323)2n n E +=-+++⨯⨯+⨯+⨯+） 22111()3(2)23(21)2n n n n +-+++ 21116(63)2n n +=-++16>-. .试题参考答案一．单选题1.【解析】选B.{|2}{|12}U A x x A B x x ==< ≤，≤ð，故选B.2. 【解析】选C.0a <且0b <⇒0a b +<且0ab >，反之也成立，故选C.3. 【解析】选C.12(43i)(i)=(4-3)+(4+3)i z z a a a ⋅=++为实数，所以430a +=所以43a =-，故选C. 4. 【解析】选D.因为|||2|-=+ab a b 平方得，21||2⋅=-a b b ，a 在b 方向上的投影向量为1||||2⋅⋅=-a b b b b b ，故选D. 5. 【解析】选A.53357S a a =⇒=，453623a a a a +=+=，所以616a =，所以63363a a d -==-，故选A.6. 【解析】选A.由2sin cos αα+=两边平方得2254sin 4sin cos cos 2αααα++=，所以4sin cos αα233cos 2α-=-所以2332sin 2(2cos 1)cos 222ααα=-=所以3tan 24α=.故选A. 7. 【解析】选D.因为ln()ln ln ln ln 3333xy x y x y +==⋅故选D.8. 【解析】选A.设零点为(01]t ∈，，则ln 0at b t ++=，()a b ，在直线ln 0xt y t ++=上， 22a b +的几何意义为点()a b ，到原点距离的平方，其最小值为原点到直线ln 0xt y t ++=的距离d 的平方，222ln 1t d t =+， 设22ln ()1t g t t =+，22222ln (12ln )()0(1)t t t t g t t t +-'=<+所以()g t 在(01]，单调递减，所以min ()(1)0g t g ==.故选A.二．多选题9.【解析】选AD.|||2i ||2|z z y y -==知A 对C 错，222222i z x xy y x y =+-≠+，故B 错，||||||z x y =+成立，故选AD.10. 【解析】选ABD.由21((0)22n d d S n a n d =+-≠及二次函数的性质知A B ，为真，对D 知100a d <<，从而{}n S 是递减数列，对C ：1258--- ，，，，满足{}n S 是递减数列，但0n S <不恒成立，故选ABD .11. 【解析】选BC.对A ：(0)1()1(0)2f f f π===，A 错，对B ，令sin x t =，21()sin sin 1f x x x =-++，210t t -++=则sin [02]t x x π==∈，，，有两个实根.B 对.对C ：232()sin cos f x x x =+，22()2sin cos 3cos sin f x x x x x '=-，令2()0f x '=即2cos sin 203x x ==，，2cos 3x =的两个根为123(0)(2)22x x πππ∈∈，，，，sin 20x =的根为30222ππππ，，，，，所以2()f x 的极小值点为12x x π，，，C 对.对D ：22(2)()f x f x π+=，所以2()f x 为周期函数，但232()sin cos f x x x =+，232()sin cos f x x x π+=-，22()()f x f x π≠+，D 错.三.填空题12.【解析】0.()()f x f x -=特值()()f a f a -=即cos cos |2|a a a =-所以0a =.13.【解析】π.21cos 2cos 2x x +=与cos(2)4x π-的最小正周期相同，14.【解析】4+解1：设|+a b |x =，||-a b y θ=<，，a b >=，254cos [13]x x θ=+∈，，，254cos [13]y y θ=-∈，，且2210x y +=，设x y ϕϕ==，，其中sin ϕ，则)4x y πϕ+=+，当4πϕ=，x y ==时x y +取得最大值当cos sin ϕϕ==即3x =，1y =时x y +取得最小值4,所以最大值与最小值之和为4+.解2：换元后，利用平行直线系和圆弧的位置关系四.解答题15.解：（1）由223n S n n =+得当1n =时，115a S ==，…………………………… …1分当2n ≥时，22123[2(1)3(1)]41n n n a S S n n n n n -=-=+--+-=+……3分所以41n a n =+…………………………………………………………… ……4分由34log 141n n a b n =+=+，所以3n n b =………………………………6分（2）由（1）知(41)3n n n a b n =+ …………………………………………………7分125393(41)3n n T n =⨯+⨯+++ ①23135393(43)3(41)3n n n T n n +=⨯+⨯++-++ ② ……………9分 ①-②得212154343(41)3n n n T n +-=+⨯++⨯-+⨯ ……………………10分 119(132154(41)313n n n T n -+--=+-+⨯-）， 所以131(2322n n T n +=--⨯. …………………………………………13分16.解：（1）因为222sin C sin sin sin A B A B =+222a b c ⇒+-=，…2分由余弦定理得222cos 2a b c C ab +-==， (0)C π∈，，所以4C π=， …4分因为sin B C =所以sin B =， ………………………………………6分 因为(0)2B π∈，，所以3B π= …………………………………………………7分（2）512A B C ππ=--= ……………………………………………………………8分sin sin()A B C =+=…………………………………………………10分sin sin sin a b c A B C ==得a ==，b = ………12分由21sin 12ABC S ab C ===+△， …………………………14分得2c =. ……………………………………………………………………15分 （17） 解：（1）因为()ln f x x x =-，所以()()ln a a g x f x x x x x=-=--，0x >，2221()1a x x a g x x x x -++'=-+=， ………………………………………………………2分 令2211()(24m x x x a x a =-++=--++①当14a -≤时，()0g x '≤恒成立，此时()g x 在(0)+∞，上单调递减；②当104a -<<时，()0m x >x <<所以()g x 在(0上单调递减，在上单调递增，在)+∞上单调递减；③当0a >时，()0m x >0x <<<所以()g x 在(0上单调递增，在)+∞上单调递减；……5分 综上所述： 当14a -≤时，()g x 的单调递减区间为(0)+∞，，无单调递增区间；当104a -<<时， ()g x 的单调递减区间为(0和)+∞单调递增区间为；当0a >时，()g x 的单调递增区间为(0，单调递减区间为)+∞；……………………………………………………………………7分 （2）由()ln f x x x =-，1()x f x x-'=，由()0f x '>得01x <<，()0f x '<得1x > 所以()f x 在(01)，上单调递增，在(1)+∞，上单调递减， 所以max ()(1)1f x f ==-，所以min |()|1f x =，………………………………………10分 设ln 1()2x g x x =+，则21ln ()x g x x-'= 由()0g x '>得0e x <<，由()0g x '<得e x >，所以()g x 在(0e)，上单调递增， 在(e )+∞，上单调递减，所以max ()g x =(e)g 111e 2=+< 所以max min ()|()|g x f x <，…………………………………………………………………14分 所以ln 1|()|2x f x x >+对任意的(0)+∞，恒成立. ……………………………………15分18. 解：（1）(0)1()e (0)1x g g x g ''==-=-，所以()g x 在(0(0))g ，处的切线方程为：(11y x =+………………………………………………………………2分(1)1h b c =+-，2()1(1)1b h x h b x ''=-=-，，所以()h x 在(1(1))h ，处切线方程为：(1)2y b x b c =-+-所以21b c -=，11b -=6分即1(1)c a =-≥所以c 的最小值为1. …………………………………………7分（2）()e x g x =-，则()e x g x '=- 当ln (0)2a x ∈，时ln ()0()2a g x x '<∈+∞，，时()0g x '> 所以()g x 在ln (0)2a ，上单调递减，在ln ()2a +∞，上单调递增，故min ln ln ()(22a a g x g ==- ………………………………………………………9分()b h x x c x =+-，则()h x 在(0上单调递减，在)+∞上单调递增 令()0h x =，即20x cx b -+=，24c b ∆=-1.0∆>即c >(0+∞，）上()h x 的两个零点为12x x ，，同时它们恰好为()g x 的零点.12()0()0ln 102g x g x a ⎧⎪=⎪∴=⎨⎪⎪-<⎩即12122e e e x x a ⎧=⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩又1212x x c x x b +==，，则2e 1e c ab a ⎧=>⎪⎨>⎪⎩，此时 …11分 1ln ln e e e a a a b a a a b a-++--=>，令1ln y a a a =-+，则21110y a a'=--<，y ∴递减且a →+∞时y →-∞，则2212e e e (0e )y -+∈，，故2212e e e e a b a -+->.…………………………………14分2.0∆≤即0c <≤时，在(0)+∞，上()0h x ≥，此时只需min ()0g x ≥即21e a ≤≤即可. 此时，e e e b a ba aa -⋅=，令()e a a k a =，则10e a a k -'=≤，即k 在2[1e ]，递减，22e 1[e]e k -∴∈，而e 1b >，故22e e e a b a-->.……………………………………………………………………16分 综上所述，e a b a-的取值范围为22e (e )-+∞，………………………………………………17分（19）解：（1）设{}n a 的公差为d ，32318S a ==所以26a =，323a a d -==，3n a n =； ……………………………2分由214b b q ==，313(1)141b q T q-==-，所以22520q q -+=，2q =或12q =（舍）所以2nn b =. ……………………………………………………………………4分 1132a b ==，所以1223c c ==，；2264a b ==，所以3446c c ==， 3398a b ==，所以5689c c ==，；441216a b ==，所以7812c c =，16=. 3574812c c c +=+==，所以1k =. ………………………………………5分（2）221233(363)(222)222n n nn n n n M S T n ++=+=+++++++=+- …7分231n n M b =-，即2133223212n n n n +++-=⋅-所以233222n n n +=⋅+，当1n =时符合， …………………………………………………8分 令233222nn r n n =+-⋅- 1234081826r r r r ====，，，，524r =，64r =-16622n n n r r n +-=+-⋅当4n ≥，10n n r r +-<所以123456r r r r r r <<<>>>所以有且只有1n =符合. …………………………………………………………11分（3）由2122122(36)(1)n n n n n n n n a b d c c c c -+++=-得 1(96)2(1)(3)2(33)2n nn n n n d n n ++=-+111(1)(32(33)2n n n n n +=-++ ………………13分 22231111((32(313)2(313)2(323)2n E =-+++⨯⨯+⨯+⨯+） 22111()3(2)23(21)2n n n n +-+++ ……………………………………15分 21116(63)2n n +=-++16>-.………………………………………………17分。

2024-2025学年度上学期10月份月考数学试卷（答案在最后）命题人：高三数学组第Ⅰ卷（选择题）一、单选题（每个小题有且只有一个正确选项，每小题5分，共40分）1．设集合{}2230A x Z x x =∈--≤∣，{B x y ==∣，则A B ⋂=（）A ．{1,0,1}-B ．{0,1,2}C ．{1,0,1,2}-D ．{1,2}2．若22i z z+=-，则z =（）A ．1i +B ．1i-C ．1i -+D ．1i--3．已知n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，432:p S S a -=，{}:n q a 为常数列，则（）A ．p 是q 的充分不必要条件B ．p 是q 的必要不充分条件C ．p 是q 充要条件D ．p 是q 的既不充分也不必要条件4．已知锐角α，β满足1sin cos 5αα-=，tan tan tan tan αβαβ++=α与β的大小关系为（）A ．4παβ<<B ．4πβα<<C ．4παβ<<D ．4πβα<<5．在等差数列{}n a 中，若49228a a a +==，则下列说法错误的是（）A ．19a =B ．1045S =C ．n S 的最大值为45D ．满足0n S >的n 的最大值为196．已知30,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，30,,sin 243ππβα⎛⎫⎛⎫∈+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，53cos 29βα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭则cos 42πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．9B ．9-C ．3D ．3-7．已知函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，(5,0)D ，(2,)B A ，BC CD ⊥，则(4)f =（）A ．4B C ．D ．8．已知函数22,0()ln(1)1,0x x ax a x f x e x x ⎧---<=⎨+++≥⎩的值域为R ，则a 的取值范围是（）A ．(,2]-∞-B ．[2,0]-C ．(,2][2,)-∞-⋃+∞D ．(,1][2,)-∞-⋃+∞二、多选题（每小题6分，每个小题漏选2或3分或4分，有错选不得分，共18分）9．已知20ax bx c ++>的解集是(2,3)-，则下列说法正确的是（）A ．0b c +>B ．不等式20cx bx a -+<的解集为11,23⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．1234a b -+的最小值是4D ．当2c =时，若2()36f x ax bx =+，[]12,x n n ∈的值域是[3,1]-，则21[2,4]n n -∈10．设()3sin 2cos 2f x a x a x =+，其中a ∈R ，0a ≠，则：（）A ．()f x 相邻两个最高点之间的距离是πB ．()2f x a≤C ．()f x 的单调递增区间是2,()63k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z D ．()f x 的图象向左平移6π个单位长度得到的函数图象关于y 轴对称．11．已知函数32()1f x x ax =-+，则（）A ．曲线()y f x =关于点(0,1)成中心对称B ．a ∃∈R ，()f x 无极值C ．若()f x 在(2,)+∞上单调递增，则3a <D ．若曲线()y f x =与x 轴分别交于点()1,0A x ，()2,0B x ，()3,0C x ，且在这三个点处的切线斜率分别为1k ，2k ，3k 则123111k k k ++为定值第II 卷（非选择题）三、填空题（每个小题5分，共15分）12．已知函数()2sin 2f x x x =-，则不等式()2(34)0f x f x +-<的解集为__________．13．已知数列{}n a则{}n a 的前n 项和n S =_________．14．若函数2log 2,0()sin ,03x x x f x x x πωπ+>⎧⎪=⎨⎛⎫+-≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩有4个零点，则正数ω的取值范围是__________．四、解答题（15题13分，16、17题每小题15分，18、19题每小题17分，共77分）15．（本小题满分13分）已知ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，csin cos C c B c -=．．（1）求角B ．（2）若ABC ∆为锐角三角形，且2a =，求ABC ∆面积的取值范围．16．（本小题满分15分）设{}n a 是正数组成的数列，其前n 项和为n S ，已知n a 与2的等差中项等于n S 与2的等比中项．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令()*111 N 2n n n n n a a b n a a ++⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，求{}n b 的前n 项和．17．（本小题满分15分）已知曲线()e xf x a x b =-+在0x =处的切线过点()21,21a a +-．（1）试求2b a -的值；（2）讨论()f x 的单调性；（3）证明：当0a >时，3()2ln 2f x a >+．18．（本小题满分17分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．AD 为BC 边上的中线，点E ，F 分别为边AB ，AC 上动点，EF 交AD 于G ．已知4b =，且12sin cos sin sin sin 4c A B a A b B b C =-+．（1）求c 边的长度；（2）若21cos 7BAD ∠=，求BAC ∠的余弦值；（3）在（2）的条件下，若4ABC AEP S S =△△，求AG EF ⋅u u u r u u u r的取值范围．19．（本小题满分17分）已知对任意正整数n ，均有10cos()cos coscos nn n n nx a x a x a x a --=++++L ，我们称1110()(11)n n n n f x a x a x a x a x --=++++-≤≤L 为n 次切比雪夫函数．（1）若()f x 为3次切比雪夫函数，求(1)f 的值．（2）已知()f x 为2n 次切比雪夫函数，若数列{}k x 满足(21)(1,2,,2)4k k x k n nπ-==L ．证明：①数列{}cos k x 中的每一项均为()f x 的零点；②当2n ≥时，1cos22cos 4n n x x n nππ-+<．2024-2025学年度上学期10月份月考数学试卷答案一、单选题1-8．CABBDCAC 二、多选题9．ACD10．AD11．BD ．三、填空题12．(4,1)-13．111222n n ++-14．710,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭四、解答题15．（1sin cos C c B c -=sin sin cos sin B C C B C -=，因为0C π<<，sin 0C >cos 1B B -=，所以1sin 62B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为0B π<<，所以66B ππ-=，解得3B π=；（2）由题设，因为V ABC 为锐角三角形，所以02A π<<62A ππ<<，可得tan 3A >，所以302tan 2A <<，则面积的取值范围是,2⎛ ⎝．16．（1）由题意，当1n =时有122a +=11S a =，所以122a +=，解得：12a =，)*2 N 2n a n +=∈，整理得()2128n n S a =+，由此得()211118n n S a ++=+，所以()()221111228n n n n n a S S a a +++⎡⎤=-=+-+⎣⎦，整理得()()1140n n n n a a a a +++--=，由题意知10n n a a ++≠，所以14n n a a +-=，即数列{}n a 为等差数列，其中12a =，公差4d =，所以42n a n =-．（2）令1n n c b =-，则11112121112112221212121n n n n n a a n n c a a n n n n ++⎛⎫⎡+-⎤⎛⎫⎛⎫=+-=-+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+-+⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭，故1212n n b b b n c c c +++-=+++L L ，11111111335212121n T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 所以1121n T n n =+-+．17．（1）函数()e x f x a x b =-+，求导得()e 1xf x a '=-，则(0)1f a '=-，而(0)f a b =+，因此曲线()f x 在0x =处的切线方程为(1)y a b a x --=-，即(1)y a x a b =-++，依题意，2211a a a a b +-=-++，所以则20b a -=．（2）由（1）知函数2()e xf x a x a =-+，其定义域为R ，求导得()e 1xf x a '=-，当0a ≤时，()0f x '<，()f x 在R 上单调递减；当0a >时，由()e 10xf x a '=-=，得ln x a =-，当ln x a <-时，()0f x '<，()f x 在(,ln )a -∞-上单调递减；当ln x a >-时，()0f x '>，()f x 在(ln ,)a -+∞上单调递增；所以当0a ≤时，()f x 在R 上单调递减；当0a >时，()f x 在(,ln )a -∞-上单调递减，在(ln ,)a -+∞上单调递增．（3）由（2）得()ln 2min ()(ln )e ln 1ln a f x f a a a a a c -=-=++=++，要证明3()2ln 2f x a >+，即证231ln 2ln 2a a a ++>+，即证21ln 02a a -->，令21()ln 2g a a a =--，求导得2121()2a g a a a a -'=-=，由()0g a '<，得02a <<，由()0g a '>，得2a >，即函数()g a在0,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，在,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，因此2min 1()ln ln 02222g a g ⎛⎫⎛⎫==--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即21()ln 02g a a a =-->恒成立，所以当0a >时，3()2ln 2f x a >+．18．（1）由已知12sin cos sin sin sin 4c A B a A b B b C =-+，由正弦定理角化边可得，2212cos 4ca B a b bc =-+．由余弦定理角化边可得，222221224c a b ca a b bc ac +-⋅=-+，整理可得，214c bc =，即4b c =．因为4b =，所以1c =．（2）因为D 为中点，所以1()2AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r．设AB u u u r ，AC u u ur 的夹角为θ，则178cos ||2AD ===u u u r 又()2211cos 14cos ()2222c cb AB AD AB AB AC AB AB AC θθ++⋅=⋅+=+⋅==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以21cos 7||||AB AD BAD AB AD ⋅∠===u u u r u u u r u u u r u u u r ，整理可得228cos 8cos 110θθ+-=，解得1cos 2θ=或11cos 14θ=-．又21cos 07BAD ∠=>，所以0AB AD ⋅>u u u r u u u r ，14cos 0θ+>，所以1cos 2θ=，所以BAC ∠的余弦值为12．（3）由（2）可得，||||cos 2AB AC AB AC θ⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r．由已知可设AD k AG =u u u r u u u r ，AB AE λ=u u u r u u u r ，(,,[1,))AC AF k μλμ=∈+∞u u u r u u u r所以||||AB AE λ=u u u r u u u r ，||1||AB AE λλ==u u u ru u u r ，||||AC AF μ=u u u r u u u r，||4||AC AF μμ==u u u r u u u r ．因为4ABCABFS S =V V ，所以11||||sin 14sin 2241114||||sin 22AB AC AE AF θθλμθμλθ⋅⋅⨯⨯===⋅⋅⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ．由1122AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r 可得，2k AG AE AF λμ=+u u u r u u u r u u u r ，即22AG AE AF k kλμ=+u u u r u u u r u u u r．由G ，E ，F 三点共线，得122k kλμ+=，即2k λμ+=．所以1()AG EF AD AF AE k ⋅=⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 46116122363424k λλμλμλμλλμλμλλ-⎛⎫-=⋅-+-=⋅=⋅⎪+⎝⎭+222223643624283286444444λλλλλ-+-⎛⎫=⋅=⋅=⨯-⎪+++⎝⎭．因为41μλ=≥，所以4λ≤，即[1,4]λ∈，所以24[5,20]λ+∈，所以22828282045λ≤≤+，即22828285420λ-≤-≤-+，即2228236545λ≤-≤+，所以23328696104420λ⎛⎫≤-≤ ⎪+⎝⎭，所以3691020AG EF ≤⋅≤u u u r u u u r ，所以AG EF ⋅u u u r u u u r 的取值范围为369,1020⎡⎤⎢⎥⎣⎦．19．（1）（方法一）因为323cos3cos 2cos sin 2sin 2cos cos 2sin cos 4cos 3cos x x x x x x x x x x x =-=--=-，所以3()43f x x x =-，则(1)431f =-=．（方法二）由题意得323210()f x a x a x a x a =+++，令0x =，得1110cos 0cos 0cos 0cos 01n n n n a a a a --=⋅+⋅++⋅+=，即101n n a a a -+++=，则3210(1)1f a a a a =+++=．（2）证明：①由题可知22122110()n n n n f x a x a x a x a --=++++L ，则()()22122110cos cos cos cos cos 2nn k n k n k k k f x a x a x a x a nx --=++++=L ．因为(21)4k k x n π-=，所以()()21cos cos 2cos 2cos 042k k k f x nx n k n πππ-⎛⎫⎛⎫==⋅=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以数列{}cos k x 中的每一项均为()f x 的零点．②令()cos 022g x x x x ππ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭，则()1sin 0g x x '=->，()g x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，则()02g x g π⎛⎫<=⎪⎝⎭，即cos 2x x π<-．因为1(23)(21)0442n n n n x x n n πππ---<=<=<，所以11cos 2cos 2n n n nx x x xππ--⎧<-⎪⎪⎨⎪<-⎪⎩则()11cos cos n n n n x x x x π--+<-+，则()111cos cos 222n n n n n n x x x x x x π----++-<．因为1(23)(21)442n n n n x x n n n πππ----=-=所以1coscos cos 0244n n x x n n ππ--⎛⎫=-=> ⎪⎝⎭，从而()111cos 22cos2cos 42n n n n n n x x x x x x n n πππ----++<=-．。