最优化理论与方法单纯形法

目录1．最优化的概念与分类 (2)2. 最优化问题的求解方法 (3)2.1线性规划求解 (3)2.1.1线性规划模型 (3)2.1.2线性规划求解方法 (3)2.1.3 线性规划算法未来研究方向 (3)2.2非线性规划求解 (4)2.2.1一维搜索 (4)2.2.2无约束法 (4)2.2.3约束法 (4)2.2.4凸规划 (5)2.2.5二次规划 (5)2.2.6非线性规划算法未来研究方向 (5)2.3组合规划求解方法 (5)2.3.1 整数规划 (5)2.3.2 网络流规划 (7)2.4多目标规划求解方法 (7)2.4.1 基于一个单目标问题的方法 (7)2.4.2 基于多个单目标问题的方法 (8)2.4.3多目标规划未来的研究方向 (8)2.5动态规划算法 (8)2.5.1 逆推解法 (8)2.5.2 顺推解法 (9)2.5.3 动态规划算法的优点及研究方向 (9)2.6 全局优化算法 (9)2.6.1 外逼近与割平面算法 (9)2.6.2 凹性割方法 (9)2.6.3 分支定界法 (9)2.6.4 全局优化的研究方向 (9)2.7随机规划 (9)2.7.1 期望值算法 (10)2.7.2 机会约束算法 (10)2.7.3 相关机会规划算法 (10)2.7.4 智能优化 (10)2.8 最优化软件介绍 (11)3 最优化算法在电力系统中的应用及发展趋势 (12)3.1 电力系统的安全经济调度问题 (12)3.1.1电力系统的安全经济调度问题的介绍 (12)3.1.2电力系统的安全经济调度问题优化算法的发展趋势 (12)2. 最优化问题的求解方法 最优化方法是近几十年形成的，它主要运用数学方法研究各种优化问题的优化途径及方案，为决策者提供科学决策的依据。

最优化方法的主要研究对象是各种有组织系统的管理问题及其生产经营活动。

最优化方法的目的在于针对所研究的系统，求得一个合理运用人力、物力和财力的最佳方案，发挥和提高系统的效能及效益，最终达到系统的最优目标。

最优化理论与算法习题答案最优化理论与算法习题答案最优化理论与算法是应用数学中的一个重要分支，它研究如何在给定的约束条件下，找到一个使目标函数取得最优值的解。

在实际应用中，最优化问题广泛存在于各个领域，如经济学、管理学、物理学等。

本文将回答一些与最优化理论与算法相关的习题，帮助读者更好地理解和应用这一领域的知识。

1. 什么是最优化问题？最优化问题是指在给定的约束条件下，寻找一个使目标函数取得最优值的解。

其中，目标函数是需要最大化或最小化的函数，约束条件是对解的限制条件。

最优化问题可以分为无约束最优化和有约束最优化两种情况。

2. 什么是凸优化问题？凸优化问题是指目标函数和约束条件均为凸函数的最优化问题。

凸函数具有良好的性质，例如局部最小值即为全局最小值，因此凸优化问题的求解相对容易。

常见的凸优化问题有线性规划、二次规划等。

3. 什么是拉格朗日乘子法？拉格朗日乘子法是一种求解有约束最优化问题的方法。

它通过引入拉格朗日乘子，将有约束最优化问题转化为无约束最优化问题。

具体地，对于一个有约束最优化问题，我们可以构造拉格朗日函数，然后通过求解无约束最优化问题来获得原问题的解。

4. 什么是线性规划？线性规划是一种特殊的最优化问题，其中目标函数和约束条件均为线性函数。

线性规划在实际应用中非常广泛，例如在生产计划、资源分配等方面都有重要的应用。

线性规划可以使用单纯形法等算法进行求解。

5. 什么是整数规划？整数规划是一种最优化问题，其中变量需要取整数值。

与线性规划相比，整数规划的求解更加困难，因为整数约束条件使得问题的解空间变得离散。

常见的整数规划问题有旅行商问题、装箱问题等。

6. 什么是非线性规划？非线性规划是一种最优化问题，其中目标函数或约束条件为非线性函数。

非线性规划的求解相对复杂，通常需要使用迭代算法进行求解，例如牛顿法、拟牛顿法等。

非线性规划在实际应用中非常广泛，例如在经济学、工程学等领域都有重要的应用。

7. 什么是梯度下降法？梯度下降法是一种常用的优化算法，用于求解无约束最优化问题。

单纯形法1. 什么是单纯形法单纯形法（Simplex Method）是一种数学优化方法，用于在线性规划问题中寻找最优解。

其基本思想是通过不断地在可行解空间中移动，逐步优化目标函数的值，直到找到最优解。

单纯形法是由美国数学家乔治·达内策在20世纪40年代开发的，成为线性规划问题求解的一种经典方法。

2. 单纯形法的基本原理单纯形法的基本原理是通过构造一系列的顶点组合，这些顶点组合构成了可行解空间的一个多面体，称为单纯形。

每次移动都是在单纯形的边界上进行，直到找到最优解。

2.1 线性规划问题的标准形式在使用单纯形法求解线性规划问题之前，首先需要将问题转化为标准形式。

线性规划问题的标准形式包括以下特征：•最大化目标函数或最小化目标函数•约束条件为等式或不等式•决策变量为非负数2.2 单纯形法的步骤单纯形法的求解步骤如下：1.初始化：将线性规划问题转化为标准形式，并找到初始可行解。

2.检验最优性：计算当前基可行解对应的目标函数值，判断是否达到最优解。

3.寻找进入变量：通过计算目标函数的系数与约束条件中的系数之比，找到使目标函数值最大（或最小）增长的变量。

4.寻找离开变量：从进入变量所属列中选择合适的变量离开基，使得新的基可行解依然满足约束条件。

5.更新基：将进入变量换入基，将离开变量换出基，得到新的基可行解。

6.重复步骤 2-5，直到找到最优解或判断无界。

2.3 单纯形表在单纯形法的求解过程中，通过使用单纯形表（Simplex Table）来记录每一步的计算结果和变量的取值。

单纯形表是一个矩阵，包含基变量、非基变量、目标函数系数、约束条件左边的系数等信息，方便进行计算和调整。

3. 单纯形法的优缺点3.1 优点•单纯形法是一种简单直观的求解线性规划问题的方法，容易理解和实现。

•单纯形法对于规模较小的问题，可以得到精确的最优解。

•单纯形法可以处理带有不等式约束的问题，适用范围广。

3.2 缺点•单纯形法在解决大规模问题时，计算复杂度较高，效率较低。

课程报告题目最优化理论与方法学生姓名学号院系专业二Ｏ一二年十一月十日最优化理论与方法综述最优化方法是近几十年形成的，它主要运用数学方法研究各种系统的优化途径及方案，为决策者提供科学决策的依据。

最优化方法的主要研究对象是各种管理问题及其生产经营活动。

最优化方法的目的在于针对所研究的系统，求得一个合理运用人力、物力和财力的最佳方案，发挥和提高系统的效能及效益，最终达到系统的最优目标。

实践表明，随着科学技术的日益进步和生产经营的日益发展，最优化方法已成为管理科学的重要理论基础和不可缺少的方法，被人们广泛地应用到公共管理、经济管理、工程建设、国防等各个领域，发挥着越来越重要的作用。

这就是我理解的整个课程的流程。

在这整个学习的过程当中，当然也会遇到很多的问题，不论是从理论上的还是从实际将算法编写出程序来解决一些问题。

下面给出学习该课程的必要性及结合老师讲解以及在作业过程中遇到的问题来阐述自己对该课程的理解。

20世纪40年代以来，由于生产和科学研究突飞猛进地发展，特别是电子计算机日益广泛应用，使最优化问题的研究不仅成为一种迫切需要，而且有了求解的有力工具。

因此最优化理论和算法迅速发展起来，形成一个新的学科。

至今已出现线性规划、整数规划、非线性规划、几何规划、动态规划、随机规划、网络流等许多分文。

最优化理论与算法包括线性规划单纯形方法、对偶理论、灵敏度分析、运输问题、内点算法、非线性规划K-T条件、无约束最优化方法、约束最优化方法、参数线性规划、运输问题、线性规划路径跟踪法、信赖域方法、二次规划路径跟踪法、整数规划和动态规划等内容。

最优化理论所研究的问题是讨论在众多的方案中什么样的方案最优以及怎样找出最优方案。

这类问题普遍存在。

例如，工程设计中怎样选择设计参数，使得设计方案满足设计要求，又能降低成本；资源分配中，怎样分配有限资源，使得分配方案既能满足各方面的基本要求，又能获得好的经济效益；生产评价安排中，选择怎样的计划方案才能提高产值和利润；原料配比问题中，怎样确定各种成分的比例，才能提高质量，降低成本；城建规划中，怎样安排基本单位的合理布局，才能方便群众，有利于城市各行各业的发展；农田规划中，怎样安排各种农作物的合理布局，才能保持高产稳产，发挥地区优势；军事指挥中，怎样确定最佳作战方案，才能有效地消灭敌人，保存自己，有利于战争的全局；在人类活动的各个领域中，诸如此类，不胜枚举。

无约束优化算法：单纯形法第一篇：无约束优化算法：单纯形法单纯形法1.算法原理单纯形法的基本思想是：设x,x,...,x(0)(1)(n)是Rn中的n+1个点，构成一个当前的单纯形，xmax,xmin定义如下：f(xmax)=max{f(x(0)),f(x(1)),...,f(x(n))}f(xmin)=min{f(x(0)),f(x(1)),...,f(x(n))}记x为这个单纯形除去xmax外的所有顶点的形心，1⎛n(i)⎫x=∑x-xmax⎪n⎝i=0⎭取xmax关于x的反射点x(n+1)，x(n+1)=x+(x-xmax)构成新的单纯形，反复上述过程，直到达到停止条件。

2.函数fminsearch1）函数语法x=fminsearch(fun,x0)x=fminsearch(fun,x0,options)[x,fval]=fminsearch(...)[x,fval,exit flag]=fminsearch(...)[x,fval,exitflag,output]=fminsearch(...)函数输入：fun：目标函数x0：迭代初始点options：函数参数设置函数输出： x：最优点fval：最优点对应的函数值 exitflag：函数停止信息1：函数收敛正常停止0：迭代次数，目标函数计算次数达到最大数-1：算法被输出函数停止 output：函数运算信息 2）函数使用（1）目标函数程序BanaFun.mfunctionf=BanaFun(x)(不含导数解析式)f=100*(x(2)-x(1)^2)^2+(1-x(1))^2Nelder-MeadSimplex函数不需要导数信息。

（2）算法参数设置：SimplexUnc.moptions=optimset('LargeScale','off','gradobj','off','MaxFunEv als',250,'display','iter')（3）函数调用运算：SimplexUnc.moptions=optimset('LargeScale','off','gradobj','on','MaxFunEva ls',250,'display','iter')x=[-1.9,2][x,fval,exitflag,output]=fminsearch(@BanaFun,x,options)3）计算结果IterationFunc-countmin f(x)Procedure267.62236.42initial simplex67.2672expand12.2776expand12.2776reflect12.2776contract inside6.76772contract inside6.76772reflectcontract inside 6.76772 contract outside 6.62983 contract inside 6.55249 contract inside 6.46084 contract inside 6.46084 reflect6.46084 contract inside 6.45544 contract outside 6.42801 expand6.40994 expand6.32449 expand6.28548 expand6.00458 expand6.00458 reflect5.43287 expandreflect4.63434 expand4.63434 reflect4.63434 contract inside 4.63434 contract outside 4.31027 expand4.31027 contract inside 4.00991 expand4.00991 reflect1121141151171191203.556643.556643.234383.234382.95152.828782.544532.436152.343582.281292.214732.086272.086271.866771.866771.804241.584321.584321.271281.271281.056731.056730.8167080.8167080.8167080.7605750.6010090.6010090.5164770.5164770.5164770.4163160.4163160.416316expand reflect reflectcontract inside expand reflect reflectcontract outside reflect reflect reflect reflect reflect reflect reflectcontract inside reflect expand reflect expand reflect reflect contract inside expandcontract inside contract inside reflect expandcontract inside reflectcontract inside reflect expandcontract inside reflect1220.345716reflect1240.345716contract inside1260.285909expand1280.281068reflect1300.22878reflect1320.22878contract inside1340.203104expand0.148 expand 1380.0999997 expand 1401411431451471481501521541561581601611631651661681701721741761781801821851871891911931951971992012030.0999997 0.0999997 0.0217142 0.0217142 0.0217142 0.0217142 0.0217142 0.0217142 0.0191193 0.00610404 0.00610404 0.00261955 0.00261955 0.000256151 0.000256151 0.000256151 0.000256151 0.00020711 0.000103572.09236e-0052.09236e-0051.80497e-0061.80497e-0061.80497e-0061.80497e-0061.80497e-0063.74217e-0073.74217e-0073.26526e-0078.07652e-0081.66554e-0081.66554e-0081.66554e-0085.57089e-0091.86825e-009contract inside reflect expandcontract inside contract inside reflectcontract inside contract inside reflect expandcontract outside reflect reflect reflectcontract inside reflectcontract inside contract inside contract inside contract inside contract inside reflectcontract inside contract inside contract inside reflectcontract inside contract inside contract inside contract inside contract inside contract inside contract inside contract outside contract inside2051.86825e-009contract outside1122075.53435e-010contract inside1132085.53435e-010reflect1142104.06855e-010contract insideOptimization terminated: the current x satisfies the termination criteria using OPTIONS.T olX of 1.000000e-004 and F(X)satisfies the convergence criteria using OPTIONS.TolFun of 1.000000e-004x =1.00001.0000fval =4.0686e-010exitflag =output =iterations: 114funcCount: 210algorithm: 'Nelder-Mead simplex direct search'message: [1x196 char]第二篇：无约束最优化方法可变单纯形算法(simplex)Nelder-Mead 无约束最优化方法可变单纯形法（simplex）Nelder-Mead可爱的馒头本程序是用Ｃ＋＋编写的，从编写的算例来看，应该是没有问题的。

最优化理论与方法（线性部分）思考题1.就你学过的运筹学问题，写出能够建立线性规划模型的问题，并举例（建立模型）。

工厂生产利润最大化问题2.举例（说明问题、建立模型）论述线性规划在交通、运输、物流和安全管理中的应用。

3.对一个用单纯形法求解不会产生循环（且能求得最优解）的n个变量m个约束的线性规划问题，估算一下基本计算次数。

4.简述线性规划求解算法的改进历史。

5.证明课本（清华版运筹学（第三版））2.5题。

6.有人说：“原问题有多重解（多个最优解），对偶问题一定也有多重解”，此话是否正确？请举一算例。

7.D-W分解算法适合哪种类型的线性规划问题？请举一算例。

8.何谓“原始-对偶”单纯形法？请举一算例。

9.何谓有界变量的线性规划问题？如何求解？请举一算例。

10.何谓线性规划的逆问题，分别对“最优解的逆线性规划问题”和“对目标函数值的线性规划逆最优值问题”举出算例。

11.对同一优化问题，是否存在决策变量一样但所建模型不一样的情况？请举例；是否存在目标函数中没有决策变量的最优化问题？12.简述建立线性多目标规划的过程，自选一个实际问题，建立模型并用图解法和单纯形法求解。

要求每个人所举例题都不一样，否则视为抄袭！最优化理论与方法（线性部分）思考题1.解：以工厂生产利润最大化问题：某工厂生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，已知有关数据见下表。

试求获利最大的生产方案。

设、分别代表Ⅰ、Ⅱ两种产品生产量，其线性规划模型表述为：max 102.解：以管理(指派)问题：有一份中文说明书，需翻译为日、英、德、法四种文字，分别记作A、B、C、D、现有甲乙丙丁四人，他们将中文说明书翻译成不同语种的说明书所需要的时间如下表所示。

问应指派何人去完成何种工作，使所需总时间最少？()表示指派第i人去完成j项任务的时间，引入，其取值只能使0和1。

并另取1时表示指派第i个人去完成第j项工作；取0时表示不指派第i个人去完成第j项工作。

当问题要求极小化时的数学模型是：s.t或3. 对一个用单纯形法求解不会产生循环（且能求得最优解）的n个变量m个约束的线性规划问题，估算一下基本计算次数。