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第四章 数值积分定积分的产生是有它重要的应用背景。
例如要计算由数据点(,)i i x y (0,1,2,,)i n =所围成的平面图形的面积；计算极限230lim nn i i n→∞=∑，这些问题都与定积分有关。
在数学分析或高等数学中已讲过计算定积分的一些方法，这些方法其最主要的理论基础就是被积函数的原函数存在。
但在实际应用和科学计算过程中，有些定积分的被积函数的原函数不存在或原函数比较复杂或不易求出，这时牛顿-莱布尼茨公式就不好用了。
例如定积分10sin x dx x ⎰，⎰ 等其被积函数的原函数不存在。
再例如由数据点(,)i i x y (0,1,2,,)i n =所围成的平面图形的面积不能精确的表示成定积分，但可以近似的表示为数据点(,)i i x y (0,1,2,,)i n =对应的某个函数的定积分。
对这类问题可以用数值积分的方法来讨论和解决。
数值积分的应用是较广泛的，尤其在一些实际问题的研究和解决中数值积分法起到了重要的作用，见文献[17，20]。
4.1 数值积分初步所谓数值积分就是用函数值的线性组合近似函数的积分值。
就是说，如果函数()f x 在区间[,]a b 上的函数值()i f x (0,1,2,,)i n =已知，则构造一个数值公式0()ni i i A f x =∑，以此来近似()b af x dx ⎰，即()b af x dx ⎰()ni i i A f x =≈∑ （4.1）构造数值公式（4.1）的主要方法是利用插值法，即对()f x 构造一个插值多项式()p x ，用该插值多项式()p x 的积分近似()b af x dx ⎰，即()b af x dx ⎰()bap x dx ≈⎰ （4.2）1 梯形公式若函数()f x 在区间[,]a b 上的函数值(),()f a f b 已知，那么可以做出过点(,()),(,())a f a b f b 的线性插值1()()()x b x ap x f a f b a b b a--=+-- 在区间[,]a b 上用1()p x 代替()f x 得()b af x dx ⎰1()(()())b baax b x ap x dx f a f b dx a b b a--≈=+--⎰⎰ =(()())2b af a f b -+ （4.3） 公式（4.3）称为梯形公式，记为(()())2b aT f a f b -=+。
数值积分正交积分数值积分（Numerical integration）是一种用数值方法计算定积分的技术。
它在实际应用中广泛使用，尤其是对于无法通过解析方法得到闭式解的复杂函数或无限区间的积分。
数值积分方法有多种，其中一种常见的方法是基于插值的方法，如梯形法则、辛普森法则和龙贝格法则。
这些方法将函数曲线近似为更简单的几何图形，然后对这些几何图形进行数值计算以近似求解积分值。
正交积分（Orthogonal integration）是一种特殊的数值积分方法，它利用正交多项式的性质来进行积分计算。
正交多项式是一组满足特定正交关系的多项式，例如勒让德多项式、切比雪夫多项式和拉盖尔多项式等。
通过将被积函数与正交多项式进行内积运算，可以将积分转化为正交多项式系数的线性组合，从而简化计算过程。
正交积分具有高精度和数值稳定性的优点，因此在科学计算和工程领域得到广泛应用。
它常用于求解含有正交多项式的函数积分、拟合数据、解微分方程等问题。
总之，数值积分是一种通过数值计算逼近定积分的方法，而正交积分则是利用正交多项式的特性进行积分计算的一种特殊数值积分方法。
数值积分方法基于离散化的思想，将定积分问题转化为对一组离散点上函数值的求和或加权平均。
以下是两种常见的数值积分方法：1. 梯形法则（Trapezoidal rule）：梯形法则将被积函数在积分区间上近似为一系列线段构成的梯形，然后计算这些梯形面积之和。
它的基本思想是通过线性插值来逼近原函数，并计算相邻线段之间的面积。
梯形法则的公式如下：∫[a, b] f(x) dx ≈(b-a) * [(f(a) + f(b)) / 2]2. 辛普森法则（Simpson's rule）：辛普森法则将被积函数在积分区间上近似为一系列抛物线，通过将每个小区间分成偶数个子区间，并利用抛物线曲线来逼近函数。
它的基本思想是使用二次多项式插值，并计算相邻子区间之间的面积。
辛普森法则的公式如下：∫[a, b] f(x) dx ≈(b-a) * [(f(a) + 4f((a+b)/2) + f(b)) / 6]对于正交积分，我们使用正交多项式的特性来简化计算。
第七章 高斯数值积分法对于等参单元推导载荷列阵和刚度矩阵时，需计算如下形式的积分：其中被积函数一般比较复杂，甚至得不到显式。
因此，通常采用数值积分代替函数积分，即在单元内部选取某些点，先计算被积函数在这些点的函数值，然后用这些系数（称为加权系数，简称权）乘上这些函数值，再求总和作为近似积分值。
在有限元法中通常采用精度较高的高斯数值求积分法。
首先介绍一维高斯求积公式式中，()k f ξ是被积函数f 在积分点k ξ处的函数值；k w 是加权系数；n 是所选积分点的数目。
例如取一个积分点01=ξ（此时即1=n ），该点的函数值为1f （如图4.9 (a))，并取加权系数21=w ，则积分这是一种最简单的计算方法，只有当函数()ξf f =是一条直线时，即()ξf f =线之下是一个梯形才是精确的，若()ξf f =是任意曲线，则此计算结果是相当粗糙的。
为了改善精度，在11+≤≤-ξ范围内，取两个对称点1ξ，2ξ其函数值分别为()1ξf 和()2ξf 如图7.1（b ），但是横坐标1ξ、2ξ以及相应的权1w 和1w 需要确定。
为此设()ξf 为三次式，即则而由高斯求积公式于是由式（c ）和（d ）两式得即为了在3210,,,c c c c 取任意数值时式（d ）都是精确的，因此上式两边对应的系数必须相等，则有因此解得实根值得说明的是，上面确定的两个积分点的高斯求积公式（d ）对于被积函数是四次以下（不包括四次）的多项式是完全精确的，否则是近似的表达式。
另外，如图7.1（b ）所示，用两个矩形面积来表示函数()ξf 在区间[—1，十1]与轴ξ所围的面积，这就是式（d ）的几何意义。
图7.1 被积函数f 在积分点处的数值以相同的方法可以处理由3个函数值所组成的近似积分，如图7.1（c ）。
对不同的积分点数可确定相应的积分点坐标和加权系数，由此构成高斯积分表，见表7.1。
下面讨论二维、三维的高斯求积公式，对于二重积分可先对ξ积分，而把η视为常量，此时引入一维的高斯求积公式，则有再对η积分有将式（e ）代入式（f ），则可得二维的高斯求积公式用相同的方法可以导得三维的高斯求积公式在实际计算中，为了保证计算精度，并且不过分增加计算工作量，高斯积分中的积分点数n 通常可根据等参单元的节点数来选取，对于讨论的平面8节点等参单元和空间20节点等参单元都可以取3=n 。
