试求图示梁的自振频率和主振型

2.8 建筑结构的抗震验算规定 2.8.1 一般规定 1、地震作用及计算方法 总的考虑： (1) 在抗震计算中，一般可在建筑结构的两个主轴方向 分别考虑水平地震作用，各方向的水平地震作用由该方 向的抗侧力构件承担； (2) 有斜交的抗侧力构件的结构，宜分别考虑各抗侧力 构件方向的水平地震作用；
(3) 对于质量和刚度明显不均匀、不对称的结构，应
(3) 按式(3-110)求顶部附加水平地震作用Δ Fn；
(4) 按式(3-111)求各质点的水平地震作用Fi(i＝1,2,…,n)； (5) 按力学方法求各层结构的地震作用效应。
《例题2-7》
试按振型分解法和底部剪力法计算下图所示三层框架 结构相应于多遇地震时的各楼层地震剪力。设防烈度8度，
近震，场地类别Ⅲ类。 (ml＝116620 kg，m2＝110850kg，
(弯矩、剪力、轴力或变形等)； 最后，按一定的组合原则，将各振型的作用效应
进行组合便得到多自由度体系的水平地震作用效应。
1
振型的地震作用
单自由度：
多自由度： 振型分解后，相应于振型j质点i的位移地震反应 质点产生的惯性力为质点所受的地震作用：
2 振型的最大地震作用 利用反应谱，可求出振型的最大地震作用：
或
结构底部总剪力FEk为
FEk
2 1GE FEj j 1 n n j Gi X j ji G j 1 1 i 1 E n 2
(3 102)
记
所以
FEk 1Geq
(3 105)
式中：FEk——结构总水平地震作用(底部剪力)标准值； α 1——相应于结构基本周期T1时的地震影响系数值，按图3-25反应谱 或式(3-40)确定； Geq——结构等效总重力荷载； GE——结构总重力荷载代表值，GE =Σ Gi , Gi为集中于质点i的重力 荷载代表值(见后面式(3-120))。 β ——等效总重力荷载换算系数，对于单质点体系等于1.0，对于二 层以上的多层建筑，其值在0.8～0.98之间。《抗震规范》规定，多质点体 系取0.85；

解： 1）求柔度系数
m
31
k/5
m
21
k/3
P=1
2m k
11
32 4
P=1
22 4 12
P=1
33 9
23 4 13
11 1/ k 21 31 11
22
1 k
1 k /3
4
22
1 k
1 k/3
1 9
k /5
3.3.1 柔度法
1 1 1
柔度矩阵: [ ] 1 4 4
1 4 9
2）求频率
2 0 0
质量矩阵: [M] m 0 1 0
0 0 1
由频率方程: M I 0
2 1 1 m 2 4 4 0 ,
2 4 9
展开式为： 3 15 2 42 30 0
1 m m2
方程三个根为: 1 11.601 2 2.246 3 1.151
三个频率为:
1 0.2936
k m
4Y
4 4
3.4.1 主振型矩阵与正则坐标
（2）正则坐标 任意一个质点的位移 y 都可按主振型来组合：
y1 1Y11 2Y12 3Y13 y2 1Y21 2Y22 3Y23
yi 1Yi1 2Yi2 3Yi3
yn 1Yn1 2Yn2 3Yn3
nY1n nY2n
y1
y2
Y1 Y121
Y YYY132111
Y2 1
Y2 2
Y32
Y3 1
Y3 2
Y33
Y14 Y4
2
Y34
Y41
Y2 4
Y3 4
Y44
主 振
型 矩 阵
第一振型
1

第10章 结构动力学习 题10-5 试确定图示各体系的动力自由度，忽略弹性杆自身的质量。

(a) (b)EI 1=∞EImyϕ分布质量的刚度为无穷大，由广义坐标法可知，体系仅有两个振动自由度y ，ϕ。

(c)(d)在集中质量处施加刚性链杆以限制质量运动体系。

有四个自由度。

10-8 图示结构横梁具有无限刚性和均布质量m ，B 处有一弹性支座（刚度系数为k ），C 处有一阻尼器（阻尼系数为c ），梁上受三角形分布动力荷载作用，试用不同的方法建立体系的运动方程。

解：1）刚度法该体系仅有一个自由度。

可设A 截面转角a 为坐标顺时针为正，此时作用于分布质量m 上的惯性力呈三角形分布。

其端部集度为..ml a 。

取A 点隔离体，A 结点力矩为： (3)121233I M ml a l l mal =⨯⨯⨯=由动力荷载引起的力矩为：()()2121233t t q l l q l ⋅⋅= 由弹性恢复力所引起的弯矩为：.2133la k l c al ⋅⋅+ 根据A 结点力矩平衡条件0I p s M M M ++=可得：()3 (322)1393t q l ka m al l c al ++=整理得：()...33t q ka c a m a l l l++= 2）力法.cα解：取AC 杆转角为坐标，设在平衡位置附近发生虚位移α。

根据几何关系，虚功方程为：() (20111)0333l t q l l k l l l c m x xdx ααααααα-⋅-⋅-⋅=⎰则同样有：()...33t q ka c a m a ll l++=。

10-9 图示结构AD 和DF 杆具有无限刚性和均布质量m ，A 处转动弹簧铰的刚度系数为k θ，C 、E 处弹簧的刚度系数为k ，B 处阻尼器的阻尼系数为c ，试建立体系自由振动时的运动方程。

解：取DF 隔离体，0FM=∑：..2220.2322324a R a mx dx ka R ma ka αααα⋅=+⇒=+⎰取AE 隔离体：0A M =∑...32220430ak mx dx ca ka Ra θαααα++++=⎰将R 代入，整理得： ..32251504R ma ka k θααα=++= 10-10 试建立图示各体系的运动方程。

结构力学试题题号 -一一 二二二 -三四五六七八九十总分分数1 •对于单自由度体系有如下关系k 二 -1对于多自由度体系也同样成立。

（）2. 仅在恢复力作用下的振动称为自由振动。

（）3.对于杆系结构，用有限元方法得到的单元刚度矩阵与矩阵位移法得到的是一致的。

（ ）4.在无限自由度体系的弹性稳定分析中，用静力法和能量法（瑞利-里兹法）得到的临界荷载是相同的。

（ ）5.只要两个杆件的截面面积相同、所用材料相同，它们的极限弯矩就是相同的。

（ ）单项选择题 （本大题分3小题，每小题4分，共12分）1. 对图示结构，若要使其自振频率增大，可以（A. 增大F p ； C.增大m ；B. 增大El ;D.增大I 。

2. 图示刚架杆单元的坐标转换矩阵T 6 6中的第一行元素为（）。

0.866 0.5 0 0 0 01 ； 0.866 0.5 0 0 0 0】；0.5 0.866 0 0 0 0】；3. 三结点三角形单元的形函数满足的条件为 （）。

A. B. C.D. 0.5 - 0.866 0 0 0 01。

A. N1 (X1,yJ =1, N1 (X2,y2)=0,N1 (X a,y3) = 0;B. N1 (X1, y i) -0, N1 (X2, y2) -1, N1 (X3, y3 ) = 1 ；C. N1 (X1,y1) =0,叫(X2,y2 )= 0,N1 (X3, y? )= 0 ；D. N1 (X1,yJ =1, N1 (X2,y2)= 1,N(X3』3)=1。

(注:x"为i 点坐标)三.填充题（本大题分3小题，每小题4分，共12分）1 •图示体系不计杆件质量和轴向变形， 各杆抗弯刚度为常数，其动力自由度为 __________2 •在结构矩阵分析的后处理法中，由结构原始刚度矩阵根据实际支承情况，对结构原始刚度矩阵加以修改以形成基本方程，采用的修改方法有 _______________ 、 _________3.用三结点三角形单元分析弹性力学平面应力问题时，在相邻单元的边界处，位移、应力和应变这三个量中，连续的量有 _________________ ，不连续的量有 _________________ 四.计算分析题（本大题共 7小题，共66分）1 . （12分）图示结构各杆EI =常数，不考虑轴向变形,2. （6分）试求图示桁架的结点荷载矩阵。