通用版2018学高考数学二轮复习练酷专题课时跟踪检测八三角恒等变换与解三角形理20180206294

1 课时跟踪检测（八） 三角恒等变换与解三角形

[A级——“12＋4”保分小题提速练]

1．(2017·陕西模拟)设角θ的终边过点(2,3)，则tanθ－π4＝( )

A.15 B．－15

C．5 D．－5

解析：选A 由于角θ的终边过点(2,3)，因此tan θ＝32，故tanθ－π4＝tan θ－11＋tan θ＝32－11＋32＝15.

2．(2018届高三·广西三市联考)已知x∈(0，π)，且cos2x－π2＝sin2x，则tanx－π4＝( )

A.13 B．－13

C．3 D．－3

解析：选A 由cos2x－π2＝sin2x得sin 2x＝sin2x，∵x∈(0，π)，∴tan x＝2，

∴tanx－π4＝tan x－11＋tan x＝13.

3．(2017·宝鸡模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若sin(A＋B)＝13，a＝3，c＝4，则sin A＝( )

A.23 B.14

C.34 D.16

解析：选B ∵asin A＝csin C，即3sin A＝4sin C，又sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝13，∴sin A＝14.

4．(2017·惠州模拟)函数y＝cos 2x＋2sin x的最大值为( )

A.34 B．1 2 C.32 D．2

解析：选C y＝cos 2x＋2sin x＝－2sin2x＋2sin x＋1.设t＝sin x(－1≤t≤1)，则原函数可以化为y＝－2t2＋2t＋1＝－2t－122＋32，∴当t＝12时，函数取得最大值32.

5．(2017·成都模拟)已知α为第二象限角，且sin 2α＝－2425，则cos α－sin α的值为( )

A.75 B．－75

C.15 D．－15

解析：选B 因为α为第二象限角，所以cos α－sin α＜0，cos α－sin α＝－α－sin α2＝－1－sin 2α＝－75.

6．(2017·长沙模拟)△ABC中，C＝2π3，AB＝3，则△ABC的周长为( )

A．6sinA＋π3＋3 B．6sinA＋π6＋3

C．23sinA＋π3＋3 D．23sinA＋π6＋3

解析：选C 设△ABC的外接圆半径为R，则2R＝3sin2π3＝23，于是BC＝2Rsin A＝23sin A，AC＝2Rsin B＝23sinπ3－A，于是△ABC的周长为23sin A＋sinπ3－A＋3＝23sinA＋π3＋3.

7．(2017·福州模拟)已知m＝α＋β＋γα－β＋γ，若sin [2(α＋γ)]＝3sin 2β，则m＝( )

A.12 B.34

C.32 D．2

解析：选D 设A＝α＋β＋γ，B＝α－β＋γ，

则2(α＋γ)＝A＋B,2β＝A－B，

因为sin [2(α＋γ)]＝3sin 2β，

所以sin(A＋B)＝3sin(A－B)， 3 即sin Acos B＋cos Asin B＝3(sin Acos B－cos Asin B)，

即2cos Asin B＝sin Acos B，

所以tan A＝2tan B，所以m＝tan Atan B＝2.

8．(2017·云南模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若B＝π2，a＝6，sin2B＝2sin Asin C，则△ABC的面积S＝( )

A.32 B．3

C.6 D．6

解析：选B 由sin2B＝2sin Asin C及正弦定理，

得b2＝2ac. ①

又B＝π2，所以a2＋c2＝b2. ②

联立①②解得a＝c＝6，

所以S＝12×6×6＝3.

9．(2018届高三·合肥摸底)已知函数f(x)＝sin4x＋cos4x，x∈－π4，π4.若f(x1)＜f(x2)，则一定有( )

A．x1＜x2 B．x1＞x2

C．x21＜x22 D．x21＞x22

解析：选D f(x)＝sin4x＋cos4x＝(sin2x＋cos2x)2－2sin2xcos2x＝14cos 4x＋34.

因为4x∈[－π，π]，

所以函数f(x)是偶函数，且在0，π4上单调递减，

由f(x1)＜f(x2)，可得f(|x1|)＜f(|x2|)，

所以|x1|＞|x2|，即x21＞x22.

10．(2018届高三·昆明三中、玉溪一中联考)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为S，且2S＝(a＋b)2－c2，则tan C等于( )

A.34 B.43

C．－43 D．－34

解析：选C 因为2S＝(a＋b)2－c2＝a2＋b2－c2＋2ab，由面积公式与余弦定理，得absin

C＝2abcos C＋2ab，即sin C－2cos C＝2，所以(sin C－2cos C)2＝4， 4 sin2C－4sin Ccos C＋4cos2Csin2C＋cos2C＝4，所以tan2C－4tan C＋4tan2C＋1＝4，解得tan C＝－43或tan C＝0(舍去)．

11．(2017·贵阳监测)已知sinπ3＋α＋sin α＝435，则sinα＋7π6的值是( )

A．－235 B.235

C.45 D．－45

解析：选D ∵sinπ3＋α＋sin α＝435，

∴sin π3cos α＋cos π3sin α＋sin α＝435，

∴32sin α＋32cos α＝435，

即32sin α＋12cos α＝sinα＋π6＝45，

故sinα＋7π6＝－sinα＋π6＝－45.

12．在不等边三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a为最大边，如果sin2(B＋C)

A.0，π2 B.π4，π2

C.π6，π3 D.π3，π2

解析：选D 由题意得sin2A

再由正弦定理得a20.

则cos A＝b2＋c2－a22bc>0，

∵0

又a为最大边，∴A>π3.

因此得角A的取值范围是π3，π2.

13．(2017·南京模拟)若sinπ4－α＝13，则cosπ4＋α＝________. 5 解析：因为π4－α＋π4＋α＝π2，所以cosπ4＋α＝cosπ2－π4－α＝sinπ4－α＝13.

答案：13

14．(2017·长沙模拟)化简：π－α＋sin 2αcos2α2＝________.

解析：π－α＋sin 2αcos2α2＝2sin α＋2sin αcos α12＋cos α

＝4sin α＋cos α1＋cos α＝4sin α.

答案：4sin α

15．(2018届高三·湖北七校联考)已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，C＝120°，a＝2b，则tan A＝________.

解析：c2＝a2＋b2－2abcos C＝4b2＋b2－2×2b×b×－12＝7b2，∴c＝7b，cos A＝b2＋c2－a22bc＝b2＋7b2－4b22×b×7b＝27，∴sin A＝1－cos2 A＝1－47＝37，∴tan A

＝sin Acos A＝32.

答案：32

16.(2018届高三·广西五校联考)如图所示，在一个坡度一定的山坡AC的顶上有一高度为25 m的建筑物CD，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ，在山坡的A处测得∠DAC＝15°，沿山坡前进50 m到达B处，又测得∠DBC＝45°，根据以上数据可得cos θ＝________.

解析：由∠DAC＝15°，∠DBC＝45°可得∠BDA＝30°.

在△ABD中，由正弦定理可得50sin 30°＝DBsin 15°，

即DB＝100sin 15°＝100×sin(45°－30°)

＝252(3－1)．

在△BCD中，∠DCB＝90°＋θ，

所以25sin 45°＝2523－＋θ， 6 即25sin 45°＝2523－cos θ，

解得cos θ＝3－1.

答案：3－1

[B级——中档小题强化练]

1．(2017·广州模拟)已知tan θ＝2，且θ∈0，π2，则cos 2θ＝( )

A.45 B.35

C．－35 D．－45

解析：选C 法一：由tan θ＝2，且θ∈0，π2，

可得sin θ＝2cos θ，代入sin2θ＋cos2θ＝1，可得cos2θ＝15，所以cos 2θ＝2cos2θ－1＝2×15－1＝－35.

法二：因为tan θ＝2，且θ∈0，π2，所以cos 2θ＝cos2θ－sin2θcos2θ＋sin2θ＝1－tan2θ1＋tan2θ＝1－41＋4＝－35.

2．在△ABC中，若tan Atan B＝a2b2，则△ABC的形状是( )

A．直角三角形 B．等腰或直角三角形

C．等腰三角形 D．不能确定

解析：选B 由已知并结合正弦定理得，sin Acos A·cos Bsin B＝sin2Asin2B，即cos Bcos A＝sin Asin B，∴sin

Acos A＝sin Bcos B，即sin 2A＝sin 2B，∴2A＝2B或2A＋2B＝π.

3．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asin Asin B＋bcos2A＝2a，则角A的取值范围是( )

A.π6，2π3 B.π6，π4

C.0，π6 D.π6，π3

解析：选C 在△ABC中，由正弦定理化简已知的等式得sin Asin Asin B＋sin Bcos2A＝2sin A，即sin B(sin2A＋cos2A)＝2sin A，所以sin B＝2sin A，由正弦定理得b＝2a，所以cos A＝b2＋c2－a22bc＝4a2＋c2－a24ac＝3a2＋c24ac≥23ac4ac＝32(当且仅当c2＝3a2，即c＝3a