开封高中2015届数学必修5学案正式稿答案

3．4 基本不等式ab≤a＋b2

第1课时 算术平均数与几何平均数------答案 （郑伟峰）

例1、[答案] C

变式1、[答案] B

[解析] ∵a≠b，∴a2＋b2>2ab，

∴2(a2＋b2)>(a＋b)2＝4，

∴a2＋b22>1，

又由a2＋b2>2ab，得(a＋b)2>4ab，

∴ab<1，∴ab<1

例2、[解析] ∵0＜x＜13，∴1－3x＞0.

∴y＝x(1－3x)＝13·3x(1－3x)≤133x＋1－3x22＝112，当且仅当3x＝1－3x，即x＝16时，等号成立．

∴当x＝16时，函数取最大值112.

变式2、[答案] C

[解析] 1a＋1b＝121a＋1b(a＋b)

＝1＋12ba＋ab≥2，等号在a＝b＝1时成立．

例3、[解析] 设每间虎笼长xm，宽ym，则由条件知：4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18.

设每间虎笼面积为S，则S＝xy.

方法1：由于2x＋3y≥22x·3y＝26xy，

∴26xy≤18，得xy≤272，

即S≤272，当且仅当2x＝3y时，等号成立．

由 2x＋3y＝18，2x＝3y，解得 x＝4.5，y＝3.

故每间虎笼长为4.5m，宽为3m时，可使面积最大．

方法2：由2x＋3y＝18，得x＝9－32y.

∵x＞0，∴9－32y>0，∴0＜y＜6，

S＝xy＝9－32yy＝32(6－y)·y. ∵0＜y＜6，∴6－y＞0，

∴S≤32·6－y＋y22＝272.

当且仅当6－y＝y，即y＝3时，等号成立，此时x＝4.5.故每间虎笼长4.5m，宽3m时，可使面积最大．

(2)由条件知S＝xy＝24.

设钢筋网总长为l，则l＝4x＋6y.

方法1：∵2x＋3y≥22x·3y＝26xy＝24，

∴l＝4x＋6y＝2(2x＋3y)≥48，

当且仅当2x＝3y时，等号成立．

由 2x＝3y，xy＝24，解得 x＝6，y＝4.

故每间虎笼长6m，宽4m时，可使钢筋网总长最小．

方法2：由xy＝24得x＝24y.

∴l＝4x＋6y＝96y＋6y＝616y＋y≥6×216y·y＝48.当且仅当16y＝y，即y＝4时，等号成立，此时x＝6.

故每间虎笼长6m，宽4m时，可使钢筋网总长最小．

变式3、[解析] 设使用x年平均费用最少．

由条件知：汽车每年维修费构成以0.2万元为首项，0.2万元为公差的等差数列．

因此，汽车使用x年总的维修费用为

0.2＋0.2x·x2万元．

设汽车的年平均费用为y万元，则有

y＝10＋0.9x＋0.2＋0.2x·x2x＝10＋x＋0.1x2x

＝1＋10x＋x10≥1＋210x·x10＝3.

当且仅当10x＝x10，即x＝10时，y取最小值．

答：汽车使用10年平均费用最少．

课后作业答案

1．[答案] B[解析] ∵0＜a＜b，∴1＝a＋b＞2a，∴a＜12 又∵a2＋b2≥2ab，∴最大数一定不是a和2ab，

∵1＝a＋b＞2ab，∴ab＜14，

∴a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab＞1－12＝12，

即a2＋b2＞12.故选B.

解法2：特值检验法：取a＝13，b＝23，则

2ab＝49，a2＋b2＝59，

∵59＞12＞49＞13，∴a2＋b2最大．

2．[答案] C[解析] ∵x＜54，∴4x－5＜0，y＝4x－2＋14x－5

＝4x－5＋14x－5＋3＝3－5－4x＋15－4x≤3－2＝1，

等号在5－4x＝15－4x，即x＝1时成立，故选C.

3．[答案] C[解析] ∵a＞0，b＞0，∴A＞0，B＞0，

A2－B2＝(a＋b＋2ab)－(a＋b)

＝2ab＞0，∴A2＞B2，

∵A>0，B>0，∴A＞B.

[点评] 可取特值检验．

4．[答案] B[解析] ∵这两年的平均增长率为x

∴A(1＋x)2＝A(1＋a)(1＋b)，

∴(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)，由题设a＞0，b＞0.

∴1＋x＝1＋a1＋b≤1＋a＋1＋b2

＝1＋a＋b2，∴x≤a＋b2，

等号在1＋a＝1＋b即a＝b时成立．∴选B.

5．[答案] B[解析] 根据题意得3a·3b＝3，∴a＋b＝1，

∴1a＋1b＝a＋ba＋a＋bb＝2＋ba＋ab≥4.

当a＝b＝12时“＝”成立．故选B.

6．[答案] D[解析] 解法1：∵0

∴a2＋b2>2ab，a＋b>2ab，a>a2，b>b2，

∴a＋b>a2＋b2，故选D. 解法2：取a＝12，b＝13，则a2＋b2＝1336，2ab＝63，2ab＝13，a＋b＝56，显然56最大．

7． [答案] 14[解析] ∵00，∴x(1－x)≤[x＋1－x2]2＝14，等号在x＝1－x，即x＝12时成立，∴所求最大值为14.

8． [答案] x>z>y[解析] ∵a>0，∴2a

∴12a>1a＋a＋1>12a＋1，即x>z>y.

9． [答案] 12logat≤logat＋12

[解析] ∵a2＋a－2>0，∴a<－2或a>1，

又a>0，∴a>1，

∵t>0，∴t＋12≥t，∴logat＋12≥logat＝12logat.

10． 显然函数y＝x＋1x的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，

当x>0时，y＝x＋1x≥2x·1x＝2(当且仅当x＝1x，即x＝1时取等号)，

∴当x>0时，y＝x＋1x有最小值2.

当x<0时，y＝x＋1x＝－(－x－1x)≤－2－x·－1x＝－2(当且仅当－x＝－1x，即x＝－1时取等号)．∴当x<0时，y＝x＋1x有最大值－2. ∴函数y＝x＋1x的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)．

11、分析：在运用定理：abba2时，注意条件a、b均为正数，结合不等式的性质(把握好每条性质成立的条件)，进行变形

答案：∵x，y都是正数，∴yx＞0，xy＞0，x2＞0，y2＞0，x3＞0，y3＞0(1)xyyxxyyx2＝2即xyyx≥2

(2)x＋y≥2xy＞0；x2＋y2≥222yx＞0；x3＋y3≥233yx＞0

∴（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥2xy²222yx²233yx＝８x3y3

即（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥８x3y3

12、证明：∵a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1

∴2＝（a＋b）＋（b＋c）＋（c＋a）

∴［（a＋b）＋（b＋c）＋（c＋a）］²（accbba111）

≥3²))()((accbba³3²3111accbba＝９

故29111accbba

13、证明：∵方程ax2＋bx＋c＝0有一根x1＞0

∴ax12＋bx1＋c＝0,∴a＋211xcxb＝0

∴c（11x）2＋b²11x＋a＝0(方程cx2＋bx＋a＝0必有一根11x＞0)

∴x1＋x2＝x1＋11x≥2

故方程cx2＋bx＋a＝0必有一根x2，使得x1＋x2≥2

14、[解析] 设总费用为y元(y＞0)，且将题中正比例函数的比例系数设为k，则y＝3 600x×400＋k(2 000x)，依条件，当x＝400时，y＝43 600，可得k＝5%，

故有y＝1440000x＋100x ≥21440000x·100x＝24 000(元)．

当且仅当1440000x＝100x，即x＝120时取等号．

所以只需每批购入120台，可使资金够用．

3.4.2基本不等式的应用----最值问题（答案）

乔更云

例1 [解析] ∵x，y为正数，且x＋2y＝1.

∴1x＋1y＝(x＋2y)(1x＋1y)＝3＋2yx＋xy≥3＋22，当且仅当2yx＝xy，即当x＝2－1，y＝1－22时等号成立．

∴1x＋1y的最小值为3＋22.

例2 [解析] 利用a＞3的条件及结构式中一为分式，一为整式的特点配凑：

a＋4a－3＝(a－3)＋4a－3＋3≥2a－3·4a－3＋3＝7，等号在a－3＝4a－3即a＝5时成立．

例3 [解析] 令t＝x2＋1，则t≥1，且x2＝t－1.

∴y＝x4＋3x2＋3x2＋1＝t－12＋3t－1＋3t

＝t2＋t＋1t＝t＋1t＋1.

∵t≥1，∴t＋1t≥2t·1t＝2，当且仅当t＝1t，即t＝1时，等号成立．∴当x＝0时，函数取得最小值3.

例4[解析] 由1－x2≥0知－1≤x≤1，当0＜x≤1时，x1－x2＝x21－x2≤x2＋1－x22＝12，

等号在x2＝1－x2即x＝22时成立；当x＝0时，x1－x2＝0，当－1≤x＜0时，x1－x2＜0，

∴x1－x2的最大值为12.

变式4[解析] ∵0＜x＜π2，∴0＜sinx＜1，但sinx＝2sinx时sinx＝2，不符合正弦函数值域要求，故这里不符合基本不等式成立的条件．

令u＝sinx，可利用y＝u＋2u在(0,1)上是减函数得出y＞3.

∴此函数值域为(3，＋∞)．

例5[解析] 设扇形中心角为θ，半径r，面积s，弧长l，则s＝12lr＝12θr2，l＝rθ.

①s为定值，则θ＝2sr2，∴扇形周长p＝2r＋l＝2r＋rθ＝2r＋2sr≥4s.等号在r＝sr即r＝s时成立，

∴半径是s时扇形周长最小．

②周长p＝2r＋rθ一定，∴θ＝pr－2，面积s＝12θr2＝12r(p－2r)＝r(p2－r)≤[r＋p2－r2]2＝p216，等号在r＝p2－r即r＝p4时成立，∴半径r＝p4时，面积最大．

变式5[解析] 如图，因为AB＝x，所以AD＝12－x.

又DP＝PB′，AP＝AB′－PB′＝AB－DP＝x－DP.

由勾股定理得

(12－x)2＋DP2＝(x－DP)2，

整理得

因此△ADP的面积

S＝12AD·DP

＝12(12－x)·12－72x

＝108－6x＋432x.

∵x＞0，

∴6x＋432x≥26x·432x＝722.

∴S＝108－6x＋432x≤108－722.

当且仅当6x＝432x时，即当x＝62时，S有最大值108－722. 答：当x＝62时，△ADP的面积有最大值108－722.

例6[解析] 解法1：(1的代换)∵1x＋9y＝1，

∴x＋y＝(x＋y)·1x＋9y＝10＋yx＋9xy.

∵x＞0，y＞0，∴yx＋9xy≥2yx·9xy＝6.

当且仅当yx＝9xy，即y＝3x时，取等号．

又1x＋9y＝1，∴x＝4，y＝12，∴x＋y≥16.

∴当x＝4，y＝12时，x＋y取最小值16.

解法2：(消元法)由1x＋9y＝1，得x＝yy－9.

∵x＞0，y＞0，∴y＞9.

x＋y＝yy－9＋y＝y＋y－9＋9y－9＝y＋9y－9＋1＝(y－9)＋9y－9＋10.

∵y＞9，∴y－9＞0，

∴y－9＋9y－9≥2y－9·9y－9＝6.

当且仅当y－9＝9y－9，即y＝12时取等号，此时，x＝4，∴当x＝4，y＝12时，x＋y取最小值16.

解法3：(配凑法)由1x＋9y＝1得，y＋9x＝xy，∴(x－1)(y－9)＝9.∴x＋y＝10＋(x－1)＋(y－9)≥10＋2x－1y－9＝16.