全局最优化问题的一些最优性条件

第３１卷第２期　青岛科技大学学报（自然科学版）　Ｖｏ１．３１　Ｎｏ．２　２０１０年４月　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｑｉｎｇｄａｏ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　ａｎｄ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ（Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｅｄｉｔｉｏｎ）　Ａｐｒ．２０１０　

文章编号：１６７２—６９８７（２０１０）０２—０２１４—０３　全局最优化问题的一些最优性条件　

李博，周伊佳　（青岛科技大学数理学院，山东青岛２６６０６１）　

摘要：给出一类新的全局最优解的条件：Ｈ一差商法。首先根据　次梯度的概念给出Ｈ．　差商和Ｈ一正规形的定义，再根据　差商定义Ｈ一差商集，　差商集是一些非线性函数所　成的集合；然后得到关于特殊函数Ｈ　差商和Ｈ一正规形的全局最优解的充分必要条件。　关键词：全局最优化；充要条件；Ｈ　差商；Ｈ一正规形　中图分类号：Ｏ　２２１　文献标志码：Ａ　

Ｓｅｖｅｒａｌ　Ｎｅｗ　Ｏｐｔｉｍａｌｉｔｙ　Ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ　ｆｏｒ　Ｇｌｏｂａｌ　Ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ　ＬＩ　Ｂｏ，ＺＨＯＵ　Ｙｉ－ｊｉａ　（Ｃｏｌｌｅｇｅ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　ａｎｄ　Ｐｈｙｓｉｃ，Ｑｉｎｇｄａｏ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　ａｎｄ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｑｉｎｇｄａｏ　２６６０６１，Ｃｈｉｎａ）　

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａ　ｎｅｗ　ｇｌｏｂａｌ　ｏｐｔｉｍａｌｉｔｙ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ　ｉｓ　ｐｒｏｐｏｓｅｄ：Ｈ—ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｍｅｔｈｏｄ．Ｆｉｒｓｔｌｙ　Ｈ—ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ａｎｄ　Ｈ—ｎｏｒｍａｌ　ｆｏｒｍ　ａｒｅ　ｐｒｅｓｅｎｔｅｄ　ａｃｃｏｒｄｉｎｇ　ｔｏ　ｔｈｅ　Ｌ—ｓｕｂｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ。　ｔｈｅｎ　ｔｈｅ　Ｈ—ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｓｅｔ　ｉｓ　ｐｒｅｓｅｎｔｅｄ　ａｃｃｏｒｄｉｎｇ　ｔｏ　ｔｈｅ　Ｈ～ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａ１．Ｈ—ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｉｓ　ａ　ｓｅｔ　ｏｆ　ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ　ｗｈｉｃｈ　ａｒｅ　ｎｏｔ　ｌｉｎｅａｒ　ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ．Ｆｉｎａｌｌｙ　ｉｔ　ｉｓ　ｏｂｔａｉｎｅｄ　ｔｈａｔ　ｓｏｍｅ　ｎｅｃｅｓ—　ｓａｒｙ　ａｎｄ　ｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ｇｌｏｂａｌ　ｏｐｔｉｍａｌｉｔｙ　ｉｎ　ｔｅｒｍｓ　ｏｆ　Ｈ—ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ａｎｄ　Ｈ—ｎｏｒ—　ｍａｌ　ｆｏｒｍ　ｏｆ　ｓｐｅｃｉａｌ　ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｇｌｏｂａｌ　ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ；ｎｅｃｅｓｓａｒｙ　ａｎｄ　ｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ；Ｈ—ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ；Ｈ—　ｎｏｒｍａ１　ｆｏｒｍ　

全局最优化理论的基本研究对象之一是如何　得到一个优化问题的全局最优解。近年来，在如　何求得全局最优解的研究方面已经取得了一些研　究成果，有很多种求解方法。对于带有约束的最　优化问题，文献［１—２］分别给出了全局最优性条　件，然而这更多的是局限于凸规划问题ｌ３］，文献　［４—６］在几种特殊的非凸规划问题的全局最优解　的刻画方面取得一定的进展，但理论仍不完善，需　要做的工作还有很多。　本研究根据工，次梯度的概念，定义了Ｈ＿差　商，然后利用Ｈ＿差商法给出一个可行解是非凸规　划问题的全局最优解的充分性条件，最后将给出　一类特殊函数关于一般函数的全局最优解的充分　收稿日期：２００９—０７—０５　作者简介：李博（１９５７），男，教授　必要条件。　１　基本定义　本研究将使用如下记号：Ｒ表示实数集，Ｒ”　表示７＂／维欧式空间，　（　）＞０表示　（ｚ）的海　塞矩阵　（ｚ）正定。令Ｈ是　上的实函数所构　成的集合。　考虑如下形式的非线性规划问题：　Ｍｉｎ－厂（ｚ），　其中厂：　一Ｒ，厂（ｚ）Ｅ　Ｃ　，Ｖ　ｚ　Ｅ　Ｄ　Ｒ　．　定义１（Ｈ－差商）令厂：　一Ｒ，３２。∈Ｒ　，　ｈ　Ｅ　Ｈ称为函数－厂在ｚ。的Ｈ．差商，如果　第２期　李　博等：全局最优化问题的一些最优性条件　２１５　≥　，Ｖ　ｚ∈　，其中ｌ　ｈ（ｘｏ）ｌ≠　０且ｆ（ｘ。）≠０。ｆ在２１２。的所有Ｈ＿差商的集合　ｆ（ｘ。）称为函数－厂在．３２。的Ｈ＿差商集。　例如，函数ｈ（ｚ）一一．３２。一１即为函数厂（ｚ）一　ｅ　在．３２。一０点的Ｈ＿差商。　定义２（Ｈ＿正规形）对一个给定的集合　Ｄ　，则在点ｚ　Ｅ　Ｄ处，Ｄ的Ｈ一正规形　Ｍ　．。

（１ｚ）是指　

ＭＨ，。

（　）：一｛　∈Ｈ　＿１＿鲁　≥１，Ｖ　Ｅ　Ｄ，　

Ｉ　ｈ（ｚ）Ｊ≠０｝，　例如，对于集合Ｄ一｛Ｙ：　≥０｝，函数ｈ（ｚ）一　ｅ　为在　一０时集合Ｍ“．ｏ（ｚ）中的元素。　

２　全局最优性条件　定理１（全局最优解的充分性条件）设，：　一Ｒ，Ｄ（二＝Ｒ　，ｎ∈Ｄ，－厂（　）＞０。设Ｈ是　上　的实函数所构成的集合，如果存在ｈ　Ｅ　Ｈ，满足　厂（＆）ｎ　ＭＨ，Ｄ（ｎ）≠　，　（１）　则ａ是厂在Ｄ上的一个全局极小点。　证明由式（１），存在ｈ　Ｅ　厂（ｎ）ｎ　ＭＨ，ｏ（ｎ）。　所以，对任意　Ｅ　Ｄ，有：　≥　ｈ新且　ｈ　≥　，厂（口），／ｌ（ｎ）Ｉ—Ｉ（口）ｌ　’　

故厂（　）≥厂（ａ），即ａ是－厂在Ｄ上的全局极小点。　推论１（全局最优解的充要条件）设＿厂：　一　Ｒ，ＤｃＲ　，ａ　Ｅ　Ｄ，ｆ（Ｊｃ）＞０。设Ｈ是　上的实函　数所构成的集合，如果厂∈Ｈ，则ａ是－厂在Ｄ上的　一个全局极小点的充要条件是　＿厂（ｎ）ｎ　ＭＨ．Ｄ（ｎ）≠　。　

证明充分性已由定理１的证明过程给出，下　面只证明必要性。　假设ａ是函数ｆ（ｚ）在Ｄ上的一个全局极小　点，因此有ｆ（Ｊｃ）≥厂（ｎ），因为ｆ（３ｃ）＞０，故有　

≥ｌ’因此厂∈ＭＨ＿Ｄ（　。　另一方面，易见　等　≥　等手，则＿厂∈　ｆ（ｎ），综上所述，　厂Ｅ　ｆ（ｎ）ｎ　ＭＨ，Ｄ（ｎ）≠　。　定理２令　（ｚ）：　（工）ｅ　，其中－厂：　一　Ｒ，对Ｖ　Ｌｚ　Ｅ　Ｄ　Ｒ”有ｆ（ｚ）＞０且满足ｈ（ｚ）一　ｅ　Ｅ　－厂（ｚ），如果厂（　）在Ｄ上存在全局极小　点，则ｚ是＿厂（ｚ）的全局极小点的充要条件是ｚ是　

（ｚ）的全局极小点．　证明必要性对于Ｖ　Ｅ　Ｄ　Ｒ　，设，７２是　厂（　）的全局极小点，则有厂（　）≤厂（　ｚ），并且已　知ｅ加　∈　ｈ，（ｚ），故　厂（ｚ）＼ｈ（驯　一ｅ　—　Ｔ　Ｔ一了　’　

由于厂（ｚ）＞０，因此得到　－厂（ｚ）ｅ　≥－厂（　）ｅｆ‘　。　（２）　另一方面，由于厂（　）≤＿厂（　），且－厂（ｚ）＞０，　ｅｍ’＞０，则有　厂（ｚ）ｅ　≥厂（ｚ）ｅ　‘　，　（３）　且　（ｚ）ｅ　‘；　≥厂（　）ｅｆ‘　。　（４）　综合式（２）、（３）、（４）得　厂（ｚ）ｅ加　≥厂（　）ｅｆ（　。　因此，对于ＶｚＥ　Ｄ（＝＝　，　是　（　）的全局极小点。　充分性对于Ｖ　ｚ　Ｅ　Ｄ　ｃ　Ｒ”，设　是　（　）的　全局极小点，根据全局极小点的性质有　（ｚ）一０且　（ｚ）＞０，故有　（　）＝＝＝ｅｆ‘；　，（　）－厂（　）＋ｅｆ　；　厂（　）一　（ｅｓ　厂（　）＋ｅｆ　）　厂（　）一０，　可以看出，　厂（ｚ）与正数相乘等于０，因此得到　Ｖ＿厂（　）：０。　另一方面有　（　）一ｅｆ（；　（厂（　）＋２）　厂（　）（ｖｆ（２ｒ）￣　＋　ｅ，‘；　（厂（ｊ）＋１）　。厂（；）＞０，　由于已经得到　厂（　）＝＝＝０，因此有　（　）一ｅｆ‘；　（厂（　）＋１）　厂（　）＞ｏ，　由于，（ｚ）＞ｏ，显然得到　厂（ｚ）＞ｏ，故ｚ是　＿厂（ｚ）的局部极小点。　下证．７２是厂（ｚ）的全局极小点。　反证法：若　不是－厂（ｚ）的全局极小点，假设　存在点ｚ。Ｅ　Ｘ且ｚ。≠ｚ，ｚ。是－厂（ｚ）的全局极小　点，则有ｆ（ｘ。）＜－厂（　），易证得　ｅｆ‘Ｉ口　ｆ（ｘ０）＜ｅｆ‘；　，（　），　即　（ｚｏ）＜　（ｚ），这与ｚ是　（ｚ）的全局极小点矛　盾，因此　是ｆ（ｚ）的全局极小点。　

定理３令　（ｚ）一一７　。　，其中厂：Ｒ　一　Ｒ，对Ｖ　ｚ　Ｅ　Ｄ　Ｒ　有ｆ（　）＜０且满足ｈ（　）＝　ｅｆ（ｘ）Ｅａｈ（一７　，如果　（ｚ）在Ｄ上存在全局　极小点，则　是厂（ｚ）的全局极小点当且仅当３２是　（ｚ）的全局极小点．　证明必要性对于Ｖ　ｚ　Ｅ　Ｄ（＝＝Ｒ　，设，７２是　２１６　青岛科技大学学报（自然科学版）　第３１卷　ｆ（ｚ）的全局极小点，则有ｆ（ｚ）≤　（　），开且　ｅ　∈　（一　），故　

≥　ｈ轩一　ｅｆ（，厂（ｚ）　ｌ（　）１　’　由于－厂（　）≤厂（ｚ），ｅ　’＞０且厂（ｚ）＜０，因此　一　ｅ，（　≥一击ｅ　）。　㈣　

、再次利用－厂（ｚ）＜０及ｅ　＞０，则有　击ｅ，（　≥一　ｅ，（　，　（６）　

且　一高　≥一击　，　（７）　

综合式（５）、（６）、（７）得　一击ｅ，ｃ　≥一击　。　

因此对于Ｖ　ｚ∈Ｄ　，ｚ是　（ｚ）的全局极小点。　充分性对于Ｖ．ｚ∈Ｄ　ｃ　Ｒ　，设５—１７是　（ｚ）的　

全局极小点，根据全局极小点的性质有　（　）＝　０且　（；）＞０，因此得　

）一ｅ，（　㈤　一　

高＋ｅ　南　。。。　由于＿厂（ｚ）＜０，因此有Ｖｆ（ｘ）一０。　另一方面，　。　ｅｆ（ｉ）ｃ一南＋南一志　・　

，（　）（　，（　））　＋ｅｆＧ）（一而１　＋　・　厂（　）＞０，　上面已经求得　厂（　）一０，因此有　

）一ｅ问（一　＋　）　，　）＞ｏ，　又由于，（　）＜０，易见　厂（　）＞０，故ｊ是，（－ｚ）　的局部极小点。　

下证ｚ是ｆ（ｚ）的全局极小点。　反证法：若　不是－厂（ｚ）的全局极小点，假设　存在点ｚ。∈Ｘ且ｚ。≠Ｘ，ｚ。是　（ｚ）的全局极小　点，则有ｆ（ｘ。）＜，（　），易证得　

一高ｅ－ｆ（％　＜一高ｅ吖　，　即　（ｚ。）＜　（　），这与　是　（ｚ）的全局极小点矛　盾，因此ｚ是，（．ｚ）的全局极小点。　

３　结　语　本研究借鉴Ｌ＿次梯度法，给出了Ｈ　差商和　Ｈ＿正规形的定义，利用Ｈ＿差商和限正规形得到　全局最优解的一些充分必要条件，也得到一类特　殊函数与一般函数的求全局最优解的充要条件。　对于研究所定义的Ｈ－差商还需要有进一步的研　究，期望得到更实用的全局最优性充要条件。　

参　考　文　献　［１］Ｙａｎｇ　ｘ　Ｑ．Ｓｅｃｏｎｄ—ｏｒｄｅｒ　ｇｌｏｂａｌ　ｏｐｔｉｍａｌｉｔｙ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ　ｆｏｒ　ｏｐｔｉ—　ｍｉｚａｔｉｏｎ　ｐｒｏｂｌｅｍｓ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｇｌｏｂａｌ　Ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ，２００４，　３Ｏ：２７１－２８４．　Ｅｅｌ　Ｐｉｎａｒ　Ｍ　Ｃ．Ｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔ　ｇｌｏｂａｌ　ｏｐｔｉｍａｌｉｔｙ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ　ｆｏｒ　ｂｉｖａｌｅｎｔ　ｑｕａｄｒａｔｉｃ　ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ［Ｊ＿．Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ　Ｔｈｅｏｒｙ　ａｎｄ　Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ，２００４，１２２（２），４３３—４４０．　［３］李成进，孙文瑜．非凸半定规划的广义Ｆａｋａｒｓ引理及最优性　条件［Ｊ］．高等学校计算数学学报，２００８，３０（２）：１８４—１９２．　［４］Ｗｕ　Ｚ　Ｙ．Ｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔ　ｇｌｏｂａｌ　ｏｐｔｉｍａｌｉｔｙ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ　ｆｏｒ　ｗｅａｋｌｙ　ｃｏｎｖｅｘ　ｍｉ’ｎｉ　ｍｉ　ｚａｔｉｏｎ　ｐｒｏｂｌｅｍｓ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｇｌｏｂａｌ　Ｏｐｔｉｍｉ—　ｚａｔｉｏｎ，２００７，３９：４２７—４４０．　［５］吴至友，白富生．一种新的求全局优化最优性条件的方法　［Ｊ３．重庆师范大学学报：自然科学版，２００６，２３（１）：１－５．　［６］Ａｌｅｘａｎｄｅｒｓ．Ｓｔｒｅｋａｌｏｖｓｋｙ．Ｇｌｏｂａｌ　ｏｐｔｉｍａｌｉｔｙ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ　ｆｏｒ　ｎｏｎｃｏｎｖｅｘ　ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｇｌｏｂａｌ　Ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ，　１９９８，１２：４１５－４３４　［７３翟延富，李博．全局最优化问题的下降算法［Ｊ３．山东轻工业　学院学报，２０００，１４（１）：７７—８０．　（责任编辑姜丰辉）