第四章 分层随机抽样
第一节 分层随机抽样概述
分层抽样也叫做类型抽样，它是实际工作中最常用的抽样技术之一。分层抽样是在抽样之前，先将总体按一定标志划分为若干个层（组），后在各层内分别独立地进行抽样。由此所抽得的样本称之为分层样本。各层所抽的样本也是互相独立的。
如果每层中的抽样都是简单随机的，则这种抽样就叫做分层随机抽样。由此所得到的样本称做分层随机样本。
从以上概念可以看出，分层抽样的实质是在各层间作全面调查，而在各层内作抽样调查。因此，分层抽样的误差只与各层内的差异有关，而同各层间的差异无关。所以，为了能有效地降低抽样误差，提高抽样效果，在分层时应遵循“尽可能使层内差异小，而使层间差异大”的原则，同时要使分层的结果既无重复又无遗漏。
进行分层抽样时应注意：①层内抽样设计的选择；②分层变量的选择；③各层样本量的分配；④层数；⑤层的分界。以前只重视③，近年来，④和⑤引起了越来越多的关注。
同简单随机抽样相比，分层抽样具有以下特点：
①分层抽样能够充分地利用关于总体的各种已知信息进行分层，因此抽样的效果一般比简单随机抽样要好。但当对总体缺乏较多的了解时，则无法分层或不能保证分层的效果。
②在分层抽样中，总体的方差一般可以分解为层间方差和层内方差两部分。由于分层抽样的误差只与层内差异有关，而与层间差异无关，因此，分层抽样可以提高估计量的精度。
③由于分层抽样是在每层内独立地进行抽样，因此，使得分层样本能够比简单随机样本更加均匀地分布于总体之内，所以其代表性也更好些。
④分层抽样的随机性具体体现在层内各单元的抽取过程之中，也即在各层内部的每一个单元都有相同的机会被抽中，而在层与层之间则是相互独立的。
⑤分层抽样适合于调查标志在各单元的数量分布差异较大的总体。因为对这样的总体进行合理的分层后可将其差异较多地转化为层间差异，从而使层内差异大大减弱。
⑥分层抽样中除了可以推断总体参数外，还可以推断各不同层的数量特征，并进一步作对比分析，从而满足不同方面的需要，也能帮助人们对总体作更全面、更深入的了解。但对各层的估计缺乏精度保证。
第 1 页 共 1 页 课 题 简单随机抽样，系统抽样，分层抽样
教学目标 1.正确理解三种抽样方法的一般步骤和方法
2.正确理解三中抽样方法间的区别和联系；
重点、难点
三种抽样方法概念的理解 2能够灵活应用三种抽样的方法解决统计问题。
考点及考试要求
综合题考点
一、简单随机抽样的概念
一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本（n≤N）,如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样，这样抽取的样本，叫做简单随机样本。
【说明】简单随机抽样必须具备下列特点：
（1）简单随机抽样要求被抽取的样本的总体个数N是有限的。
（2）简单随机样本数n小于等于样本总体的个数N。
（3）简单随机样本是从总体中逐个抽取的。
（4）简单随机抽样是一种不放回的抽样。
（5）简单随机抽样的每个个体入样的可能性均为Nn。
思考:下列抽样的方式是否属于简单随机抽样？为什么？
（1）从无限多个个体中抽取50个个体作为样本。
（2）箱子里共有100个零件，从中选出10个零件进行质量检验，在抽样操作中，从中任意取出一个零件进行质量检验后，再把它放回箱子。
抽签法和随机数表法
1、抽签法的定义。
抽签法就是把总体中的N个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中，搅拌均匀后，每次从中抽取一个号签，连续抽取n次，就得到一个容量为n的样本。
【说明】抽签法的一般步骤：
（1）将总体的个体编号。 （2）连续抽签获取样本号码。
思考:你认为抽签法有什么优点和缺点：当总体中的个体数很多时，用抽签法方便吗？
2、随机数表法的定义：
利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样，叫随机数表法，这里仅介绍随机数表法。
【说明】随机数表法的步骤：
（1）将总体的个体编号。
（2）在随机数表中选择开始数字。
（3）读数获取样本号码。
【例题精析】
分层抽样的实施步骤实例
1. 介绍
分层抽样是一种常用的统计抽样方法，用于在样本中选择具有代表性的个体或样本。本文将以一个实际的例子来介绍分层抽样的实施步骤。分层抽样的实施步骤可以分为以下几个步骤：
2. 确定研究目的
确定研究的目的是进行分层抽样的第一步。研究目的应该明确，并与研究问题紧密相关。例如，如果我们想研究某个地区的居民对某个产品的满意度，那么我们需要确定研究的目的是评估居民对该产品的满意程度。
3. 确定分层变量
在进行分层抽样之前，我们需要确定分层变量。分层变量是指能够将总体划分为不同层级的特征或属性。常用的分层变量包括年龄、性别、收入水平等。在我们的例子中，我们可以选择将地区划分为不同的层级。
4. 制定分层方案
制定分层方案是确定每个层级的抽样比例的过程。为了保证样本的代表性，每个层级的样本量应该与该层级在总体中的比例相对应。在制定分层方案时，我们需要参考已有的数据，并进行相关的统计分析。
5. 确定抽样比例
在确定分层方案后，我们需要确定每个层级的抽样比例。抽样比例是指每个层级所需的样本量与总体中该层级的比例。例如，如果某个地区的总人口为10000人，其中属于某个层级的人口有1000人，而我们希望从这个层级中抽取100人作为样本，则抽样比例为100/1000=0.1。
6. 随机抽样
随机抽样是分层抽样的核心步骤。在进行随机抽样时，我们需要使用随机数生成器来选择样本。在我们的例子中，我们可以使用随机数生成器来随机选择每个层级中的样本。 7. 数据收集
在完成随机抽样后，我们需要进行数据收集。数据收集的方式可以是通过调查问卷、电话访谈、实地调查等方式来进行。在数据收集过程中，我们需要保证数据的准确性和完整性。
8. 数据分析
在数据收集完成后，我们需要进行数据分析。数据分析的方式可以根据研究目的进行选择，常用的数据分析方法包括描述性统计分析、推断性统计分析等。数据分析的结果可以用来回答研究问题，并为后续的决策提供参考。
简单随机抽样
教学目标：
1、知识与技能：
（1）正确理解随机抽样的概念，掌握抽签法、随机数表法的一般步骤；
2、过程与方法：
（1）能够从现实生活或其他学科中提出具有一定价值的统计问题；
（2）在解决统计问题的过程中，学会用简单随机抽样的方法从总体中抽取样本。
3、情感态度与价值观：通过对现实生活和其他学科中统计问题的提出，体会数学知识与现实世界及各学科知识之间的联系，认识数学的重要性。
4、重点与难点：正确理解简单随机抽样的概念，掌握抽签法及随机数法的步骤，并能灵活应用相关知识从总体中抽取样本。
教学设想：
假设你作为一名食品卫生工作人员，要对某食品店内的一批小包装饼干进行卫生达标检验，你准备怎样做？
显然，你只能从中抽取一定数量的饼干作为检验的样本。（为什么？）那么，应当怎样获取样本呢？
【探究新知】
一、简单随机抽样的概念
一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本（n≤N）,如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样，这样抽取的样本，叫做简单随机样本。
【说明】简单随机抽样必须具备下列特点：
（1）简单随机抽样要求被抽取的样本的总体个数N是有限的。
（2）简单随机样本数n小于等于样本总体的个数N。
（3）简单随机样本是从总体中逐个抽取的。
（4）简单随机抽样是一种不放回的抽样。
（5）简单随机抽样的每个个体入样的可能性均为n/N。
思考？
下列抽样的方式是否属于简单随机抽样？为什么？
（1）从无限多个个体中抽取50个个体作为样本。
（2）箱子里共有100个零件，从中选出10个零件进行质量检验，在抽样操作中，从中任意取出一个零件进行质量检验后，再把它放回箱子。
二、抽签法和随机数法
1、抽签法的定义。
一般地，抽签法就是把总体中的N个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中，搅拌均匀后，每次从中抽取一个号签，连续抽取n次，就得到一个容量为n的样本。
