2018-2019学年福建省漳州市九年级（上）期末数学试卷一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分.每小题只有一个正确的选项）1．方程x（x﹣1）＝0的根是（）A．0B．1C．0或1D．无解2．用配方法解一元二次方程x2+4x+1＝0，下列变形正确的是（）A．（x﹣2）2﹣3＝0B．（x+4）2＝15C．（x+2）2＝15D．（x+2）2＝33．下列选项中，矩形具有的性质是（）A．四边相等B．对角线互相垂直C．对角线相等D．每条对角线平分一组对角4．如图，直线l1∥l2∥l3，AB＝3，BC＝6，DE＝2，则EF的长是（）A．4B．5C．6D．75．抛物线y＝（x﹣1）2+2的对称轴为（）A．直线x＝1B．直线x＝﹣1C．直线x＝2D．直线x＝﹣26．如图，过反比例函数y＝（x＜0）图象上的一点A作AB⊥x轴于点B，连接AO，若S＝2，△AOB 则k的值是（）A．2B．﹣2C．4D．﹣47．抛物线y＝3x2向左平移1个单位，再向上平移2个单位，所得到的抛物线是（）A．y＝3（x﹣1）2﹣2B．y＝3（x+1）2﹣2C．y＝3（x+1）2+2D．y＝3（x﹣1）2+28．如图，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD与CE交于点O，AB＝4，AC＝3，下列结论正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝9．若点A（m2，y1），B（m2+2，y2）在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2的大小关系是（）A．y1＞y2B．y1＝y2C．y1＜y2D．不能确定10．如图，△ABC∽△ADE，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB与DE交于点O，AB＝4，AC＝3，F是DE的中点，连接BD，BF，若点E是射线CB上的动点，下列结论：①△AOD∽△FOB，②△BOD∽△EOA，③∠FDB+∠FBE＝90°，④BF＝AE，其中正确的是（）A．①②B．③④C．②③D．②③④二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分.请将答案填入答题卡的相应横线上）11．若x＝1是方程x2+kx﹣4＝0的一个根，则k的值是．12．在菱形ABCD中，对角线AC＝2，BD＝4，则菱形ABCD的周长是．13．若＝，则＝．14．如图，由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，先以点O为位似中心，将线段AB放大为原来的2倍，得到线段A1B1（点A，B的对应点分别为A1，B1），再将线段A1B1绕点B1逆时针旋转90°得到线段A2B1，则四边形AA1B1A2的面积是个平方单位．15．函数y＝﹣x2+1，当﹣1≤x≤2时，函数y的最小值是．16．如图，Rt△ABC的直角边BC在x轴负半轴上，斜边AC上的中线BD的反向延长线交y轴负半轴于点E，反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象过点A，则△BEC的面积是．三、解答题（共9题，满分86分.请在答题卡的相应位置作答）17．（8分）用配方法解方程：2x2+4x﹣1＝0．18．（8分）如图，四边形ABCD为正方形，E是BC的延长线上的一点，且AC＝CE，求∠DAE的度数．19．（8分）如图，已知A（m，2），B（2，n）是一次函数y＝﹣x+1的图象与反比例函数y＝（k ≠0）图象的两个交点．（1）求反比例函数的解析式；（2）根据图象，请直接写出关于x的不等式﹣x+1＜的解集．20．（8分）求证：相似三角形对应角的角平分线之比等于相似比．要求：①分别在给出的△ABC与△DEF中用尺规作出一组对应角的平分线，不写作法，保留作图痕迹；②在完成作图的基础上，写出已知、求证，并加以证明．21．（8分）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有邑方不知大小，各开中门，出北门三十步有木，出西门七百五十步见木，问：邑方几何？”．其大意是：如图，一座正方形城池，A为北门中点，从点A往正北方向走30步到B出有一树木，C为西门中点，从点C往正西方向走750步到D处正好看到B处的树木，求正方形城池的边长．22．（10分）已知：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中的x和y满足下表：（1）观察上表可求得m的值为；（2）试求出这个二次函数的解析式；（3）若点A（n+2，y1），B（n，y2）在该抛物线上，且y1＞y2，请直接写出n的取值范围．23．（10分）阳光市场某个体商户购进某种电子产品，每个进价50元．调查发现，当售价为80元时，平均一周可卖出160个，而当每售价每降低2元时，平均一周可多卖出20个．若设每个电子产品降价x元，（1）根据题意，填表：（2）若商户计划每周盈利5200元，且尽量减少库存，则每个电子产品应降价多少元？24．（12分）如图，把矩形ABCD沿AC折叠，使点D与点E重合，AE交BC于点F，过点E作EG∥CD交AC于点G，交CF于点H，连接DG．（1）求证：四边形ECDG是菱形；（2）若DG＝6，AG＝，求EH的值．25．（14分）已知：抛物线y＝mx2+（m﹣2）x﹣2m+2（m≠0）．（1）求证：抛物线与x轴有交点；（2）若抛物线与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），点A在点B的右侧，且x1+2x2＝1．①求m的值；②点P在抛物线上，点G（n，﹣n﹣），求PG的最小值．2018-2019学年福建省漳州市九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分.每小题只有一个正确的选项）1．方程x（x﹣1）＝0的根是（）A．0B．1C．0或1D．无解【分析】解一元二次方程时，需要把二次方程化为两个一元一次方程，此题可化为：x＝0或x﹣1＝0，解此两个一次方程即可．【解答】解：∵x（x﹣1）＝0∴x＝0或x﹣1＝0∴x1＝0，x2＝1．故选：C．【点评】此题虽不难，但是告诉了学生求解的一个方法，高次的要化为低次的，多元得要化为一元的．2．用配方法解一元二次方程x2+4x+1＝0，下列变形正确的是（）A．（x﹣2）2﹣3＝0B．（x+4）2＝15C．（x+2）2＝15D．（x+2）2＝3【分析】移项，配方，即可得出选项．【解答】解：x2+4x+1＝0，x2+4x＝﹣1，x2+4x+4＝﹣1+4，（x+2）2＝3，故选：D．【点评】本题考查了解一元二次方程，能正确配方是解此题的关键．3．下列选项中，矩形具有的性质是（）A．四边相等B．对角线互相垂直C．对角线相等D．每条对角线平分一组对角【分析】根据矩形的性质可判断．【解答】解：∵矩形的对边平行且相等，对角线互相平分且相等，∴选项C正确故选：C．【点评】本题考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是本题的关键．4．如图，直线l1∥l2∥l3，AB＝3，BC＝6，DE＝2，则EF的长是（）A．4B．5C．6D．7【分析】已知直线l1∥l2∥l3，根据平行线分线段成比例定理，可得到一个含有EF与已知线段的比例式，从而可求得EF的长．【解答】解：∵l1∥l2∥l3，∴＝，∵AB＝3，BC＝6，DE＝2，∴EF＝4．故选：A．【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解题的关键．5．抛物线y＝（x﹣1）2+2的对称轴为（）A．直线x＝1B．直线x＝﹣1C．直线x＝2D．直线x＝﹣2【分析】由抛物线解析式可求得答案．【解答】解：∵y＝（x﹣1）2+2，∴对称轴为直线x＝1，故选：A．【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y＝a（x﹣h）2+k中，对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，k）．6．如图，过反比例函数y＝（x＜0）图象上的一点A作AB⊥x轴于点B，连接AO，若S＝2，△AOB则k的值是（）A．2B．﹣2C．4D．﹣4【分析】根据反比例函数系数k的几何意义解答．＝2，【解答】解：∵S△AOB∴|k|＝2，∴k＝±4，由图可知，反比例函数图象位于第二四象限，所以，k＜0，∴k＝﹣4．故选：D．【点评】本题主要考查了反比例函数y＝中k的几何意义，即图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S＝|k|．7．抛物线y＝3x2向左平移1个单位，再向上平移2个单位，所得到的抛物线是（）A．y＝3（x﹣1）2﹣2B．y＝3（x+1）2﹣2C．y＝3（x+1）2+2D．y＝3（x﹣1）2+2【分析】根据题意得新抛物线的顶点（﹣1，2），根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可设新抛物线的解析式为：y＝3（x﹣h）2+k，再把（﹣1，2）点代入即可得新抛物线的解析式．【解答】解：原抛物线的顶点为（0，0），向左平移1个单位，再向上平移2个单位，那么新抛物线的顶点为（﹣1，2），可得新抛物线的解析式为：y＝3（x+1）2+2，故选：C．【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标．8．如图，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD与CE交于点O，AB＝4，AC＝3，下列结论正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝【分析】由题意可得△AEC∽△ADB，△BOE∽△COD，根据相似三角形的性质可判断各个选项是否正确．【解答】解：∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠AEC＝∠ADB＝90°，且∠A＝∠A，∴△AEC∽△ADB∴，＝，＝故选项A，C，D错误，∵∠BEO＝∠CDO，∠BOE＝∠COD，∴△BOE∽△COD∴故选：B．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练运用相似三角形的性质是本题的关键．9．若点A（m2，y1），B（m2+2，y2）在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2的大小关系是（）A．y1＞y2B．y1＝y2C．y1＜y2D．不能确定【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据各点横坐标的大小进行解答即可．【解答】解：∵4＞0，∴反比例函数的图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小．∵点A（m2，y1），B（m2+2，y2）都在第一象限．∵m2＜m2+2，∴y1＞y2．故选：A．【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．10．如图，△ABC∽△ADE，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB与DE交于点O，AB＝4，AC＝3，F是DE的中点，连接BD，BF，若点E是射线CB上的动点，下列结论：①△AOD∽△FOB，②△BOD∽△EOA，③∠FDB+∠FBE＝90°，④BF＝AE，其中正确的是（）A．①②B．③④C．②③D．②③④【分析】首先证明△AOD∽△EOB，推出△BOD∽△EOA，再证明∠DBE＝90°，可得②③正确，利用直角三角形斜边中线的性质即可判断④正确．【解答】解：∵△ABC∽△ADE，∴∠ADO＝∠OBE，∵∠AOD＝∠BOE，∴△AOD∽△EOB，∴＝，∴＝，∵∠BOD＝∠AOE，∴△BOD∽△EOA，故②正确，∵△AOD∽△EOB，△BOD∽△EOA，∴∠ADO＝∠EBO，∠AEO＝∠DBO，∵∠ADO+∠AEO＝90°，∴∠DBE＝∠DBO+∠EBO＝90°，∵DF＝EF，∴FD＝FB＝FE，∴∠FDB＝∠FBD，∴∠FDB+∠FBE＝∠FBD+∠FBE＝90°，故③正确，在Rt△ABC中，∵AB＝4，AC＝3，∴BC＝＝5，∵△ABC∽△ADE，∴＝＝，∵BF＝DE，∴＝，∴BF＝AE，故④正确，∵∠ADO＝∠OBE，∴∠ADO≠∠OBF，∴无法判断△AOD∽△FOB，故②错误．故选：D．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分.请将答案填入答题卡的相应横线上）11．若x＝1是方程x2+kx﹣4＝0的一个根，则k的值是3．【分析】将x＝1代入方程x2+kx﹣4＝0求解可得．【解答】解：将x＝1代入方程x2+kx﹣4＝0，得：1+k﹣4＝0，解得k＝3，故答案为：3．【点评】本题主要考查一元二次方程的解，解题的关键是掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．12．在菱形ABCD中，对角线AC＝2，BD＝4，则菱形ABCD的周长是4．【分析】利用菱形的性质和勾股定理解答即可．【解答】解：∵菱形ABCD中，对角线AC＝2，BD＝4，∴AD＝，∴菱形ABCD的周长是4，故答案为：4【点评】本题主要考查解直角三角形和菱形的性质的知识点，解答本题的关键是掌握菱形的对角线垂直平分．13．若＝，则＝4．【分析】设＝＝k（k≠0），利用比例的性质求得a、b的值，然后代入分式并约分即可．【解答】解：设＝＝k（k≠0），则a＝2k，b＝3k，所以＝＝4．故答案是：4．【点评】本题考查了比例的性质，解题时需要运用“内项之积等于外项之积”这一性质．14．如图，由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，先以点O为位似中心，将线段AB放大为原来的2倍，得到线段A1B1（点A，B的对应点分别为A1，B1），再将线段A1B1绕点B1逆时针旋转90°得到线段A2B1，则四边形AA1B1A2的面积是20个平方单位．【分析】以点O为位似中心，将线段AB放大为原来的2倍，即可画出线段A1B1；将线段A1B1绕点B1逆时针旋转90°得到线段A2B1，即可画出线段A2B1；连接AA2，即可得到四边形AA1B1A2为正方形，进而得出其面积．【解答】解：如图所示，线段A1B1即为所求；如图所示，线段A2B1即为所求；由图可得，四边形AA1B1A2为正方形，∴四边形AA1B1A2的面积是（）2＝（）2＝20．故答案为：20．【点评】此题主要考查了位似变换以及旋转的性质以及勾股定理等知识的运用，利用相似变换的性质得出对应点的位置是解题关键．15．函数y＝﹣x2+1，当﹣1≤x≤2时，函数y的最小值是﹣3．【分析】分别求出x＝﹣1和x＝2时的函数值即可得．【解答】解：∵﹣1＜0，∴当x＞0时，y随x的增大而减小，∵当x＝﹣1时，y＝﹣1+1＝0；当x＝2时，y＝﹣4+1＝﹣3，∴函数y的最小值为﹣3，故答案为：﹣3．【点评】本题主要考查二次函数的最值，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质．16．如图，Rt △ABC 的直角边BC 在x 轴负半轴上，斜边AC 上的中线BD 的反向延长线交y 轴负半轴于点E ，反比例函数y ＝﹣（x ＜0）的图象过点A ，则△BEC 的面积是．【分析】连接AE ，OA ，如图，根据三角形面积公式，利用D 为AC 的中点得到S △AED ＝S △CED ，S △ABD ＝S △CBD ，求它们的差得到S △BCE ＝S △ABE ，利用反比例函数k 的几何意义得到S △ABE ＝S △AOB＝×|﹣2|＝1，从而得到△BEC 的面积． 【解答】解：连接AE ，OA ，如图， ∵D 为AC 的中点，∴S △AED ＝S △CED ，S △ABD ＝S △CBD ， ∴S △BCE ＝S △ABE ，∵S △ABE ＝S △AOB ＝×|﹣2|＝1， ∴△BEC 的面积为1． 故答案为1．【点评】本题考查了反比例函数k 的几何意义：例函数y ＝图象中任取一点，过这一个点向x 轴和y 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k |．也考查了反比例函数图象上点的坐标特征．三、解答题（共9题，满分86分.请在答题卡的相应位置作答） 17．（8分）用配方法解方程：2x 2+4x ﹣1＝0．【分析】首先把方程的二次项系数化为1，移项，然后在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，左边就是完全平方式，右边就是常数，然后利用平方根的定义即可求解．【解答】解：原方程变形为2x2+4x＝1即x2+2x＝∴x2+2x+1＝1+即（x+1）2＝∴∴，．【点评】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．18．（8分）如图，四边形ABCD为正方形，E是BC的延长线上的一点，且AC＝CE，求∠DAE的度数．【分析】根据正方形的对角线平分一组对角可得∠DAC＝∠ACB＝45°，再根据等边对等角可得∠E＝∠EAC，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠EAC，再根据∠DAE＝∠DAC﹣∠EAC代入数据进行计算即可得解．【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，∴∠DAC＝∠ACB＝45°，∵AC＝CE，∴∠E＝∠EAC，∵2∠EAC＝∠E+∠EAC＝∠ACB＝45°，∴∠EAC＝22.5°，∴∠DAE＝∠DAC﹣∠EAC＝45°﹣22.5°＝22.5°．【点评】本题考查了正方形的性质，主要利用了正方形的对角线平分一组对角，等边对等角的性质，三角形的外角性质，是基础题，熟记各性质是解题的关键．19．（8分）如图，已知A（m，2），B（2，n）是一次函数y＝﹣x+1的图象与反比例函数y＝（k ≠0）图象的两个交点．（1）求反比例函数的解析式；（2）根据图象，请直接写出关于x的不等式﹣x+1＜的解集．【分析】（1）把点A的坐标代入一次函数解析式求得m的值，然后将点A的坐标代入反比例函数解析式求得k的值即可；（2）根据函数图象可以直接得到答案．【解答】解：（1）∵A（m，2）在一次函数y＝﹣x+1的图象上，∴m＝﹣1．∴A（﹣1，2）．∵A（﹣1，2）在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，∴k＝﹣2．∴反比例函数的表达式为y＝﹣．（2）由图象知，当﹣x+1＜时，﹣1＜x＜0或x＞2．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．用待定系数法确定函数的解析式，是常用的一种解题方法．同学们要熟练掌握这种方法．20．（8分）求证：相似三角形对应角的角平分线之比等于相似比．要求：①分别在给出的△ABC与△DEF中用尺规作出一组对应角的平分线，不写作法，保留作图痕迹；②在完成作图的基础上，写出已知、求证，并加以证明．【分析】①根据题意画出图形即可；②根据画出的图形，写出已知，求证，然后根据相似三角形对应角相等可得∠B＝∠B1，∠BAC＝∠B1A1C1，再根据角平分线的定义求出∠BAD＝∠B1A1D1，然后利用两组角对应相等两三角形相似，根据相似三角形对应边成比例列式证明即可．【解答】解：①如图所示，AG，DH分别是∠BAC与∠EDF的角平分线；②已知：如图，△ABC∽△DEF，＝＝＝k，AG，DH分别是∠BAC与∠EDF的角平分线．求证：；证明：∵AG，DH分别是△ABC与△DEF的角平分线，∴∠BAG＝∠BAC，∠EDH＝∠EDF，∵△ABC∽△DEF，∴∠BAC＝∠EDF，∠B＝∠E，∴∠BAG＝∠EDH，∴△ABGC∽△DEH，∴＝＝k．【点评】本题考查了相似三角形的性质与判定，主要利用了相似三角形对应角相等的性质，相似三角形对应边成比例的性质，以及两组角对应相等两三角形相似的判定方法，要注意文字叙述性命题的证明格式．21．（8分）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有邑方不知大小，各开中门，出北门三十步有木，出西门七百五十步见木，问：邑方几何？”．其大意是：如图，一座正方形城池，A为北门中点，从点A往正北方向走30步到B出有一树木，C为西门中点，从点C往正西方向走750步到D处正好看到B处的树木，求正方形城池的边长．【分析】根据题意，可知Rt△ABE∽Rt△CED，从而可以得到对应边的比相等，从而可以求得正方形城池的边长．【解答】解：设正方形城池的边长为x步，由题意可得，Rt△ABE∽Rt△CED，∴，即，解得，x1＝300，x2＝﹣300（不合题意，舍去），答：正方形城池的边长为300步．【点评】本题考查相似三角形的应用、数学常识、正方形的性质，解答本题的关键是明确题意．利用相似三角形的性质和数形结合的思想解答．22．（10分）已知：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中的x和y满足下表：（1）观察上表可求得m的值为3；（2）试求出这个二次函数的解析式；（3）若点A（n+2，y1），B（n，y2）在该抛物线上，且y1＞y2，请直接写出n的取值范围．【分析】（1）由表格知x＝3和x＝﹣1时函数值相等；（2）利用待定系数法求解可得；（3）根据二次函数的图象和性质求解可得．【解答】解：（1）观察上表可求得m的值为3，故答案为：3；（2）由表格可得，二次函数y＝ax2+bx+c顶点坐标是（1，﹣1），∴y＝a（x﹣1）2﹣1，又当x＝0时，y＝0，∴a＝1，∴这个二次函数的解析式为y＝（x﹣1）2﹣1；（3）∵点A（n+2，y1），B（n，y2）在该抛物线上，且y1＞y2，∴n＞0．【点评】本题主要考查待定系数法求函数解析式，在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．23．（10分）阳光市场某个体商户购进某种电子产品，每个进价50元．调查发现，当售价为80元时，平均一周可卖出160个，而当每售价每降低2元时，平均一周可多卖出20个．若设每个电子产品降价x元，（1）根据题意，填表：（2）若商户计划每周盈利5200元，且尽量减少库存，则每个电子产品应降价多少元？【分析】（1）根据题意列出代数式即可；（2）根据销量×每个的利润＝盈利列方程即可得到结论．【解答】解：（1））故答案为：80﹣x，30﹣x，160+10x，（80﹣50﹣x）（160+20×）；（2）根据题意得，（80﹣50﹣x）（160+20×）＝5200，解得x1＝10，x2＝4（不合题意舍去），答：每个电子产品应降价10元．【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，正确利用销量×每个的利润＝盈利得出方程是解题的关键．24．（12分）如图，把矩形ABCD沿AC折叠，使点D与点E重合，AE交BC于点F，过点E作EG∥CD交AC于点G，交CF于点H，连接DG．（1）求证：四边形ECDG是菱形；（2）若DG＝6，AG＝，求EH的值．【分析】（1）根据折叠的性质，邻边相等的平行四边形为菱形证得结论；（2）如图，连接ED交AC于点O，构造相似三角形△DCO∽△ACD，由该相似三角形的对应边成比例求得DC2＝OC•AC，可求AC的长，GC的长，通过证明△ADC∽△CHG可得GH的长，即可求EH的值．【解答】解：（1）由折叠可知DC＝EC，∠DCG＝∠ECG．∵EG∥CD，∴∠DCG＝∠EGC，∴∠EGC＝∠ECG，∴EG＝EC，∴EG＝DC，且EG∥CD∴四边形ECDG是平行四边形．∵EG＝EC，∴平行四边形ECDG是菱形（2）如图，连接ED交AC于点O，∵四边形ECDG是菱形，∴ED⊥AC，，CD＝GE＝6＝DG，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，∴△DCO∽△ACD，∴，∴DC2＝OC•AC，设OC＝x，则CG＝2x，AC＝2x+，∴36＝x（2x+），解得（不合题意，舍去）∴，∵EG∥CD，CD⊥BC，∴EG⊥BC，∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，且∠GHC＝∠ADC＝90°∴△ADC∽△CHG∴∴GH ＝∵EH ＝EG ﹣GH∴EH ＝6﹣＝【点评】本题考查了翻折变换，矩形的性质，菱形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键．25．（14分）已知：抛物线y ＝mx 2+（m ﹣2）x ﹣2m +2（m ≠0）．（1）求证：抛物线与x 轴有交点；（2）若抛物线与x 轴交于点A （x 1，0），B （x 2，0），点A 在点B 的右侧，且x 1+2x 2＝1． ①求m 的值；②点P 在抛物线上，点G （n ，﹣ n ﹣），求PG 的最小值．【分析】（1）计算判别式的值得到△＝（3m ﹣2）2，利用非负数的性质得到△≥0，然后根据判别式的意义得到结论；（2）①解方程mx 2+（m ﹣2）x ﹣2m +2＝0，得出x ＝1或x ＝．由点A 在点B 的右侧，得到x 1＞x 2．分x 1＝1，x 2＝与x 1＝，x 2＝1两种情况分别代入x 1+2x 2＝1，求出m 的值即可；②当m ＝1时，抛物线解析式为y ＝x 2﹣x ，由点G 坐标可知G 点在直线y ＝﹣x ﹣上．假设平行于直线y ＝﹣x ﹣的直线l 的关系式为y ＝﹣x +b ，根据直线l 与抛物线y ＝x 2﹣x 只有一个交点求出b ＝﹣．得到P （﹣，），利用两点间的距离公式求出PG 2＝n 2+n +，然后根据二次函数的性质即可求解．【解答】（1）证明：当y ＝0时，mx 2+（m ﹣2）x ﹣2m +2＝0，∵△＝（m ﹣2）2﹣4m （﹣2m +2）＝（3m ﹣2）2≥0，∴抛物线y ＝mx 2+（m ﹣2）x ﹣2m +2与x 轴有交点；（2）①当y ＝0时，mx 2+（m ﹣2）x ﹣2m +2＝0，解得x ＝1或x ＝．∵点A 在点B 的右侧，∴x 1＞x 2．∵x 1+2x 2＝1，∴当x 1＝1，x 2＝时，1+2×＝1，解得m ＝1．此时x 1＝1，x 2＝0，满足x 1＞x 2，故m ＝1符合题意；当x 1＝，x 2＝1时， +2×1＝1，解得m ＝2．此时x 1＝﹣2，x 2＝1，与x 1＞x 2矛盾，故m ＝2不符合题意．∴m ＝1；②当m ＝1时，抛物线解析式为y ＝x 2﹣x ，∵点G （n ，﹣ n ﹣），∴点G 在直线y ＝﹣x ﹣上．假设平行于直线y ＝﹣x ﹣的直线l 的关系式为y ＝﹣x +b ， 与抛物线y ＝x 2﹣x 只有一个交点C ，则此时方程x 2﹣x ＝﹣x +b 的△＝0，解得b ＝﹣．∴x 2﹣x ＝﹣x ﹣， 解得x 1＝x 2＝﹣．把x ＝﹣代入y ＝x 2﹣x 得y ＝，∴P （﹣，），∴PG 2＝（n +）2+（﹣n ﹣﹣）2＝n 2+n +，∵＞0，∴PG 2的最小值＝，∴PG 的最小值＝． 【点评】本题考查了抛物线与x 轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质；要求学生会利用判别式判断抛物线与x 轴的交点个数；记住两点间的距离公式．。
高中数学招生试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 若a, b, c是三角形的三边长，且满足a^2 + b^2 = c^2，那么这个三角形是：A. 直角三角形B. 钝角三角形C. 锐角三角形D. 不能确定2. 函数f(x) = 3x^2 - 2x + 1在x=1处的导数是：A. 4B. 6C. 8D. 103. 下列哪个数是无理数？A. 根号2B. πC. 0.33333（无限循环小数）D. 1/34. 已知集合A={1, 2, 3}，B={2, 3, 4}，求A∪B的结果是：A. {1, 2, 3}B. {2, 3}C. {1, 2, 3, 4}D. {1, 4}5. 若sinθ + cosθ = 1，且θ∈[0, π]，则θ的值为：A. 0B. π/4C. π/2D. π6. 已知等差数列的首项a1=2，公差d=3，第5项a5的值是：A. 17B. 14C. 11D. 87. 抛物线y = x^2 - 4x + 4的顶点坐标是：A. (2, 0)B. (2, 4)C. (-2, 0)D. (-2, 4)8. 函数y = log2(x)的定义域是：A. (0, +∞)B. (-∞, 0)C. (-∞, +∞)D. [0, +∞)9. 已知向量a = (3, 4)，b = (-1, 2)，向量a在向量b上的投影是：A. 5/3B. 5C. 2D. 310. 圆的方程为(x-2)^2 + (y-3)^2 = 9，圆心坐标是：A. (2, 3)B. (-2, 3)C. (2, -3)D. (-2, -3)二、填空题（每题4分，共20分）11. 若二次方程x^2 - 5x + 6 = 0的根为r和s，则r + s =_______。
12. 已知数列1, 1/2, 1/4, 1/8, ...的通项公式为a_n = _______。
13. 函数y = sinx在区间[-π/2, π/2]上的最大值是_______。
高中自招试题真题及答案一、选择题1. 根据题目所给的数学公式 \( y = ax^2 + bx + c \)，下列哪个选项是二次函数的一般形式？A. \( y = ax + b \)B. \( y = ax^2 + b \)C. \( y = ax^2 + bx + c \)D. \( y = ax^2 \)答案：C2. 以下哪个选项是英语中的现在进行时态的构成？A. 动词原形B. 动词的过去式C. 动词的过去分词D. 动词的现在分词答案：D3. 在化学中，下列哪个元素的原子序数是1？A. 氢（H）B. 氧（O）C. 碳（C）D. 氮（N）答案：A二、填空题1. 请写出牛顿第二定律的表达式：\( \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\)。
答案：\( F = ma \)2. 根据题目所给的物理公式 \( P = \frac{W}{t} \)，其中 \( P \) 代表功率，\( W \) 代表功，\( t \) 代表时间，请填空：功率是功与时间的\( \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\)。
答案：比值三、简答题1. 请简述什么是光的折射现象，并举例说明。
答案：光的折射现象是指光从一种介质进入另一种介质时，光线的传播方向发生改变的现象。
例如，当光从空气进入水中时，光线会向水的法线方向偏折，这就是折射现象。
在日常生活中，我们可以看到水中的物体位置与实际位置不同，这就是因为光的折射造成的。
四、计算题1. 已知一个物体从静止开始以匀加速直线运动，加速度为2m/s²，经过4秒后，求物体的位移。
答案：根据匀加速直线运动的位移公式 \( s = ut +\frac{1}{2}at^2 \)，其中 \( u \) 为初速度，\( a \) 为加速度，\( t \) 为时间。
由于物体从静止开始，所以 \( u = 0 \)。
代入数据 \( a = 2 \) m/s²，\( t = 4 \) s，得到 \( s = 0 \times 4 +\frac{1}{2} \times 2 \times 4^2 = 16 \) m。
绝密★启用前福建省2018年初中学业毕业和高中阶段学校招生考试（B 卷）数 学（本试卷满分150分，考试时间120分钟）第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.在实数3-,2-,0,π中,最小的数是 ( )A .3-B .2-C .0D .π2.某几何体的三视图如图所示,则该几何体是 ( ) A .圆柱 B .三棱柱 C .长方体 D .四棱锥3.下列各组数中,能作为一个三角形三边边长的是 ( )A .1,1,2B .1,2,4C .2,3,4D .2,3,54.一个n 边形的内角和为360︒,则n 等于 ( )A .3B .4C .5D .65.如图,等边三角形ABC 中,AD BC ⊥,垂足为D ,点E 在线段AD 上,45EBC ∠=︒,则ACE ∠等于( )A .15︒B .30︒C .45︒D .60︒6.投掷两枚质地均匀的骰子,骰子的六个面上分别刻有1到6的点数,则下列事件为随机事件的是( )A .两枚骰子向上一面的点数之和大于1B .两枚骰子向上一面的点数之和等于1C .两枚骰子向上一面的点数之和大于12D .两枚骰子向上一面的点数之和等于12 7.已知43m =+,则以下对m 的估算正确的 ( ) A .23m <<B .34m <<C .45m <<D .56m <<8.我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索,索比竿子长一托.折回索子却量竿,却比竿子短一托.”其大意为：现有一根竿和一条绳索,用绳索去量竿,绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿,就比竿短5尺.设绳索长x 尺,竿长y 尺,则符合题意的方程组是( )A .5152x y x y =+⎧⎪⎨=-⎪⎩B .5152x y x y =-⎧⎪⎨=+⎪⎩C .525x y x y =+⎧⎨=-⎩D .525x y x y =-⎧⎨=+⎩9.如图,AB 是O 的直径,BC 与O 相切于点B ,AC 交O 于点D .若50ACB ∠=︒,则BOD ∠等于( )A .40︒B .50︒C .60︒D .80︒10.已知关于x 的一元二次方程21210a x bx a ++++=（）（）有两个相等的实数根,下列判断正确的是( ) A .1一定不是关于x 的方程20x bx a ++=的根 B .0一定不是关于x 的方程20x bx a ++=的根 C .1和1-都是关于x 的方程20x bx a ++=的根 D .1和1-不都是关于x 的方程20x bx a ++=的根毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无------------------------------------第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,满分24分.请把答案填在题中的横线上)11.计算：0212⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭.12.某8种食品所含的热量值分别为：120,134,120,119,126,120,118,124,则这组数据的众数为 .13.如图,Rt ABC △中,90ACB ∠=︒,6AB =,D 是AB 的中点,则CD = .14.不等式组313,20,x x x ++⎧⎨-⎩＞＞的解集为 .15.把两个同样大小的含45︒角的三角尺按如图所示的方式放置,其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A ,且另三个锐角顶点B ,C ,D 在同一直线上.若2AB =,则CD = .16.如图,直线y x m =+与双曲线3y x=相交于A ,B 两点,BC x ∥轴,AC y ∥轴,则ABC △面积的最小值为 .三、解答题(本大题共9小题,共86分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分8分)解方程组：1,410.x y x y +=⎧⎨+=⎩18.(本小题满分8分)如图,□ABCD 的对角线AC ,BD 相交于点O ,EF 过点O 且与AD ,BC 分别相交于点E ,F .求证：OE OF =.19.(本小题满分8分)先化简,再求值：22111m m m m +-⎛⎫-÷ ⎪⎝⎭,其中31m =+.20.(本小题满分8分)求证：相似三角形对应边上的中线之比等于相似比.要求：(1)根据给出的ABC △及线段A B '',A A A ∠'∠'=∠（）,以线段A B ''为一边,在给出的图形上用尺规作出A B C '''△,使得A B C ABC '''∽△△,不写作法,保留作图痕迹； (2)在已有的图形上画出一组对应中线,并据此写出已知、求证和证明过程.21.(本小题满分8分)如图,在Rt ABC △中,90C ∠=︒,10AB =,8AC =.线段AD 由线段AB 绕点A 按逆时针方向旋转90︒得到,EFG △由ABC △沿CB 方向平移得到,且直线EF 过点D . (1)求BDF ∠的大小； (2)求CG 的长.22.(本小题满分10分)甲、乙两家快递公司揽件员(揽收快件的员工)的日工资方案如下：甲公司为“基本工资＋揽件提成”,其中基本工资为70元/日,每揽收一件提成2元； 乙公司无基本工资,仅以揽件提成计算工资.若当日揽件数不超过40,每件提成4元；若当日揽件数超过40,超过部分每件多提成2元.如图是2018年4月份甲公司揽件员人均揽件数和乙公司揽件员人均揽件数的条形统计图：(1)现从2018年4月份的30天中随机抽取1天,求这一天甲公司揽件员人均揽件数超过40(不含40)的概率；(2)根据以上信息,以2018年4月份的数据为依据,并将各公司揽件员的人均揽件数视为该公司各揽件员的揽件数,解决以下问题： ①估计甲公司各揽件员的日平均揽件数；②小明拟到甲、乙两家公司中的一家应聘揽件员,如果仅从工资收入的角度考虑,请利用所学的统计知识帮他选择,并说明理由.23.(本小题满分10分)空地上有一段长为a 米的旧墙MN ,某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD ,已知木栏总长为100米．(1)已知20a =,矩形菜园的一边靠墙,另三边一共用了100米木栏,且围成的矩形菜园面积为450平方米,如图1.求所利用旧墙AD 的长；(2)已知050α<<,且空地足够大,如图2．请你合理利用旧墙及所给木栏设计一个方案,使得所围成的矩形菜园ABCD 的面积最大,并求面积的最大值．毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无------------------------------------24.(本小题满分12分)如图,D 是ABC △外接圆上的动点,且B ,D 位于AC 的两侧.DE AB ⊥,垂足为E ,DE 的延长线交此圆于点F ．BG AD ⊥,垂足为G ,BG 交DE 于点H ．DC ,FB 的延长线交于点P ,且PC PB =． (1)求证：BG CD ∥；(2)设ABC △外接圆的圆心为O ,若3AB DH =,80OHD ∠=︒,求BDE ∠的大小． 已知四边形ABCD 是O 的内接四边形,AC 是O 的直径,DE AB ⊥,垂足为E .25.(本小题满分14分)已知抛物线2y ax bx c =++过点(02)A ，,且抛物线上任意不同两点11M x y (，),22N x y (，)都满足：当12x x <<0时,12120x x y y >(-)(-)；当120x x <<时,12120x x y y <(-)(-)．以原点O 为心,OA 为半径的圆与拋物线的另两个交点为B ,C ,且B 在C 的左侧,ABC △有一个内角为60︒．(1)求抛物线的解析式；(2)若MN 与直线23y x =-平行,且M ,N 位于直线BC 的两侧,12y y >,解决以下问题：①求证：BC 平分MBN ∠；②求MBC △外心的纵坐标的取值范围．福建省2018年初中学业毕业和高中阶段学校招生考试（B 卷）数学答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】B【解析】分析：直接利用绝对值的性质化简,进而比较大小得出答案.解：在实数3-,2-,0,π中,33-=,则320π-<<<-,故最小的数是：2-.故选：B .2.【答案】C【解析】分析：根据常见几何体的三视图逐一判断即可得.解：A 、圆柱的主视图和左视图是矩形,但俯视图是圆,不符合题意；B 、三棱柱的主视图和左视图是矩形,但俯视图是三角形,不符合题意；C 、长方体的主视图、左视图及俯视图都是矩形,符合题意；D 、四棱锥的主视图、左视图都是三角形,而俯视图是四边形,不符合题意.故选：C . 3.【答案】C【解析】分析：根据三角形中任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边,即可求解.解：A 、112+=,不满足三边关系,故错误；B 、124+<,不满足三边关系,故错误；C 、234+>,满足三边关系,故正确；D 、235+=,不满足三边关系,故错误.故选：C . 4.【答案】B【解析】分析：n 边形的内角和是2180n (-),如果已知多边形的内角和,就可以得到一个关于边数的方程,解方程就可以求n .解：根据n 边形的内角和公式,得：2180360n =(-),解得4n =.故选：B .5.【答案】A【解析】分析：先判断出AD 是BC 的垂直平分线,进而求出45ECB ∠=︒,即可得出结论.解：等边三角形ABC 中,AD BC ⊥,∴BD CD =,即：AD 是BC 的垂直平分线,点E 在AD 上, ∴BE CE =, ∴EBC ECB ∠=∠,45EBC ∠=︒,∴45ECB ∠=︒,ABC △是等边三角形,∴60ACB ∠=︒,∴15ACE ACB ECB ∠=∠-∠=︒.故选：A . 6.【答案】D【解析】分析：根据事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件,事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件,在一定条件下,可能发生也可能不发生的事件,称为随机事件进行分析即可.解：A 、两枚骰子向上一面的点数之和大于1,是必然事件,故此选项错误；B 、两枚骰子向上一面的点数之和等于1,是不可能事件,故此选项错误；C 、两枚骰子向上一面的点数之和大于12,是不可能事件,故此选项错误；D 、两枚骰子向上一面的点数之和等于12,是随机事件,故此选项正确；故选：D . 7.【答案】B【解析】分析：直接化简二次根式,得出的取值范围,进而得出答案.解：2m ==12<,∴34m <<.故选：B . 8.【答案】A【解析】分析：设索长为x 尺,竿子长为y 尺,根据“索比竿子长一托,折回索子却量竿,却比竿子短一托”,即可得出关于x 、y 的二元一次方程组.解：设索长为x 尺,竿子长为y 尺,根据题意得：5,1 5.2x y x y =+⎧⎪⎨=-⎪⎩故选：A .9.【答案】D【解析】分析：根据切线的性质得到90ABC ∠=︒,根据直角三角形的性质求出A ∠,根据圆周角定理计算即可.解：BC 是O 的切线,∴90ABC ∠=︒,∴9040A ACB ∠=︒-∠=︒,由圆周角定理得,280BOD A ∠=∠=︒, 故选：D . 10.【答案】D【解析】分析：根据方程有两个相等的实数根可得出1b a =+或(1)b a =-+,当1b a =+时,1-是方程20x bx a ++=的根；当(1)b a =-+时,1是方程20x bx a ++=的根.再结合1(1)a a +≠-+,可得出1和1-不都是关于x 的方程20x bx a ++=的根.解：关于x 的一元二次方程21210a x bx a ++++=()()有两个相等的实数根,∴2210,(2)4(1)0,a b a +≠⎧⎨∆=-+=⎩∴1b a =+或(1)b a =-+.当1b a =+时,有10a b +=-,此时1-是方程20x bx a ++=的根； 当(1)b a =-+时,有10a b ++=,此时1是方程20x bx a ++=的根.10a +≠,∴1(1)a a +≠-+,∴1和1-不都是关于x 的方程20x bx a ++=的根.故选：D .第Ⅱ卷二、填空题 11.【答案】0【解析】分析：根据零指数幂：01(0)a a =≠进行计算即可.解：原式110==-,故答案为：0.12.【答案】120【解析】分析：根据众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据即为众数.解：这组数据中120出现次数最多,有3次, ∴这组数据的众数为120,故答案为：120. 13.【答案】3【解析】分析：根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答.解：90ACB ∠=︒,D 为AB 的中点,∴116322CD AB ==⨯=.故答案为：3. 14.【答案】2x >【解析】分析：先求出每个不等式的解集,再求出不等式组的解集即可.解：313,2,x x x +>+⎧⎨->⎩①0② 解不等式①得：1x >,解不等式②得：2x >,∴不等式组的解集为2x >,15.【答案】31-【解析】分析：先利用等腰直角三角形的性质求出2BC =,1BF AF ==,再利用勾股定理求出DF ,即可得出结论.解：如图,过点A 作AF BC ⊥于F , 在Rt ABC △中,45B ∠=︒, ∴22BC AB ==,212BF AF AB ===, 两个同样大小的含45︒角的三角尺, ∴2AD BC ==,在Rt ADF △中,根据勾股定理得,223DF AD AF =-=∴13231CD BF DF BC =+=+-=--,故答案为：31-． 16.【答案】6【解析】分析：根据双曲线3y x =过A ,B 两点,可设3A a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,3B b b ⎛⎫⎪⎝⎭，,则3C a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，.将y x m =+代入3y x =,整理得230x mx +=-,由于直线y x m =+与双曲线3y x=相交于A ,B 两点,所以a 、b 是方程230x mx +=-的两个根,根据根与系数的关系得出a b m +=-,3ab =-,那么222))((412a b a b ab m -+=+=-.再根据三角形的面积公式得出211•622ABC S AC BC m ==+△,利用二次函数的性质即可求出当0m =时,ABC △的面积有最小值6.解：设3A a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,3B b b ⎛⎫⎪⎝⎭，,则3C a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，.将y x m =+代入3y x =,得3x m x+=,整理,得230x mx +=-, 则a b m +=-,3ab =-,222))((412a b a b ab m =-∴+=+-.1•2ABC S AC BC =△222133=()213()••()21()21(12)2162a b a b b a a b ab a b m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭-=-=-=+=+ ∴当0m =时,ABC △的面积有最小值6.故答案为6. 三、解答题 17.【答案】解：1,410,x y x y +=⎧⎨+=⎩①②②-①得：39x =, 解得：3x =,把3x =代入①得：2y =-,则方程组的解为3,2.x y =⎧⎨=-⎩【解析】方程组利用加减消元法求出解即可. 18.【答案】证明：四边形ABCD 是平行四边形,∴OA OC =,AD BC ∥,∴OAE OCF ∠=∠,在OAE △和OCF △中,OAE OCFOA OCAOE COF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩, ∴AOE COF △≌△(ASA),∴OE OF =.【解析】由四边形ABCD 是平行四边形,可得OA OC =,AD BC ∥,继而可证得AOE COF △≌△(ASA ),则可证得结论.19.【答案】解：22111m m m m +-⎛⎫-÷⎪⎝⎭()()211m m m m m m -=+-()()111m mm m m +=+-11m =-当1m 时,原式==【解析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子,然后将m 的值代入即可解答本题.20.【答案】(1)解：如图所示,A B C '''△即为所求；(2)已知,如图,ABC A B C '''△∽△,k AB BC A B CA B C A C =='''''=',D 是AB 的中点,D '是A B ''的中点,求证：DC kD C ''=.证明：D 是AB 的中点D '是A B ''的中点,∴12AD AB =,12A D A B ''='',∴1212A B AB AB A D A B AD ''''=='', ABC A B C '''△∽△, ∴A A C B AB A C ='''','A A ∠=∠, A A A D AD CC ''''=,'A A ∠=∠, ∴A C D ACD '''△∽△,∴k CD D C A C CA ''''==. 【解析】(1)作=ABC ABC '''∠∠,即可得到A B C '''△；(2)依据D 是AB 的中点, D '是A B ''的中点,即可得到A A BD AD A B ='''',根据ABC A B C '''△∽△,即可得到A A CB AB AC ='''','A A ∠=∠,进而得出A C D ACD '''△∽△,可得k CD D C A C CA ''''==. 21.【答案】解：(1)线段AD 是由线段AB 绕点A 按逆时针方向旋转90︒得到,∴90DAB ∠=︒,10AD AB ==,∴45ABD ∠=︒,EFG △是ABC △沿CB 方向平移得到,∴AB EF ∥,∴45BDF ABD ∠=∠=︒；(2)由平移的性质得,AE CG ∥,AB EF ∥,∴DEA DFC ABC ∠=∠=∠,180ADE DAB ∠+∠=︒,90DAB ∠=︒,∴90ADE ∠=︒,90ACB ∠=︒,∴ADE ACB ∠=∠, ∴ADE ACB △∽△, ∴AD AEAC AB=, 8AB =,10AB AD ==,∴12.5AE =,由平移的性质得,12.5CG AE ==.【解析】(1)由旋转的性质得,10AD AB ==,45ABD ∠=︒,再由平移的性质即可得出结论；(2)先判断出ADE ACB ∠=∠,进而得出ADE ACB △∽△,得出比例式求出AE ,即可得出结论.22.【答案】解：（1）因为今年四月份甲公司揽件员人均揽件数超过40的有4天,所以甲公司揽件员人均揽件数超过40（不含40）的概率为42=3015； (2)①甲公司各揽件员的日平均件数为3813399404413421=3930⨯+⨯+⨯+⨯+⨯件；②甲公司揽件员的日平均工资为70392148+⨯=元, 乙公司揽件员的日平均工资为()()3873974085341523630⎡⨯+⨯+⨯++⎤⨯+⨯+⨯⨯⎣⎦()()27171523=40463030⎡-⨯+-⨯⎤⨯+⨯+⨯+⨯⎢⎥⎣⎦=159.4元,因为159.4148>,所以仅从工资收入的角度考虑,小明应到乙公司应聘.【解析】(1)根据概率公式计算可得；(2)分别根据平均数的定义及其意义解答可得.23.【答案】解：（1）设AD x=米,则1002xAB-=米.根据题意,得()1004502x x=-.解得110x=,290x=.20a=,且x a≤,∴90x=舍去.∴利用旧墙AD的长为10米.(2)设AD x=米,矩形ABCD的面积为S平方米.①如果按图一方案围成矩形菜园,依题意得()()2100150125022x xS x==--+-,0x a<<,050a<<,∴50x a<<时,S随x的增大而增大.当x a=时,21503S a a=-最大.②如按图2方案围成矩形菜园,依题意,得22(1002)[(25)](25)244x a x a aS x+-==---++,502aa x≤<+.当25504aa<+<时,即1003a<<时,则254ax=+时,2210000200(25)416a aSa++=+=最大.当254aa+≤,即100503a≤<时,S随x的增大而减小.∴x a=时,2(1002)15022aSa a aa+-==-最大.综合①②,当1003a<<时,222100002001(3100)(50)016216a a aa a++---=>,即22100002001(50)162a aa a++>-,此时,按图2方案围成矩形菜园面积最大,最大面积为21000020016a a++平方米；当100503a≤<,两种方案围成的矩形菜园面积最大值相等.∴当时,围成长和宽均为(25)4a+米的矩形菜园面积最大,最大面积为21000020016a a++平方米；当100503a≤<时,围成长为a米,宽为(50)2a-米的矩形菜园面积最大,最大面积为21(50)2a a-平方米．【解析】(1)按题意设出AD,表示AB构成方程；(2)根据旧墙长度a和AD长度表示矩形菜园长和宽,注意分类讨论S与菜园边长之间的数量关系．24.【答案】解：(1)如图1,PC PB=,PCB PBC ∠=∠∴,四边形ABCD 内接于圆,180BAD BCD ∴∠+∠=︒, 180BCD PCB ∠+∠=︒,BAD PCB ∠=∠∴,BAD BFD ∠=∠,BFD PCB PBC ∠=∠=∠∴,BC DF ∴∥, DE AB ⊥,90DEB =∴∠︒,90ABC =∴∠︒, AC ∴是O 的直径, 90ADC =∴∠︒,BG AD ⊥, 90AGB =∴∠︒, ADC AGB ∠=∠∴,BG CD ∴∥；(2)由(1)得：BC DF ∥,BG CD ∥,∴四边形BCDH 是平行四边形,BC DH ∴=,在Rt ABC △中,3AB DH =,∴3tan 3AB DHACB BC DH∠===, ∴60ACB ∠=︒,30BAC ∠=︒,∴60ADB ∠=︒,12BC AC =, ∴12DH AC =. ① 当点O 在DE 的左侧时,如图2,作直径DM ,连接AM 、OH ,则90DAM ∠=︒,90AMD ADM ∠∴∠+=︒.DE AB ⊥,90BED =∴∠︒,90BDE ABD ∠∴∠+=︒.AMD ABD ∠=∠, ADM BDE ∠=∠∴,12DH AC =,DH OD ∴=,80DOH OHD ∠∴∠==︒,20ODH =∴∠︒. 60AOB ∠=︒,40ADM BDE ∠∴∠+=︒,20BDE ADM ∠∴∠==︒.② 当点O 在DE 的右侧时,如图3,作直径DN ,连接BN ,由①得：20ADE BDN ∠=∠=︒,20ODH ∠=︒,40BDE BDN ODH ∠∴∠=∠+=︒,综上所述,BDE ∠的度数为20︒或40︒．【解析】(1)根据等边对等角得：PCB PBC ∠=∠,由四点共圆的性质得：数学试卷 第21页（共24页）数学试卷 第22页（共24页）180BAD BCD ∠+∠=︒,从而得：BFD PCB PBC ∠=∠=∠,根据平行线的判定得：BC DF ∥,可得90ABC ∠=︒,AC 是O 的直径,从而得：90ADC AGB ∠=∠=︒,根据同位角相等可得结论；(2)先证明四边形BCDH 是平行四边形,得BC DH =,根据特殊的三角函数值得：60ACB ∠=︒,30BAC ∠=︒,所以12DH AC =,分两种情况：①当点O 在DE 的左侧时,如图2,作辅助线,构建直角三角形,由同弧所对的圆周角相等和互余的性质得：AMD ABD ∠=∠,则ADM BDE ∠=∠,并由DH OD =,可得结论；②当点O 在DE的右侧时,如图3,同理作辅助线,同理有20ADE BDN ∠=∠=︒,20ODH ∠=︒,得结论.25.【答案】解：(1)抛物线过点(0,2)A ,2c ∴=,当120x x <<时,120x x -<,由1212()()0x x y y -->,得到120y y -<,∴当0x <时,y 随x 的增大而增大,同理当0x >时,y 随x 的增大而减小,∴抛物线的对称轴为y 轴,且开口向下,即0b =,以O 为圆心,OA 为半径的圆与抛物线交于另两点B ,C ,如图1所示, ∴ABC △为等腰三角形,ABC △中有一个角为60︒,∴ABC △为等边三角形,且2OC OA ==,设线段BC 与y 轴的交点为点D ,则有BD CD =,且30OBD ∠=︒, ∴•cos303BD OB =︒=,•sin301OD OB =︒=,B 在C 的左侧,∴B 的坐标为(3,1)--,B 点在抛物线上,且2c =,0b =,321a ∴+=﹣,解得：1a =﹣,则抛物线解析式为22y x =-+；(2)①由（1）知,点211(,2)M x x -+,222(,2)N x x -+,MN 与直线23y x =-平行,∴设直线MN 的解析式为23y x m =-+,则有211223x x m -+=-+,即211232m x x =-++,∴直线MN 解析式为21123232y x x x =--++,把21123232y x x x =--++代入22y x =-+,解得：1x x =或123x x =-, ∴2123x x =-,即222111(23)24310y x x x =--+=-+-,作ME BC ⊥,NF BC ⊥,垂足为E ,F ,如图2所示,M ,N 位于直线BC 的两侧,且12y y >,则2212y y <-<≤,且123x x <<,∴211(1)3ME y x =--=-+,11(3)3BE x x =--=+,22111439NF y x x =--=-+,21(3)33BF x x =--=-,在Rt BEM △中,2111333tan x ME x BE x MBE -+===-+∠, 在Rt BFN△中,22111111111439(23)3(33)(3)3333333tan x x x x x NF x BF x x x NBF -+----=====∠----.数学试卷 第23页（共24页） 数学试卷 第24页（共24页）tan tan MBE NBF ∠=∠,MBE NBF ∠=∠∴,则BC 平分MBN ∠； ②y 轴为BC 的垂直平分线,∴设MBC △的外心为0(0,)P y ,则PB PM =,即22PB PM =,根据勾股定理得：22201013(1)()y x y y ++=+-,2122x y =-,∴220010124(2)()y y y y y ++=-+-,即01112y y =-, 由①得：1121y -<≤-, ∴0302y -<≤, 则MBC △的外心的纵坐标的取值范围是0302y -<≤．【解析】(1)由A 的坐标确定出c 的值,根据已知不等式判断出120y y -<,可得出抛物线的增减性,确定出抛物线对称轴为y 轴,且开口向下,求出b 的值,如图1所示,可得三角形ABC 为等边三角形,确定出B 的坐标,代入抛物线解析式即可；（2）①设出点211(,2)M x x -+,222(,2)N x x -+,由MN 与已知直线平行,得到k 值相同,表示出直线MN 解析式,进而表示出ME ,BE ,NF ,BF ,求出tan MBE ∠与tan NBF ∠的值相等,进而得到BC 为角平分线；②三角形的外心即为三条垂直平分线的交点,得到y 轴为BC 的垂直平分线,设P 为外心,利用勾股定理化简22PB PM =,确定出MBC △外心的纵坐标的取值范围即可．。
