2018年上海中学自主招生数学试卷及答案

上海中学自主招生试卷

2018.03

1. 因式分解：326114x x x -++=

2. 设0a b >>，224a b ab +=，则a b a b

+=- 3. 若210x x +-=，则3223x x ++=

4. 已知21

()()()4b c a b c a -=--，且0a ≠，则b c a

+= 5. 一个袋子里装有两个红球和一个白球（仅颜色不同），第一次从中取出一个球，记下颜 色后放回，摇匀，第二次从中取出一个球，则两次都是红球的概率是

6. 直线:l y =+x 、y 轴交于点A 、B ，AOB ∆关于直线AB 对称得到ACB ∆， 则点C 的坐标是

7. 一张矩形纸片ABCD ，9AD =，12AB =，将纸片折叠，使A 、C 两点重合，折痕长是

8. 任给一个正整数n ，如果n 是偶数，就将它减半（即2

n ），如果n 是奇数，则将它乘以3 加1（即31n +），不断重复这样的运算，现在请你研究：如果对正整数n （首项）按照上 述规则施行变换（注：1可以多次出现）后的第八项为1，则n 所有可能取值为

9. 正六边形ABCDEF 的面积是6平方厘米，联结AC 、

CE 、EA 、BD 、DF 、FB ，求阴影部分小正六边形

的面积为

10. 已知212(4)(4)y x m x m =+-+-与2y mx =在x 取

任意实数时，至少有一个是正数，则m 的取值范围为

11. 已知a 、b 、c 是互不相等的实数，x 是任意实数， 化简：222

()()()()()()()()()

x a x b x c a b a c c b a b c a c b ---++=------ 12. 已知实数a 、b 满足221a ab b ++=，22t ab a b =--，则t 的取值范围是

13.（1）求边长为1的正五边形对角线长；（2）求sin18︒.

14.（1）32()f x x ax bx c =+++，0(1)(2)(3)3f f f <-=-=-≤，求c 的取值范围；

（2）432()f x x ax bx cx d =++++，(1)10f =，(2)20f =，(3)30f =，求(10)(6)f f +-.

15. 我们学过直线与圆的位置关系，根据材料完成问题（1）（2）

类似给出背景知识：

平面:0Ax By Cz d α+++=；

球：2222()()()x a y b z c R -+-+-=；

点(,,)a b c 到平面:0Ax By Cz d α+++=的距离公式：

d =；

球心到平面的距离为d ，当d R <时，球与平面相交，当d R =时，球与平面相切，当d R > 时，球与平面相离；

问题（1）：若实数m 、n 、k 满足1m n k ++=，求222m n k ++的最小值；

问题（21()2

x y z =++.

参考答案

1. (1)(34)(21)x x x --+

2.

3. 4

4. 2

5. 49

6. 3()22

7. 454

8. 128、2、16、20、3、21 9. 22cm 10. 4m < 11. 1 12. 133t -≤≤- 13.（1

；（2

14.（1）69c <≤；（2）8104 15.（1）1

3；（2）1

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x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩