七 数值积分
- 格式：doc
- 大小：119.50 KB
- 文档页数：3
第七章 数值积分
如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，且原函数为F(x)，则可用牛顿―莱布尼兹公式 )()()(aFbFdxxfba来求得定积分。然而很多函数无法用牛顿―莱布尼兹公式求积分。
数值积分的基本思想是构造一个简单函数Pn(x)来近似代替被积分函数f (x)，然后通过求bandxxP)(得badxxf)(的近似值。
7.1 插值型求积公式
设badxxfI)(*，插值型求积公式就是构造插值多项式Pn(x)，使bandxxPII)(*。由拉格朗日插值公式)()()(0knkknxfxlxP，代入则有)()()()(00knkbakknkbakxfdxxldxxfxlI，记dxxlbakk)(，)(0knkkxfI，k为求积系数，xk为求积节点。
构造以a，b为结点的线性插值多项式)()()(1bfabaxafbabxxP，)()()(21)()()(1bfafabdxbfabaxafbabxdxxPTbaba称为梯形公式。
以a, 2bac，b为节点，构造二次插值多项式)())(())(( )())(())(()())(())(()(2bfcbabcxaxcfbcacbxaxafbacabxcxxP，则)()()()(2102bfcfafdxxPSba，)(61))(())((0abdxbacabxcxba，)(64))(())((1abdxbcacbxaxba，)(61))(())((2abdxcbabcxaxba。得三点公式：)()(4)(6bfcfafabS，称为辛卜生（Sinpson）求积公式。
如果积分区间比较大，直接使用上述求积公式精度难以保证。可对f (x)用分段抛物插值。通常采取的办法是复化求积方法：
（1）等分求积区间，比如取步长nabh，分[a, b]为n等分，分点为khxxk0，k = 0, 1, 2,…, n。
（2）在区间 [xk, xk+1]上使用以上求积公式求得Ik。
（3）取和值10nkkII作为整个区间上的积分值。
1.复化梯型公式：)()(21kkkxfxfhI，10nkknIT)110()(2kknkxfxfh
)()(2)(211bfxfafhnkk。
2.复化辛卜生公式：将[xk, xk+1]对分，中点记为2121kkkxxx，)()(4)(6121kkkkxfxfxfhI，)()(4)(61101021kkknknkknxfxfxfhIS。
xk 0 1/8 1/4 3/8 1/2 5/8 3/4 7/8 1
f (xk) 4 3.93846 3.7647 3.50685 3.2 2.8764 2.46 2.26549 2
例 利用数据表计算积分 dxxI102*14(1415926.3|arctg410*xI)。取n =
8用复化梯形公式：
13899.31872432852212832412812)0(21818fffffffffT取n=4用辛卜生公式 ：
14159.31874432854212834412814)0(61414fffffffffS 比较T8 与S4两个结果，它们计算量基本相同，但精度差别却很大，表明复化辛卜生公式是一种精度较高的求积公式。为编程方便，将辛卜生公式写成nkkkxfxfbfafnabS1)()(22)()(321。 7.2 变步长梯形方法
使用复化求积公式须给出合适的步长，步长太大精度难保证，步长太小会增加计算量，事先给出一个合适的步长是十分困难的。递推公式避免了老节点的重复计算，使计算量减少了一半。
变步长积分法思想是将区间逐次对分，比较前后两次计算结果，若满足精度要求就停止，否则再次对分，直到到达精度要求为止。设将区间[a, b] n等分，共有n+1个分点，按复化梯形公式计算Tn，需要计算n+1个f (x)的值。T2n 的全部分点中有n+1个是原有的点。小区间[xk, xk+1]经过二分增加分点21kx后，用复化梯形公式得积分为：)()(2)(4121kkkkxfxfxfhI，因此有
10101011102)(221)(2)()(4)()(2)(4212121nkknnkknkkkkkknknxfhTxfhxfxfhxfxfxfhT
7.3 求积公式的误差
Pn (x)是f (x)的n次插值多项式，当)(xf本身就是次数不超过n的多项式时)()(xPxfn，求积公式)()()(*0*knkkbanbaxfdxxPdxxfI是精确的。由于abnkk0，若f (xk)的舍入误差小于
，则)()()()()(*00*0*abxfxfxfxfIIkknkkknkkknkk。所以舍入误差对数值积分的影响不大。
用插值多项式余项定理，可以证明梯形公式的截断误差为：3*)(12abMTI，M是二阶导数的绝对值上界。
