二次根式考试题型汇总

二次根式常见题型总结

题型1 二次根式的概念

(后

面附答案

)

考查形式 选择题或填空题

1.女口果亻≡;Ι丿邑二l次枯b戈,刀阝〈幺艿,y座z满足彐拘穿|件荑圭

【 】

(A)艿≥

1,`≥

0 (B)y←

-1)≥0

2.若代数式

≡∶十

~厅有意义

,贝刂实数

艿的取值范围是

【 】

(A)艿≠

1 (B)丌

≥0

(C) 艿≠0 (D)

艿≥0且艿≠

1

3.要使式子

丁舟万有

意苎,则四的取值范围为

,

题型2 最简二次根式、同类二次根式

考查形式 选择题或填空题4.下列根式中是最简二次根式的是

【 】

(A) 亻吾

(:) `/Ⅰ

「 (c) ⌒

/:F (D) 、

/IⅠΣ

5.下列根式中,不能与褥合并的是

【

1

(c)⊥兰≥0

y

(D)历≥1,y)0

(A) 1: (:) 亻吉 (C) ∫: (D) 沥

6.若最简二次根式3γ石万与√仂-曰是同类二次根式,则四= ,3=题型3 二次根式的化简求值

考查形式 选择题、填空题、解答题

⒎扛

沉+F-6J刚v=

8.若y〓√豸-3+V3-艿+2,贝刂

∥

= 。

二次根式常见题型总结 第

1页9.10.若掘

2+艿〓o,则艿的取值范围是

若√〃-3+o+1y〓0,求⒄+⒛)2∞0的值。

11.先化简,再求值:工L-」L,其中

艿

=1+2浯

,`〓1-2褥

.丌

-`

艿

^y

12.已知函数y=⒄-3l丌+刀-2(昭,刀为常数)的图象如图所示,化简:

|幽-割-√彳2-4刀+4。

题型4 二次根式的计算 考查形式13.下列等式不成立的是

(A)3沥×2褥〓6掂

(c) 褥~VΞ=沥

选择题、填空题、计算题

(B)(D)〓4

褥丁

踊

诳雨

卜

二次根式常见题型总结 第

2页14.计算

:

(1) 〔3vtΞ-2亻

吾

十勹历恧

)÷2刁t;(2)0vt-1X2√了+1)-〔-2vt丫.

15.计算

:⑴0褥-丬+u-硐(D⒛9-:×掂

;

O)刁t恧

+陋~犭

~朽

+(:)丬

·

“。在进行二次根式的化简时月Ⅻl有时会遇到形如去,谔,壳钎的式子,其实

去〓#豇=旦

若

互∴

(I)

谔=亻:::;=兽

清单05二次根式全章复习（3个考点梳理+10种题型+10类型）考点一二次根式的相关概念二次根式的概念：一般地，我们把形如（≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号，二次根号下的数叫做被开方数．二次根式有意义的条件：当a≧0时，即被开方数大于或等于0，二次根式有意义.最简二次根式：开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．最简二次根式必须同时满足以下两个条件：①开方数所含因数是整数，因式是整式（分母中不应含有根号）；②不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，即被开方数的因数或因式的指数都为1.同类二次根式的概念：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式.【考试题型1】二次根式有意义的条件1．（20-21九年级上·吉林长春·在实数范围内有意义的条件是．2．（2023·浙江杭州·x 的值．【考试题型2】求二次根式的参数1．（22-23七年级下·广东汕头·m 的最小值是（）A ．2B ．3C ．8D ．112．（22-23八年级下·福建莆田·开学考试）若实数a ，b 4b +，则a b -=．3．（20-21七年级下·广东广州·期中）若()230a -+=，则a b -的立方根是．4．（20-21八年级上·四川达州·期中）已知a ，b 0b =（1）a=_______，b=______（2）把a ，b 的值代下以下方程并求解关于x 的方程()221a xb a ++=-【考试题型3】最简二次根式/同类二次根式的判断1．（23-24八年级上·上海青浦·）AB C D 2．（23-24八年级上·山东滨州·期末）下列各式化成最简二次根式正确的是（）A7=B =C =D =3．（23-24八年级上·贵州黔东南·中，是最简二次根式的有（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个4．（22-23八年级下·海南省直辖县级单位·是同类二次根式，则=a ．【考试题型4】已知最简二次根式/同类二次根式求参数1．（23-24九年级上·四川宜宾·a 的值可能是（）A ．16B ．0C ．2D ．任意实数2．（22-23九年级上·四川遂宁·是同类二次根式，则m 的值为（）A ．4m =B ．3m =C ．5m =D ．6m =3．（22-23八年级下·山东泰安·是最简二次根式，则m ，n 的值为（）A ．0，1-B ．1-，0C ．1，1-D ．0，04．（21-22八年级下·江西赣州·期中）若考点二二次根式的性质与化简二次根式的化简方法：1）利用二次根式的基本性质进行化简；2）利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．a =•（≥0，≥0）（≥0，＞0）化简二次根式的步骤：1）把被开方数分解因式；2）利用积的算术平方根的性质，把各因式（或因数）积的算术平方根化为每个因式（或因数）的算术平方根的积；3）化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．【考试题型5】利用二次根式的性质化简【类型一】数形结合法1．（22-23八年级下·四川绵阳·阶段练习）已知实数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，化简2a b b c --+．2．（23-24八年级上·重庆万州·阶段练习）已知实数x 、y 、z 在数轴上的对应点如图所示：(1)若5x =-，y =x 对应的点与z 对应的点恰好关于y 对应的点对称，求z 的值．(2)2+3．（23-24八年级上·湖北襄阳·开学考试）已知实数x ，y ，z 在数轴上的对应点如图所示，试化简：．【类型二】估值法方法简介：先运用二次根式的运算法则化简，再将最后的化简结果化成根式再确定取值范围.1．（2023·重庆·(最接近的整数是（）A ．7B ．8C ．9D ．102．（2023·山东临沂·中考真题）设m =m 所在的范围是（）A ．5m <-B ．54m -<<-C ．43m -<<-D ．3m >-3．（23-24九年级上·四川宜宾·阶段练习）若a ，则a 的值所在的范围为（）A ．2a ≥B ．2a >C ．12a <<D ．01a <<【类型三】公式法方法简介：根据题目已知条件，通过变形、凑元等方法，凑成可用乘法公式，快速求解.1．（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）已知2M =，2N ，则M 与N 的关系为（）A ．相等B ．绝对值相等C ．互为相反数D ．互为倒数2．（23-24八年级上·云南文山·阶段练习）计算题：；(2)3．（23-24八年级上·上海杨浦·期中）已知：a b a b +=-=-，求：【类型四】换元法方法简介：根据已知条件，利用未知变量替换有规律表达式，寻找规律，快速求解.1．（19-20八年级上·福建泉州·期中）若ab ＝1，我们称a 与b1与1互为倒数：方法一：∵)22111211+-=-=-=1+1互为倒数．()2211111211⋅--====--111互为倒数．(1)互为倒数；(2)若()21x x -=，求21x x ⎛⎫-⎪⎝⎭的值；(3)利用“换元法”求((101022⨯的值．【类型五】拆项法【类型六】整体代入法方法简介：由已知条件，通过加减乘除运算，得到与求解表达式相关的表达数值，整体代入.1．（23-24八年级下·云南昭通·期中）已知x=2(8x x -+的值．2．（23-24八年级下·海南省直辖县级单位·期中）已知33a b ==-求下列各式的值：(1)a b +和ab ；(2)22a ab b ++．3．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）已知22x y ==，求下面各代数式的值：(1)223x xy y ++(2)x y y x +【类型七】因式分解法【类型八】配方法1．（23-24八年级下·北京·期中）阅读材料：材料一：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方式及二次根式的性质化去一层（或多层）1===-．材料二：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，配方法的最终目的就是配成完全平方式，利用完全平方式来解决问题，它的应用非常广泛，在解方程、化简根式、因式分解等方面都经常用到．如：(2222311x x x++=+++=+，(20x+≥，(211x∴+≥，即231x++≥．23x∴++的最小值为1．阅读上述材料解决下面问题：_______=______；(2)求211x++的最值；(3)2-2．阅读材料：材料一:数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方式及二次根式的性质化去一层(或多层)根号,1材料二：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，配方法的最终目的就是配成完全平方式,利用完全平方式来解决问题，它的应用非常广泛，在解方程、化简根式、因式分解等方面都经常用到．如：2222321(x1x x x++=+++=+∵2(0x≥，∴2(11x++≥，即231x++≥∴23x++的最小值为1阅读上述材料解决下面问题：（1=，=；（2）求211x ++的最值；（3）已知x =221(41)54x y xy -++-的最值．【类型九】辅元法【类型十】先判断后化解1．（新疆维吾尔自治区克孜勒苏柯尔克孜自治州2023-2024学年八年级下学期4月期中考试数学试题）在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如样的式子，这样的式子我们可以将其进一步化简：1==；====．以上这种化简的方法叫做分母有理化，通过观察请利用分母有理化解答下列问题：(1)利用你观察到的规律，化简(2)L 2．（23-24八年级下·山东济宁·期中）【阅读材料】（材料一）细心观察图形，认真分析各式，总结其中蕴含的规律．222112OA =+=，112S =（1S 是12Rt A A O △的面积）；223213OA =+=，222S =（2S是23Rt A A O △的面积）；224314OA =+=，332S =3S 是34Rt A A O △的面积）；a b +．()()a ba ba ba ba b a b ==-++-．【问题解决】利用你总结的规律，解答下面的问题：(1)填空：100S =_________，11OA =_________；(2)求122334455611111S S S S S S S S S S +++++++++的值．3．（23-24七年级下·上海嘉定·期中）阅读下列解题过程：()()221541545454545454⨯-=-++--()()()()22165656565656565⨯===++--请回答下列问题：(1)1n n =++______()2n ≥．(2)利用上面所提供的解法，请化简：21324354109++++++ (3)模仿上面所提供的解法，试一试化简：155331313171721215+++++++考点三二次根式的运算乘法法则:两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.即：a =•（≥0，≥0）.除法法则：=加减法法则：先把各个二次根式化为最简二次根式后，再将被开方数相同的二次根式合并.【口诀】一化、二找、三合并.分母有理化：通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程.【分母有理化方法】==2）分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分.==混合运算顺序：先乘方、再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的(或先去掉括号)．【考试题型7】二次根式的乘除运算1．（2024·陕西西安·三模）计算：)()02252π---2．（23-24八年级下·安徽铜陵·00)b ⎛÷⨯>> ⎝，3．（23-24八年级下·全国·课后作业）计算：(1)÷；()0,0x y ⎫÷>>⎪⎪⎭．【考试题型8】二次根式的加减运算1．（23-24八年级下·吉林松原·期中）计算：((-．2．（23-24八年级下·广东阳江·期中）已知1a =+，1b =-，求22a b +的值．3．（23-24八年级下·北京海淀·这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中就应用了黄金分割数．设a =b =(1)直接写出a b +和ab 的值：a b +=______，ab =______；(2)求1111s a b=+++的值．【考试题型9】二次根式的混合运算1．（23-24八年级下·吉林四平·2．（23-24九年级下·山东烟台·期中）计算：(2)3．（23-24八年级下·辽宁营口·期中）（1）先化简，再求值：214111aa a-⎛⎫-÷⎪--⎝⎭，其中，2a=．1．（23-24八年级下·浙江金华·的计算，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化()22==；==+-．类似地，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化21===()222111+-==．根据上述知识，请你解答下列问题：(1)(2)的大小，并说明理由．2．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图，正方形A，B的面积分别为25cm和27cm，现将正方形A的边长分别增加2cm和3cm得到矩形甲；将正方形B的边长都增加2cm得到一个新的正方形乙，请通过计算比较甲、乙两个图形的面积的大小．3．（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）观察下列等式：1==-；==；==；……像)221-=()0a a =≥，)()1110b b -=-≥，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．11，与-答下列问题：(1)化简：(2)=___________（n 为正整数）．(3)计算：)1+ =___________；(4)已知a ==b 试比较a、b 的大小，则a ___________b ．（填“<”“>”或“=”）【考试题型11】二次根式的应用1．（23-24八年级下·甘肃庆阳·期中）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛出的物体下落的时间t （单位：s ）和高度h （单位：m ）近似满足t =（不考虑风速的影响）．(1)从30m 高处抛下的物体落地所需的时间1t =s ；从60m 高处抛下的物体落地所需的时间2t =s(2)2t 是1t 的多少倍？(3)若从高空抛下的物体经过4s 落地，则该物体下落的高度是多少？2．（23-24八年级下·江西宜春·阶段练习）有一块长方形木板，木工师傅采用如图所示的方式，在木板上截出面积分别为218dm 和232dm 的两块正方形木板．(1)截出的两块正方形木板的边长分别为______dm ，______dm ；(2)求剩余木板的面积；(3)如果木工师傅想从剩余的木板中截出长为1.5dm、宽为1.2dm的长方形木条，最多能截出______个这样的木条．≈）1.4143．（23-24八年级下·广东东莞·期中）小乐是一个善于思考的学生，学习完“二次根式”和“勾股定理”后，他发现可以有多种方法求三角形的面积，以下是他的数学笔记，请认真阅读并完成任务，的面积；(1)请根据思路1的公式，求ABC(2)请你结合思路2，在如图所示的网格中（正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点），完成下列任务，，要求三个顶点都在格点上；①画出ABC面积的计算过程．②结合图形，写出ABC4．（23-24八年级下·广西南宁·期中）安全问题，时刻警醒．高空坠物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常避让不及．经过查阅相关资料，小南同学得到高空坠物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式t10N/kgg≈）(1)求从45m高空抛物到落地的时间；=（单位：N/kg）⨯物体质量（单位:kg）⨯高度（单位：m），某质(2)已知高空拋物动能（单位：J）10量为0.2kg的玩具在高空被抛出后经过4s后落在地上，根据以上信息，小南判断这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人，请通过计算说明小南的判断是否正确．（注：伤害无防护人体只需要65J的动能）5．（23-24八年级下·安徽铜陵·期中）铜陵市各小区都有“禁止高空抛物”的宣传标语，高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，从高度为h （单位：m ）的高空抛出的物体下落的时间t （单位：s ）和高度h （单位：m ）近似满足公式 t =（不考虑风速的影响）．(1)从50m 高空抛出的物体从抛出到落地所需时间1t ，从100m 高空抛出的物体从抛出到落地所需时间2t ，那么2t 是1t 的多少倍？(2)从足够高的高空抛出物体，经过1.5s ，所抛物体下落的高度是多少？6．（23-24八年级下·湖北孝感·期中）学习完《二次根式》后，聪聪发现了下面这类有趣味的试题，请你根据他的探索过程，解答下列问题：(1)具体运算，发现规律：131711122236=+==+=⨯⨯11313412=+=⨯，…计算：=(2)观察归纳，写出结论=（1n ≥且n 为正整数）(3)灵活运用，提升能力请利用你所发现的规律，计算+。

专题16.6二次根式章末十大题型总结（培优篇）【人教版】【题型1二次根式相关概念辨析】 (1)【题型2二次根式有意义的条件】 (2)【题型3利用二次根式的性质化简】 (4)【题型4同类二次根式的运用】 (6)【题型5最简二次根式的运用】 (8)【题型6比较二次根式的大小】 (10)【题型7求二次根式中的参数值】 (12)【题型8化简并估算二次根式的值】 (15)【题型9二次根式的混合运算】 (16)【题型10二次根式的化简求值】 (19)【题型1二次根式相关概念辨析】【例1】（2023春·黑龙江齐齐哈尔·八年级统考期末）下列式子一定是二次根式是（）A．−4B．πC．3D．7【答案】D【分析】根据二次根式的概念进行判断即可．【详解】解：A、该代数式无意义，不符合题意；B、π是无理数，不是二次根式，故此选项不合题意；C、该代数式是三次根式，故此选项不合题意；D、7是二次根式，故此选项符合题意．故选：D．【点睛】本题考查二次根式的概念，确定被开方数恒为非负数是解题的关键．n的最小值是．【变式1-1】（2023春·湖北咸宁·八年级统考期中）若204是整数，则正整数．．．【答案】51【分析】根据204=251，且204是整数，n是整数，即可得出结果．【详解】解：∵204=4×51，∴204=251，∴204=251，∵204是整数，且n是整数，∴n的最小值为：51，故答案为：51．【点睛】本题考查开方的有关知识，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键．【变式1-2】（2023春·北京海淀·八年级海淀实验中学统考期中）已知12−是正偶数，则实数的最大值为（）A．12B．11C．8D．3【答案】C【分析】如果实数n取最大值，那么12－n有最小值，又知12−是正偶数，而最小的正偶数是2，则12−＝2，从而得出结果．【详解】解：当12−等于最小的正偶数2时，n取最大值,则n＝8，故选：C【点睛】本题考查二次根式的有关知识，解题的关键是理解“12−是正偶数”的含义．【变式1-3】（2023·广东·八年级专题练习）下列各式①;②+2;③2+5;④3;⑤2+6+9;⑥3,其中一定是二次根式的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】B【详解】①y＜0时，被开方数是负数，不符合二次根式的定义；②a＜-2时，被开方数是负数，不符合二次根式的定义；③被开方数一定是正数，符合二次根式的定义；④a＜0时，被开方数是负数，不符合二次根式的定义；⑤被开方数一定是非负数，符合二次根式的定义；故一定是二次根式的有3个．故选B．【题型2二次根式有意义的条件】【例2】（2023春·山东威海·八年级统考期末）在实数范围内，不论x取何值，下列各式始终有意义的是（）A．2+B．(p2C．2+1D．−3−2【答案】C【分析】直接利用二次根式有意义的条件，被开方数是非负数，分别分析得出答案．【详解】解：A、2+≥−2，故此选项不合题意；B、(p2≥0，故此选项不合题意；C、2+1，不论取何值，2+1>0，此式始终有意义，故此选项符合题意；D、−3−2，不论取何值，−3−2<0，此式都无意义，故此选项不合题意．故选：C．【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握二次根式有意义的条件是解题关键．【变式2-1】（2023春·广东惠州·八年级校考期中）已知x，y是实数，且=−4+4−+3，求的平方根．【答案】±8【分析】根据−4≥,4−≥0得到=4，回代得到=3，计算=43=64，求平方根即可．【详解】∵=−4+4−+3，∴−4≥,4−≥0，∴=4，∴=3，∴=43=64，∴±64=±8．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，平方根的计算，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．【变式2-2】（2023春·全国·八年级期中）已知2+−5+−2−5=+−2022×2022−−，(1)求+的值；(2)求2+2021的值．【答案】(1)2022(2)5【分析】（1）根据二次根式有意义的条件可得关于a、b的不等式组，解不等式组即可求得答案；（2）把a+b的值代入所给式子，继而根据非负数的性质可得关于x、y的方程组，解方程组求解x、y的值代入所求式子进行计算即可．【详解】（1）由题意{+−2022≥0①2022−−≥0②，由①得：a+b≥2022，由②得：a+b≤2022，所以a+b=2022；（2）∵由（1）可知，+=2022，∴+−2022×2022−−=0，即：2+−5+−2−5=0，∴2+−5=0−2−5=0，解之，得：{=3=−1，∴2+2011=2×3+(−1)2021=5．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的非负性，熟练掌握二次根式的相关知识是解题的关键．【变式2-3】（2023春·上海浦东新·八年级校考期末）若关于x的方程4−−+1=0有实数解，则a的取值范围是．【答案】≥1【分析】先将原方程变换为4−=−1，再根据算术平方根的非负性列不等式求解即可．【详解】解：∵4−−+1=0，∴4−=−1，∵4−≥0，∴−1≥0，即≥1．故答案为：≥1．【点睛】本题主要考查了算术平方根的非负性，掌握算术平方根大于等于零成为解答本题的关键．【题型3利用二次根式的性质化简】【例3】（2023春·山东威海·八年级统考期末）已知>的化简结果是．【答案】−−【分析】先根据被开方数为非负数，得出<0，再根据>得出−<0，−>0，最后根据二次根式的运算法则进行化简即可．>∴>0，−<0∵−2>0,≠0，∴<0，==−⋅−⋅=−−⋅==−=−=−−=−−．故答案为：−−．【点睛】本题主要考查了二次根式的化简和性质，解题的关键是掌握二次根式被开方数为非负数，以及二次根式的运算法则．【变式3-1】（2023春·山东烟台·八年级统考期中）若B<0，则2化简后的结果是（）A．B．−C．−−D．−【答案】D【分析】根据2有意义可得≥0，再结合<0，化简2．【详解】解：∵2有意义，∴≥0，∵B<0∴<0，∴2==−，故选：D．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的性质化简，由<0得到=−是解题的关键．【变式3-2】（2023春·山东威海·八年级统考期末）化简(3−p2+(−3)2的结果是（）A．0B．−2+6C．2−6D．2+6【答案】B【分析】由二次根式有意义，可知3−≥0，从而可判断−3≤0，化简后，相加，即可得出结果．【详解】解：∵3−≥0，∴≤3，∴−3≤0，∴(3−p2+(−3)2=3−+3−=−2+6．故选：B．【点睛】本题主要考查了二次根式的性质和化简，利用2=o≥0)这一性质是解题的关键．【变式3-3】（2023春·安徽池州·八年级统考期末）代数式1−2+3−2的值为常数2，则的取值范围是（）A．≥3B．≤1C．1≤≤3D．=1或=3【答案】C【分析】分<1，1≤≤3，>3三种情况讨论即可．【详解】解：1−2+3−2=1−+3−当<1时，原式=1−+3−=4−2，由题意得4−2=2，解得=1，不符合题意，舍去；当1≤≤3时，原式=−1+3−=2，当>3时，原式=−1+−1=2−4，由题意得2−4=2，解得=3，不符合题意，舍去；综上，的取值范围是1≤≤3．故选：C．【点睛】本题考查了二次根式的性质，掌握2=是解题的关键．【题型4同类二次根式的运用】【例4】（2023·河南驻马店·八年级统考期中）下列二次根式中，可以合并的是（）A．和B．2和32C．3和D．34和22【答案】C【分析】先化简，再根据同类二次根式的定义解答即可．【详解】A、与A错误；B、2与32不是同类二次根式，不能合并，故选项B错误；C、∵=，∴3与C正确；D、∵34=23；22=∴34与22不是同类二次根式，不能合并，故选项D错误．故选：C．【点睛】此题主要考查了同类二次根式的定义，即化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．【变式4-1】（2023春·山东威海·八年级统考期末）若12与最简二次根式的值为．【答案】4【分析】先将12化为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义即可进行解答．【详解】解：12=23，∵12与最简二次根式∴−1=3，解得：=4，故答案为：4．【点睛】本题主要考查了最简二次根式，同类二次根式，解题的关键是掌握最简二次根式的特征：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．以及同类二次根式的定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式．【变式4-2】（2023春·山东潍坊·八年级统考期末）下列二次根式，不能与12合并的是（填写序号）①48；②−24；③；④18【答案】②④【分析】先将个二次化简为最简二次根式，然后找出与12被开方数不同的二次根式即可．【详解】解：12=23，①48=43，②−24=−26；③；④18=32．不能与12合并的是−24和18．故答案为：②④．【点睛】本题主要考查的是同类二次根式的定义，将各二根式化简为最简二次是解题的关键．【变式4-3】（2023春·甘肃武威·八年级校考期中）若最简二次根式3K102+−5和−3+11能合并，则2+2＝．【答案】5【分析】先根据二次根式和同类二次根式的定义得到关于x、y的二元一次方程组，解方程组求出x、y的值，然后代值计算即可．【详解】解：∵最简二次根式3K102+−5和−3+11能合并，∴最简二次根式3K102+−5和−3+11是同类二次根式，∴3−10=22+−5=−3+11，∴=4=3，∴2+2=32+42=25=5，故答案为：5．【点睛】本题主要考查了最简二次根式和同类二次根式的定义，利用二次根式的性质化简，解二元一次方程组，正确得到3−10=22+−5=−3+11是解题的关键．【题型5最简二次根式的运用】【例5】（2023春·宁夏固原·八年级校考期中）下列各式中，是最简二次根式的是（）A．8B．52C．42+92D【答案】C【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可．【详解】解：A、8=22，故A不符合题意；B、52=B不符合题意；C、42+92是最简二次根式，故C符合题意；D=D不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，满足以下两个条件的二次根式，叫最简二次根式：①被开方数中的因数是整数，因式是整式，②被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式．【变式5-1】（2023春·河北邢台·八年级校考期中）在二次根式5，15，，0.1中，最简二次根式有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【分析】根据最简二次根式的定义进行判断即可．=5，0.1==∴最简二次根式有：5、15，共2个，故B正确．故选：B．【点睛】本题考查最简二次根式的定义，熟练掌握最简二次要满足被开方数的因数（因式）是整数（整式）；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；被开方数不含分母是解题的关键．【变式5-2】（2023春·湖北襄阳·八年级统考期中）24化简后与最简二次根式5+1的被开方数相等，则=.【答案】5【分析】本题先将24化简为最简二次根式，继而利用题干信息“被开方数相同”列方程求解．【详解】24=26，其中被开方数为6；5+1的被开方数为+1，故有：+1=6，则=5．故答案为：5．【点睛】本题考查最简二次根式的化简以及对二次根式概念的理解，需注意化简原则为被开方数不含分母,也不含能开的尽方的因数或因式．【变式5-3】（2023春·全国·八年级期中）已知=22+1，=3+3，=10+3，其中A，B为最简二次根式，且+=，则2−的值为．【答案】68【分析】根据题意得出2+1=+3，求出=2，进而得出10+3=552=125，求出=35，再代入求值即可．【详解】∵A，B为最简二次根式，且+=，∴2+1=+3，解得=2，∴=25，=35，+=55=，∴10+3=552=125，解得=35，∴2−=2×35−2=68．故答案为：68．【点睛】本题考查最简二次根式，根据最简二次根式的定义得出=2是解题的关键．【题型6比较二次根式的大小】【例6】（2023春·上海闵行·八年级上海市民办文绮中学校考期中）比较大小：14−−14．【答案】＞【分析】先求14+142，15+132，得到14+14>15+13，变形即可得到：14−13> 15−14．【详解】解：∵14+142=28+2196，15+132=28+2195，∴14+14>15+13，∴14−13>15−14．故答案为：＞．【点睛】本题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：解答此题的关键是比较出两个数的平方的大小关系再进行变形．【变式6-1】（2023春·山东菏泽·八年级统考期中）已知=，=，=，则下列大小关系正确的是()A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．a＞c＞b【答案】A【分析】将a，b，c变形后，根据分母大的反而小比较大小即可．=====【详解】解:∵=又5>3>2，∴>>．故选：A.【点睛】此题考查了二次根式的大小比较，将根式进行适当的变形是解本题的关键．【变式6-2】（2023春·全国·八年级期末）已知=2022−2021，=2021−2020，=2020−2019，那么a ，b ，c 的大小关系是（）A ．<<B ．<<C ．<<D ．<<【答案】A【分析】先把s s再结合2022+2021>2021+2020>2020+2019,从而可得答案．【详解】解：∵=2022−2021=，=2021−2020=，=2020−2019=2020+2019,，而2022+2021>2021+2020>2020+2019,∴<<u 故选A ．【点睛】本题考查的是二次根式的大小比较，二次根式的混合运算，掌握“二次根式的大小比较的方法”是解本题的关键．【变式6-3】（2023春·湖北武汉·八年级武汉市粮道街中学校联考期中）“比差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，即：−>0，则>−=0，则=−<0，则<；例如：比较19−2与2的大小．∵19−2−2=19−4又∵16<19<25则4<19<5∴19−2−2=19−4>0，∴19−2>2．请根据上述方法解答以下问题：(1)29的整数部分是________，7−29的小数部分是_______；(2)比较2−23与−3的大小．(3)已知+−=2−2，试用“比差法”比较100+98与299的大小．【答案】(1)5；6−29(2)2−23>−3；(3)100+98<299．【分析】（1）首先估算出5<29<6，得到29的整数部分是5；推出−6<−29<−5，得到1<7−29<2，据此即可求解；（2）根据“比差法”比较两个数大小即可；（3）根据“比差法”比较得100+98−299=100−99−99−98−+−=2−2，化简比较即可求解．【详解】（1）解：∵5<29<6，∴29的整数部分是5；∴−6<−29<−5，∴1<7−29<2，∴7−29的整数部分是1，则7−29的小数部分是7−29−1=6−29，故答案为：5；6−29；（2）解：2−23−−3=5−23=25−23>0，∴2−23>−3；（3）解：100+98−299=100−99−99−98==100+99−99+∵100+99>99+98，100+99−99+98<0，∴100+98<299．【点睛】此题考查了无理数大小的比较，弄清题中的“作差比较法”是解本题的关键．【题型7求二次根式中的参数值】【例7】（2023春·河北邢台·八年级校考阶段练习）已知18++2=，若x的值为整数，则m的值可能为（）A．10B．8C．4D．−25【答案】A【分析】由18+2=，可得32+2+2=，即52=，由x的值为整数，可知是5的倍数，且为正值，然后进行作答即可．【详解】解：∵18++2=，∴32+2+2=，即52=，∵x的值为整数，∴是5的倍数，且为正值，∴m的值可能为10，故选：A．【点睛】本题考查了二次根式的加减运算．解题的关键在于对知识的熟练掌握．【变式7-1】（2023春·湖北十堰·八年级统考期中）已知18−是整数，则自然数的所有可能值的个数为（）A．3个B．4个C．5个D．无数个【答案】C【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，求出m的取值范围，再根据18−是整数，即可得出答案．【详解】解：∵18-m≥0，∴m≤18，∵m为自然数，∴0≤m≤18，∵18−是整数，∴当18-m=0时，m=18；当18-m=1时，m=17；当18-m=4时，m=14；当18-m=9时，m=9；当18-m=16时，m=2；∴自然数m的所有可能值的个数为5个，故选：C．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．【变式7-2】（2023春·江西宜春·八年级校联考阶段练习）若二次根式16−2有意义，且2+(−2)+25是一个完全平方式，则满足条件的值为（）A．±12B．±8C．12D．−8【答案】D【分析】根据二次根式有意义，可得的取值范围，根据完全平方公式即可求解．【详解】解：二次根式16−2有意义，∴16−2≥0，即≤8，又∵2+(−2)+25是一个完全平方式，即2+(−2)+52或2+(−2)+(−5)2，∴−2=2×5=10或−2=2×(−5)=−10，∴=12或=−8，且≤8，故选：D.【点睛】本题主要考查二次根式有意义，完全平方公式的综合应用，掌握二次根式有意义的条件，完全平方公式的中一次项系数的确定方法是解题的关键.【变式7-3】（2023春·江苏泰州·八年级统考期末）若+43=+32，且a，m，n均为正整数，则a 的值为．【答案】13或7【分析】先利用完全平方公式将+32展开，再等式左右两边对应项相等得到关于m、n的方程组，进而可求解．【详解】解：∵+43=(+3)2=2+32+23B，∴=2+32，2B=4，∵m、n均为正整数，∴=1，=2，或=2，=1，当=1，=2时，=12+3×22=13；当=2，=1时，=22+3×12=7，故答案为：13或7．【点睛】本题考查完全平方公式在二次根式混合运算中的运用，熟记完全平方公式，以及分类讨论思想的运用是解答的关键．【题型8化简并估算二次根式的值】【例8】（2023春·重庆梁平·八年级统考期末）估算2×12+6的值应在（）．A．4和5之间B．5和6之间C．6和7之间D．7和8之间．【答案】D【分析】首先把原式化成一个系数为1的二次根式，再分别与16，25，36，49，64比较，即可得到解答．【详解】解：∵原式=24+6=26+6=36=54且49<54<64，∴49<54<64即7<2×12+6<8，故选D．【点睛】本题考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式的性质和运算法则是解题关键．【变式8-1】（2023春·福建厦门·八年级厦门一中校考期中）估计12−3的值应在（）A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之间【答案】A【分析】先合并同类二次根式，再用“夹逼法”求出范围即可．【详解】解：12−3=23−3=3，∵1<3<4，∴1<3<2，∴12−3的值应在1和2之间；故选A．【点睛】本题考查合并同类二次根式，无理数的估算．熟练掌握合并同类二次根式的法则以及无理数的估算方法，是解题的关键．【变式8-2】（2023春·重庆合川·八年级统考期末）估计27−6÷3的值应在（）A．0到1之间B．1到2之间C．2到3之间D．3到4之间【答案】B【分析】先根据二次根式的除法法则以及加法法则化简算式，再估算出3−2的范围即可求解．【详解】解：27−6÷3=33÷3−6÷3=3−2，∵1<2<2，∴1<3−2<2，故选：B．【点睛】此题考查了估算无理数的大小，二次根式的混合运算，熟练掌握估算的方法是解本题的关键．【变式8-3】（2023春·河北邢台·八年级校考期中）估计230−24⋅）A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之间【答案】B【详解】【分析】先利用分配律进行计算，然后再进行化简，根据化简的结果即可确定出值的范围.【详解】230−24⋅=230×−24=25−2，而25=4×5=20，4<20<5，所以2<25−2<3，所以估计230−24⋅2和3之间，故选B.【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算及估算无理数的大小，熟练掌握运算法则以及“夹逼法”是解题的关键.【题型9二次根式的混合运算】【例9】（2023春·四川广安·八年级校考期中）计算：(1)45(2)(6−×(−26)．【答案】(2)2【分析】（1）先根据二次根式的乘法和除法法则运算，然后化简即可；（2）先根据乘法分配律展开，再计算二次根式的乘法最后计算加减即可．【详解】（1）=2312×=81=3×229=223（2）(6−−26)=−6×26+23×24×6=−12+2+12=2【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．−2+÷×【变式9-1】（2023春·上海·八年级校考期末）计算：12+1【分析】先根据二次根式的乘除法法则计算乘除法，同时分别化简各加数中的二次根式，最后计算加减法.2+【详解】12+=23+(3+1)−2×=23+3+1−2+−1.【点睛】此题考查二次根式的混合运算，二次根式的化简，正确掌握二次根式的化简法则是解题的关键.【变式9-2】（2023春·黑龙江绥化·八年级校考期中）计算．(1)5−3+25−3−2；−【答案】(1)6−215(2)1【分析】（1）利用平方差公式、完全平方公式计算；（2）先进行分母有理化，再进行加减运算．【详解】（1）解：5−3+25−3−2=5−32−22=5−215+3−2=6−215（2=+1111−23−916−11−411+7=4+11−11+7−3−7=4+11−11−7−3+7=1【点睛】本题考查二次根式的混合运算，涉及平方差公式、完全平方公式等，解题的关键是掌握二次根式分母有理化的方法．【变式9-3】（2023春·黑龙江绥化·八年级校考期中）计算(1)(+÷2(2)(+÷（≠）．【答案】(1)2−B+122(2)−+【分析】（1）先将除法转化为乘法计算，然后利用乘法的分配率分别相乘，根据二次根式、分式的运算法则计算即可；（2）先对括号内分别通分计算加减法，将除法转化为乘法计算，根据二次根式、分式的运算法则计算即可．÷2【详解】（1）解：(−＝12－1B＋122=2−B+122．（2）解：(+r÷(B++B−−B)=B B÷o p o p =B −B B(=B(r−=−+．【点睛】本题考查了二次根式、分式的混合运算，掌握运算法则、准确熟练地进行计算是解题的关键．【题型10二次根式的化简求值】【例10】（2023春·上海闵行·其中=3,=13.【答案】2+2，【分析】首先对第一个式子的分子利用平方差公式分解，第二个式子利用完全平方公式分解，然后约分，合并同类二次根式即可化简，然后代入数值计算即可．【详解】解：原式==+++=2+2当=3,=13时，原式=23+=23+=【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，正确理解平方差公式和完全平方公式对分子进行变形是关键．=3，且0<<1=．【变式10-1】（2023春·浙江宁波·八年级校考期末）已知+求出−1，再对原式进行变形凑出−1的形式进【分析】利用题目给的行计算．=3，【详解】∵+∴=+2+1=32=9，∴+1∴=−2+1=7−2=5，∵0<<1，=−5，∴∴−135，∴原式=====【点睛】本题考查二次根式的运算和乘法公式的应用，解题的关键是熟练运用乘法公式对式子进行巧妙运算．【变式10-2】（2023春·广西南宁·−22⋅=12.【答案】5s【分析】先把二次根式为最简二次根式，再合并同类二次根式，最后代入求值即可．−22⋅=45×5+9322⋅12⋅=4+3−2=5把=12代入5，得∴当=12时，原式的值为【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，掌握把二次根式为最简二次根式是解题的关键．则x6﹣22019x5【变式10-3】（2023春·湖北武汉·八年级华师一附中初中部校考期中）已知x﹣x4＋x3﹣22020x2＋2x﹣2020的值为（）A．0B．1C．2019D．2020【答案】C【分析】对已知进行变形，再代入所求式子，反复代入即可．=2020+2019，【详解】∵=∴6−220195−4+3−220202+2−2020，=5−22019−4+2−22020+2−2020，=52020+2019−22019−4+22020+2019−22020+2−2020，=52020−2019−4+22019−2020+2−2020，=42020−2019−1+22019−2020+2−2020，=2020+20192019−2020+2−2020=−+2−2020，=−2020，=2019，故选：C【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，对所求式子进行变形，反复代入x的值即可解决.。

二次根式必考题型
在数学中，二次根式是一种常见的考题类型，特别是在代数和方程相关的问题中经常出现。

以下是一些关于二次根式的必考题型：
1. 简化二次根式：考查对二次根式进行化简的能力。

2. 比较二次根式大小：考查对二次根式大小进行比较的能力。

3. 运用平方公式求解方程：考查运用平方公式求解二次方程的能力。

4. 运用配方法化简表达式：考查运用配方法将含有二次根式的表达式化简的能力。

这些题型涵盖了二次根式的基本概念、性质和运算规律。

熟练掌握这些题型，可以帮助提高对二次根式的理解和应用能力，进而在数学考试中取得好成绩。