二次根式知识点总结及常见题型
资料编号:20190802
一、二次根式的定义
形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式.其中“
”叫做二次根号,a 叫做被开方数.
（1）二次根式有意义的条件是被开方数为非负数.据此可以确定字母的取值范围; （2）判断一个式子是否为二次根式,应根据以下两个标准判断: ①是否含有二次根号“”;
②被开方数是否为非负数.
若两个标准都符合,则是二次根式;若只符合其中一个标准,则不是二次根式.
（3）形如a m （a ≥0）的式子也是二次根式,其中m 叫做二次根式的系数,它表示的是:
a m a m ⋅=（a ≥0）;
（4）根据二次根式有意义的条件,若二次根式B A -与A B -都有意义,则有B A =. 二、二次根式的性质 二次根式具有以下性质:
（1）双重非负性:a ≥0,a ≥0;（主要用于字母的求值） （2）回归性:
()
a a =2
（a ≥0）;（主要用于二次根式的计算）
（3）转化性:⎩
⎨⎧≤-≥==)0()
0(2a a a a a a .（主要用于二次根式的化简）
重要结论:
（1）若几个非负数的和为0,则每个非负数分别等于0. 若02=++C B A ,则0,0,0===C B A . 应用与书写规范:∵02=++C B A ,
A ≥0,2
B ≥0,
C ≥0
∴0,0,0===C B A . 该性质常与配方法结合求字母的值.
（2）
()()
()⎩
⎨⎧≤-≥-=-=-B A A B B A B A B A B A 2;主要用于二次根式的化简.
（3）()()
⎪⎩⎪⎨⎧<⋅->⋅=002
2A B A A B A B A ,其中B ≥0;
该结论主要用于某些带系数的二次根式的化简:可以考虑把二次根号外面的系数根据符号以平方的形式移到根号内,以达到化简的目的. （4）()
B A B
A ⋅=22
,其中B ≥0.
该结论主要用于二次根式的计算. 例1. 式子
1
1-x 在实数范围内有意义,则x 的取值范围是_________.
分析:本题考查二次根式有意义的条件,即被开方数为非负数,注意分母不能为0. 解:由二次根式有意义的条件可知:01>-x ,∴1>x . 例2. 若y x ,为实数,且2
1
11+
-+-=x x y ,化简:11--y y .
分析:本题考查二次根式有意义的条件,且有重要结论:若二次根式B A -与A B -都有意义,则有B A =. 解:∵1-x ≥0,x -1≥0 ∴x ≥1,x ≤1 ∴1=x ∴12
1
2100<=+
+=y ∴
11
11
1-=--=
--y y
y y . 习题1. 如果53+a 有意义,则实数a 的取值范围是__________. 习题2. 若233+-+-=x x y ,则=y x _________. 习题3. 要使代数式x 21-有意义,则x 的最大值是_________. 习题4. 若函数x
x
y 21-=
,则自变量x 的取值范围是__________. 习题5. 已知128123--+-=a a b ,则=b a _________.
例3. 若04412=+-+-b b a ,则ab 的值等于 【 】 （A ）2- （B ）0 （C ）1 （D ）2
分析:本题考查二次根式的非负性以及结论:若几个非负数的和为0,则每个非负数分别等于0.
解:∵04412=+-+-b b a ∴()0212
=-+-b a
∵1-a ≥0,()2
2-b ≥0
∴02,01=-=-b a ∴2,1==b a
∴221=⨯=ab .选择【 D 】.
例4. 无论x 取任何实数,代数式m x x +-62都有意义,则m 的取值范围是__________. 分析:无论x 取任何实数,代数式m x x +-62都有意义,即被开方数m x x +-62≥0恒成立,所以有如下两种解法:
解法一:由题意可知:m x x +-62≥0 ∵()9362
2-+-=+-m x m x x ≥0
∴()2
3-x ≥m -9
∵()2
3-x ≥0
∴m -9≤0,∴m ≥9. 解法二:设m x x y +-=62
∵无论x 取任何实数,代数式m x x +-62都有意义 ∴m x x y +-=62≥0恒成立
即抛物线m x x y +-=62与x 轴最多有一个交点 ∴()m m 436462
-=--=∆≤0
解之得:m ≥9.
例5. 已知c b a ,,是△ABC 的三边长,并且满足c c b a 20100862=++-+-,试判断△ABC
的形状.
分析:非负数的性质常和配方法结合用于求字母的值. 解:∵c c b a 20100862=++-+- ∴010020862=+-+-+-c c b a ∴()010862
=-+-+-c b a
∵6-a ≥0,8-b ≥0,()2
10-c ≥0
∴010,08,06=-=-=-c b a ∴10,8,6===c b a
∵10010,10086222222===+=+c b a ∴222c b a =+ ∴△ABC 为直角三角形.
习题 6. 已知实数y x ,满足084=-+
-y x ,则以y x ,的值为两边长的等腰三角形的周长
为 【 】 （A ）20或16 （B ）20
（C ）16 （D ）以上答案均不对
习题7. 当=x _________时,119++x 取得最小值,这个最小值为_________.
习题8. 已知2
442
2--+-=
x x x y ,则y x 的值为_________.
习题9. 已知非零实数b a ,满足()()a b a b a a =++-+
-++-415316822,求1-b a 的值.
提示:由()()152+-b a ≥0,且012>+b 可得:5-a ≥0,∴a ≥5.
