高一自主招生考试
数 学 试 卷
一、选择题（本大题共7个小题，每小题6分，共42分，每小题只有一个选项正确，把正确的选项序号填在答题栏中）
1．若a 是实数，化简02)1(|23|324++-++a 的结果为（ ） A ．333+
B ．3
C ． 3
D ． 4
2．某班体育委员对七位同学定点投篮进行数据统计，每人投十个，投进篮筐的个数依次为：
5，6，5，3，6，8，9．则这组数据的中位数和平均值分别为（ ） A ．6，6
B ．6，24
C ．6，
7
24
D ．7，
7
24 3．连续三次抛掷一枚质地分布均匀的硬币，至少连续．．两次正面向上的概率为（ ）
A ．
8
1
B ．4
1
C ．8
3
D ．2
1
4．在一列数123x x x ，，，…中，已知11=x ，且当k ≥2时，
1
12 14
44
k k
k
k
x x
-
⎛--⎫
⎡⎤⎡⎤
=+--
⎪
⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦
⎝⎭
（取整符号[]a表示不超过实数a的最大整数，例如[]
2.62
=，[]
0.20
=），
则
2014
x等于（）．
A．1 B．2 C．3 D．4 5．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A(-1,0)，顶点坐标为C(1,k)，与y轴的交点在(0,2)、(0,3)之间(不包含端点)，则k的取值范围是（）
A．2＜k＜3B．
5
2＜k＜4 C．
8
3＜k＜4D．3＜k＜4
6．如图，四边形ABCD对角线AC与BD互相垂直.若AB=3，BC=4，CD=5，则AD的长为（）
A．32B．4C．23D．42
7．设a, b, c都是实数，且12
,22
2
2=
+
+
=
+
+c
b
a
c
b
a，则c的最大值与最小值的和为（）
第5题图
第6题图
第11题图
A ．2-
B ．
316 C ．3
10
D ．3
4
二、填空题（本大题共7个小题，每小题7分，共49分） 8
．已知 , a b =
=，则22a b += 9．已知关于x 的方程22393042
x kx k k ++-+=（k 为实数）的两个实数根
分别为1x 、2x ，则22
12
12
x x x x +=
10．已知实数0abc ≠，且
k b
a
c a c b c b a =+=+=+，则直线k kx y +=与两坐标轴围成的三角形面积为
11．P 为平行四边形ABCD 边AD 上一点，E 、F 分别为PB 、PC 的中点，ΔPEF 、ΔPDC 、ΔP AB 的面积分别为S 、S 1、S 2.若S =2，则S 1+S 2= 12．已知关于x 的方程|21|0x a --=恰有两个正数解，则实数a 的取值范围为 13．使得不等式
98
1715
n n k <<+对唯一的整数k 成立的最大正整数n 为 14．已知二次函数2 y x x a =-+的图象与x 轴的两个不同交点到原点的距离之和不超过5，则实数a 的取值范围为
三、解答题（本大题共5个小题，计59分，写出必要的推算或演算步骤）
15．（本小题10分）
解方程组229410(9)(4)24x y x y x y xy ⎧+++=⎪⎨⎪++=⎩
16．（本小题10分）
如图，在直角平面坐标系中，点A 在y 轴上，点B 、C 在x 轴上，3AO =，
AB AC =，
4
cos 5
ABC ∠=，点D 在AB 上，CD 与y 轴交于点E ，且满足COE ADE S S ∆∆=.
求以点C 为顶点，经过点E 的抛物线的解析式.
E
17．（本小题13分）
矩形ABCD是一个长为1000米，宽为600米的货场，A、D是入口.
现拟建一个收费站P，在铁路线BC段建一个发货站台H，设铺设公路AP、DP及PH之长度和为l.
(Ⅰ) 求出l的最小值；
(Ⅱ) 请指出当l取最小值时，收费站P和发货站H的几何位置.
18．（本小题13分）
设正整数q p n m ,,,满足)13(),13(22-=+=q p n q p m ，求满足条件的所有q 值.
19．（本小题13分）
如图，M是以AB为直径的圆O内一点，AM、BM的延长线分别与圆O交于C、D两点，过点M作
MN AB于点N，过点C作圆O的切线，
交MN于E点，联结DE，求证：DE是
圆O的切线.
证明：
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数学参考答案
一、选择题（本大题共7个小题，每小题6分，共42分，每小题只有
一个选项正确，把正确的选项序号填在答题栏中）
二、填空题（本大题共7个小题，每小题7分，共49分）
8. 14 9. 2 10. 1或2
1 11. 8 12. 0a -≤<
15.解：
原方程组可变形为
94()()1094()()=24x y x y x y x y ⎧+++=⎪⎪
⎨
⎪+⋅+⎪⎩
………………………………..3分 于是9
4x y x y
++和可看作方程210240t t -+=的两个根.求出此两根为
124,6t t ==
