2019中考相似三角形面积比公式推论

相似三角形面积关系
三角形是几何形状中最基本的，也是最为常见的图形，这里我们
将讨论三角形面积相似的关系。

首先，让我们来了解什么是三角形面积相似。

这是说，两个三角
形满足一定条件，它们的面积相等。

只要两个三角形的边长和角度都
相等，它们的面积就会相等，这样的三角形称为同比三角形。

如果三
角形的边长和角度不完全相同，但满足一定关系，则称为比例三角形，它们同样具有相等的面积。

三角形面积相似的最简单的例子是等腰三角形。

这类三角形有两
条边是完全相等的，且两个相同大小的对角线分别交叉在角度相等的
位置。

由于其特殊的结构，它们的面积是相等的，等腰三角形也是图
形中最简单的同比三角形。

此外，我们还可以建立比例三角形的相似关系。

假设有三个三角
形A，B，C，其中边长分别是a，b，c。

如果满足下式，三角形A，B，
C的面积就是相等的：
a/b=c/b
另外一个例子是一个比例三角形，其中a：b：c=3：4：5。

这样的三角形也是相等的，三角形A，B，C的面积是相等的。

此外，三角形面积相似性也可以用来解决一些实际问题。

例如，当一个三角形的顶点通过一个共同顶点，被缩放到一定比例上时，可以使用面积相似关系来求取新缩放后三角形的面积。

此外，这种关系也可以用于几何绘图，如水平投影图、等高线图等。

以上就是三角形面积相似的基本原理，只要相应的边长和角度都满足相等或相似，三角形的面积就会相等。

这种保持不变的关系可以被用来解决实际几何问题，具有重要的应用价值。

相似三角形的面积公式在学习数学的过程中，相似三角形是一个非常基础且重要的概念。

在相似三角形中，我们可以找到它们之间的一些比例关系。

这些关系可以被应用到许多不同的数学问题中。

在本文中，我们将探讨一个与相似三角形相关的重要问题，那就是相似三角形的面积公式。

相似三角形具有相似的形状，但是它们的大小可能不同。

我们可以将两个相似三角形之间的比例表示为k。

这个比例是由两个相对应边的长度比较得出的。

在相似三角形中，这个比例k对于每一对相对应边都是相同的。

这样，我们就可以利用这个比例来计算相似三角形的面积。

假设我们有两个相似三角形ABC和DEF，它们之间的比例为k。

设AC=a，BC=b，DE=d，EF=e，则我们可以得到以下的比例关系式：a/d = b/e = k我们可以通过这个比例关系式来得到两个相似三角形的边长比例。

接下来，我们可以利用这个比例关系式来计算它们的面积。

假设ΔABC和ΔDEF的面积分别为S1和S2，则它们之间的比例为：S1/S2 = (AB*BC)/(DE*EF)现在，我们要将这个比例表示成a、b、d、e和k的形式。

我们可以利用之前得到的比例关系式来代入一些值，得到：S1/S2 = (a/b)^2然后，我们可以使用比例关系式中的比例关系来将上式转换为：S1 = k^2 * S2这就是相似三角形的面积公式。

如果我们知道两个相似三角形的比例k以及其中一个三角形的面积S2，我们就可以使用这个公式来计算另一个三角形的面积S1。

现在，让我们来看一个实际的例子。

假设我们有两个相似三角形，它们的比例为1:2。

同时，我们知道其中一个三角形的面积为20平方厘米。

那么，另一个三角形的面积是：S1 = 2^2 * 20 = 80平方厘米可以看出，这个公式非常简单而实用。

通过知道相似三角形之间的比例以及其中一个三角形的面积，我们就可以精确地计算另一个三角形的面积。

总结一下，相似三角形的面积公式是一个非常重要而常用的公式。

2019中考数学相似三角形的性质解题技巧
取得中考胜利，需要现在就行动。

小编整理了2019 的性质解题技巧内容，以供大家参考学习。

2019中考数学相似三角形的性质解题技巧
1、三角形叉叉图(即三角形内部画一把叉)
常用辅助线做法：过点作三角形边的平行线
遵循原则：所做辅助线不能破坏原有线段比例
2、三角形的可解性
在一个三角形中，必然存在三角、三边、三高、周长、面积这十一个量，若已知其中任意三个不全为角的条件，则可求出其他八个条件(简称知三求八)。

常见辅助线做法：作三角形边上的高
遵循原则：
①特殊角原则，即作高时常常把特殊角放在直角三角形中进行求解
②最长边原则，即作高时常常选择作最长边上的高，使得高在内部
③偶数边原则，即常常将偶数边作为直角三角形的斜边，方便计算
3、线段求法
①勾股定理(利用可解性求解);②面积法;③想似
4、线段长度求法
①计算比：直接计算线段长度
做法：利用可解性直接求出所求比例线段的数值
②共线比：所求比例的两条线段在同一条直线上
做法：利用三角形叉叉图，构造平行线求解
③共三角形比：所求比例的两条线段在同一个三角形中
做法：寻找或者构造与之相似且知内比的三角形进行求解
④相似比：所求比例的两条线段在两个相似三角形中
做法：找到两条线段所在的两个相似三角形，利用相似比求解。

相似三角形的判定与比例计算相似三角形是初中数学中的重要概念，它在几何学中具有广泛的应用。

本文将介绍相似三角形的判定方法以及如何进行比例计算，帮助中学生和他们的父母更好地理解和应用这一概念。

一、相似三角形的判定相似三角形的判定有三种常用方法：AAA判定、AA判定和SAS判定。

1. AAA判定：如果两个三角形的对应角度相等，那么它们是相似的。

例如，如果三角形ABC和三角形DEF的三个对应角度分别相等，即∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，那么可以判定它们是相似的。

2. AA判定：如果两个三角形的一个角相等，且它们的对应边成比例，那么它们是相似的。

例如，如果∠A=∠D，且AB/DE=AC/DF=BC/EF，那么可以判定三角形ABC和三角形DEF是相似的。

3. SAS判定：如果两个三角形的一个角相等，且它们的对应边成比例，那么它们是相似的。

例如，如果∠A=∠D，AB/DE=AC/DF，那么可以判定三角形ABC和三角形DEF是相似的。

二、相似三角形的比例计算相似三角形的比例计算是指已知两个相似三角形的一些边长，求解其余边长的过程。

常用的计算方法有以下几种：1. 边长比例法：根据相似三角形的定义，相似三角形的对应边成比例。

例如，已知三角形ABC与三角形DEF相似，且已知AB/DE=2/3，BC/EF=4/5，求解AC和DF的比例。

根据边长比例法，可以得到AC/DF=(AB/DE)*(BC/EF)=(2/3)*(4/5)=8/15。

2. 高度比例法：如果两个相似三角形的高度成比例，那么它们的底边也成比例。

例如，已知三角形ABC与三角形DEF相似，且已知高度AH与高度DK成比例，求解底边BC和EF的比例。

根据高度比例法，可以得到BC/EF=AH/DK。

3. 面积比例法：如果两个相似三角形的面积成比例，那么它们的边长也成比例。

例如，已知三角形ABC与三角形DEF相似，且已知面积S(ABC)/S(DEF)=1/4，求解边长AC和DF的比例。

知识必备08相似三角形（公式、定理、结论图表）考点一、比例线段1.比例线段的相关概念如果选用同一长度单位量得两条线段a，b 的长度分别为m，n，那么就说这两条线段的比是nm b a =，或写成a：b=m：n.在两条线段的比a：b 中，a 叫做比的前项，b 叫做比的后项.在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.若四条a，b，c，d 满足或a：b=c：d，那么a，b，c，d 叫做组成比例的项，线段a，d 叫做比例外项，线段b，c 叫做比例内项.如果作为比例内项的是两条相同的线段，即cb b a =或a：b=b：c，那么线段b 叫做线段a，c 的比例中项.2、比例的性质（1）基本性质：①a：b=c：d ⇔ad=bc②a：b=b：c ac b =⇔2.（2）更比性质（交换比例的内项或外项）db c a =（交换内项）⇒=d c b a ac bd =（交换外项）ab c d =（同时交换内项和外项）（3）反比性质（交换比的前项、后项）：cd a b d c b a =⇒=（4）合比性质：dd c b b a d c b a ±=±⇒=（5）等比性质：ba n f db m ec a n fd b n m fe d c b a =++++++++⇒≠++++==== )0(3、黄金分割把线段AB 分成两条线段AC，BC（AC>BC），并且使AC 是AB 和BC 的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AC=215-AB ≈0.618AB.典例1：（2023•金昌）若32a b =，则(ab =)A ．6B ．32C ．1D ．23【分析】直接利用比例的性质，内项之积等于外项之积即可得出答案．【解答】解：32a b=，6ab ∴=．故选：A ．【点评】此题主要考查了比例的性质，正确将原式变形是解题关键．典例2：2．（2023•甘孜州）若2x y =，则x y y -=1．【分析】根据比例的性质解答即可．【解答】解： 2x y=，∴1211x y x y y-=-=-=．故答案为：1．【点评】本题考查了比例的性质，解决本题的关键是掌握比例的性质．考点二、相似图形1.相似图形：我们把形状相同的图形叫做相似图形.也就是说：两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到的.(全等是特殊的相似图形).2.相似多边形：对应角相等，对应边的比相等的两个多边形叫做相似多边形.3.相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边成的比相等.相似多边形的周长的比等于相似比，相似多边形的面积的比等于相似比的平方.4.相似三角形的定义：形状相同的三角形是相似三角形.5.相似三角形的性质：(1)相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.(2)相似三角形对应边上的高的比相等，对应边上的中线的比相等，对应角的角平分线的比相等，都等于相似比.(3)相似三角形的周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方.【要点诠释】结合两个图形相似，得出对应角相等，对应边的比相等，这样可以由题中已知条件求得其它角的度数和线段的长.对于复杂的图形，采用将部分需要的图形(或基本图形)“抽”出来的办法处理.6.相似三角形的判定：(1)平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；(2)如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；(3)如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似；(4)如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.(5)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边的比对应相等，那么这两个三角形相似.典例3：（2023•泰州）两个相似图形的周长比为3:2，则面积比为9:4．【分析】由两个相似图形，其周长之比为3:2，根据相似图形的周长的比等于相似比，即可求得其相似比，又由相似图形的面积的比等于相似比的平方，即可求得答案．【解答】解： 两个相似图形，其周长之比为3:2，∴其相似比为3:2，∴其面积比为9:4．故答案为：9:4．【点评】此题考查了相似图形的性质．此题比较简单，注意熟记定理是关键．典例4：（2023•威海）如图，四边形ABCD 是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠：使DA 边落在DC 边上，点A 落在点H 处，折痕为DE ；使CB 边落在CD 边上，点B 落在点G 处，折痕为CF ．若矩形HEFG 与原矩形ABCD 相似，1AD =，则CD 的长为()A 21B 51-C 21+D 51+【分析】设HG x =，根据矩形的性质可得90A ADH ∠=∠=︒，1AD BC ==，再根据折叠的性质可得：90A AHE ∠=∠=︒，1AD DH ==，1BC CG ==，从而可得四边形ADHE 是正方形，然后利用正方形的性质可得1AD HE ==，最后利用相似多边形的性质，进行计算即可解答．【解答】解：设HG x =，四边形ABCD 是矩形，90A ADH ∴∠=∠=︒，1AD BC ==，由折叠得：90A AHE ∠=∠=︒，1AD DH ==，1BC CG ==，∴四边形ADHE 是矩形，AD DH = ，∴四边形ADHE 是正方形，1AD HE ∴==，矩形HEFG 与原矩形ABCD 相似，∴GH HE AD DC =，∴1111x x =++，解得：21x =或21x =--，经检验：21x =-或21x =-都是原方程的根，0GH > ，∴=，GH1∴=+=+，DC x21故选：C．【点评】本题考查了相似多边形的性质，解一元二次方程-公式法，矩形的性质，翻折变换（折叠问题），正方形的判定与性质熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键．典例5：（2023•重庆）若两个相似三角形周长的比为1:4，则这两个三角形对应边的比是( )A．1:2B．1:4C．1:8D．1:16【分析】根据相似三角形的性质：相似三角形周长的比等于相似比，求解即可．【解答】解： 两个相似三角形周长的比为1:4，∴这两个三角形对应边的比为1:4，故选：B．【点评】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．典例6:（2023•大庆）在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．有一张矩形纸片ABCD如图所示，点N在边AD上，现将矩形折叠，折痕为BN，点A对应的点记为点M，若点M恰好落在边DC上，则图中与NDM∆一定相似的三角形是∆．MCB【分析】利用矩形的性质得到90∠=∠=︒，然后利用折叠的性质推导出D C∆∆∠=∠，由此推断出NDM MCB∽．90∠=∠=︒，进而得到DNM CMBBMN A【解答】解： 四边形ABCD是矩形，A D C∴∠=∠=∠=︒，90BMN A∠=∠=︒，∴∠+∠=︒，由折叠的性质可知，90DNM DMN90∴∠+∠=︒，DMN CMB90∴∠=∠，DNM CMB∽，NDM MCB∴∆∆故答案为：MCB∆．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定、矩形的性质以及翻折变换（折叠问题），熟练掌握相似三角形的判定方法是解答本题的关键：两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．典例7：（2023•雅安）如图，在ABCD中，F是AD上一点，CF交BD于点E，CF的延长线交BA 的延长线于点G ，1EF =，3EC =，则GF 的长为()A ．4B ．6C ．8D ．10【分析】根据平行四边形的性质得出//AD BC ，//AB CD ，AD BC =，于是推出DEF BEC ∆∆∽，DFC AFG ∆∆∽，先求出DF 与BC 的比值，继而得出DF 与AF 的比值，再根据相似三角形对应边成比例即可求出GF 的长．【解答】解： 四边形ABCD 是平行四边形，//AD BC ∴，//AB CD ，AD BC =，//AD BC ，DEF BEC ∴∆∆∽，∴DF EF BC EC=，1EF = ，3EC =，∴13DF BC =，即13DF AD =，∴12DF AF =，//AB CD ，DFC AFG ∴∆∆∽，∴DF CF AF GF=，1EF = ，3EC =，4CF ∴=，∴142GF=，8GF ∴=，故选：C ．【点评】本题考查了平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质，熟练掌握这些图形的性质是解题的关键．典例8：（2023•哈尔滨）如图，AC ，BD 相交于点O ，//AB DC ，M 是AB 的中点，//MN AC ，交BD 于点N ，若:1:2DO OB =，12AC =，则MN 的长为()A ．2B ．4C ．6D ．8【分析】由//AB DC 易得CDO ABO ∆∆∽，根据相似三角形的性质可得12OC OA =，于是1122AC OA OC OA OA =+=+=，求出8OA =，易得MN 为AOB ∆的中位线，则12MN OA =．【解答】解：//AB DC ，CDO ABO ∴∆∆∽，∴OD OC OB OA=，:1:2DO OB = ，∴12OC OA =，12OC OA ∴=，12AC OA OC =+= ，1122OA OA ∴+=，8OA ∴=，//MN AC ，M 是AB 的中点，MN ∴为AOB ∆的中位线，118422MN OA ∴==⨯=．故选：B ．【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理，熟记“8”字模型相似三角形，以及三角形中位线定理是解题关键．考点三、位似图形1.位似图形的定义：两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，不经过交点的对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫位似中心.2.位似图形的分类：(1)外位似：位似中心在连接两个对应点的线段之外.(2)内位似：位似中心在连接两个对应点的线段上.3.位似图形的性质位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.【要点诠释】位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形.4.作位似图形的步骤第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心；第二步：作位似中心与各关键点连线；第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例；第四步：顺次连接截取点.【要点诠释】在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或-k.典例9：（2023•朝阳）如图，在平面直角坐标系中，已知点(2,2)A ，(4,1)B ，以原点O 为位似中心，相似比为2，把OAB ∆放大，则点A 的对应点A '的坐标是()A ．(1,1)B ．(4,4)或(8,2)C ．(4,4)D ．(4,4)或(4,4)--【分析】根据位似变换的性质计算，得到答案．【解答】解： 以原点O 为位似中心，相似比为2，把OAB ∆放大，点A 的坐标为(2,2)，∴点A 的对应点A '的坐标为(22,22)⨯⨯或(2(2)⨯-，2(2))⨯-，即(4,4)或(4,4)--，故选：D ．【点评】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或k -．。

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相似三角形面积比【—相似三角形】相似三角形知识放送：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。

相似三角形性质定理:相似三角形的对应角相等。

相似三角形的对应边成比例。

相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。

相似三角形的周长比等于相似比。

相似三角形的面积比等于相似比的平方。

相似三角形面积比判定定理推论推论一：顶角或底角相等的两个等腰三角形相似。

推论二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。

推论三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。

推论四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形都相似。

推论五：如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。

推论六：如果一个三角形的两边和第三边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。

相似三角形面积比性质1.相似三角形对应角相等，对应边成比例。

2.相似三角形的一切对应线段的比等于相似比。

3.相似三角形周长的比等于相似比。

4.相似三角形面积的比等于相似比的平方。

5.相似三角形内切圆、外接圆直径比和周长比都和相似比相同，内切圆、外接圆面积比是相似比的平方6.若a:b =b:c，即b的平方=ac,则b 叫做a,c的比例中项/d=a/b 等同于ad=bc.8.必须是在同一平面内的三角形里相似三角形对应角相等，对应边成比例.相似三角形周长的比等于相似比以上内容是相似三角形面积比的介绍，希望大家能够更好的学习，更多内容关注教育网。

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第15讲相似三角形与线段比、面积比问题【考点梳理】这类题型一般涉及分类讨论的数学思想，它是初中数学考察的重点思想，也是考试中一大难点，同学们需要根据题意考虑不同的情况，进行解题．【典型例题】1．（2019•上海）如图1，AD、BD分别是△ABC的内角∠BAC、∠ABC的平分线，过点A作AE⊥AD，交BD的延长线于点E．（1）求证：∠E＝∠C；（2）如图2，如果AE＝AB，且BD：DE＝2：3，求cos∠ABC的值；（3）如果∠ABC是锐角，且△ABC与△ADE相似，求∠ABC的度数，并直接写出的值．2．（2022秋•浦东新区校级月考）如图，正方形ABCD中，AB＝4，点M是射线BA上的一动点，BP⊥CM，垂足为P，PD⊥PN，与射线BC交于点N，联结DN．（1）若点M在边AB上（与点B、A不重合）．①求证：；②联结DN，设BM＝x，，求y与x的函数关系式，并写出函数定义域；（2）若S△DPN＝3S△CPN，求出BM的长．3．（2022•长宁区二模）如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，P是边BC上一点，∠APC＝45°，PD⊥AB，垂足为点D，AB＝4，BP＝4．（1）求线段PD的长；（2）如果∠C的平分线CQ交线段PD的延长线于点Q，求∠CQP的正切值；（3）过点D作Rt△ABC的直角边的平行线，交直线AP于点E，作射线CE，交直线PD于点F，求的值．4．（2022春•长宁区校级月考）如图，已知AB＝5，AD＝4，AD∥BM，cos B＝，点C、E分别为射线BM上的动点（点C、E都不与点B重合），联结AC、AE使得∠DAE＝∠BAC，射线EA交射线CD于点F．设BC＝x，＝y．（1）如图1，当x＝4时，求AF的长；（2）当点E在点C的右侧时，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；（3）若AC⊥AE，求AF的长．5．（2021秋•浦东新区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点D为边BC上一动点（不与点B、C重合），联结AD，过点C作CF⊥AD，分别交AB、AD于点E、F，设BD＝x，＝y．（1）当x＝3时，求tan∠BCE的值；（2）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）当x＝3时，在边AC上取点G，联结BG，分别交CE、AD于点M、N．当△MNF∽△ABC时，请直接写出AG的长．6．（2021秋•黄浦区期末）如图，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠ACB＝∠DAB＝90°，AB2＝BC•BD，AB ＝3，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，延长AE、CB交于点F，联结DF．（1）求证：AE＝AC；（2）设BC＝x，＝y，求y关于x的函数关系式及其定义域；（3）当△ABC与△DEF相似时，求边BC的长．7．（2021秋•徐汇区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，cot A＝，点D为边AC上的一个动点，以点D为顶点作∠BDE＝∠A，射线DE交边AB于点E，过点B作射线DE的垂线，垂足为点F．（1）当点D是边AC中点时，求tan∠ABD的值；（2）求证：AD•BF＝BC•DE；（3）当DE：EF＝3：1时，求AE：EB．8．（2021秋•虹口区期末）已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，tan B＝，点D是边BC 延长线上的点，在射线AB上取一点E，使得∠ADE＝∠ABC．过点A作AF⊥DE于点F．（1）当点E在线段AB上时，求证：＝；（2）在（1）题的条件下，设CD＝x，DE＝y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）记DE交射线AC于点G，当△AEF∽△AGF时，求CD的长．9．（2022秋•黄浦区校级月考）已知△ABC，AD是一条角平分线．（1）【探究发现】如图1所示，若AD是∠BAC的角平分线，可得到结论：．小红的解法如下：过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，过点A作AG⊥BC于点G，∵AD是∠BAC的角平分线，且DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，（角平分线的性质）＝，∵，∴（2）【类比探究】如图2所示，若AD是∠BAC的外角平分线，AD与BC的延长线交于点D．求证：；（3）【拓展应用】如图3所示，在△ABC中，∠BAC＝60°，BF、CE分别是∠ABC、∠ACB的角平分线且相交于点D，若，直接写出的值是2﹣．10．（2022秋•虹口区校级月考）如图1，A，B分别在射线OM，ON上，且∠MON为钝角，以线段OA，OB为斜边向∠MON的外侧作等腰直角三角形△OAP，△OBQ，点C，D，E分别是OA，OB，AB的中点．（1）求证：△PCE≌△EDQ；（2）延长PC，QD交于点F．①如图2，若∠MON＝150°，求证：△ABF为等边三角形；②若△AFB与△PEQ相似，求∠MON的大小和的值．11．（2022春•长宁区校级期中）如图1，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2BC，点D是AC边上一点（不与端点A、C重合），过点C作CE垂直于射线BD，垂足为E，点F在射线BD上，且EF＝2EC，连接AF、CF、AE．（1）求证：△ACF∽△BCE；（2）如图2，连接AE，点G、H、P分别为线段AB、AE、EF的中点，连接GH、HP、GP．求tan（∠HGP+∠HPG）及的值；（3）在（2）的条件下，若BC＝1，BE＝x，S△PGH＝y，请写出y关于x的函数关系式．。

相似三角形面积比和边长比的关系
相似三角形是几何中重要的证明模型之一，三角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形，它可以被理解为相似比为1的相似三角形。

相似三角形的面积比等于边长比的平方，设小三角形的面积为s，底长为a高为h，则小三角形的面积为s等于二分之一乘以a乘以b。

设大三角形的'面积为s，底长为ka 高为kh，则大三角形的面积为s等于二分之一乘以ka乘以kb。

相近三角形对应角成正比，对应边变成比例；相近三角形的一切对应线段，包含对应低、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等的比等同于相近比；相近三角形内切圆、外接圆直径比和周长比都和相近比相同，内切圆、外接圆面积比是相近比的平方。

初中数学知识归纳相似三角形的计算与证明相似三角形是初中数学中的重要概念之一，它在解决几何问题和推导几何定理中起到了重要的作用。

本文将就相似三角形的计算与证明进行归纳总结，帮助读者更好地理解和应用相关知识。

相似三角形定义：相似三角形是指具有相等对应角度的三角形。

在符号表示上，一般用∆ABC∼∆DEF来表示两个相似三角形。

计算相似三角形的边长比例：要计算相似三角形的边长比例，我们可以利用相似三角形的性质：相似三角形的对应边长比例相等。

假设∆ABC∼∆DEF，则我们可以得到以下边长比例公式：AB/DE = BC/EF = AC/DF这意味着当我们已知两个相似三角形中的某一边比例以及另一个对应边的长度时，我们可以通过比例关系求解未知长度。

证明相似三角形的方法：证明两个三角形相似有多种方法，以下介绍两种比较常用的方法：AAA（全等的对应元素是角）和AA（全等的对应元素是两个角加一条边）。

方法一：AAA方法AAA（即全等的对应元素是角）方法要求两个三角形对应的三个角分别相等。

如果∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F，则可以得出∆ABC∼∆DEF。

方法二：AA方法AA方法要求两个三角形的两个角分别相等，并且两个角所夹的边成比例。

如果∠A = ∠D，∠B = ∠E，并且AB/DE = AC/DF，那么我们可以得到∆ABC∼∆DEF。

在实际应用中，我们常常利用计算和证明相似三角形的方法来解决几何问题。

以下是一个例子：例题：已知∆ABC和∆DEF，其中∠A = ∠D，∠B = ∠E，AB/DE = 3，AC/DF = 4，求BC/EF的值。

解法：根据相似三角形的性质，我们知道AB/DE = BC/EF = AC/DF。

已知AB/DE = 3，AC/DF = 4，代入上述等式，可得BC/EF = 3/4。

通过以上例题，我们可以看到，计算相似三角形的边长比例是十分简便的。

总结：相似三角形的计算与证明是初中数学中的重要知识点，它对解决几何问题和推导几何定理具有重要作用。

相似三角形的面积和边长的关系相似三角形是指具有相同形状但不一定相同大小的两个三角形。

在数学中，相似三角形之间存在着一种特殊的关系，即它们的边长之比相等，并且它们的面积之比是边长之比的平方。

设有两个相似三角形ABC和DEF，它们之间的对应边长之比为k，则有：AB/DE = BC/EF = CA/FD = k根据这个比例关系，我们可以推导出相似三角形的面积之比。

设三角形ABC的面积为S1，三角形DEF的面积为S2，则有：S1/S2 = (AB/DE)^2这个公式说明了相似三角形的面积之比与边长之比的平方成正比。

下面我们来具体说明这个关系，以进一步理解相似三角形的性质。

假设我们有两个相似三角形ABC和DEF，它们的边长之比为k，即：AB/DE = BC/EF = CA/FD = k现在我们来计算这两个三角形的面积。

三角形ABC的面积可以通过海伦公式来计算，海伦公式表示为：S1 = √[s(s - AB)(s - BC)(s - CA)]其中，s为三角形ABC的半周长，即s = (AB + BC + CA)/2。

同样地，三角形DEF的面积可以通过海伦公式计算，表示为：S2 = √[s(s - DE)(s - EF)(s - FD)]将s的表达式代入上述公式中，我们可以得到：S1 = √[[(AB + BC + CA)/2][(AB + BC + CA)/2 - AB][(AB + BC + CA)/2 - BC][(AB + BC + CA)/2 - CA]]S2 = √[[(DE + EF + FD)/2][(DE + EF + FD)/2 - DE][(DE + EF + FD)/2 - EF][(DE + EF + FD)/2 - FD]]将以上两个公式进行化简，我们可以得到：S1 = √[k(k - 1)(k - BC/AB)(k - CA/AB)] * AB^2S2 = √[(k - 1)(k - EF/DE)(k - FD/DE)] * DE^2观察上述两个公式，我们可以发现：S1/S2 = (√[k(k - 1)(k - BC/AB)(k - CA/AB)] * AB^2) / (√[(k - 1)(k - EF/DE)(k - FD/DE)] * DE^2)两个根号符合并，化简可得：S1/S2 = [k(k - 1)(k - BC/AB)(k - CA/AB)] / [(k - 1)(k - EF/DE)(k -FD/DE)]再次化简，消去公式中的(k - 1)，得到：S1/S2 = [k(k - BC/AB)(k - CA/AB)] / [(k - EF/DE)(k - FD/DE)]进一步化简，得到：S1/S2 = (k^2 * (AB/DE)^2) / (EF/DE * FD/DE)化简的过程中，我们可以发现(AB/DE)^2 = (BC/EF)^2 = (CA/FD)^2 = k^2，所以我们可以进一步简化公式，得到：S1/S2 = k^2 * (DE/EF) * (DE/FD)根据这个公式，我们可以得出相似三角形的面积之比与边长之比的平方成正比。

中考数学：相似三角形的判定和判定方法
2019年中考数学：相似三角形的判定和判定方
法
相似三角形的判定
1.两个三角形的两个角对应相等
2.两边对应成比例，且夹角相等
3.三边对应成比例
4.平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似。

相似三角形的判定方法
根据相似图形的特征来判断。

(对应边成比例，对应边的夹角相等)
1.平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)
相交，所构成的三角形与原三角形相似;
(这是相似三角形判定的引理，是以下判定方法证明的基础。

这个引理的证明方法需要平行线分线段成比例的证明)
2.如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应
相等，那么这两个三角形相似;
3.如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似;
4.如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似;
5.对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形
三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。

初三相似知识点总结在初三的同学需要掌握相似三角形的知识点，那么都有哪些知识点呢？下面是小编分享给大家的初三相似知识点总结，欢迎阅读。

初三相似知识点总结相似三角形判定(1)平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。

(2)如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。

(简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。

)(3)如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。

(简叙为：三边对应成比例，两个三角形相似。

)(4)如果两个三角形的两个角分别对应相等(或三个角分别对应相等)，那么这两个三角形相似。

直角三角形判定定理:(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。

(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

相似三角形性质定理:(1)相似三角形的对应角相等。

(2)相似三角形的对应边成比例。

(3)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。

(4)相似三角形的周长比等于相似比。

(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。

判定定理推论推论一：顶角或底角相等的两个等腰三角形相似。

推论二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。

推论三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。

推论四：直角三角形被斜边上的`高分成的两个直角三角形和原三角形都相似。

推论五：如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。

推论六：如果一个三角形的两边和第三边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。

性质 1.相似三角形对应角相等，对应边成比例。

2.相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等)的比等于相似比。

3.相似三角形周长的比等于相似比。

相似三角形面积比和边长比的关系证明示例文章篇一：哎呀呀，同学们，今天咱们来聊聊相似三角形面积比和边长比的关系证明！这可太有趣啦！咱们先想想看，相似三角形就好像是一对双胞胎，虽然长得不完全一样，但是有着相似的模样。

那它们的面积和边长之间到底有啥秘密呢？比如说有两个相似三角形，一个大一个小。

咱们假设大三角形的边长是小三角形边长的k 倍。

那这意味着什么呢？我们来仔细琢磨琢磨。

如果小三角形的一条边是a ，那对应的大三角形的同位置的边不就是ka 嘛！那面积呢？三角形的面积公式是底乘高除以2 。

咱们假设小三角形的底是b ，高是h ，那它的面积就是bh/2 。

大三角形和小三角形相似，那大三角形对应的底就是kb ，高就是kh ，它的面积就是kbh/2 。

这时候咱们来比较一下它们的面积，小三角形面积是bh/2 ，大三角形面积是kbh/2 。

难道你们不觉得这里面有规律吗？大三角形面积除以小三角形面积，不就是(kbh/2)÷(bh/2) 吗？算一算，这结果不就是k² 嘛！这不就说明了相似三角形的面积比等于它们边长比的平方吗？哎呀，是不是感觉一下子就清楚啦？所以说呀，相似三角形面积比和边长比的关系就是这么神奇！我们通过仔细的分析和计算，就把这个秘密给揭开啦！你们说有趣不有趣？我觉得这可太有意思啦，数学的世界里到处都是这样神奇的规律等着我们去发现呢！示例文章篇二：哎呀呀，同学们，今天咱们来一起探索一下相似三角形面积比和边长比的关系，这可有趣啦！先来说说相似三角形是啥吧。

就好像两个双胞胎，长得特别像，但是大小可能不一样。

相似三角形就是这样，它们的角都相等，边成比例。

那面积比和边长比到底有啥关系呢？咱们来假设一下，有两个相似三角形，一个大的，一个小的。

就像大苹果和小苹果。

大三角形的边长是小三角形边长的k 倍。

咱们想想，三角形的面积怎么算？是底乘以高除以2 对吧？那大三角形的底和高不就是小三角形底和高的k 倍嘛！比如说，小三角形的底是a ，高是b ，那面积就是ab÷2 。

用面积法证明相似比例的方法嘿，咱今儿就来唠唠用面积法证明相似比例的事儿！你说这相似三角形啊，就好像是一对有血缘关系的“亲戚”，它们有着相似的模样。

那怎么来证明它们之间的这种相似关系呢？面积法就是个厉害的“法宝”呢！想象一下，有两个相似三角形，就像是两个大小不太一样的“双胞胎”。

我们知道，相似三角形的对应边是成比例的。

那怎么通过面积来揭示这个秘密呢？咱先来看，如果把一个大三角形分成几个小三角形，就好像把一个大蛋糕切成了几块。

然后呢，再看看和它相似的那个小三角形，也按照同样的方式去切。

这时候，你就会发现，这些小三角形之间的面积关系可有意思啦！比如说，大三角形的某个部分的面积，和小三角形对应的部分面积，它们之间有着一种奇妙的比例关系。

就好像是大蛋糕的一块和小蛋糕的对应一块，它们的大小比例是固定的。

咱再具体点说，假如有两个相似三角形 ABC 和 DEF，它们的相似比是 k。

那么对应的边 AB 和 DE 的比也是 k 呀。

然后呢，我们找到这两个三角形对应的高，分别记为 h1 和 h2。

这时候，你想想，大三角形ABC 的面积是不是可以表示为 1/2×AB×h1 呀，那小三角形 DEF 的面积就是 1/2×DE×h2。

然后你再看看，AB 是 DE 的 k 倍，h1 是不是也是 h2 的 k 倍呀！那这样算下来，大三角形的面积不就是小三角形面积的 k 的平方倍嘛！这不就证明了它们之间的相似比例关系嘛！哎呀，是不是挺神奇的呀！这就好像是找到了一个隐藏的密码，一下子就把相似三角形的秘密给解开了。

用面积法证明相似比例，就像是打开了一扇神奇的门，让我们能更清楚地看到相似三角形之间的关系。

它不是那种生硬的公式推导，而是有一种巧妙的感觉在里面。

你可别小瞧了这个方法哦，它在很多数学问题中都能大显身手呢！当你遇到那些看似复杂的相似三角形问题时，不妨试试用面积法，说不定就能轻松解决啦！总之呢，面积法证明相似比例，那绝对是数学世界里的一个精彩法宝。

相似三角形知识点总结所谓的相似三角形,就是它们的形状相同,但大小不一样,然而只要其形状相同,不论大小怎样改变他们都相似,所以就叫做相似三角形。

那么，接下来就由小编为大家带来相似三角形知识点总结，希望能够帮助大家!《相似三角形》知识点归纳三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形。

相似三角形的判定方法有：平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似，如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似，如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似，直角三角形相似判定定理1：斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。

直角三角形相似判定定理2：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。

*影定理相似三角形的*质1.相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等)的比等于相似比。

2.相似三角形周长的比等于相似比。

3.相似三角形面积的比等于相似比的平方知识点总结一、平行线分线段成比例定理及其推论：1.定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

2.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例。

3.推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条线段平行于三角形的第三边。

二、相似预备定理：平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例。

三、相似三角形：1.定义：对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。

2.*质：(1)相似三角形的对应角相等;(2)相似三角形的对应线段(边、高、中线、角平分线)成比例;(3)相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。

九年级数学相似三角形知识点相似三角形是九年级数学中的重要知识点之一，本文将详细介绍相似三角形的概念、判定方法及性质。

一、概念相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。

两个三角形相似的条件为对应角相等，并且对应边成比例。

记作△ABC∽△DEF。

二、判定方法1.角-角-角（AA）判定法若两个三角形的三个角分别相等，则它们一定相似。

2.角-边-角（ARJ）判定法若两个三角形的一个角相等，另一个角相等，且夹在已知边之间的两边成比例，则它们一定相似。

3.边-角-边（SAS）判定法若两个三角形的两边分别成比例，夹角相等，则它们一定相似。

注意：边-边-边（SSS）判定法不能判断两个三角形是否相似，因为只有边成比例不能保证角相等。

三、性质1.对应角相等性质相似三角形的对应角相等，即∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。

2.对应边成比例性质相似三角形的对应边成比例，即AB/DE=BC/EF=AC/DF。

其中，k为比例因子，代表两个相似三角形的对应边之比。

3.周长比例性质相似三角形的周长之比等于任意一条对应边之比。

4.面积比例性质相似三角形的面积之比等于任意一条对应边平方的比。

5.高比例性质相似三角形的高之比等于任意一条对应边之比。

四、相似三角形的应用1.测量难以直接获取的长度利用相似三角形的边比例性质，可以通过测量一些直接长度，求解难以直接获取的长度，如高度、距离等。

2.解决图像与实物的相似问题在制图中，根据相似三角形的比例性质，可以将实物缩小或放大绘制，保持图像与实物相似，从而达到简化和便于研究的目的。

3.解决间接测量问题利用相似三角形的性质，可以通过测量一些已知长度和角度，间接计算出难以直接测量的距离或高度。

4.解决图形的包含和相似问题通过相似三角形的判定方法，可以判断一个三角形是否包含在另外一个三角形中，以及两个图形是否相似。

总结：相似三角形是九年级数学中的重要知识点，通过角-角-角、角-边-角和边-角-边三种判定方法，我们可以判断两个三角形是否相似。

三角形面积与相似比的关系三角形，大家都知道，就是那种三个角、三条边的图形。

说到三角形，真是让人感慨万千啊，尤其是它的面积，简直像是数理魔法一样吸引人。

今天咱们就来聊聊三角形的面积和相似比之间的关系。

这可是个有趣的话题，听着就让人想一探究竟，究竟其中有什么奥秘呢？想象一下，你在课堂上，老师提到相似的三角形，那种一模一样的形状，真的是让人忍不住想拍拍手。

相似比，就是这些相似三角形之间的一个重要概念。

比如说，一个大三角形和一个小三角形，它们的形状完全一样，只是大小不同。

这时候，我们就可以用相似比来比较它们的边长。

就像一杯大可乐和一杯小可乐，外表看着差不多，但一喝就知道大小差得远呢！面积又是怎么回事呢？哦，面积可是另一个故事了。

大家都知道，三角形的面积公式是“底×高÷2”，简单明了。

可是，如果你把这个小三角形放大成一个大三角形，面积会变得多大呢？这个时候，相似比就派上用场了。

如果小三角形的边长是大三角形的一半，那么它的面积可就不是简单地乘个二那么简单了！你猜怎么着？面积的比就是相似比的平方。

这就像你有两个小沙滩，一个是大沙滩的缩影，虽然看着差不多，但实际上，面积却相差悬殊。

听着是不是有点复杂？别担心，我来给你举个例子。

假设你有两个三角形，小的那个边长是2，大的那个边长是4。

它们是相似的，所以相似比就是2:4，简化一下就是1:2。

这时候，如果小三角形的面积是4平方单位，那么大三角形的面积就应该是小三角形的4倍。

你没听错，就是4×（2的平方），也就是16平方单位！所以，你看，相似比的平方真的是个神奇的东西，没准下次你和朋友比拼画画，懂得这些知识，就能在三角形上轻松取胜！生活中到处都能见到三角形的身影，无论是建筑、艺术，甚至是大自然的造物，三角形都默默地发挥着作用。

想想那些漂亮的屋顶、时尚的旗帜，三角形总能在不经意间给我们带来美的享受。

它们的相似性也让我们在理解事物的时候更容易。

相似三角形面积
相似三角形的面积比等于相似比的平方。

三角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形。

相似三角形是几何中重要的证明模型之一，是全等三角形的推广。

全等三角形可以被理解为相似比为1的相似三角形。

相似三角形的面积比等于相似比的平方可通过三角形面积公式进行解释：
1、三角形的面积等同于底除以低除以二。

2、两个三角形的面积比即为：两个三角形“底乘以高除以二”的比值。

3、这里的底边和低的比值分别就是对应边的比，所以面积即为为对应边比的平方。

相似三角形的性质：
定义：相近三角形的对应角成正比，对应边变成比例。

定理：相似三角形任意对应线段的比等于相似比。

定理：相近三角形的面积比等同于相近比的平方。

相似三角形的特殊情况：
1.凡是全等的三角形都相近。

全等三角形是特殊的相似三角形，相似比为1。

反之，当相似比为1时，相似三角形为全等三角形。

2. 存有一个顶角或底角成正比的两个等腰三角形都相近。

由此，所有的等边三角形都相似。

利用相似三角形求解面积相似三角形是初中数学中的一个重要概念，它可以帮助我们求解各种几何问题。

在本文中，我将介绍如何利用相似三角形的性质来求解面积问题。

一、相似三角形的定义和性质相似三角形是指两个三角形的对应角相等，并且对应边成比例。

具体来说，如果两个三角形ABC和DEF，满足∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，且AB/DE=BC/EF=AC/DF=k，那么我们就可以说三角形ABC和DEF是相似的。

相似三角形具有以下性质：1. 对应角相等：两个相似三角形的对应角是相等的。

2. 对应边成比例：两个相似三角形的对应边的长度比例相等。

二、利用相似三角形求解面积利用相似三角形的性质，我们可以通过已知的三角形面积来求解未知三角形的面积。

以下是两种常见的应用方法：方法一：已知两个相似三角形的边长比例如果我们已知两个相似三角形的边长比例，那么我们可以通过这个比例来求解两个三角形的面积比例。

设ABC和DEF是相似三角形，且它们的对应边长度比为AB/DE=BC/EF=AC/DF=k，已知三角形ABC的面积为S1，我们要求解三角形DEF的面积S2。

由于相似三角形的对应边成比例，我们知道：[ABC]/[DEF]=(AB/DE)^2=k^2，其中[ABC]和[DEF]分别表示三角形ABC和DEF的面积。

因此，我们可以推出：S1/S2=k^2，从而求得未知三角形DEF的面积S2=S1/k^2。

方法二：已知一个对应边长度比和一个高比如果我们已知一个相似三角形的对应边长度比和另一个相似三角形的高比，那么我们也可以求解两个三角形的面积比例。

设ABC和DEF是相似三角形，且它们的对应边长度比为AB/DE=k，已知三角形ABC的高为h1，三角形DEF的高为h2，我们要求解三角形DEF的面积S2。

根据相似三角形的对应边成比例，我们知道：AB/DE=BC/EF=AC/DF=k。

由此可得：EF=k×DE。

设三角形DEF的底边长度为x，则三角形DEF的面积可以表示为S2=1/2×x×h2。