福建省福州市马尾区高三数学上学期期中试题 理

高三年段数学（理科）期中联考试卷 满 分：150分 考试时间：120分钟第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.设集合{|12}A x x =-<，3{|1log 1}B x x =-<，则AB =（ ）．A ．[]1,3-B ．[)1,2-C.1(,3)3D.1(,2)32.22sin 15cos 15︒-︒=（ ）． A ．12-B12C.33 3.命题“任意[]1,3x ∈，210x a --≤”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）． A ．7aB.9aC.8aD.10a4.曲线2ln y x x=-在1x =处的切线的倾斜角为α，则cos sin αα+的值为（ ） A 210 B 10103105.下列命题中正确的是（ ）A.命题p ：0x ∃∈R ，200210x x -+<，则命题p ⌝：x ∀∈R ，2210x x -+>B ．“ln ln a b >”是“22a b>”的充要条件C.命题“若22x =，则2x =2x =-的逆否命题是“若2x ≠2x ≠-则22x ≠”D.命题p ：0x ∃∈R ，001ln x x -<；命题q ：对x ∀∈R ，总有20x>；则p q ∧是真命题6 .由1=xy ,x y =,3=x 所围成的封闭区域的面积为( ) A. 3ln 2 B. 3ln 2+ C. 3ln 24- D. 3ln 4-7.若82a π=，11()log 2b b π=，2log sin3c π=，则（ ）A ．b c a >>B ．a b c >>C ．c a b >>D ． b a c >>8.若函数()f x 同时满足以下三个性质；①()f x 的最小正周期为π；②x ∀∈R ，都有()()4f x f x π-=-；③()f x 在3(,)82ππ上是减函数，则()f x 的解析式可能是（ ）A.()cos()8f x x π=+B.()sin 2cos 2f x x x =+C. ()sin 2cos 2f x x x =-D. ()sin cos f x x x =9. 函数()()ln sin 0f x x x x x ππ=+-≤≤≠且的图象大致是（ ）A ．B ．C. D ． 10.设单位向量1e ，2e 对于任意实数λ都有121212e e e e λ+≤-成立，则向量1e ，2e 的夹角为（ ） A ．6πB ．23πC ．3πD ．56π11.设函数()f x 的零点为1x ，函数()422xg x x =+-的零点为2x ，若1214x x ->，则函数()f x 可以是（ ）A.1()22f x x =-B.21()4f x x x =-+-C. ()110xf x =- D.()ln(82)f x x =- 12.如果定义在R 上的函数()f x 满足：对于任意12x x ≠，都有()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +≥+，则称()f x 为“H 函数”．给出下列函数： ①31y x x =-++；②()32sin cos y x x x =--；③1xy e =+；④()()()ln 101x x f x x ≥⎧⎪=⎨<⎪⎩，其中“H 函数”的个数是（ ）A ．3B ．2C ．1D ．0二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡的横线上．．．．．．．．．．．．．.13.已知向量(2,1),5m n ==,若,m n 间的夹角为3π，则23m n -= 14．()12021x x dx +-⎰=15．已知函数2()sin 21x f x x =++，则()()=-+20172017f f _____ 16.设偶函数()f x 在R 上存在导数()f x '，在(0,)+∞上()f x x '<，若(4)()84f m f m m --≥-，则实数m 的取值范围为三、解答题（本大题共6小题，第17题10分，第18至22题每题12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（本小题满分10分）设函数()sin 3cos f ααα=，其中，角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过点(,)P x y ，且0≤α≤|D ． （Ⅰ）若P 31），求()f α的值；（Ⅱ）若点(,)P x y 为线性约束条件11x y y x y +≥⎧⎪≥⎨⎪≤⎩所围成的平面区域上的一个动点，试确定角α的取值范围，并求函数()f α的最小值和最大值．18.（本小题满分12分）设p ：函数2()lg(2)f x mx x m =-+-的定义域为R ；q ：函数21()4ln (1)2g x x x m x =+--的图象上任意一点处的切线斜率恒大于2，若“p q ∨”为真命题，“p q ∧”为假命题，求实数m 的取值范围.19.（本小题满分12分） 已知向量(3sin ,cos )a x x =，(cos ,cos )b x x =-，()f x a b =，（Ⅰ）求()f x 的最小正周期和单调递增区间； （Ⅱ）若75(,)126x ππ∈，54a b =-，求cos 2x 的值.20.(本小题满分12分） 已知函数2()(23)x f x x x e =-⋅ （Ⅰ）求函数()f x 的单调递减区间；（Ⅱ）若关于x 的方程(23)xax e x-⋅=有且仅有一个实根，求实数a 的取值范围．21. （本小题满分12分）某城市旅游资源丰富，经调查，在过去的一个月内（以30天计），第t 天的旅游人数()f t （万人）近似地满足()f t =4+，而人均消费()g t （元）近似地满足()12525g t t =--． （￠?）求该城市的旅游日收益()W t （万元）与时间t （1≤t ≤30，t ∈N +）的函数关系式； （￠ò）求该城市旅游日收益的最小值．22.（本小题满分12分）已知函数2()ln f x x ax bx =++（其中a ，b 为常数且0a ≠）在1x =处取得极值．（Ⅰ）当1a =时，求()f x 的单调区间； （Ⅱ）若()f x 在(0,]e 上的最大值为1，求a 的值．参考答案一．选择题：（5×12=60） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案DCBADDBCDBCA二．填空题：（5×4=20） 13． 35 14． 1+4π15． 2 16． [)2,+∞ 三、解答题：（70分）17、【解答】解：（1）∵P 点的坐标为（，1），可得r=|OP|==2，∴由三角函数的定义，得sinα=，cosα=，故f （α）=sinα+cosα=+×=2．（2）不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分的△ABC 及其内部区域，其中A （0，1）、B （0.5，0.5），C （1，1）， ∵P 为区域内一个动点，且P 为角α终边上的一点， ∴运动点P ，可得当P 与A 点重合时，α取得最大值为2π； 当P 与线段BC 上一点重合时，α取得最小值为4π．由此可得,42ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦． ∵f （α）=sin α+cos α=2sin （α+），∴由α∈[，]，可得α+∈[，]，当α+=即α=时，f （α）取得最小值2sin=1；当α+=即α=时，f （α）取得最大值2sin=．综上所述，函数f （α）的最小值为1，最大值为．17.（本小题满分12分）解：若p 为真，则220mx x m -+->恒成立，即220mx x m -+<恒成立．…1分 当0m =时，不等式为20x -<，解得0x >，显然不成立；…2分当0m ≠时，2(2)40m m m <⎧⎨∆=--⨯<⎩，解得1m <-.…………4分 综上，若p 为真，则1m <-．…………5分 若q 为真，则当1x >-时，4()12g x x m x '=+-+>，41m x x<+-，……6分 ∵412413x x+-≥=，当且仅当1x =时取等号，∴3m <.…………8分 ∵“p q ∨”为真命题，“p q ∧”为假命题，∴p 真q 假或p 假q 真. ………10分 若p 真q 假，则13m m <-⎧⎨≥⎩，∴m ∈∅；若p 假q 真，则13m m ≥-⎧⎨<⎩，∴13m -≤<.综上所述，实数m 得取值范围为[1,3)m ∈-.………12分 18.（本小题满分12分）23cos 21(1)()3sin cos cos 22x f x x x x x a b +=-=-=解：1sin(2) (36)2x π=--分()f x ∴的最小正周期是π…………………4分222(),()26263k x k k k x k k πππππππππ-≤-≤+∈∴-≤≤+∈Z Z 令()]63f x k k ππππ∴-+单调递增区间为[的，().................6k ∈Z 分15(2)sin(2)6243sin(2).................764753(,),2(,) (812662)7cos(2)64321cos 2cos[(2)]668a b x x x x x x x ππππππππππ⋅=--=-∴-=-∈∴-∈∴-=-∴=-+=分分分....12分19.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题可得：'2()(23)x f x x x e =+-⋅ ………………………………1分令'()0f x <，得 2230x x +-<，解得：312x -<< …………………3分 ∴函数()f x 的单调递减区间是3(,1)2-．…………………………………4分 （Ⅱ）∵方程(23)xax e x-⋅=有且仅有一个实根 ∴方程2(23)x x x e a -⋅=有且仅有一个非零实根，即方程(),(0)f xa x =≠有且仅有一个实根．因此，函数(),(0)y f x x =≠的图像与直线y a =有且仅有一个交点．…………6分 结合（Ⅰ）可知，函数()f x 的单调递减区间是3(,1)2-，单调递增区间是3(,),(1,)2-∞-+∞ ∴函数()f x 的极大值是323()92f e --=，极小值是(1)f e =-．……………………9分又3(0)()02f f ==且0x <时，()0f x >．∴当329a e ->或0a =或a e =-时，函数(),(0)y f x x =≠的图像与直线y a =有且仅有一个交点．……………………11分∴若方程(23)xax e x-⋅=有且仅有一个实根， 实数a 的取值范围是32{,0}(9,)e e --+∞.……12分20.解：（Ⅰ）=……（5分）（Ⅱ）①当t∈[1，25]时，W （t ）=401+4t+≥401+2=441（当且仅当时取等号）所以，当t=5时，W （t ）取得最小值441．……（8分） ②当t∈（25，30]时，因为W （t ）=递减，所以t=30时，W （t ）有最小值W （30）=484＞441，……（11分）综上，t∈[1，30]时，旅游日收益W （t ）的最小值为441万元．……（12分）22.解（Ⅰ）因为2()ln f x x ax bx =++，所以1'()2f x ax b x=++，…………2分 因为函数2()ln f x x ax bx =++在1x =处取得极值，'(1)120f a b =++= …………………3分当1a =时，3b =-，2231'()x x f x x-+=，由'()0f x >，得102x <<或1x >；由'()0f x <，得112x <<， ………………5分 即函数()f x 的单调递增区间为1(0,)2，(1,)+∞；单调递减区间为1(,1)2．………6分（Ⅱ）因为(21)(1)'()ax x f x x --=(0)x e <≤，令'()0f x =，11x =，212x a=， …………………7分因为()f x 在1x =处取得极值，所以2112x x a=≠， 当102a<，即0a <时，()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,]e 上单调递减， 所以()f x 在区间(0,]e 上的最大值为(1)f ，令(1)1f =，解得2a =-， …………………8分当0a >，2102x a=>， 当1012a <<，即12a >时，()f x 在1(0,)2a 上单调递增，1(,1)2a上单调递减，(1,)e 上单调递增，所以最大值1可能的在12x a=或x e =处取得，而21111()ln ()(21)2222f a a a a a a =+-+11ln 22a a=-0<， 所以2()ln (21)1f e e ae a e =+-+=，解得12a e =-； …………………10分当112e a ≤<，即1122a e ≤时，()f x 在区间(0,1)上单调递增，1(1,)2a 上单调递减，1(,)2e a上单调递增，所以最大值1可能在1x =或x e =处取得， 而(1)ln1(21)f a a =+-+10a =--<， 所以2()ln (21)1f e e ae a e =+-+=， 解得12a e =-，与2112x e a<=<矛盾． …………………11分 当12e a ≥，即102a e<≤时，()f x 在区间(0,1)上单调递增，在(1,)e 上单调递减， 所最大值1可能在1x =处取得，而(1)ln1(21)f a a =+-+10a =--<，矛盾． 综上所述，12a e =-或2a =-． …………………12分。

福建省福州市高三上学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共8题；共16分)1. （2分） (2018高二下·辽宁期末) 已知集合，，则（）A .B .C .D .2. （2分）(2018·淮南模拟) 已知向量，则是“ 与反向”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件3. （2分） (2016高一下·安徽期末) 在平行四边形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，DE交AF于H，记、分别为、，则 =（）A . ﹣B . +C . ﹣ +D . ﹣﹣4. （2分）在区间[0，]上随机取一个数x，则事件“”发生的概率为（）A .B .C .D .5. （2分）(2017·大新模拟) 已知定义在R上的奇函数f（x）和偶函数g（x）满足f（x）=2g（x）+ ，若f（）+f（cos2θ）＜f（π）﹣f（），则θ的取值范围是（）A . （2kπ+ ，2kπ+ ），k∈ZB . （2kπ﹣，2kπ）∪（2kπ，2kπ+π）∪（2kπ+π，2kπ+ π），k∈ZC . （2kπ﹣，2kπ﹣），k∈ZD . （2kπ﹣，2kπ﹣π）∪（2kπ﹣π，2kπ）∪（2kπ，2kπ+ ），k∈Z6. （2分） (2017高一下·温州期末) 已知x＞0，y＞0，x+2y=1，若不等式＞m2+2m成立，则实数m 的取值范围是（）A . m≥4或m≤﹣2B . m≥2或m≤﹣4C . ﹣2＜m＜4D . ﹣4＜m＜27. （2分）若△ABC顶点B,C的坐标分别为(－4,0),(4,0)，AC,AB边上的中线长之和为30，则△ABC的重心G的轨迹方程为（）A .B .C .D .8. （2分） (2018高三上·贵阳月考) 已知为坐标原点，设，分别是双曲线的左、右焦点，点为双曲线左支上任一点，过点作的平分线的垂线，垂足为，若，则双曲线的离心率是（）A .B .C .D .二、填空题 (共7题；共8分)9. （1分） (2018高二下·龙岩期中) 是虚数单位，复数满足，则 =________．10. （1分）(2013·江西理) 抛物线x2=2py（p＞0）的焦点为F，其准线与双曲线 =1相交于A，B 两点，若△ABF为等边三角形，则p=________．11. （1分）(2017·黄石模拟) 已知（3x2﹣1）dx=m，则的展开式中x4的系数是________．12. （2分） (2018高一上·北京期末) 已知函数f（x）=2sin2x-2sin2x-a．①若f（x）=0在x∈R上有解，则a的取值范围是________；②若x1 ， x2是函数y=f（x）在[0， ]内的两个零点，则sin（x1+x2）=________13. （1分）已知Sn为数列{an}的前n项和，且满足a1=1，anan+1=3n（n∈N+），则S2014=________14. （1分）现有5名教师要带3个兴趣小组外出学习考察，要求每个兴趣小组的带队教师至多2人，但其中甲教师和乙教师均不能单独带队，则不同的带队方案有________ 种．（用数字作答）15. （1分） (2016高三上·北区期中) 已知各项为正数的等比数列{an}满足：a7=a6+2a5 ，若存在两项am、an使得，则的最小值为________．三、解答题 (共5题；共50分)16. （5分）(2018·淮北模拟) 如图，在中，，，且点在线段上．（Ⅰ）若，求长；（Ⅱ）若，，求的面积．17. （15分）已知函数f（x）= x3﹣ x2+1，x∈R．（1）求函数f（x）的极大值和极小值；（2）求函数图象经过点（，1）的切线的方程；（3）求函数f（x）= x3﹣ x2+1的图象与直线y=1所围成的封闭图形的面积．18. （15分）(2017·河西模拟) 记U={1，2，…，100}，对数列{an}（n∈N*）和U的子集T，若T=∅，定义ST=0；若T={t1 ， t2 ，…，tk}，定义ST= + +…+ ．例如：T={1，3，66}时，ST=a1+a3+a66 ．现设{an}（n∈N*）是公比为3的等比数列，且当T={2，4}时，ST=30．（1）求数列{an}的通项公式；（2）对任意正整数k（1≤k≤100），若T⊆{1，2，…，k}，求证：ST＜ak+1；（3）设C⊆U，D⊆U，SC≥SD，求证：SC+SC∩D≥2SD．19. （10分）已知椭圆过左焦点的直线l的倾角为45°与椭圆相交于A，B两点（1）求AB的中点坐标；（2）求△ABF2的周长与面积．20. （5分）设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b∈R）满足条件：①当x∈R时，f（x）的最大值为0，且f （x﹣1）=f（3﹣x）成立；②二次函数f（x）的图象与直线y=﹣2交于A、B两点，且|AB|=4（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）求最小的实数n（n＜﹣1），使得存在实数t，只要当x∈[n，﹣1]时，就有f（x+t）≥2x成立．参考答案一、选择题 (共8题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、二、填空题 (共7题；共8分)9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题 (共5题；共50分)16-1、17-1、17-2、17-3、18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、20-1、。

2023-2024学年福建省福州一中高三（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个1．命题“∀x∈（1，+∞），sin x﹣2x＜0”的否定是（）A．∃x0∈（1，+∞），sinx0−2x0≥0B．∀x∈（﹣∞，1]，sin x﹣2x≥0C．∀x∈（1，+∞），sin x﹣2x≥0D．∃x∈（﹣∞，1]，sin x0−2x0≥02．已知集合A={x|x−2x≤0，x∈N}，B={x|log2√x＜1，x∈Z}，则A∩B＝（）A．{0，1，2，3，4}B．{1，2，3，4}C．{1，2}D．{0，1，2}3．已知a＝cos2，b＝sin3，c＝tan4，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．a＜c＜b4．设函数y＝f（x）的定义域为D，∀x1，x2∈D，当x1+x2＝2a时，恒有f（x1）+f（x2）＝2b，则称点（a，b）为函数y＝f（x）图象的对称中心．利用对称中心的上述定义，研究函数f（x）＝e x﹣e﹣x+sin x+1，可得到f（﹣2023）+f（﹣2022）+…+f（2022）+f（2023）＝（）A．0B．2023C．4046D．40475．设a，b，c都是正数，且3a＝4b＝6c，那么下列关系正确的是（）A．a+2b＝c B．ac+bc＝2ab C．1a+12b=1cD．1a+1b=2c6．设a，b，c分别是△ABC中内角A，B，C的对边，且ab+ba=4cosC，则tanCtanA+tanCtanB=（）A．1B．2C．3D．47．若（3x+y）2023+x2023+4x+y＝0，则4x+y＝（）A．0B．1C．2D．38．函数f（x）＝a sin x+cos x（a＜0）的图象向右平移φ个单位长度后，所得的函数为偶函数，则2sin2φ−a−1a的最小值为（）A．2B．4C．6D．8二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9．已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）A．该图象对应的函数解析式为f(x)=2sin(2x+π3)B．函数y＝f（x）的图象关于点(−5π12，0)对称C．函数y＝f（x）的图象关于直线x=−π6对称D．函数y＝f（x）在[π12，7π12]上单调递减10．已知函数f（x）的定义域为R，且函数f（2x+1）是周期为2的奇函数，则（）A．函数f（x）的图像关于点(12，0)中心对称B．函数f（x）的图像关于点（1，0）中心对称C．2是函数y＝f（x）的一个周期D．4是函数y＝f（x）的一个周期11．已知函数f（x）＝x cos x﹣sin x﹣x的定义域为[﹣2π，2π]，则（）A．f（x）为奇函数B．f（x）在[0，π）上单调递减C．f（x）恰有2个极值点D．f（x）有且仅有2个极大值点12．函数f（x）＝x3﹣ax2﹣x+1，则下列结论正确的是（）A．若函数f（x）在(−12，13)上为减函数，则−1≤a≤14B．若函数f（x）的对称中心为（1，﹣2），则a=32C．当a＝3时，若f（x）＝﹣2有三个根x1，x2，x3，且x1+x2+x3＝3D．当a＝1时，若过点（﹣1，n）可作曲线y＝f（x）的三条切线，则0＜n＜6427三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知角θ的终边过点P（﹣3，4），则sinθ+cosθ的值为．14．已知正实数x，y满足1x+2y=1，则2xy﹣2x﹣y的最小值为．15．已知函数f(x)=sin(2ωx +2π3)−√32（x ∈[0，π2]，ω＞0）有且仅有两个零点，则实数ω的取值范围是 ．16．已知在函数f （x ）＝lnx +3x 2与函数g （x ）＝4x 2﹣ax （a ≠0）的图象上存在关于y 轴对称的点，则实数a 的取值范围是 ．四、解答题：本题共6小题，共70分，17题10分，其他小题各12分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知S n 是数列{a n }的前n 项和，S n =n 2+3n2．（1）求数列{a n }的通项公式； （2）设T n 为数列{1a n a n+1}前n 项的和，若λT n ≤a n +1对一切n ∈N *恒成立，求实数λ的最大值． 18．（12分）在图1中，∠B ＝90°，AB =BC =√2，△ACD 为等边三角形，O 为AC 边的中点，E 在BC 边上，且EC ＝2BE ，沿AC 将△ACD 进行折叠，使点D 运动到点F 的位置，如图2，连接FO ，FB ，FE ，FB ＝2．（1）证明：FO ⊥平面ABC ． （2）求二面角E ﹣F A ﹣C 的余弦值．19．（12分）已知函数f(x)=cos 2x +2√3sinxcosx −sin 2x ． （1）若f(x 02)=15，x 0∈[0，π3]，求cos2x 0的值．（2）A 、B 、C 是△ABC 的三个内角，f （B ）＝2；若D 是AC 边上的点，且AD ＝3DC ＝3，∠A ＝∠ABD ＝θ，求sin θ的值．20．（12分）福州某公园有一个半圆形荷花池（如图所示），为了让游客深入花丛中体验荷花美景，公园管理处计划在半圆形荷花池中设计栈道观景台P 和栈道P A 、PB 、PC 、AB ，观景台P 在半圆形的中轴线OC 上（如图，OC 与直径AB 垂直，P 与O ，C 不重合），通过栈道把荷花池连接起来，使人行其中有置身花海之感．已知AB ＝200米，∠P AB ＝θ，栈道总长度为L ．（1）求L 关于θ的函数关系式．（2）若栈道的造价为每米5千元，问：栈道PC 长度是多少时，栈道的建设费用最小？并求出该最小值．21．（12分）已知△ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，点G 是△ABC 的重心，且AG →•BG →=0． （1）若∠GAB =π6，①直接写出AG CG=_____；②设∠CAG ＝α，求tan α的值．（2）求cos ∠ACB 的取值范围．22．（12分）已知函数f(x)=alnx −bx −1x(x ＞0，a ＞0)，f ′（x ）为f （x ）的导函数．（1）当a ＝1时，讨论函数f （x ）的单调性；（2）已知x 1，x 2∈（0，+∞）（x 1≠x 2），若存在b ∈R ，使得f （x 1）＝f （x 2）成立，求证：f ′（x 1）+f ′（x 2）＞0．2023-2024学年福建省福州一中高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个1．命题“∀x∈（1，+∞），sin x﹣2x＜0”的否定是（）A．∃x0∈（1，+∞），sinx0−2x0≥0B．∀x∈（﹣∞，1]，sin x﹣2x≥0C．∀x∈（1，+∞），sin x﹣2x≥0D．∃x∈（﹣∞，1]，sin x0−2x0≥0解：“∀x∈（1，+∞），sin x﹣2x＜0”的否定是：∃x0∈（1，+∞），sinx0−2x0≥0．故选：A．2．已知集合A={x|x−2x≤0，x∈N}，B={x|log2√x＜1，x∈Z}，则A∩B＝（）A．{0，1，2，3，4}B．{1，2，3，4}C．{1，2}D．{0，1，2}解：∵A={x|x−2x≤0，x∈N}，∴A＝{1，2}，∵B={x|log2√x＜1，x∈Z}，∴B＝{1，2，3}，∴A∩B＝{1，2}．故选：C．3．已知a＝cos2，b＝sin3，c＝tan4，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．a＜c＜b解：令f（x）＝x﹣sin x，则f′（x）＝1﹣cos x≥0，所以函数f（x）在(0，π2)上单调递增，所以当x＞0时，f（x）＞f（0）＝0，即有x＞sin x成立，所以b＝sin3＝sin（π﹣3）＜π﹣3；令g(x)=tanx−x(0＜x＜π2)，则g′(x)=cos2x+sin2xcos2x−1=1−cos2xcos2x＞0，所以函数g（x）在(0，π2)上单调递增，所以当0＜x＜π2时，g（x）＞g（0）＝0，即有tan x＞x成立，所以c＝tan4＝tan（4﹣π）＞4﹣π，因为4﹣π＞π﹣3，所以c＞b，又a=cos2＜cos π2=0，所以a＜b＜c．故选：A．4．设函数y＝f（x）的定义域为D，∀x1，x2∈D，当x1+x2＝2a时，恒有f（x1）+f（x2）＝2b，则称点（a，b）为函数y＝f（x）图象的对称中心．利用对称中心的上述定义，研究函数f（x）＝e x﹣e﹣x+sin x+1，可得到f（﹣2023）+f（﹣2022）+…+f（2022）+f（2023）＝（）A．0B．2023C．4046D．4047解：f（x）＝e x﹣e﹣x+sin x+1的定义域为R．因为f（x）+f（﹣x）＝（e x﹣e﹣x+sin x+1）+[e﹣x﹣e x+sin（﹣x）+1]＝2，所以f（x）的图象关于点（0，1）对称．所以f（﹣2023）+f（﹣2022）+…+f（2022）+f（2023）＝2×2023+f（0）＝4047．故选：D．5．设a，b，c都是正数，且3a＝4b＝6c，那么下列关系正确的是（）A．a+2b＝c B．ac+bc＝2ab C．1a+12b=1cD．1a+1b=2c解：由3a＝4b＝6c＝k，得a＝log3k，b＝log4k，c＝log6k，1 a =logk3，1b=logk4，1c=logk6，则12b=12logk4=logk2，根据log k3+log k2＝log k6可知，1a+12b=1c．故选：C．6．设a，b，c分别是△ABC中内角A，B，C的对边，且ab+ba=4cosC，则tanCtanA+tanCtanB=（）A．1B．2C．3D．4解：由ab+ba=4cosC得a2+b2＝4ab cos C，所以c2＝a2+b2﹣2ab cos C＝2ab cos C，由正弦定理得sin2C＝2sin A sin B cos C，tanC=sinCcosC=2sinAsinBsinC=2sinAsinBsin(A+B)=2sinAsinBsinAcosB+cosAsinB=21tanB+1tanA，所以tanCtanA+tanCtanB=2．故选：B．7．若（3x+y）2023+x2023+4x+y＝0，则4x+y＝（）A．0B．1C．2D．3解：设f（x）＝x2023+x，x∈R，因为f（﹣x）＝（﹣x）2023+（﹣x）＝﹣（x2023+x）＝﹣f（x），所以f（x）为奇函数，又因为y＝x2023和y＝x在R上都为增函数，所以f（x）在R上为增函数．由（3x+y）2023+x2023+4x+y＝0得（3x+y）2023+3x+y＝﹣（x2023+x），即f（3x+y）＝﹣f（x）＝f（﹣x），所以3x+y＝﹣x，即4x+y＝0．故选：A．8．函数f（x）＝a sin x+cos x（a＜0）的图象向右平移φ个单位长度后，所得的函数为偶函数，则2sin2φ−a−1a的最小值为（）A．2B．4C．6D．8解：f(x)=asinx+cosx=√a2+1sin(x+α)，其中tanα=1 a ，函数的图象向右平移φ个单位长度后，得到函数y=√a2+1sin(x+α−φ)为偶函数，则当x＝0时，α−φ=π2+kπ，k∈Z，即φ=α−π2−kπ，则2φ＝2α﹣π﹣2kπ，k∈Z，sin2φ=sin(2α−π−2kπ)=−sin2α=−2sinαcosαsin2α+cos2α=−2tanα1+tan2α=−2a1+1a2=−2aa2+1，即2sin2φ−a−1a=−4aa2+1−a2+1a，因为a＜0，所以−4aa2+1＞0，−a2+1a＞0，所以−4aa2+1−a2+1a≥2√(−4aa2+1)×(−a2+1a)=4，当4aa2+1=a2+1a，即a＝﹣1时，等号成立，所以2sin2φ−a−1a的最小值为4．故选：B．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9．已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）A．该图象对应的函数解析式为f(x)=2sin(2x+π3)B ．函数y ＝f （x ）的图象关于点(−5π12，0)对称 C ．函数y ＝f （x ）的图象关于直线x =−π6对称D ．函数y ＝f （x ）在[π12，7π12]上单调递减解：由函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）的部分图象知，A ＝2， 所以T ＝4×（π3−π12）＝π，所以ω=2πT=2， 又因为f （π12）＝2sin （2×π12+φ）＝2，所以π6+φ=π2+2k π，k ∈Z ，解得φ=π3+2k π，k ∈Z ， 又因为|φ|＜π2，所以φ=π3，所以f （x ）＝2sin （2x +π3），故A 正确；因为x =−5π12时，f （−5π12）＝2sin （−5π6+π3）＝﹣2≠0， 所以函数y ＝f （x ）的图象不关于点(−5π12，0)对称，选项B 错误； 因为x =−π6时，f （﹣）＝2sin （−π3+π3）＝0≠±2，所以f （x ）的图象不关于x =−π6对称，选项C 错误；因为x ∈[π12，7π12]时，2x +π3∈[π2，3π2]，所以函数f （x ）＝2sin （2x +π3）单调递减，选项D 正确．故选：AD ．10．已知函数f （x ）的定义域为R ，且函数f （2x +1）是周期为2的奇函数，则（ ） A ．函数f （x ）的图像关于点(12，0)中心对称B ．函数f （x ）的图像关于点（1，0）中心对称C ．2是函数y ＝f （x ）的一个周期D ．4是函数y ＝f （x ）的一个周期解：根据题意，因为f（2x+1）是奇函数，所以f（2x+1）+f（﹣2x+1）＝0，则f（x+1）+f（﹣x+1）＝0，所以f（x）的图像关于点（1，0）中心对称，故B正确；因为f（2x+1）的周期是2，所以f（2x+1）＝f（2（x+2）+1）＝f（2x+5），即f（x+1）＝f（x+5）⇒f（x）＝f（x+4），即4是函数y＝f（x）的一个周期，故D正确；不妨令f（2x+1）＝sin（πx），显然符合要求，此时f(x)=sin(π2x−π2)，显然其周期为T=2ππ2=4≠2，且f(12)≠0，故A、C错误．故选：BD．11．已知函数f（x）＝x cos x﹣sin x﹣x的定义域为[﹣2π，2π]，则（）A．f（x）为奇函数B．f（x）在[0，π）上单调递减C．f（x）恰有2个极值点D．f（x）有且仅有2个极大值点解：A．函数的定义域为[﹣2π，2π]，关于原点对称，又f（﹣x）＝﹣x cos（﹣x）﹣sin（﹣x）+x＝﹣x cos x+sin x+x＝﹣f（x），所以函数f（x）为奇函数，故A正确；B．由f（x）＝x cos x﹣sin x﹣x，得f′（x）＝cos x﹣x sin x﹣cos x﹣1＝﹣x sin x﹣1，当x∈[0，π）时，f′（x）＜0，所以函数f（x）在[0，π）上单调递减，故B正确；C．显然f′（0）≠0，当x≠0时，令f′（x）＝0，则﹣x sin x﹣1＝0，所以sinx=−1x，分别作出y＝sin x和y=−1x在[﹣2π，2π]的图象，由图可知，这两个函数的图象在区间[﹣2π，2π]上共有4个公共点，且图象在这些公共点处都不相切，故f（x）在区间[﹣2π，2π]上的极值点的个数为4，有2个极大值点，故C错误，D正确．故选：ABD．12．函数f（x）＝x3﹣ax2﹣x+1，则下列结论正确的是（）A ．若函数f （x ）在(−12，13)上为减函数，则−1≤a ≤14B ．若函数f （x ）的对称中心为（1，﹣2），则a =32C ．当a ＝3时，若f （x ）＝﹣2有三个根x 1，x 2，x 3，且x 1+x 2+x 3＝3D ．当a ＝1时，若过点（﹣1，n ）可作曲线y ＝f （x ）的三条切线，则0＜n ＜6427解：对于A ，f （x ）＝x 3﹣ax 2﹣x +1，∴f ′（x ）＝3x 2﹣2ax ﹣1， 函数f （x ）在(−12，13)上为减函数，则f ′（x ）≤0，对∀x ∈(−12，13)，所以{f ′(−12)=34+a −1≤0f′(13)=13−23a −1≤0，解得−1≤a ≤14，故A 正确；对于B ，函数f （x ）的对称中心为（1，﹣2），则f （0）+f （2）＝﹣4， 即1+8﹣4a ﹣2+1＝﹣4，解得a ＝3，故B 错误；对于C ，当a ＝3时，f （x ）＝x 3﹣3x 2﹣x +1，则f （x ）＝﹣2，即x 3﹣3x 2﹣x +3＝0，化简得（x +1）（x ﹣1）（x ﹣3）＝0，其3个根为x 1＝﹣1，x 2＝1，x 3＝3，所以x 1+x 2+x 3＝3，故C 正确； 对于D ，当a ＝1时，f （x ）＝x 3﹣x 2﹣x +1，设切点为（x 0，y 0），则y 0=x 03−x 02−x 0+1，切线的斜率k =f ′(x 0)=3x 02−2x 0−1， 则切线方程为y −(x 03−x 02−x 0+1)=(3x 02−2x 0−1)(x −x 0)， 将点（﹣1，n ）代入上式，整理得n ＝﹣2x 03−2x 02+2x 0+2，过点（﹣1，n ）可作曲线y ＝f （x ）的三条切线，即方程n ＝﹣2x 03−2x 02+2x 0+2有三个不同的解，令g （x ）＝﹣2x 3﹣2x 2+2x +2，则g ′（x ）＝﹣6x 2﹣4x +2＝﹣2（x +1）（3x ﹣1）， 当x ∈（﹣∞，﹣1）时，g ′（x ）＜0，函数g （x ）单调递减， 当x ∈(−1，13)时，g ′（x ）＞0，函数g （x ）单调递增，当x ∈(13，+∞)时，g ′（x ）＜0，函数g （x ）单调递减，所以函数g （x ）在x ＝﹣1处取得极小值，极小值为g （﹣1）＝0， 在x =13处取得极大值，极大值为g(13)=6427，由方程n ＝﹣2x 03−2x 02+2x 0+2有三个不同的解，所以0＜n ＜6427，故D 正确． 故选：ACD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知角θ的终边过点P （﹣3，4），则sin θ+cos θ的值为15 ． 解：∵θ的终边过点P （﹣3，4），∴cos θ=−3√(−3)+4=−35， sin θ=√(−3)+4=45， ∴sin θ+cos θ=45+（−35）=15． 故答案为：15． 14．已知正实数x ，y 满足1x +2y=1，则2xy ﹣2x ﹣y 的最小值为 8 ． 解：因为x ＞0，y ＞0，所以1=1x +2y ≥2√2xy，即xy ≥8，当且仅当x ＝2，y ＝4时，等号成立， 所以2xy ﹣2x ﹣y =xy(2−2y −1x)=xy(2−1)=xy ≥8． 即2xy ﹣2x ﹣y 的最小值为8．故答案为：8．15．已知函数f(x)=sin(2ωx +2π3)−√32（x ∈[0，π2]，ω＞0）有且仅有两个零点，则实数ω的取值范围是 [53，2) ． 解：令f(x)=sin(2ωx +2π3)−√32=0，得sin(2ωx +2π3)=√32， 由题意方程sin(2ωx +2π3)=√32在x ∈[0，π2]上有且仅有两个实根， 由x ∈[0，π2]，得2ωx +2π3∈[2π3，ωπ+2π3]， 所以7π3≤ωπ+2π3＜8π3，解得53≤ω＜2， 所以实数ω的取值范围是53≤ω＜2． 故答案为：[53，2)． 16．已知在函数f （x ）＝lnx +3x 2与函数g （x ）＝4x 2﹣ax （a ≠0）的图象上存在关于y 轴对称的点，则实数a 的取值范围是 （﹣∞，﹣1] ．解：设f （x ）＝lnx +3x 2上一点坐标（x 0，f （x 0））（x 0＞0），则其关于y 轴对称的点为（﹣x 0，f （x 0）），若该点在函数g（x）＝4x2﹣ax（a≠0）上，则有g（﹣x0）＝f（x0），故有4x02+ax0=lnx0+3x02⇒a=lnx0x0−x0，令ℎ(x)=lnxx−x，则ℎ′(x)=1−x2−lnxx2，令m（x）＝1﹣x2﹣lnx，m′(x)=−2x−1x＜0，所以m（x）在（0，+∞）上单调递减，又m（1）＝0⇒x＞1时，m（x）＜0，h′（x）＜0，即此时h（x）单调递减，0＜x＜1时，m（x）＞0，h′（x）＞0，即此时h（x）单调递增，所以h（x）≤h（1）＝﹣1，所以a≤﹣1．故答案为：（﹣∞，﹣1]．四、解答题：本题共6小题，共70分，17题10分，其他小题各12分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知S n是数列{a n}的前n项和，S n=n 2+3n 2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设T n为数列{1a n a n+1}前n项的和，若λT n≤a n+1对一切n∈N*恒成立，求实数λ的最大值．解：（1）因为S n是数列{a n}的前n项和，且S n=n2+3n2，则S n−1=(n−1)2+3(n−1)2，当n≥2时，a n=S n−S n−1=n2+3n2−(n−1)2+3(n−1)2=n+1，当n＝1时，a1＝S1＝2，满足通项公式，所以{a n}的通项公式为a n＝n+1．（2）因为T n为数列{1a n a n+1}前n项的和，令b n=1a n a n+1=1(n+1)(n+2)=1n+1−1n+2，则T n=b1+b2+b3+⋯+b n−1+b n=(12−13)+(13−14)+(14−15)+⋯+(1n−1n+1)+(1n+1−1n+2)，=12−1n+2=n2(n+2)，因为λT n≤a n+1对一切n∈N*恒成立，则λ≤a n+1T n=2(n+4n)+8，因为n+4n≥2√n⋅4n=4，当且仅当n＝2时，等号成立．所以2(n+4n)+8≥16，所以实数λ的最大值为16．18．（12分）在图1中，∠B＝90°，AB=BC=√2，△ACD为等边三角形，O为AC边的中点，E在BC 边上，且EC＝2BE，沿AC将△ACD进行折叠，使点D运动到点F的位置，如图2，连接FO，FB，FE，FB＝2．（1）证明：FO⊥平面ABC．（2）求二面角E﹣F A﹣C的余弦值．（1）证明：由题意FO⊥AC，又AC＝2，FO=√3，OB＝1，而FB＝2，所以FO2+BO2＝FB2，所以FO⊥BO，因为AC∩BO＝O，AC，BO⊂平面ABC，所以FO⊥平面ABC；（2）解：以O为坐标原点，分别以OB，OC，OF所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图，则A（0，﹣1，0），F(0，0，√3)，E(23，13，0)，AF →=(0，1，√3)，AE →=(23，43，0)， 设平面AEF 的一个法向量是m →=（x ，y ，z ），则{m →⋅AF →=y +√3z =0m →⋅AE →=23x +43y =0，取y =−√3，则x =2√3，z ＝1，则m →=(2√3，−√3，1)， 显然n →=（1，0，0）是平面AFC 的一个法向量，cos ＜m →，n →＞=m →⋅n →|m →||n →|=√312+3+1×1=√32， 所以二面角E ﹣F A ﹣C 的余弦值为√32． 19．（12分）已知函数f(x)=cos 2x +2√3sinxcosx −sin 2x ． （1）若f(x 02)=15，x 0∈[0，π3]，求cos2x 0的值． （2）A 、B 、C 是△ABC 的三个内角，f （B ）＝2；若D 是AC 边上的点，且AD ＝3DC ＝3，∠A ＝∠ABD ＝θ，求sin θ的值．解：（1）因为f(x)=cos 2x +2√3sinxcosx −sin 2x =√3sin2x +cos2x =2sin(2x +π6)， 所以f(x 02)=√3sinx 0+cosx 0=15， 将cosx 0=15−√3sinx 0代入sin 2x 0+cos 2x 0=1， 得4sin 2x 0−2√35sinx 0−2425=0， 解得sinx 0=√3+3√1120或sinx 0=√3−3√1120又x 0∈[0，π3]，所议sinx 0=√3+3√1120， 所以cos2x 0=1−2sin 2x 0=1−2(√3+3√1120)2=49−3√33100． （2）f(B)=2sin(2B +π6)=2，因为B ∈（0，π），所以2B +π6∈(π6，13π6)， 所以2B +π6=π2，即B =π6， 因为∠A ＝∠ABD ＝θ，所以BD ＝AD ＝3， 在△ABC 中，由正弦定理可得BC =ACsinθsin30°=8sinθ， 因为∠BCD ＝2θ，CD ＝1，所以，在△BCD 中，由余弦定理有32+12−2×3×1×cos2θ=(8sinθ)2，整理得10﹣6cos2θ＝64sin 2θ，即10﹣6+12sin 2θ＝64sin 2θ，解得sin 2θ=113， 因为0＜θ＜π6， 所以sinθ=√1313．20．（12分）福州某公园有一个半圆形荷花池（如图所示），为了让游客深入花丛中体验荷花美景，公园管理处计划在半圆形荷花池中设计栈道观景台P 和栈道P A 、PB 、PC 、AB ，观景台P 在半圆形的中轴线OC 上（如图，OC 与直径AB 垂直，P 与O ，C 不重合），通过栈道把荷花池连接起来，使人行其中有置身花海之感．已知AB ＝200米，∠P AB ＝θ，栈道总长度为L ．（1）求L 关于θ的函数关系式．（2）若栈道的造价为每米5千元，问：栈道PC 长度是多少时，栈道的建设费用最小？并求出该最小值．解：（1）因为P 在半圆形的中轴线OC 上，OC ⊥AB ，AB ＝200米，∠P AB ＝θ，所以PA =PB =12OA cosθ=100cosθ，PO =12ABtanθ=100tanθ， 所以PC ＝OC ﹣PO ＝100﹣100tan θ，所以栈道总长度L =PA +PB +PC +AB =100cosθ+100cosθ+100−100tanθ+200=200cosθ−100tanθ+300，θ∈(0，π4)． （2）由（1）得L ′(θ)=100(2sinθ−1)cos 2θ，θ∈(0，π4)， 所以当0＜θ＜π6时，L ′（θ）＜0，L 单调递减，当π6＜θ＜π4时，L ′（θ）＞0，L 单调递增， 所以当θ=π6，即PC =100−100tan π6=100(3−√3)3时，栈道的建设费用最小， 建设费用最小值为5×(200cos π6−100tan π6+300)=500√3+1500千元． 21．（12分）已知△ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，点G 是△ABC 的重心，且AG →•BG →=0．（1）若∠GAB =π6，①直接写出AG CG=_____；②设∠CAG ＝α，求tan α的值． （2）求cos ∠ACB 的取值范围．解：（1）①设AB 的中点为D ，则D ，G ，C 三点共线且CG ＝2DG ，因为AG →⋅BG →=0，所以AG ⊥BG ，所以AD ＝DG ，因为∠GAB =π6，所以∠GAB ＝∠AGD =π6，∠ADG =2π3， 所以在△ADG 中，由余弦定理得AG =√AD 2+DG 2−2AD ⋅DGcos∠ADG =√3DG ，所以AG CG =√32． ②以A 为原点，AB 所在直线为x 轴建立如图平面直角坐标系，设AB ＝2，则B （2，0），G(32，√32)，D （1，0）， DG →=(12，√32)，GC →=2DG →=(1，√3)，故C(52，3√32)， 所以tan ∠BAC =3√35， 所以tanα=tan(∠BAC −π6)=tan∠BAC−tan π61+tan∠BAC⋅tan π6=3√35−√331+3√35×√33=√36． （2）设∠GAB =θ，θ∈(0，π2)，则G （2cos 2θ，2cos θsin θ），DG →=(2cos 2θ−1，2cosθsinθ)=(cos2θ，sin2θ)，GC →=2DG →=(2cos2θ，2sin2θ)，故C （2cos2θ+2cos 2θ，3sin2θ），即C （3cos2θ+1，3sin2θ）所以CA →=(−3cos2θ−1，−3sin2θ)，CB →=(1−3cos2θ，−3sin2θ)，|CA → |=√9cos 22θ+1+6cos2θ+9sin 22θ=√10+6cos2θ，|CB → |=√1−6cos2θ+9cos 22θ+9sin 22θ=√10−6cos2θ，所以cos ∠ACB =CA →⋅CB→|CA →||CB →|=8√100−36cos 2θ，因为θ∈(0，π2)，所以2θ∈（0，π），所以﹣1＜cos2θ＜1，所以45≤√100−36cos 22θ1， 即cos ∠ACB ∈[45，1)．22．（12分）已知函数f(x)=alnx −bx −1x(x ＞0，a ＞0)，f ′（x ）为f （x ）的导函数． （1）当a ＝1时，讨论函数f （x ）的单调性；（2）已知x 1，x 2∈（0，+∞）（x 1≠x 2），若存在b ∈R ，使得f （x 1）＝f （x 2）成立，求证：f ′（x 1）+f ′（x 2）＞0．解：（1）当a ＝1时，f(x)=lnx −bx −1x，x ＞0， f ′(x)=1x −b +1x 2=−bx 2+x+1x 2， 当b ＝0时，f ′（x ）在区间（0，+∞）上恒大于0，此时函数的单调递增区间是（0，+∞）； 当b ＞0时，设g （x ）＝﹣bx 2+x +1＝0，其中Δ＝1+4b ＞0，当x ∈(0，1+√1+4b 2b )，f ′（x ）＞0，函数单调递增， 当x ∈(1+√1+4b 2b，+∞)，f ′（x ）＜0，函数单调递减， 当b ＜0时，Δ＝1+4b ，当b ≤−14时，Δ≤0，此时f ′（x ）≥0恒成立，函数的单调递增区间是（0，+∞）， 当−14＜b ＜0时，Δ＝1+4b ＞0， 当1−√1+4b 2b ＜0且1+√1+4b 2b＜0， 所以f ′（x ）在区间（0，+∞）上恒大于0，即函数的单调递增区间是（0，+∞），综上可知，b ≤0时，函数的单调递增区间是（0，+∞），当b ＞0时，函数的单调递减区间是(0，1+√1+4b 2b )，函数的单调递减区间是(1+√1+4b 2b，+∞)； （2）证明：不妨设x 1＞x 2，因为f （x 1）＝f （x 2），则alnx1−bx1−1x1=alnx2−bx2−1x2，即alnx1−alnx2−1x1+1x2=b(x1−x2)，得aln x1x2x1−x2+1x1x2=b，由f′(x)=1x2+ax−b，则f′(x1)+f′(x2)=(1x12+1x22)+a(1x1+1x2)−2(aln x1x2x1−x2+1x1x2)，f′(x1)+f′(x2)=(1x12+1x22−2x1x2)+a(1x1+1x2−2ln x1x2x1−x2)，所以f′(x1)+f′(x2)=(x1−x2)2x12x22+ax1−x2(x12−x22x1x2−2lnx1x2)，f′(x1)+f′(x2)=(x1−x2)2x12x22+ax1−x2(x1x2−x2x1−2lnx1x2)，设t=x1x2∈(1，+∞)，构造函数φ(t)=t−1t−2lnt(t＞1)，φ′(t)=1+1t2−2t=(t−1)2t2＞0，所以φ（t）在（1，+∞）上为增函数，所以φ（t）＞φ（1）＝0，即x1x2−x2x1−2lnx1x2＞0，又(x1−x2)2x12x22＞0，a＞0，x1﹣x2＞0，所以f′（x1）+f′（x2）＞0．。

福建省福州市2020年高三上学期期中数学试卷（理科）（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2017·日照模拟) 已知集合M={0，1，2}，N={x|﹣1≤x≤1，x∈Z}，则（）A . M⊆NB . N⊆MC . M∩N={0，1}D . M∪N=N2. （2分） (2017高一上·安庆期末) 已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（）A .B .C .D . （﹣∞，﹣1]3. （2分） (2019高二下·宝安期末) 已知数列为等差数列，为其前项和，，则（）A .B .C .D .4. （2分）一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（）A .B .C . 2D . 15. （2分）(2019·全国Ⅲ卷理) 执行下边的程序框图，如果输入的为0.01，则输出的值等于（）A .B .C .D .6. （2分）已知函数f（x）=x2+x﹣2，x∈[﹣4，6]，在函数f（x）的定义域内任取一点x0 ，使得f（x0）≥0的概率是（）A .B .C .7. （2分） (2019高一下·湖州期末) 设，若不等式恒成立，则实数a 的取值范围是（）A .B .C .D .8. （2分）若直线l经过两点（﹣1，2），（﹣3，4），则直线l的倾斜角为（）A . 45°B . 60°C . 120°D . 135°9. （2分） (2015高三下·湖北期中) 为得到函数y=cos（2x+ ）的图像，只需将函数y=sin2x的图像（）A . 向左平移个单位长度B . 向右平移个单位长度C . 向左平移个单位长度D . 向右平移个单位长度10. （2分） (2016高一上·揭阳期中) 定义在R上的函数f（x）满足：①f（0）=0，②f（x）+f（1﹣x）=1，③f（）= f（x）且当0≤x1＜x2≤1时，f（x1）≤f（x2），则f（）+f（）等于（）A . 1C .D .11. （2分） (2018高一下·长阳期末) 等比数列的各项均为正数，且，则（）A . 12B . 10C . 8D . 612. （2分） (2020高一下·鸡西期末) 已知数列为等差数列，若为函数的两个零点，则＝（）A . -14B . 20C . 14D . -9二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2017·上饶模拟) 若正方形ABCD的边长为，若，则λ的值为________．14. （1分）如图，在边长为e（e为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为________．15. （1分）(2019·江南模拟) 设，满足约束条件，则的最小值为________．16. （1分） (2017高二下·赣州期末) 36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为36=22×32 ，所以36的所有正约数之和为（1+3+32）+（2+2×3+2×32）+（22+22×3+22×32）=（1+2+22）（1+3+32）=91，参照上述方法，可求得200的所有正约数之和为________．三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分）(2017·北京) 在△AB C中，∠A=60°，c= a．（13分）（1）求sinC的值；（2）若a=7，求△ABC的面积．18. （10分）在某篮球比赛中，根据甲和乙两人的得分情况得到如图所示的茎叶图．（1）从茎叶图的特征来说明他们谁发挥得更稳定；（2）用样本的数字特征验证他们谁发挥得更好．19. （10分） (2016高二上·郑州期中) 设正项数列{an}的前n项和Sn ，且满足2Sn=an2+an ．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若数列bn= + ，数列{bn}的前n项和为Tn ，求证：Tn＜2n+ ．20. （15分）(2018·广安模拟) 如图，在棱长为的正方体中，是线段上的动点.（1）证明：平面；（2）若点是的中点，证明：平面平面；（3）求三棱锥的体积.21. （5分）动点P与定点F（6，0）的距离和它到定直线的距离的比是3，求动点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形．22. （10分）已知函数f（x）=e2x﹣1（x2+ax﹣2a2+1）．（a∈R）（1）若a=1，求函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（2）讨论函数f（x）的单调性．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分)17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、21-1、22-1、22-2、第11 页共11 页。