《最优化方法》复习题(含答案)
附录5 《最优化方法》复习题 1、设n n A R ?∈是对称矩阵，,n b R c R ∈∈，求1()2 T T f x x Ax b x c =++在任意点x 处的梯度和Hesse 矩阵． 解 2(),()f x Ax b f x A ?=+?=． 2、设()()t f x td ?=+，其中:n f R R →二阶可导，,,n n x R d R t R ∈∈∈，试求()t ?''． 解 2()(),()()T T t f x td d t d f x td d ??'''=?+=?+． 3、设方向n d R ∈是函数()f x 在点x 处的下降方向，令 ()()()()() T T T T dd f x f x H I d f x f x f x ??=--???， 其中I 为单位矩阵，证明方向()p H f x =-?也是函数()f x 在点x 处的下降方向． 证明 由于方向d 是函数()f x 在点x 处的下降方向，因此()0T f x d ?<，从而 ()()()T T f x p f x H f x ?=-?? ()()()()()()()() T T T T T dd f x f x f x I f x d f x f x f x ??=-?--???? ()()()0T T f x f x f x d =-??+?<， 所以，方向p 是函数()f x 在点x 处的下降方向． 4、n S R ?是凸集的充分必要条件是12122,,,,,,,,m m m x x x S x x x ?≥?∈L L 的一切凸组合都属于S ． 证明 充分性显然．下证必要性．设S 是凸集，对m 用归纳法证明．当2m =时，由凸集的定义知结论成立，下面考虑1m k =+时的情形．令1 1k i i i x x λ+==∑， 其中,0,1,2,,1i i x S i k λ∈≥=+L ，且1 1 1k i i λ+==∑．不妨设11k λ+≠（不然1k x x S +=∈， 结论成立），记11 1k i i i k y x λλ=+=-∑ ，有111(1)k k k x y x λλ+++=-+，
课程报告题目最优化理论与方法 学生姓名 学号 院系 专业 二Ｏ一二年十一月十日
最优化理论与方法综述 最优化方法是近几十年形成的，它主要运用数学方法研究各种系统的优化途径及方案，为决策者提供科学决策的依据。最优化方法的主要研究对象是各种管理问题及其生产经营活动。最优化方法的目的在于针对所研究的系统，求得一个合理运用人力、物力和财力的最佳方案，发挥和提高系统的效能及效益，最终达到系统的最优目标。实践表明，随着科学技术的日益进步和生产经营的日益发展，最优化方法已成为管理科学的重要理论基础和不可缺少的方法，被人们广泛地应用到公共管理、经济管理、工程建设、国防等各个领域，发挥着越来越重要的作用。这就是我理解的整个课程的流程。在这整个学习的过程当中，当然也会遇到很多的问题，不论是从理论上的还是从实际将算法编写出程序来解决一些问题。下面给出学习该课程的必要性及结合老师讲解以及在作业过程中遇到的问题来阐述自己对该课程的理解。 20世纪40年代以来，由于生产和科学研究突飞猛进地发展，特别是电子计算机日益广泛应用，使最优化问题的研究不仅成为一种迫切需要，而且有了求解的有力工具。因此最优化理论和算法迅速发展起来，形成一个新的学科。至今已出现线性规划、整数规划、非线性规划、几何规划、动态规划、随机规划、网络流等许多分文。 最优化理论与算法包括线性规划单纯形方法、对偶理论、灵敏度分析、运输问题、内点算法、非线性规划K-T条件、无约束最优化方法、约束最优化方法、参数线性规划、运输问题、线性规划路径跟踪法、信赖域方法、二次规划路径跟踪法、整数规划和动态规划等内容。 最优化理论所研究的问题是讨论在众多的方案中什么样的方案最优以及怎样找出最优方案。这类问题普遍存在。例如，工程设计中怎样选择设计参数，使得设计方案满足设计要求，又能降低成本；资源分配中，怎样分配有限资源，使得分配方案既能满足各方面的基本要求，又能获得好的经济效益；生产评价安排中，选择怎样的计划方案才能提高产值和利润；原料配比问题中，怎样确定各种成分的比例，才能提高质量，降低成本；城建规划中，怎样安排基本单位的合理布局，才能方便群众，有利于城市各行各业的发展；农田规划中，怎样安排各种农作物的合理布局，才能保持高产稳产，发挥地区优势；军事指挥中，怎样确定最佳作战方案，才能有效地消灭敌人，保存自己，有利于战争的全局；在人类活动的各个领域中，诸如此类，不胜枚举。最优化这一数学分支，正是为这些问题的解决，提供理论基础和求解方法，它是一门应用广泛、实用性强的学科。 一、最优化学习的必要性 最优化，在热工控制系统中应用非常广泛。为了达到最优化目的所提出的各种求解方法。从数学意义上说，最优化方法是一种求极值的方法，即在一组约束为等式或不等式的条件下，使系统的目标函数达到极值，即最大值或最小值。从经济意义上说，是在一定的人力、物力和财力资源条件下，使经济效果达到最大，或者在完成规定的生产或经济任务下，使投入的人力、物力和财力等资源为最少。
《最优化方法》试题 一、 填空题 1.设()f x 是凸集n S R ?上的一阶可微函数，则()f x 是S 上的凸函数的一阶充要条件是（ ），当n=2时，该充要条件的几何意义是（ ）； 2.设()f x 是凸集n R 上的二阶可微函数，则()f x 是n R 上的严格凸函数（ ）（填‘当’或‘当且仅当’）对任意n x R ∈，2()f x ?是 （ ）矩阵； 3.已知规划问题22211212121212min 23..255,0z x x x x x x s t x x x x x x ?=+---?--≥-??--≥-≥?，则在点55(,)66T x =处的可行方向集为（ ），下降方向集为（ ）。 二、选择题 1.给定问题222121212min (2)..00f x x s t x x x x ?=-+??-+≤??-≤?? ，则下列各点属于K-T 点的是（ ） A) (0,0)T B) (1,1)T C) 1(,22 T D) 11(,)22T 2.下列函数中属于严格凸函数的是（ ） A) 211212()2105f x x x x x x =+-+ B) 23122()(0)f x x x x =-< C) 2 222112313()226f x x x x x x x x =+++- D) 123()346f x x x x =+- 三、求下列问题
()22121212121211min 51022 ..2330420 ,0 f x x x x x s t x x x x x x =+---≤+≤≥ 取初始点()0,5T 。 四、考虑约束优化问题 ()221212min 4..3413f x x x s t x x =++≥ 用两种惩罚函数法求解。 五．用牛顿法求解二次函数 222123123123()()()()f x x x x x x x x x x =-++-++++- 的极小值。初始点011,1,22T x ??= ???。 六、证明题 1.对无约束凸规划问题1min ()2 T T f x x Qx c x =+，设从点n x R ∈出发，沿方向n d R ∈ 作最优一维搜索，得到步长t 和新的点y x td =+ ，试证当1T d Q d = 时， 22[() ()]t f x f y =-。 2.设12*** *3(,,)0T x x x x =>是非线性规划问题()112344423min 23..10f x x x x s t x x x =++++=的最优解，试证*x 也 是非线性规划问题 144423* 123min ..23x x x s t x x x f ++++=的最优解，其中****12323f x x x =++。
天津大学《最优化方法》复习题（含答案） 第一章 概述(包括凸规划) 一、 判断与填空题 1 )].([arg )(arg min max x f x f n n R x R x -=∈∈ √ 2 {}{} .:)(m in :)(m ax n n R D x x f R D x x f ?∈-=?∈ ? 3 设.:R R D f n →? 若n R x ∈*，对于一切n R x ∈恒有)()(x f x f ≤*，则称*x 为最优化问题)(min x f D x ∈的全局最优解. ? 4 设.:R R D f n →? 若D x ∈*，存在*x 的某邻域)(*x N ε，使得对一切)(*∈x N x ε恒有)()(x f x f <*，则称*x 为最优化问题)(min x f D x ∈的 严格局部最优解. ? 5 给定一个最优化问题，那么它的最优值是一个定值. √ 6 非空集合n R D ?为凸集当且仅当D 中任意两点连线段上任一点属于D . √ 7 非空集合n R D ?为凸集当且仅当D 中任意有限个点的凸组合仍
属于D . √ 8 任意两个凸集的并集为凸集. ? 9 函数R R D f n →?:为凸集D 上的凸函数当且仅当f -为D 上的凹函数. √ 10 设R R D f n →?:为凸集D 上的可微凸函数，D x ∈*. 则对D x ∈?，有).()()()(***-?≤-x x x f x f x f T ? 11 若)(x c 是凹函数，则}0)( {≥∈=x c R x D n 是凸集。 √ 12 设{}k x 为由求解)(min x f D x ∈的算法A 产生的迭代序列，假设算法 A 为下降算法，则对{} ,2,1,0∈?k ，恒有 )()(1k k x f x f ≤+ . 13 算法迭代时的终止准则（写出三种）：_____________________________________。 14 凸规划的全体极小点组成的集合是凸集。 √ 15 函数R R D f n →?:在点k x 沿着迭代方向}0{\n k R d ∈进行精确一维线搜索的步长k α，则其搜索公式
优化理论与方法
全局及个性化web服务组合可信度的动态规划评估方法 摘要：随着Internet的快速发展,web服务作为一种软件构造形式其应用越来越广泛。单个web服务无法满足日益复杂的用户需求,web服务组合有效地解决了这个问题。然而,随着功能相似的web服务实例的不断出现,如何选择可信的web服务组合成为了人们关注的热点。服务选择依赖于web服务组合的评估结果,因此,本文主要从web服务组合着手,对其可信性进行研究,提供一种可信web服务组合评估方法。：针对web服务组合的全局及个性化问题,提出了基于全局的个性化web服务组合可信评估方法。从全局角度动态地调整评估模型;同时引入用户业务关注度来描述原子web服务对服务组合可信性的影响程度;结合前文的度量及评估方法,构建一个全局的个性化服务组合可信评估模型;并分析了模型的相关应用,给出了改进的动态规划模型。 关键字：web服务组合可信评价；全局个性化；动态规划； 0.引言 随着软件系统规模的日趋复杂，运行环境的不断开放，软件的可信性要求日益增加，可信软件成为了研究的热点。据《中国互联网发展状况统计报告》统计显示，截至2014年12月底，我国网民数量突破8亿，全年新增网民5580万。互联网普及率较上年底提升4个百分点，达到38。3%。因此，随着Internet 的广泛应用和网络技术的快速发展，面向服务的软件体系结构（SOA）作为一种新型的网络化软件应用模式已经被工业界和学术界广为接受。同时，网民对互联网电子商务类应用稳步发展，网络购物、网上支付、网上银行和在线旅游预订等应用的用户规模全面增长。因而，对web服务的可信性要求更高。单个web服务的功能有限，往往难以满足复杂的业务需求，只有通过对已有web服务进行组合，才能真正发挥其潜力。在现有的web服务基础上，通过服务组装或者Mashup方式生成新web服务作为一种新型的软件构造方式，已成为近年的研究热点之一。web服务组合并不是多个原子web服务的简单累加，各原子web服务之间有着较强的联系。因此对web服务组合的可信需求更高。目前大量的研究工作着重于如何实现原子web服务间的有效组合，对服务组合的可信评估研究较少。如今，随着web服务资源快速发展，出现了大量功能相同或相似的web服务，对web服务组合而言，选择可信的web服务变得越来越难。在大量的功能相似的原子web服务中，如何选出一组可信的web服务组合，成为了人们关注的热点问题。本文将从web服务组合着手，对其可信性进行研究，旨在提供一种可信web服务组合评估方法，为web服务组合的选择提供依据。web服务组合的可信度主要包括以下三个部分： 1）基于领域本体的web服务可信度量模型。 2）基于偏好推荐的原子web服务可信评估方法。 3）基于全局的个性化web服务组合可信评估方法。 研究思路： 本文主要研究基于全局的个性化web服务组合的可信评估方法，其研究思路可以大致如下：基于领域本体的web服务可信度和基于偏好推荐的原子web 服务可信评估方法。针对web服务组合的四种基本组合结构模式，主要研究如
第一、填空题 1.组成优化设计的数学模型的三要素是 设计变量 、目标函数 和 约束条件 。 2.可靠性定量要求的制定，即对定量描述产品可靠性的 参数的选择 及其 指标的确定 。 3.多数产品的故障率随时间的变化规律，都要经过浴盆曲线的 早期故障阶段 、 偶然故障阶段 和 耗损故障阶段 。 4.各种产品的可靠度函数曲线随时间的增加都呈 下降趋势 。 5.建立优化设计数学模型的基本原则是在准确反映 工程实际问题 的基础上力求简洁 。 6.系统的可靠性模型主要包括 串联模型 、 并联模型 、 混联模型 、 储备模型 、 复杂系统模型 等可靠性模型。 7. 函数f(x 1,x 2)=2x 12 +3x 22-4x 1x 2+7在X 0=[2 3]T 点处的梯度为 ，Hession 矩阵为 。 （2.）函数()22121212,45f x x x x x x =+-+在024X ??=????点处的梯度为120-?? ????，海赛矩阵为2442-???? -?? 8.传统机械设计是 确定设计 ；机械可靠性设计则为 概率设计 。 9.串联系统的可靠度将因其组成单元数的增加而 降低 ，且其值要比可靠 度 最低 的那个单元的可靠度还低。 10.与电子产品相比，机械产品的失效主要是 耗损型失效 。 11. 机械可靠性设计 揭示了概率设计的本质。 12. 二元函数在某点处取得极值的充分条件是()00f X ?=必要条件是该点处的海赛矩阵正定。 13.对数正态分布常用于零件的 寿命疲劳强度 等情况。 14.加工尺寸、各种误差、材料的强度、磨损寿命都近似服从 正态分布 。 15.数学规划法的迭代公式是 1k k k k X X d α+=+ ，其核心是 建立搜索方向， 模型求解 两方面的内容。 17.无约束优化问题的关键是 确定搜索方向 。 18.多目标优化问题只有当求得的解是 非劣解 时才有意义，而绝对最优解存在的可能性很小。 19.可靠性设计中的设计变量应具有统计特征，因而认为设计手册中给出的数据
最优化原理与方法复习 第1章最优化问题的基本概念§最优化的概念最优化就是依据最优化原理和方法，在满足相关要求的前提下，以尽可能高的效率求得工程问题最优解决方案的过程。§最优化问题的数学模型 1.最优化问题的一般形式?findx1,x2,?,xn?minf(x,x,?,x)?12 n? (x,x,?,x)?0u?1,2,?,pu12n??hv(x1,x2,?,xn)? 0v?1,2,?,q? 2.最优化问题的向量表达式?findX?minf(X)?? (X)?0??H(X)?0?式中：X?[x1,x2,?,xn]T G(X)?[g1(X),g2(X),?,gp(X)]T H(X)?[h1(X),h2(X),?,hp(X)]T 3.优化模型的三要素设计变量、约束条件、目标函数称为优化设计的三要素！设计空间：设计变量所确定的空间。设计空间中的每一个点都代表一个设计方
案。§优化问题的分类按照优化模型中三要素的不同表现形式，优化问题有多种分类方法：1按照模型中是否存在约束条件，分为约束优化和无约束优化问题2按照目标函数和约束条件的性质分为线性优化和非线性优化问题3按照目标函数个数分为单目标优化和多目标优化问题4按照设计变量的性质不同分为连续变量优化和离散变量优化问题第2章最优化问题的数学基础§n元函数的可微性与梯度一、可微与梯度的定义1.可微的定义设f(X)是定义在n维空间Rn的子集D上的n元实值函数，且X0?D。若存在n维向量L，对于任意n维向量P，都有f(X0?P)?f(X0)?LTPlim?0 P?0P则称f(X)在X0处可微。 2.梯度设有函数F(X)，X?[x1,x2,?,xn]T，在其定义域内连续可导。我们把F(X)在定义域内某点X处的所有一阶偏导数构成的列向量，定义为F(X)在点X处的梯度。记
《最优化方法》复习题 第一章 引论 一、 判断与填空题 1 )].([arg )(arg m in m ax x f x f n n R x R x -=∈∈ √ 2 {}{}.:)(min :)(max n n R D x x f R D x x f ?∈-=?∈ ? 3 设.:R R D f n →? 若n R x ∈*，对于一切n R x ∈恒有)()(x f x f ≤*，则称*x 为最优化问题 )(min x f D x ∈的全局最优解. ? 4 设.:R R D f n →? 若D x ∈*，存在*x 的某邻域)(*x N ε，使得对一切)(*∈x N x ε恒有)()(x f x f <*，则称*x 为最优化问题)(min x f D x ∈的严格局部最 优解. ? 5 给定一个最优化问题，那么它的最优值是一个定值. √ 6 非空集合n R D ?为凸集当且仅当D 中任意两点连线段上任一点属于D . √ 7 非空集合n R D ?为凸集当且仅当D 中任意有限个点的凸组合仍属于D . √ 8 任意两个凸集的并集为凸集. ? 9 函数R R D f n →?:为凸集D 上的凸函数当且仅当f -为D 上的凹函数. √ 10 设R R D f n →?:为凸集D 上的可微凸函数，D x ∈*. 则对D x ∈?，有).()()()(***-?≤-x x x f x f x f T ? 11 若)(x c 是凹函数，则}0)( {≥∈=x c R x D n 是凸集。 √ 12 设{}k x 为由求解)(min x f D x ∈的算法A 产生的迭代序列，假设算法A 为单调下降算 法，则对{} ,2,1,0∈?k ，恒有 )()(1k k x f x f ≤+ .
中南大学考试试卷 2011--2012学年 1 学期 时间100分钟 最优化理论与方法 课程 48 学时 学分 考试形式： 闭 卷 专业年级： 信科08、应数08 总分100分，占总评成绩 70 % 注：此页不作答题纸，请将答案写在答题纸上,可用中英文作答。 1.（15 points ） For an unconstrained optimization problem: ),(min x f Let )0(x be a given point, )0(d be a descent search direction at )0(x . (1) With the exact line search, show that there is a steplength 0α satisfying .0)()0()0(0)0(=+?d d x f T α (2)Show that when applied to a quadratic objective function, the Newton method with the exact line search terminates in at most one iteration. 2. （15 points ）For an unconstrained optimization problem: .2)(min 2 221x x x f += (1) Find a descent direction )0(d of f at .)1,1() 0(T x = (2) By the Armijo line search, find a steplength 0α along )0(d at .)0(x 3.（15 points ） （1）Let .2113???? ??=A Find two directions 1d and 2d such that 1d and 2d are conjugate with respect to the matrix A . （2）Show that when applied to a quadratic objective function, with the exact line search, the PRP conjugate gradient method is equivalent to the FR conjugate gradient method.
作用： ①仿真的过程也是实验的过程，而且还是系统地收集和积累信息的过程。尤其是对一些复杂的随机问题，应用仿真技术是提供所需信息的唯一令人满意的方法。 ②仿真技术有可能对一些难以建立物理模型或数学模型的对象系统，通过仿真模型来顺利地解决预测、分析和评价等系统问题。 ③通过系统仿真，可以把一个复杂的系统化降阶成若干子系统以便于分析，并能指出各子系统之间的各种逻辑关系。 ④通过系统仿真，还能启发新的策略或新思想的产生，或能暴露出在系统中隐藏着的实质性问题。同时，当有新的要素增加到系统中时，仿真可以预先指出系统状态中可能会出现的瓶颈现象或其它的问题。 2.简述两个Wardrop 均衡原理及其适用范围。 答： Wardrop提出的第一原理定义是：在道路的利用者都确切知道网络的交通状态并试图选择最短径路时，网络将会达到平衡状态。在考虑拥挤对行驶时间影响的网络中，当网络达到平衡状态时，每个 OD 对的各条被使用的径路具有相等而且最小的行驶时间；没有被使用的径路的行驶时间大于或等于最小行 驶时间。 Wardrop提出的第二原理是：系统平衡条件下，拥挤的路网上交通流应该按照平均或总的出行成本 最小为依据来分配。 第一原理对应的行为原则是网络出行者各自寻求最小的个人出行成本，而第二原理对应的行为原则是网络的总出行成本最小。 3.系统协调的特点。 答： （1）各子系统之间既涉及合作行为，又涉及到竞争行为。 （2）各子系统之间相互作用构成一个反馈控制系统，通过信息作为“中介”而构成整体 （3）整体系统往往具有多个决策人，构成竞争决策模式。 （4）系统可能存在第三方介入进行协调的可能。 6．对已经建立了概念模型的系统处理方式及其特点、适用范围。答：对系统概念模型有三种解决方式。 1.建立解析模型方式 对简单系统问题，如物流系统库存、城市公交离线调度方案的确定、交通量不大的城市交叉口交通控制等问题，可以运用专业知识建立系统的量化模型（如解析数学模型），然后采用优化方法确定系统解决方案，以满足决策者决策的需要，有关该方面的内容见第四、五章。 在三种方式中，解析模型是最科学的，但仅限于简单交通运输系统问题，或仅是在实际工程中一定的情况下（仅以一定的概率）符合。所以在教科书上很多漂亮的解析模型，无法应用于工程实际中。 2.建立模拟仿真模型方式 对一般复杂系统，如城市轨道交通调度系统、机场调度系统、城市整个交通控制系统等问题，可以对系统概念模型中各个部件等采用变量予以量化表示，并通过系统辨识的方式建立这些变量之间关系的动力学方程组，采用一定的编程语言、仿真技术使其转化为系统仿真模型，通过模拟仿真寻找较满意的优化方案，包括离线和在线均可以，有关该方面的内容见第七章。 模拟仿真模型比解析模型更能反映系统的实际，所以在交通运输系统中被更高层次的所使用，包括
《优化原理与方法》作业解答要点 5.1 建造一容积为V (m 3)的长方形蓄水池（无盖），要求选择其长、宽、高，使表面积最小，从而建筑用料最省。试写出此问题的数学模型。 [解] 选择设计变量x 1、x 2、x 3分别代表蓄水池的长、宽、高，优化数学模型为： 5.2 某公司有资金a 万元，可供选择购置的设备有n 种，已知相应于第i 种设备所需资金为 b i 万元，可得收益为 c i 万元，要求收益最大的投资安排。试写出其数学模型。 [解] 选择设计变量x 1、x 2、…、x n 分别代表n 种可选购设备的购买数量，优化数学模型为： 5.3 某城市要建造一供应服务中心，向该市m 个用户提供服务，设第i 个用户的位置为（a i ， b i ），需要货物量为w i 吨，试寻求这个中心最经济的位置，使运输量（吨公里数）最小。 [解] 选择设计变量x 1、x 2代表中心的位置坐标，优化数学模型为： ?? ?? ? ?? ? ? ≥≥≥=??++= t..s 22 .min ],,[ 3min 32min 21min 1321313221321x x x x x x V x x x x x x x x x x x x T 使得寻求x ????? ? ???? ?? ? ?=?=≥≤?=∑∑==n i x n i x a x b x c x x x i i n i i i n i i i T n ,1,2, , ,1,2, ,0 t..s .max ] , ,,[ 1 1 21为整数使得寻求x ?? ??? -+-=∑=m i i i i T b x a x w x x 1222121)()( .min ],[ 使得寻求x
经济预测与决策 考试形式：闭卷考试时量：150分钟总分：100分 一．单选题1*15=15分 1.经济预测的第一步是（）A A.确定预测目的，制定计划 B.搜集审核资料 C.建立预测模型 D.评价预测成果 2.对一年以上五年以下的经济发展前景的预测称为（）B A.长期经济预测 B.中期经济预测 C.短期经济预测 D.近期经济预测 3.（）回归模型中，因变量与自变量的关系是呈直线型的。C A.多元 B.非线性 C.线性 D.虚拟变量
4.以下哪种检验方法的零假设为：B1=B2=…=Bm=0？B A.r检验 B.F检验 C.t检验 D.DW检验 5.以数年为周期，涨落相间的波浪式起伏变动称为（）D A.长期趋势 B.季节变动 C.不规则变动 D.循环变动 6. 一组数据中出现次数最多的变量值，称为（）A A.众数 B.中位数 C.算术平均数 D.调和平均数 7. 通过一组专家共同开会讨论，进行信息交流和相互启发，从而诱发专家们发挥其创造性思维，促进他们产生“思维共振”，达到相互补充并产生“组合效应”的预测方法为（）A A.头脑风暴法 B.德尔菲法
C.PERT预测法 D.趋势判断预测法 8.（）起源于英国生物学家高尔登对人类身高的研究。B A.定性预测法 B.回归分析法 C.马尔科夫预测法 D.判别分析预测法 9.抽样调查的特点不包括（）D A.经济性 B.时效性 C.适应性 D.全面性 10.下图是哪种多项式增长曲线（）B A.常数多项式 B.一次多项式 C.二次多项式
D.三次多项式 11.根据历年各月的历史资料，逐期计算环比加以平均，求出季节指数进行预测的方法称为（）C A.平均数趋势整理法 B.趋势比率法 C.环比法 D.温特斯法 12.经济决策按照目标的性质和行动时间的不同，分为（）D A.宏观经济决策和微观经济决策 B.高层、中层和基层决策 C.定性决策和定量决策 D.战术决策和战略决策 13.（）是从最好情况出发，带有一定冒险性质，反映了决策者冒进乐观的态度。B A.最大最小决策准则 B.最大最大决策准则 C.最小最小后悔值决策准则 D.等概率决策准则 14.如果某企业规模小，技术装备不良，担负不起较大的经济风险，则该企业应采用（）A
最优化理论、方法及应用试题 一、 （30分） 1、针对二次函数1()2 T T f x x Q x b x c =++，其中 Q 是正定矩阵，试写出最速下降 算法的详细步骤，并简要说明其优缺点？ 答：求解目标函数的梯度为()g x Qx b =+，()k k k g g x Q x b ==+，搜索方向：从k x 出发，沿k g -作直线搜索以确定1k x +。 Step1: 选定0x ,计算00,f g Step2: 做一维搜索, ()1min k k k t f f x t g +=-,1k k k x x tg +=-. Step3：判别，若满足精度要求，则停止；否则，置k=k+1,转步2。 优缺点：最速下降法在初始点收敛快，算法简单，在最优点附近有锯齿现象，收敛速度慢。 2、有约束优化问题 m in ()()0,1,2,,.. ()0,1,2,,i j f x g x i m s t h x j l ≥=???==?? 最优解的必要条件是什么？ 答：假设*x 是极小值点。必要条件是f ，g ，h 函数连续可微，而且极小值点的所有起作用约束的梯度(*)(1,2,,)i h x i l ?= 和(*)(1,2,,)j g x j m ?= 线性无关，则 存在****** 12 12,,,,,,,,l m αααβββ 使得 ()1 1* * * * * * 1 212* * (*)*(*)*(*)0 *(*)0,1,2,,,,,,,,,0 0,0 l m i i j j i i j j l m i j f x h x g x g x j m α β βα ααβββαβ==?- ?- ?===≠>≥∑∑ 3、什么是起作用约束？什么是可行方向？什么是下降方向？什么是可行下降方向？针对上述有约束优化问题，如果应用可行方向法，其可行的下降方向怎样确定？ 答：起作用约束：若0()0j g x =，这时点0x 处于该约束条件形成的可行域边界上，它对0x 的摄动起到某种限制作用。 可行方向：0x 是可行点，某方向p ，若存在实数00λ>，使得它对任意
一、 填空题 1 ． 若 ()()??? ? ??+???? ?????? ??=212121 312112)(x x x x x x x f ，则 =?)(x f ，=?)(2x f . ２．设f 连续可微且0)(≠?x f ，若向量d 满足 ，则它是f 在x 处的一个下降方向。 3.向量T ) 3,2,1(关于3阶单位方阵的所有线性无关的共轭向量 有 ． 4. 设R R f n →:二次可微，则f 在x 处的牛顿方向为 . 5.举出一个具有二次终止性的无约束二次规划算 法: . 6.以下约束优化问题： )(01)(..)(min 212121 ≥-==+-==x x x g x x x h t s x x f 的K-K-T 条件为： . 7．以下约束优化问题： 1 ..)(min 212 2 21=++=x x t s x x x f 的外点罚函数为(取罚参数为μ) . 二、证明题（７分+8分) 1.设1,2,1,:m i R R g n i =→和m m i R R h n i ,1,:1+=→都是线性函数,证明下 面的约束问题: } ,,1{, 0)(},1{, 0)(..)(min 1112 m m E j x h m I i x g t s x x f j i n k k +=∈==∈≥=∑= 是凸规划问题。
2.设R R f →2 :连续可微，n i R a ∈,R h i ∈,m i ,2,1=,考察如下的约束条件问题: } ,1{,0} 2,1{,0..) (min 11m m E i b x a m I i b x a t s x f i T i i T i +=∈=-=∈≥- 设d 是问题 1 ||||,0,0..)(min ≤∈=∈≥?d E i d a I i d a t s d x f T i T i T 的解，求证：d 是f 在x 处的一个可行方向。 三、计算题（每小题１2分) １.取初始点T x )1,1() 0(=.采用精确线性搜索的最速下降法求解下面的无约束优化问题 (迭代２步）: 2 2212)(m in x x x f += 2.采用精确搜索的BFGS 算法求解下面的无约束问题： 212 2212 1)(min x x x x x f -+= 3.用有效集法求解下面的二次规划问题: . 0,001..42)(min 21212 12 221≥≥≥+----+=x x x x t s x x x x x f 4．用可行方向算法(Zoutend ｉj ｋ算法或Ｆrank Wol ｆｅ算法）求解下面的问题（初值设为)0,0() 0(=x ,计算到)2(x 即可）： . 0,033..22 1)(min 212112 22121≥≥≤+-+-= x x x x t s x x x x x x f
内点法基本原理 摘要：内点法是求解含不等式约束最优化问题的一种十分有效的算法。内点法通过构造障碍函数，求解一系列只含等式约束最优化问题，逐步得到原问题的最优解，具有找初始点容易、线性收敛、迭代次数少等特点。本文主要介绍了内点法的基本原理，障碍方法的一般步骤并分析了该方法的优缺点，进行了算例实践。 关键词：内点法；障碍方法；Newton法 The Theory of Interior Point Method Abstract: Interior point method is a very effective algorithm for solving optimization problems with inequality constrained. Interior point method is constructed to solve a series of optimization problems with equality constraints, and the optimal solution of the original problem is obtained, which has the characteristics of finding the initial point easier, linear convergence, less iteration number and so on. This paper mainly introduces the theory of interior point method, the general steps of barrier method and analyzing the advantages and disadvantages of the method. Key words: interior point method; barrier method;Newton method
《最优化方法》1 一、填空题： 1．最优化问题的数学模型一般为：____________________________，其中 ___________称为目标函数，___________称为约束函数，可行域D 可以表示 为_____________________________，若______________________________， 称*x 为问题的局部最优解，若_____________________________________，称*x 为问题的全局最优解。 2．设f(x)= 212121522x x x x x +-+，则其梯度为___________，海色矩阵___________,令,)0,1(,)2,1(T T d x ==则f(x)在x 处沿方向d 的一阶方向导数为___________，几何意义为___________________________________,二阶 方向导数为___________________，几何意义为_________________________ ___________________________________。 3．设严格凸二次规划形式为： 012. .222)(min 21212 12 221≥≥≤+--+=x x x x t s x x x x x f 则其对偶规划为___________________________________________。
4．求解无约束最优化问题：n R x x f ∈),(min ，设k x 是不满足最优性条件的第k 步迭代点，则： 用最速下降法求解时，搜索方向k d =___________ 用Newton 法求解时，搜索方向k d =___________ 用共轭梯度法求解时，搜索方向k d =_______________ ____________________________________________________________。 二．（10分）简答题：试设计求解无约束优化问题的一般下降算法。 三．（25分）计算题 1． （10分）用一阶必要和充分条件求解如下无约束优化问题的最优解： )1(632)(m in 21212131----=x x x x x x x f . 2． （15分）用约束问题局部解的一阶必要条件和二阶充分条件求约束问题： 1)(. .)(min 22 2 1 2 1=-+==x x x c t s x x x f 的最优解和相应的乘子。 四． 证明题（共33分） 1．（10分）设δ++=x r Gx x x f T T 2 1 )(是正定二次函数，证明一维问题
最优化理论与方法（线性部分）思考题 1.就你学过的运筹学问题，写出能够建立线性规划模型的问题，并 举例（建立模型）。 以下四种食物1、2、3、4，依次售价为50、20、30、80，而我们人体每天需摄取至少500卡路里，6盎司巧克力，10g糖以及8g 脂肪，具体成分如下， 要求：建立一个以最小成本满足每天营养需求的线性规划模型。 模型如下： s.t.
2.举例（说明问题、建立模型）论述线性规划在交通、运输、物流 和安全管理中的应用。 答：现在物流业面临的新问题是：认定所给问题确实是一个线性规划问题；把它建立起线性数学模型；并能够完成具体实务的全部工作。第一个问题实质上是具体实务究竟满足什么条件才能应用线性规划的方法。一般地说，必须有：①一定要满足将目标表为最小化或最大化的要求；②一定要有达到目标的不同方法，且必须要有选择的可能性；③要求的目标是有限制条件的；④必须将约束条件用数学表示为线性等式或线性不等式，并将目标函数化为线性函数。运筹学中的指派问题、最短路问题，最小费用流问题可转化为运输问题或转运问题。 设某种物品有 m 个产地,各产地的产量分别 是；有 n 个销地；各销地的销量分别为 ，假定从产地（i=1，2，…，m）向销地（j=1，2，…，n）运输单位物品的运价为，若用表示从到的运输量，则在产销平衡条件下，总费用最低的数学模型为
以下是运输问题的数学模型，包含 个变量，(m+n)个约束 方程，其系数矩阵的结构比较松散，且特殊。 3. 对一个用单纯形法求解不会产生循环（且能求得最优解）的n 个变量m 个约束的线性规划问题，估算一下基本计算次数。 答：即说明约束系数矩阵为m ×n 的矩阵，且满足检验数0j σ≤，如有无穷多的最优解还有存在某个非基变量0m k σ+=。其基本计算 次数为： 4. 简述线性规划求解算法的改进历史。 答：针对一般线性规划问题的求解方法（单纯形法 → 改进单纯形法 → 对偶单纯形法），到后来特殊的线性规划问题求解算法（表上作业法） 5. 证明课本（清华版运筹学（第三版））2.5题。 证明：下面用矩阵形式将原问题表示为： （1） max 设其可行解为，其对偶问题的最优解为 。 （2） max 设其可行解为，其对偶问题的最优解为。
《最优化理论与方法》讲义 (上) 第一章绪论 1.1 学科简介 最优化这一数学分支，为这些问题的解决提供了理论基础和求解方法。最优化就是在一切可能的方案中选择一个最好的方案以达到最优目标的学科。 1.1.1 优化的含义 优化是从处理各种事物的一切可能的方案中，寻求最优的方案。 （1）来源：优化一语来自英文Optimization，其本意是寻优的过程； （2）优化过程：是寻找约束空间下给定函数取极大值（以max 表示)或极小(以min表示)的过程。 1.2 发展概况 第一阶段—人类智能优化 第二阶段—数学规划方法优化 第三阶段—工程优化 第四阶段—现代优化方法 1.3研究意义 研究意义：最优化在本质上是一门交叉学科，它对许多学科产生了重大影响，并已成为不同领域中很多工作都不可或缺的工具。 应用范围：信息工程及设计、经济规划、生产管理、交通运输、
国防工业以及科学研究等诸多领域。 总之，它是一门应用性相当广泛的学科，讨论决策的问题具有最佳选择之特性。它寻找最佳的计算方法，研究这些计算方法的理论性质及其实际计算表现。 1.4 示例 例1 资源分配问题 某工厂生产A 和B 两种产品，A 产品单位价格为A P 万元，B 产品单位价格为B P 万元。每生产一个单位A 产品需消耗煤C a 吨，电E a 度，人工L a 个人日；每生产一个单位B 产品需消耗煤C b 吨，电E b 度，人工L b 个人日。现有可利用生产资源煤C 吨，电E 度，劳动力L 个人日，欲找出其最优分配方案，使产值最大。分析：(1)产值的表达式；(2)优化变量确定：A 产品A x ，B 产品B x ；(3)优化约束条件： ①生产资源煤约束； ②生产资源电约束； ③生产资源劳动力约束。 例2 指派问题 设有四项任务1B 、2B 、3B 、4B 派四个人1A 、2A 、3A 、4A 去完成。每个人都可以承担四项任务中的任何一项，但所消耗的资金不同。设 i A 完成j B 所需资金为ij c 。如何分配任务，使总支出最少? 分析：设变量?????=任务完成不指派， 任务完成指派j j i ij B A B A x 0,1
华东理工大学工程硕士研究生《最优化方法》试卷 专业 班级 学号 姓名 成绩 2010年5月8日 一、简答题（20分，每小题5分） 1· 函数3()2710f x x x =-+在(,)-? 上有最优解吗？如果有，请说明是局部最优解还是全局最优解。 2·请给出最优化方法中下降迭代算法的一般步骤。 3·何谓下降方向？请给出一种判别方法？负梯度方向是下降最快的方向吗？为什么？ 4·何谓可行方向？在最优点处有可行下降方向吗？为什么？ 二·（15分）你学过哪些一维优化算法（一维搜索法）？请你说明它们之间的关系和特点。如果用黄金分割法求解该问题在区间[-1，1]上的最优解，要求近似精度达到0.01，那么需要迭代多少步就能找到所需要的解。 三·（10分）请用FR 共轭梯度法求解如下优化问题，只需迭代一次，并给出第二次迭代的搜索 方向，初始点 0(1,1)T x = 22212min ()23x R f x x x ?=++ 四·（20分）1、请简述共轭方向法的一般步骤，并给出你所学过的共轭方向法。 2、简述拟牛顿算法的基本步骤，说明拟牛顿算法的特点。 3、请给出你所知道的直接算法，并说明每个算法的主要思想和特点，它们之间有关系吗？ 五·（10分）试用惩罚函数法求解如下的优化问题 2..3min ()365s t x f x x x 3=-+ 六·（15分）请考虑下述线性规划问题 12 121212max ()3423..23 ,0f x x x x x s t x x x x =+ì+ ??í?+ ??3 1·请给出上述问题的基本可行解与相应顶点的对应关系。上述线性规划问题有不可行的基本解吗？如果有，请给出几何解释； 2·试求上述线性规划问题的最优解。