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《数值分析》数值积分

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数值分析-第4章 数值积分和数值微分

数值分析-第4章 数值积分和数值微分

A0+A1=2 A0x0+A1x1=0 A0x02+A1x12=2/3 A0x03+A1x13=0
A0 A1 1 解得: 1 x 0 x1 3
求积公式为
1 1 1 f ( x)dx f ( ) f ( ) 3 3
x f(x)
数值分析
1 4
2 4.5
3 6
4 8
5 8.5
1
一、数值积分的基本概念 求积节点 数值积分定义如下：是离散点上的函数值的线性组合
I [ f ] f ( x)dx I n [ f ] Ai f ( xi )
b a i 0 n
称为数值积分公式
称为求积系数,与f (x)无关,与积分区间和求积节点有关
b a
Rn ( x) dx
定理：形如 Ak f ( xk ) 的求积公式至少有 n 次代数精度
A 该公式为插值型（即： k a l k ( x)dx ）
数值分析
b
5
例1 试确定参数A0,A1,A2,使求积公式
1 f ( x)dx A0 f (1) A1 f (0) A2 f (1)
证明 因为Simpson公式对不高于三次的多项式精确成立。即

b
a
p 2 ( x)dx
ba ab [ p 2 (a) 4 p 2 ( ) p 2 (b)] 6 2
构造三次多项式H3(x),使满足 H3(a)=(a) ,H3(b)=(b),
H 3 (( a b) / 2) f (( a b) / 2), H 3 (( a b) / 2) f (( a b) / 2), 这时插值误差为
1

数值分析课件第八章-数值积分

数值分析课件第八章-数值积分
金融学
数值积分在金融学中用于计算金融工具的定价和风险管理。
计算机图形学
数值积分在计算机图形学中用于渲染算法，如光线跟踪和体积渲染。
数值积分的实际案例分析
我们将通过一些实际案例来展示数值积分的应用。从计算物体的表面积和体 积，到求解定积分的数值解，数值积分在各个领域都发挥着重要的作用。
数值积分的优缺点
数值分析课件第八章-数 值积分
欢迎来到数值分析课件第八章的演示！今天我们将学习数值积分，探讨其定 义、基本方法、误差分析、应用领域，以及优缺点。让我们一起深入了解这 个有趣而重要的主题吧！
数值积分的定义和概念
数值积分是一种计算数学中广泛应用的技术，通过离散化连续函数来估计曲线下的面积。它通过将曲线 划分为小矩形、小梯形或小区间，并计算其面积来实现。
数值积分的基本方法
1
矩形法
矩形法是最简单的数值积分方法之一，将曲线划分为多个小矩形，并计算每个小 矩形的面积后累加。
2
梯形法
梯形法将曲线划分为多个小梯形，并计算每个小梯形的面积后累加。它比矩形法 更精确，但仍然是一种近似方法。
3
辛普森法
辛普森法通过将曲线划分为多个小区间，并使用二次多项式拟合每个小区间的曲 线来计算积分。它比矩形法和梯形法更准确。
1 优点：快速准确
数值积分可以快速计算曲线下的面积，并提供较准确的结果。
2 缺点：近似误差
由于离散化和近似计算的原因，数值积分结果可能存在一定的误差。
总结和展望
通过本次课程，我们深入了解了数值积分的定义、基本方法、误差分析、应 用领域和优缺点。希望这些知识能够帮助您更好地理解和应用数值积分技术。
数值积分的误差分析
1 截断误差
数值积分的截断误差是由将连续函数离散化为小区间所引入的误差。它可以通过控制小 区间的大小来减小。

数值分析-数值积分

数值分析-数值积分
这类求积方法称为机械求积:
b
n
f (x)dx (b a)
a
i f (xi )
i0
或写成:
求积节点
b
n
f (x)dx
a
Ak f (xk )
k 0
数值积分公式
求积系数
记
n
In ( f ) Ak f (xk ) k 0
称为数值 求积公式
b
n
R( f ) I ( f ) In ( f ) a f (x)dx Ak f (xk ),
(n 1)!
n
(x xk ) dx
k 0
§3 Newton-Cotes公式
一、Cotes系数
取节点为等距分布：
xi
a i h,
h
ba, n
i 0,1, ... , n
由此构造的插值型求积公式称为Newton-Cotes公式,此
时求积系数：
Ai
xn
(x xj ) dx
x0 ji (xi x j )
其中，
Rn (x)
f (n1) ( )
(n 1)!
wn 1 ( x)
为插值余项。
于是有：
b
b
b
a f (x)dx a Ln (x)dx a Rn (x)dx
n j0
b a
l
j
(
x)dx
f
(
x
j
)
b
R( x)dx
a
取 b
n
b
f ( x)dx
a
f ( xk ) a lk ( x)dx
➢ 复化 Cotes公式：
h ba, n
xk
akh

数值分析积分实验报告(3篇)

数值分析积分实验报告(3篇)

第1篇一、实验目的本次实验旨在通过数值分析的方法，研究几种常见的数值积分方法，包括梯形法、辛普森法、复化梯形法和龙贝格法，并比较它们在计算精度和效率上的差异。

通过实验，加深对数值积分理论和方法的理解，提高编程能力和实际问题解决能力。

二、实验内容1. 梯形法梯形法是一种基本的数值积分方法，通过将积分区间分割成若干个梯形，计算梯形面积之和来近似积分值。

实验中，我们选取了几个不同的函数，对积分区间进行划分，计算积分近似值，并与实际积分值进行比较。

2. 辛普森法辛普森法是另一种常见的数值积分方法，它通过将积分区间分割成若干个等距的区间，在每个区间上使用二次多项式进行插值，然后计算多项式与x轴围成的面积之和来近似积分值。

实验中，我们对比了辛普森法和梯形法的计算结果，分析了它们的精度差异。

3. 复化梯形法复化梯形法是对梯形法的一种改进，通过将积分区间分割成多个小区间，在每个小区间上使用梯形法进行积分，然后计算所有小区间积分值的和来近似积分值。

实验中，我们对比了复化梯形法和辛普森法的计算结果，分析了它们的精度和效率。

4. 龙贝格法龙贝格法是一种通过外推加速提高计算精度的数值积分方法。

它通过比较使用不同点数（n和2n）的积分结果，得到更高精度的积分结果。

实验中，我们使用龙贝格法对几个函数进行积分，并与其他方法进行了比较。

三、实验步骤1. 编写程序实现梯形法、辛普森法、复化梯形法和龙贝格法。

2. 选取几个不同的函数，对积分区间进行划分。

3. 使用不同方法计算积分近似值，并与实际积分值进行比较。

4. 分析不同方法的精度和效率。

四、实验结果与分析1. 梯形法梯形法在计算精度上相对较低，但当积分区间划分足够细时，其计算结果可以接近实际积分值。

2. 辛普森法辛普森法在计算精度上优于梯形法，但当积分区间划分较细时，计算量较大。

3. 复化梯形法复化梯形法在计算精度上与辛普森法相当，但计算量较小。

4. 龙贝格法龙贝格法在计算精度上优于复化梯形法，且计算量相对较小。

1_数值分析4-数值积分与微分

1_数值分析4-数值积分与微分

回忆定积分的定义
b
I f (x)dx lim In,
a
n
n
In
f
(k
)
b
n
a
k 1
n充分大时In就是I的数值积分
各种数值积分方法研究的是
k 如何取值，区间 (a,b)如何划分， 使得既能保证一定精度，计算量又小。
（计算功效：算得准，算得快）
5
数值积分
y
1.梯形公式
h
Tn

h
k 1
fk

2 ( f0

fn )

b
f (x)dx
a
b
R( f ,Tn ) I Tn f (x)dx Tn
a
梯形公式在每小段上是用线性插值函数T(x)代替 f(x)
f (x) T(x)
f
(k
2
)
(
x

xk
)(x

xk
1
),
k (xk , xk1)
(
f0

fn)
(3)
k 1
非等距分割梯形公式
Tn

n1 k 0
fk
fk 1 2
(xk 1

xk
)
(4)
8
数值积分 2.辛普森(Simpson)公式
（抛物线公式）
梯形公式相当于用分段线性插值函数代替 f (x)
提高精度
分段二次插值函数
抛物线 公式
y
y=f(x)
每段要用相邻两小区间
数值积分
数值 积分
为什么要作数值积分
• 积分是重要的数学工具，是微分方程、概率 论等的基础；在实际问题中有直接应用。

数值分析课程实验设计——数值积分实习题

数值分析课程实验设计——数值积分实习题

数值分析——数值积分实习题管理科学与工程学院 学号：1120140500 姓名：彭洋洋 一、计算实习题1.用不同数值方法计算积分：049xdx =-⎰.（1）取不同的步长h ，分别用复合梯形及复合辛普森求积计算积分，给出误差中关于h 的函数，并与积分精确值比较两个公式的精度，是否存在一个最小的h ，使得精度不能再被改善？ （2）用龙贝格求积计算完成问题（1） （3）用自适应辛普森积分，使其精度达到10-4解答：（1）取不同的步长，采用不同的公式，比较精度过程如下： 1.1 复合梯形公式及复合辛普森公式求解复合梯形公式：11*[()2()()]2n n k k hT f a f x f b -==++∑误差关于h 的函数：2(2)()**()12n a b R f h f ξ-=复合辛普森公式：111/201*[()4()2()()]6n n n k k k k hS f a f x f x f b --+===+++∑∑误差关于h 的函数：4(4)()*(/2)*()180n a bR f h f η-=1.2 复合梯形公式及复合辛普森公式Matlab 程序（2）用龙贝格求积计算完成问题（1） 2.1 龙贝格求积算法龙贝格求积公式也称为逐次分半加速法。

它是在梯形公式、辛普森公式和柯特斯公式之间的关系的基础上，构造出一种加速计算积分的方法。

作为一种外推算法，它在不增加计算量的前提下提高了误差的精度。

24133n n n S T T =- 21611515n n n C S S =- 26416363n n n R C C =-1221/201()22n n n k k h T T f x -+==+∑ ()(1)()11(4*)/(41)k m k k mm m m T T T +--=-- 1,2,...k = 2.2 龙贝格求积Matlab 程序画图程序设计①得到关于n各种公式求积的图表如下：对于梯形公式、辛普森公式n代表份数，龙贝格公式n表示从1开始的序列号②关于步长h 的各种公式求积的图表如下其中龙贝格序列步长()/2k h b a =-：观察两幅图表h 越小，精度越高。

数值分析6-数值积分


数值求积的基本思想
✓ 分别用 f (a)，f (b) 和 f (a b) 2 近似 f () 可得
b
a f ( x)dx (b a) f (a)
b
a f ( x)dx (b a) f (b)
左矩形公式 右矩形公式
b f ( x)dx (b a) f a b
a
2
中矩形公式
求积公式的基本思想
( )( )
2 3
4 24 4
A 1
(x
1
1 )( x 4
3) 4
dx
1
0 ( 1 1 )( 1 3 )
3
2 42 4
考虑到对称性，显然有 A0 A2 ，于是有求积公式
1 f (x)dx 2 [ f (1) f ( 3)] 1 f (1)
0
3 4 4 32
由于原式含有 3 个节点，按定理 1 它至少有 2 阶精度。
精度。
例题4
试设计求积公式
b
a
f
(x)dx
A0
f
(a)
A1
f
(
a
2
b)
A2
f（b）
B2
f
'
(a)
B1
f
'
(
a
2
b
)
B2
f
'
(b)
解
引进变换 x
a
2
b
b
2
a
t
将 求 积 区 间 [a,b] 变 到
[0，1]，则原式化为如下形式
1
1
f
(x)dx
A0
f
(1)
A1
f

武汉大学《数值分析》课件-第7章


，
b
n
a
可知 t [ 0, n] ．
由Lagrange插值基函数有
lk
(x)
lk
(a
th)
n i0,ik
x xk
xi xi
n ti i0,ik k i
(1)nk
n
ti
k !(n k )! i0,ik
而 dx hd t b a dt，所以
n
b a
lk
(x)dx
n 0
再用 h/2 代替 h , 使(6)式变为
F*
F2
(h)
1 8
k2h2
3 32
k3h3
(7..).
用4乘(7)式减去(6)式,消去含 h2的项,得
F*
[
F2
(
h 2
)
F2 (h
/
2) 3
F2 (h)]
1 8
(k83)h3
...
同样记
而 I 3( f ) b 6 a (1 4 1) (b a )
有 R ( ,1) 0
I(
f
)
I3(
f
)
R( ,
f
)
b a{ f 6
(a) 4
f
(a
b) 2
f
(b)}
R( ,
f
)
（1）当 f ( x) x时 ， I ( f ) b 2 a2 I3( f ) b 6 a ( a 22a 2b b ) b2 2 a2
| R(1, f ) | M n1 hn2 n n (t i)dt
(n 1)!
0 i0
(5)
验证求积公式(3)的代数精确度，不用误差估计的(4)式，

数值分析-第八章数值微分与数值积分

在每个小区间上用梯形求积公式得到：
ab
f
x dx

n

i1
xxii1
f
x dx

n

i1
xi
xi1 2

f
xi1
f
xi


h 2
n

i1
f
xi1
f
xi


h 2

f
a

n1
2
i1
f
a ih

f
b
Tn
11
复合梯形公式的误差:
RTn

f

n h3 f i1 12
i

h3 nf 12

ba3
12
1 n2
f
二 复合Simpson公式
ab f x dxin1xxii1 f xdx
n

i1
xi
xi1 6
我们的目的是导出一组与函数无关的求导系数和求积系数.
从而得到能够对任意函数都通用的公式.
2
§2 数值微分 一 二点公式 给出两个点及其函数值,做一个一次插值多项式,对这个插 值多项式求导,得到:
fx0fx0,x 1 fx 1fx0,x 1
其几何意义就是用割线的斜率近似代替切线的斜率. 当然也可以用泰勒展开来导出上述公式.
a b公式
7
三 N-C公式的截断误差
Rnfa bfxdxba n Ck nfxk k0 ab f x dx ab Ln x dx

ab
f
n1 n 1!
第八章 数值微分和数值积分

数值分析20(数值积分2)


n 1 h T2n (h / 2) [Tn (h) h f (a jh )] 2 2 j 1
13:32
避免了原有节点上函数值的 重复计算, 节约了将近一半 的计算量
2/31
n ba 1 h [ f (a ) f (b)] 递推 T2n [Tn h f (a jh )] T1 2 2 2 j 1
f (0.5)精确值0.454897994
13:32
5/31
松弛思想
目标值Q有两个精度相当的近似值F1和F2,如 果将这两个近似值加工成更高精度的结果呢? 改善精度的一种简便而有效的办法是,取两者的 某种加权平均值作为改进值
成功案例:
Q (1 )F1 F2
Aitken加速xn1 (1 ( x )) xn ( x ) ( xn )
n
我们知道 sin x x
h2 3 3!
2 3
x3 3!

x5 5!

x7 7!

6 7
( n) 1 2 h 1 4 h 1 6 h (n / 2) ( 2 ) 3! ( 2 ) 5! ( 2 ) 7!
h4 5 5! h6 7 7!
Q Fn ( h) cn hn +cn1hn1
Q Fn ( h / 2) cn hn /2n +cn1hn1 / 2n1
Q
进一步地
2n Fn (h ) Fn ( h ) 2 2n 1
+d n1hn1 +
Q F2 m ( h) c2 m h2 m +c2 m 2 h2 m 2
n 1 h [ f (a ) f (b) 2 f ( x j )] 2 j 1
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k 0
不收敛于
b
a f (x)dx
此定理说明Newton-Cotes公式并不总是收敛
于积分的真值.
16
Newton-Cotes公式的数值稳定性
设精确值为f(xj)的计算值为 f (xi，) 且
那么
f (xi ) f (xi ) , i 0,1, 2, , n.
n
n
n
n
Hi f (xi ) Hi f (xi ) Hi f (xi ) f (xi ) Hi
xi(i=0,1,2,…n)称为求积节点.
b
n
E( f ) f (x)dx a
Ai f (xi )
i0
称为求积公式的余项.
(4.1.1)
(4.1.2)
4
数值积分问题可分解为如下三个问题: (1)精确性程度的衡量标准问题； (2)求积公式具体构造问题； (3)余项估计问题.
5
求积公式的代数精度
第四章
数值积分
1
数值积分是数值计算的重要部分，它是 求定积分的一种近似方法,具有实际意义.
2
§4.1数值积分的一般概念
3
数值求积公式
讨论如下形式的数值求积公式
b
n
I ( f ) f (x)dx a
Hi f (xi )
i0
称为机械求积公式.
其中Hi(i=0,1,2,…n)称为求积系数，
定义 若求积公式(4.1.1)对所有次数不超过m 的多项式都精确成立，而对于某个m+1次多项 式不能精确成立，则称此求积公式具有m次代 数精度（或称该公式是m阶的）.
上述定义等价于：若求积公式(4.1.1)对 f(x)=1,x,x2,…,xm均精确成立，而对f(x)=xm+1不精 确成立,则称此求积公式具有m次代数精度（或 称该公式是m阶的）.
(1)ni n i!(n i)!
nn
(t
0 j0
j)dt,
(i 0,1,2,
ji
称为牛顿—柯特斯（Newton-Cotes）系数.
则
Hi=(b-a)Ci (n)
,n) (4.2.1) (4.2.1)
12
Newton-Cotes公式
b a
f (x)dx (b a)
n
C(n) i
f
14
当n=4时, Newton-Cotes公式(4.2.3)为Cotes公式 公式
b a
f
(x)dx
b a [7 90
f
(x0 )
32
f
(x1)
12
f
(x2 )
32
f
( x3 )
7
f
( x4 )]
(4.2.6)
H0=H4=7(b-a)/90,H1=H3=32(b-a)/90, H2=12(b-a)/90, C0=C4=7/90, C1=C3=32/90, C2=12/90. 其它情形可通过查Cotes系数表，给出具体公
n
Ln (x) f (xi )li (x)
b
ni0 b
f (x)dx
a
( a li i a li (x)dx, (i 0,1, 2, , n)
11
Newton-Cotes系数
作变量替换x=a+th，于是
Hi
b
a li (x)dx
i0
求积系数
b
Hi a li (x)dx, (i 0,1, 2, , n)
7
对于求积公式 b
n
f (x)dx
a
Hi f (xi )
i0
如果求积系数
Hi
b
a li (x)dx
bn
x xj
dx
a
x j 0
ji i
xj
则称(4.1.1)为插值型求积公式.
(4.1.3)
其余项
E( f )
几何意义:用梯形面积近似代替曲边梯形面积.
当n=２时, Newton-Cotes公式(4.2.3)为抛物线
(Simpson)求积公式
b a
f
(x)dx
b 6
a
f
(a)
4
f
a
b 2
f
(b)
S
(4.2.5)
H0=H2=(b-a)/6, H1=2(b-a)/3, C0=C2 =1/6, C1 =2/3
( xi
)
i0
(4.2.3)
称等距节点的插值型求积公式(4.2.3)为n阶 牛顿—柯特斯（Newton-Cotes）公式.
13
当n=1时, Newton-Cotes公式(4.2.3)为梯形求积
公式 b
ba
a f (x)dx 2 [ f (a) f (b)] T
(4.2.4)
H0= H1 =(b-a)/2, C0= C1 =1/2
代数精度的概念是衡量求积公式精确性的标准.
6
插值型求积公式
以给定互异点x0, x1, …, xn 为插值节点,作f(x)的 n次插值多项式φn(x) ,把φn(x) 写成Lagrange插 值多项式的形式
n
Ln (x) li (x) f (xi )
i0
b
n
b
f (x)dx
a
( a li (x)dx) f (xi )
b a
f (n1) ( )
(n 1)!
n
(x
j0
x j )dx
若公式(4.1.1)是插值型求积公式，则它至少具
有n次代数精度.
8
反之，若求积公式(4.1.1)至少具有n次代数精度
，因lk(x)Mn, k=0,1,2,,n.求积公式(4.1.1)对
lk(x)精确成立，即
b
n
a lk (x)dx Hilk (xi ) Hk , k 0,1, 2, , n
i0
综上有
定理 求积公式(4.1.1)至少具有n次代数精度的充 分必要条件是它是插值型的.
9
§4.2 Newton-Cotes公式
10
Newton-Cotes公式
将区间[a,b]n等分，其分点为xi=a+ih ， i=0,1,2,,n ， h=(b-a)/n，以这n+1个等距分点
为插值节点,作n次插值多项式
b (x x0 )(x x1) a (xi x0 )(xi x1)
(x xi1)(x xi1) (x xn ) dx (xi xi1)(xi xi1) (xi xn )
(1)ni h
n
t(t 1)
(t i 1)(t i 1)
(t n)dt
i!(n i)! 0
记
C(n) i
式.
15
Newton-Cotes公式的收敛性
定理 对于n+1个节点的Newton-Cotes公式的
n
求积系数Hk, 当n时, 数列 Hk 无限放大. k 0
定理 如果当n时, 与插值型求积公式(4.1.1)
相应的数列
n
Hk
无限放大， 则有函数
k 0
f(x)C[a,b]，使得数列
n
Hk f (xk ) (n 1, 2,3, )
i0
i0
i0