巧用相似三角形的面积比证题

典型例题一

例01．如图，AD为ABC的角平分线，BE垂直于AD的延长线于E，ADCF于F，BF，EC的延长线交于点P，

求证：APCF//

证明 ADCF，ADBE，

90CFABEA，BECF//.

PECPBECF

又CAFBAE，

ABE∽ACF

AFAECFBE，

即AEAFBECF.

AEAFPECP

APCF//

说明 本题考查了相似三角形的判定与性质，易错点是企图用角的关系证明APCF//，解题关键是证明AEAFPECP

典型例题二

例02．如图，已知：在ABC与CAD中，BCDA//，CD交AB于E，且2:1:EBAE，BCEF//交AC于F，1ADES

求BCES和AEFS

分析 要求BCE的面积比较容易，因为BCAD//，且有2:1:EBAE，且1ADES，则BCE的面积可求. 求AEF的面积很难利用相似三角形的面积比去解决. 由EFDA//和AEF和EAD是高相等的两个三角形，因而它们的面积比等于底的比. 所以只要求出ADEF:的值

解答：BCDA//，ADE∽BCE

22::BEAESSBCEADE

又2:1:BEAE，4:1:BCEADESS

1ADES，4BCES

BCEF//，AEF∽ABC ABAEBCEF::

2:1:EBAE，3:1::ABAEBCEF

又ADE∽BCE，2:1:BCAD，ADBC2

3:2:ADEF EFAD//，ADE与AEF等高

3:2::ADEFSSADEAEF 32AEFS

说明 在利用相似三角形进行面积计算时，经常使用同底等高的三角形面积相等.同底（或等底）三角形面积之比等于对应高的比；或同高（或等高）三角形面积之比等于对应底边的比

典型例题三

与相似三角形的面积有关的性质

【学习目标】

1．探索相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比，相似三角形的面积比等于相似比的平方．

2．会运用上述性质解决有关的问题．

3．发展学生合情推理和有条理地表达能力．

【学习重点】

相似三角形的周长比等于相似比，相似三角形的面积比等于相似比的平方．

【学习难点】

掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方的性质及有条理地表达与推理。

情景导入 生成问题

情境导入：

在比例尺为1∶500的地图上，测得一个三角形地块ABC的周长为12cm，求这个地块的实际周长．

解：设该三角形的实际周长是xcm.∵1∶500＝12∶x，∴x＝6000.6000cm＝60m.即这个地块的实际周长为60m.

自学互研 生成能力

知识模块一 相似三角形的周长比等于相似比，相似三角形的面积比等于相似比的平方

阅读教材P87“动脑筋”～P88，完成下面的内容：

证明：∵△ABC∽△A′B′C′，∴AB∶A′B′＝AC∶A′C′＝BC∶B′C′＝k.∴(AB＋BC＋CA)∶(A′B′＋B′C′＋C′A′)＝k(等比性质)．

归纳：相似三角形的周长比等于相似比．

相似三角形的面积比等于相似比的平方．

归纳：相似三角形的周长比等于相似比，相似三角形的面积比等于相似比的平方．

【例1】 已知△ABC的三边长分别为5、12、13，与其相似的△A′B′C′的最大边长为26，求△A′B′C′的面积S.

解：设△ABC的三边依次为：BC＝5，AC＝12，AB＝13，

∵AB2＝BC2＋AC2，∴∠C＝90°. 又∵△ABC∽△A′B′C′，∴∠C′＝∠C＝90°，

BCB′C′＝ACA′C′＝ABA′B′＝1326＝12.

又BC＝5，AC＝12，∴B′C′＝10，A′C′＝24.

∴S△A′B′C′＝12A′C′×B′C′＝12×24×10＝120.

知识模块二 相似三角形性质的运用

【例2】

相似三角形的面积比较

相似三角形是指具有相同形状但可能不同大小的三角形。在几何学中，通过比较相似三角形的面积，我们可以了解它们之间的大小关系。本文将探讨相似三角形的面积比较，并介绍相关的概念和方法。

1. 相似三角形的定义

相似三角形是指具有相同形状但可能不同大小的三角形。两个三角形相似的条件是它们的对应角相等，并且对应边的长度成比例。如果两个三角形ABC和DEF满足∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，并且AB/DE=BC/EF=CA/FD，则称三角形ABC和DEF相似。

2. 相似三角形的面积比较

由相似三角形的定义可知，相似三角形的对应边的长度成比例。根据几何学的基本定理，两个三角形的面积与它们的底边长度成正比，高的平方成正比。因此，如果两个三角形相似，则它们的面积比等于对应边的长度比的平方。

设有相似三角形ABC和DEF，对应边的长度比为k，则有以下面积比公式：

面积比 = (AB/DE)^2 = (BC/EF)^2 = (CA/FD)^2

3. 面积比实例分析

为了更好地理解相似三角形的面积比较，我们来看一个具体的例子。 假设有两个相似三角形ABC和DEF，已知AB/DE=2/3，BC/EF=4/5，CA/FD=6/7。现在我们要比较它们的面积。

首先，我们需要确定一个已知条件中的一个比例，并将其作为底边长度比计算其他比例。假设我们选择AB/DE=2/3，那么可以得到BC/EF=4/5和CA/FD=6/7。

接下来，我们计算面积比。根据面积比公式，面积比 = (AB/DE)^2

= (2/3)^2 = 4/9。也就是说，三角形ABC的面积是三角形DEF面积的4/9倍。

4. 相似三角形的面积比较的应用场景

相似三角形的面积比较在实际生活中具有广泛的应用。例如，当我们需要放大或缩小一个物体时，可以利用相似三角形的性质来计算放大或缩小的比例。另外，在地理测量、建筑设计等领域，也常常需要根据相似三角形的面积比较来解决实际问题。

第34讲 相似三角形的性质及应用

一、相似三角形的性质1．相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.2. 相似三角形中的重要线段的比等于相似比. 相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.要点：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.3. 相似三角形周长的比等于相似比

∽，则

由比例性质可得：

4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方

∽，则分别作出与的高和，则

要点：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的.二、三角形的重心 三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，三角形的重心分每一条中线成1:2的两条线段.

即12ODOEOFOAOBOC=== .

要点：21122=1122ABCABCBCADkBCkADSkSBCADBCAD¢¢¢¢¢¢¢××××==¢¢¢¢¢¢¢¢¢××△△

O

EF

DA

BC过点E作EH∥BC交AD于H，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得CD=2EH，从而得到BD=2EH，再根据△BDO和△EHO相似，利用相似三角形对应边成比例列出

比例式计算即可得证1=2OEHEOBBD=，同理其他比例也可以得到．

三、相似三角形的应用1.

测量高度测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决.要点：测量旗杆的高度的几种方法：

平面镜测量法 影子测量法 手臂测量法 标杆测量法2.测量距离测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。 1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长. 2．如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长.

要点：　1．比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实际距离; 2．太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比; 3．视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）;4. 仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角．