2009年鄂州高中自主招生考试数学试题
一、选择题（3分*12=36分）
1、已知a=2009x+2008，b=2009x＋2009，c=2009x+2010，则多项式a2＋b2＋c2－ab－bc－ac的值为
（）
A、0
B、1
C、2
D、3
2、在同一直角坐标系中，函数y=mx+m和y=－mx2＋2x＋2（m是常数，且m≠0）的图象可能是（）
3、第二象限有一点P（x , y），且，则点P关于原点的对称点的坐标是（）
A、（－5，7）
B、（5，－7）
C、（－5，－7）
D、（5，7）
4、若方程x2＋（4n＋1）x＋2n=0（n为整数）有两个整数根，则这两个根（）
A、都是奇数
B、都是偶数
C、一奇一偶
D、无法判断
5、如右下图，等边ΔABC外一点P到三边距离分别为h1，h2，h3，且h3＋h2－h1=3，其中PD= h3，
PE= h2，PF= h1。则ΔABC的面积SΔABC=（）
A、B、C、D、
6、某班有50人，在一次数学考试中，得分均为整数，全班最低分为48分，最高分为96分，那么
该班考试中（）
A、至少有两人得分相同
B、至多有两人得分相同
C、得分相同的情况不会出现
D、以上结论都不对
7、若实数a 满足方程，则=（），其中表示不超过a的最大整数。
A、0
B、1
C、2
D、3
8、在⊿ABC中，P、Q分别在AB、AC上，且，则PQ一定经过⊿ABC的（）
A、垂心
B、外心
C、重心
D、内心
9、在高速公路上，从3千米处开始，每隔4千米经过一个限速标志牌，并且从10千米处开始，每
隔9千米经过一个速度监控仪，刚好在19千米处第一次同时经过这两种设施，那么，第二次同时经过这两种设施是在（）千米处。
A、36
B、37
C、55
D、91
10、已知x2－ax＋3－b=0有两个不相等的实数根，x2＋（6－a）x＋6－b=0有两相等的实数根，x2
＋（4－a）x＋5－b=0无实数根，则a 、b的取值范围是（）
A、2﹤a﹤4 2﹤b﹤5
B、1﹤a﹤4 2﹤b﹤5
C、1﹤a﹤4 1﹤b﹤5
D、2﹤a﹤4 1﹤b﹤5
11、用火柴棒按下图中的方式搭图形，按照这种方式搭下去，搭第334个图形需（）根火柴棒。
A、2007
B、2008
C、2009
D、2010
12、已知函数f（x）=x2＋λx，p、q、r为⊿ABC的三边，且p﹤q﹤r，若对所有的正整数p、q、r
都满足f（p）﹤f（q）﹤f（r），则λ的取值范围是（）
A、λ﹥－2
B、λ﹥－3
C、λ﹥－4
D、λ﹥－5
二、填空题（4分*6=24分）
13、设多项式x3－x－a与多项式x2＋x－a有公因式，则a= ；
14、已知n个数x1，x2，x3，…，x n，它们每一个数只能取0，1，－2这三个数中的一个，且，则;
15、如图，半径为r1的圆内切于半径为r2的圆，切点为P，已知AC∶CD∶DB=3∶4∶2,则;
16、已知正数a、b、c满足a2＋c2=16，b2＋c2=25，
则k=a2＋b2的取值范围为;
17、将正方形由下往上对折，再由左向右对折，称为完成一次操作（如图），按上边规则，完成6
次操作以后，再剪去所得小正方形的左下角，问：当展开这张正方形纸片后，一共有个小孔。
18、非零实数x、y满足，则。
三、解答题（19~21题每题8分，22~25题每题9分，共60分）
19、（8分）已知直线y=kx+b（k＜0）与x、y轴交于A、B两点，且与双曲线交于点C（m , 2），
若⊿AOB的面积为4 ，求⊿BOC的面积。
20、（8分）甲、乙两人玩“锤子、石头、剪子、布”游戏。他们在不透明的袋子中放入形状、大小均
相同的19张卡片，其中写有“锤子”、“石头”、“剪子”、“布”的卡片张数分别为3、4、5、7，两人各随机摸出一张卡片（先摸者不放回）来比胜负，并约定：“锤子”胜“石头”和“剪子”，“石头”
胜“剪子”，“剪子”胜“布”，“布”胜“锤子”和“石头”，同种卡片不分胜负。
⑴若甲先摸，他摸出“石头”的概率是多少？
⑵若甲先摸出了“石头”，则乙获胜的概率是多少？
⑶若甲先摸，则他先摸出哪种卡片获胜的可能性最大？
21、（8分）如图，AB是⊙O的直径，AD是弦，∠DBC=∠A.
⑴求证：BC与⊙O相切；⑵若OC是BD的垂直平分线，垂足为E，BD=6，CE=4,求AD的长。
22、（9分）m是什么实数时，方程有4个互不相等的实数根？
23、（9分）在某旅游景区上山的一条小路上，有一些断断续续的台阶，下图是甲、乙段台阶路的示
意图。请你用所学过的有关统计知识（平均数、中位数、方差）回答下列问题：
⑴两段台阶路有哪些相同点和不同点？
⑵哪段台阶走起来更舒服？为什么？
⑶为方便游客行走，需要重新整修上山的小路，对于这两段台阶路，在台阶数不变的情况下，
请你提出合理的整修建议（图中的数字表示每一级台阶的高度，单位：cm）
24、（9分）当x为何有理数时，代数式9x2+23x－2的值恰为两个连续正偶数的乘积？
