2017年新人教A版高中数学必修五全册学案

（1）课内即时评价：对学生个体与群体的课堂纪律、学习态度、 参与程度、方法效果等方面的表现随堂作出及时评价，学段末综合每 个学生的表现，按等级 A、B、C 作出定性评价。 （2）课后自主学习与作业评价：对学生个体课后学习的主动自觉 性、完成学习任务的程度、书面作业的数量和质量、单元达标测试等 及时反馈评价，学段末综合每个学生的表现，按等级 A、B、C 作出定 性评价。 3、 研究性学习评价：按学校评价办法执行。 （四） 学分授予： 1、 原则：有以下三种情况之一者，不授予学分 （1） 出勤率不足百分之九十； （2） 学习状态评定等级为 C； （3） 学段末达标测试成绩达不到合格线。 2、学段末学科成绩以定性与定量两种方式告知本人和家长。 （五） 学段末教学达标测评 1、 量标测试重点： （1） 实际问题的建模与求解能力； （2） 推理运算能力； （3） 方程与数形结合的思想方法； （4） 正弦定理、余弦定理、等差数列、等比数列、一元二次不等 式的解法，二元一次不等式组表示平面区域的画法、线形规划的基本 思想方法。 2、 量标测试命题双向细目表
第 4 页，共 10 页 郑州市第二中学
11
简单线形规划
理解（操作、会、初步应 用）
6
12
基本不等式
理解（探索、会、初步应 用）
5
13 14
学段末复习
理解、掌握、应用 课时合计
6 54
（二）重点、难点分析 1、 解三角形 （1） 重点： (a) 正弦定理、余弦定理及三角形的度量； (b) 测量和计算实际问题。 （2） 难点： (a) 探索正弦定理、余弦定理； (b) 正弦定理、余弦定理的灵活应用和实际应用。 2、 数列 （1） 重点： (a) 等差、等比数列的概念、通项公式、求和公式； (b) 概念、公式、性质的应用。 （2） 难点： (a) 探求等差、等比数列前 n 项和公式； (b) 有关知识的灵活应用； (c) 数列建摸。 3、 不等式

1.1.2 余弦定理学习目标1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握余弦定理.2.能运用余弦定理解决一些简单的三角形度量问题.学习过程一、已知三角形两边及夹角解三角形例1 在△ABC中，已知a＝2，b＝22，C＝15°，求A.总结解三角形主要是利用正弦定理和余弦定理，本例中的条件是已知两边及其夹角，而不是两边及一边的对角，所以本例的解法应先从余弦定理入手．变式训练1 在△ABC中，边a，b的长是方程x2－5x＋2＝0的两个根，C＝60°，求边c.二、已知三角形三边解三角形例2 已知三角形ABC的三边长为a＝3，b＝4，c＝37，求△ABC的最大内角．总结已知三边求三角时，余弦值是正值时，角是锐角，余弦值是负值时，角是钝角．变式训练2 在△ABC中，已知BC＝7，AC＝8，AB＝9，试求AC边上的中线长．三、利用余弦定理判断三角形形状例3 在△ABC中，a，b，c分别表示三个内角A、B、C的对边，如果(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，试判断该三角形的形状．变式训练3 在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4，试判断三角形的形状．课堂小结1．利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题： (1)已知两边和夹角，解三角形． (2)已知三边求三角形的任意一角． 2．余弦定理与勾股定理余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例． (1)如果一个三角形两边的平方和大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角． (2)如果一个三角形两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角． (3)如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角． 课堂检测1．在△ABC 中，a ＝7，b ＝43，c ＝13，则△ABC 的最小角为( ) A.π3 B.π6 C.π4 D.π12 2．在△ABC 中，已知a ＝2，则b cos C ＋c cos B 等于( ) A ．1 B. 2 C ．2 D ．43．在△ABC 中，已知面积S ＝14(a 2＋b 2－c 2)，则角C 的度数为( )A ．135°B ．45°C ．60°D ．120°4．三角形三边长分别为a ，b ，a 2＋ab ＋b 2 (a >0，b >0)，则最大角为________． 5．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，且a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，2cos(A ＋B )＝1. (1)求角C 的度数； (2)求AB 的长； (3)求△ABC 的面积．参考答案例1 解：由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝8－43，所以c ＝6－2，由正弦定理得sin A ＝a sin C c ＝12，因为b >a ，所以B >A ，又∵0°<A <180°，∴A ＝30°.变式训练1 解：由题意：a ＋b ＝5，ab ＝2.由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ＝52－3×2＝19. ∴c ＝19.例2 解：∵c >a ，c >b ，∴角C 最大． 由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， 即37＝9＋16－24cos C ，∴cos C ＝－12，∵0°<C <180°，∴C ＝120°. 所以△ABC 的最大内角为120°.变式训练2 解：由条件知：cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22·AB ·AC ＝92＋82－722×9×8＝23，设中线长为x ，由余弦定理知：x 2＝⎝⎛⎭⎫AC 22＋AB 2－2·AC 2·AB cos A ＝42＋92－2×4×9×23＝49， 即x ＝7.所以，AC 边上的中线长为7. 例3 解：∵a 2[sin(A －B )－sin(A ＋B )] ＝b 2[－sin(A ＋B )－sin(A －B )]， ∴2a 2cos A sin B ＝2b 2cos B sin A ， 由正、余弦定理，即得 a 2bb 2＋c 2－a 22bc ＝b 2a a 2＋c 2－b 22ac， ∴a 2(b 2＋c 2－a 2)＝b 2(a 2＋c 2－b 2)， 即(a 2－b 2)(c 2－a 2－b 2)＝0， ∴a ＝b 或c 2＝a 2＋b 2，∴该三角形为等腰三角形或直角三角形．变式训练3 解：因为a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4， 所以可令a ＝2k ，b ＝3k ，c ＝4k (k >0)． c 最大，cos C ＝(2k )2＋(3k )2－(4k )22×2k ×3k <0，所以C 为钝角，从而三角形为钝角三角形． 课堂检测 1．【答案】B【解析】∵a >b >c ，∴C 为最小角，由余弦定理cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝72＋(43)2－(13)22×7×43＝32.∴C ＝π6.2．【答案】C【解析】b cos C ＋c cos B ＝b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·c 2＋a 2－b 22ac ＝2a 22a ＝a ＝2.3．【答案】B【解析】∵S ＝14(a 2＋b 2－c 2)＝12ab sin C∴a 2＋b 2－c 2＝2ab sin C ，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab sin C .由余弦定理得：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴sin C ＝cos C ，∴C ＝45° . 4．【答案】120°【解析】易知：a 2＋ab ＋b 2>a ，a 2＋ab ＋b 2>b ，设最大角为θ， 则cos θ＝a 2＋b 2－(a 2＋ab ＋b 2)22ab ＝－12，又θ∈(0°，180°)，∴θ＝120°.5．解：(1)cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )＝－12又∵C ∈(0，π)，∴C ＝2π3.(2)∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，∴⎩⎨⎧a ＋b ＝23，ab ＝2.∴AB 2＝b 2＋a 2－2ab cos 120°＝(a ＋b )2－ab ＝10，∴AB ＝10. (3)S △ABC ＝12ab sin C ＝12×2×sin 2π3＝32.1.2 应用举例学习目标：1．熟练掌握正、余弦定理．2．能够运用正、余弦定理等知识和方法求解实际问题．学习重难点：1．求解距离、高度和角度问题．(重点)2．从实际问题中抽象出数学模型(即画出三角形)．(难点)学习过程：自学导引测量中的常用角(1)仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，把视线在水平线上方的角称为仰角，视线在水平线下方的角称为俯角．如下图①.(2)方位角指从正北方向按顺时针转到目标方向线所成的水平角．如方位角是45°，指北偏东45°，即东北方向．(3)方向角从指定方向到目标方向线所成的水平角．如南偏西60°，即以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°.如下图②所示．试一试：如图所示，OA，OB的方位角各是多少？如何表示OA，OB的方向角？名师点睛1．解三角形应用题的一般思路(1)读懂题意，理解问题的实际背景，明确已知和所求，理清量与量之间的关系．(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形模型．(3)选择正弦定理或余弦定理求解．(4)将三角形的解还原为实际问题的解，注意实际问题中的单位、近似计算要求．这一思路可描述如下：2．解三角形应用题常见的两种情况(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个(或两个以上)三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求出其他三角形中的解，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程，解方程得出所要求的解．课堂讲练互动：题型一测量距离问题例1：在某次军事演习中，红方为了准确分析战场形势，在两个相距为3a2的军事基地C和D测得蓝方两支精锐部队分别在A处和B处，且∠ADB＝30°，∠BDC＝30°，∠DCA＝60°，∠ACB＝45°，如图所示，求蓝方这两支精锐部队的距离．规律方法：解三角形应用问题的一般步骤：(1)准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解应用题中的有关名词和术语；(2)画出示意图，并将已知条件在图形中标出；(3)分析与所研究的问题有关的一个或几个三角形，通过合理运用正弦定理和余弦定理求解．变式训练1：如图，某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°，距离为12 6 n mile，在A 处看灯塔C在货轮的北偏西30°，距离为8 3 n mile，货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在货轮的南偏东60°.求：(1)A处与D处的距离；(2)灯塔C与D处的距离．题型二测量高度问题例2：如图所示，A、B是水平面上的两个点，相距800 m，在A点测得山顶C的仰角为45°，∠BAD＝120°，又在B点测得∠ABD＝45°，其中D点是点C到水平面的垂足，求山高CD.规律方法：依题意画图是解决三角形应用题的关键．在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内视线与水平线的夹角．同时空间图形和平面图形要区分开，然后通过解三角形求解．变式训练2：如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C和D.现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB.题型三测量角度问题例3：如图，在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处(3－1)海里的B处有一艘走私船．在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的我方缉私船奉命以103海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度，以B处向北偏东30°方向逃窜．问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间．题后反思：实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．变式训练3：甲船在A点发现乙船在北偏东60°的B处，乙船以每小时a海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时3a海里，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？课堂小结：利用解三角形知识解决实际问题要注意根据条件画出示意图，结合示意图构造三角形，然后转化为解三角形的问题进行求解．课堂检测：1．若a，b，c是△ABC的三边，且ca2＋b2>1，则△ABC一定是()A．直角三角形B．等边三角形C．锐角三角形D．钝角三角形2．边长5、7、8的三角形的最大角与最小角的和是()A．90°B．120°C．135°D．150°3．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若c＝2，b＝6，B＝120°，则a等于() A. 6 B．2C. 3D. 24．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若a2－b2＝3bc，sin C＝23sin B，则A＝()A．30°B．60°C．120°D．150°5.如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距102海里．问：乙船每小时航行多少海里？参考答案学习过程： 自学导引试一试：OA 的方位角为60°，OB 的方位角为330°，OA 的方向角为北偏东60°，OB 的方向角为北偏西30°. 课堂讲练互动： 题型一 测量距离问题例1：解：∵∠ADC ＝∠ADB ＋∠CDB ＝60°， 又∠DCA ＝60°，∴∠DAC ＝60°. ∴AD ＝CD ＝AC ＝32a . 在△BCD 中，∠DBC ＝45°， ∴BC sin 30°＝CDsin 45°， ∴BC ＝64a . 在△ABC 中，由余弦定理得 AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos 45° ＝34a 2＋38a 2－2×32a ×64a ×22＝38a 2. ∴AB ＝64a . ∴蓝方这两支精锐部队的距离为64a . 变式训练1：解：(1)在△ABD 中，∠ADB ＝60°，B ＝45°，由正弦定理得 AD ＝AB sin B sin ∠ADB＝126×2232＝24 (n mile)．所以A 处与D 处的距离为24 n mile. (2)在△ADC 中，由余弦定理得 CD 2＝AD 2＋AC 2－2AD ·AC cos 30°，解得CD ＝8 3 n mile.即灯塔C 与D 处的距离为8 3 n mile. 题型二 测量高度问题例2：解：由于CD ⊥平面ABD ，∠CAD ＝45°，所以CD ＝AD . 因此只需在△ABD 中求出AD 即可，在△ABD 中，∠BDA ＝180°－45°－120°＝15°，由AB sin 15°＝AD sin 45°， 得AD ＝AB ·sin 45°sin 15°＝800×226－24＝800(3＋1) (m)． 即山的高度为800(3＋1) m.变式训练2： 解：在△BCD 中，∠BCD ＝α，∠BDC ＝β， ∴∠CBD ＝180°－(α＋β)，∴BC sin β＝s sin[180°－(α＋β)]，即BC sin β＝s sin (α＋β). ∴BC ＝sin βsin (α＋β)·s . 在△ABC 中，由于∠ABC ＝90°，∴AB BC＝tan θ， ∴AB ＝BC ·tan θ＝sin β·tan θsin (α＋β)·s . 题型三 测量角度问题例3：解：设缉私船应沿CD 方向行驶t 小时，才能最快截获(在D 点)走私船，则CD ＝103t 海里，BD ＝10t 海里，在△ABC 中，由余弦定理，有BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos A＝(3－1)2＋22－2(3－1)·2·cos 120°＝6.∴BC ＝6海里．又∵BC sin A ＝AC sin ∠ABC， ∴sin ∠ABC ＝AC ·sin A BC ＝2·sin 120°6＝22， ∴∠ABC ＝45°，∴B 点在C 点的正东方向上，∴∠CBD ＝90°＋30°＝120°，在△BCD 中，由正弦定理，得BD sin ∠BCD ＝CD sin ∠CBD， ∴sin ∠BCD ＝BD ·sin ∠CBD CD ＝10t ·sin 120°103t＝12. ∴∠BCD ＝30°，∴缉私船沿北偏东60°的方向行驶．又在△BCD 中，∠CBD ＝120°，∠BCD ＝30°，∴∠D ＝30°，∴BD ＝BC ，即10t ＝ 6.∴t ＝610小时≈15分钟． ∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟．变式训练3：解：如图所示．设经过t 小时两船在C 点相遇，则在△ABC 中，BC ＝at 海里，AC ＝3at 海里，B ＝90°＋30°＝120°，由BC sin ∠CAB ＝AC sin B得： sin ∠CAB ＝BC sin B AC＝at ·sin 120°3at ＝323＝12. ∵0°<∠CAB <90°，∴∠CAB ＝30°.∴∠DAC ＝60°－30°＝30°.所以甲船应沿着北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇．课堂检测：1．【答案】D 【解析】∵c a 2＋b2>1，即a 2＋b 2<c 2，a 2＋b 2－c 2<0， 于是cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab<0. ∴∠C 为钝角，即得△ABC 为钝角三角形．2．【答案】B【解析】设中间的角大小为B ，由余弦定理，求得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝52＋82－722×5×8＝12. 而0<B <π，∴B ＝π3. ∴最大角与最小角的和是π－π3＝2π3＝120°. 3．【答案】D4．【答案】A【解析】由sin C ＝23sin B ，可得c ＝23b ，由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc ＋c 22bc ＝32，于是A ＝30°，故选A. 5.解：如图，连接A 1B 2.由已知A 2B 2＝102， A 1A 2＝302×2060＝102，∴A 1A 2＝A 2B 2. 又∠A 1A 2B 2＝180°－120°＝60°，∴△A 1A 2B 2是等边三角形，∴A 1B 2＝A 1A 2＝10 2.由已知，A 1B 1＝20，∠B 1A 1B 2＝105°－60°＝45°，在△A 1B 2B 1中，由余弦定理得B 1B 22＝A 1B 21＋A 1B 22－2A 1B 1·A 1B 2·cos 45° ＝202＋(102)2－2×20×102×22＝200， ∴B 1B 2＝10 2.因此，乙船的速度为10220×60＝302(海里/时)．2.1 数列的概念与简单表示法学习目标：1．了解数列、通项公式的概念；了解数列是自变量为正整数的一类函数．2．能根据通项公式确定数列的某一项．3．能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式．学习过程：一、利用函数的性质判断数列的单调性例1：已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2n 2＋1.求证：数列{a n }为递增数列．总结 数列是一种特殊的函数，因此可用研究函数单调性的方法来研究数列的单调性． 变式训练1：在数列{a n }中，a n ＝n 3－an ，若数列{a n }为递增数列，试确定实数a 的取值范围．二、求数列的最大项例2：已知a n ＝9n (n ＋1)10n(n ∈N *)，试问数列{a n }中有没有最大项？如果有，求出这个最大项；如果没有，说明理由．总结 先考虑{a n }的单调性，再利用单调性求其最值．变式训练2：已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－5n ＋4，则(1)数列中有多少项是负数？(2)n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值．三、由递推公式求通项公式例3：已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a n －1＋1n (n －1)(n ≥2)，写出该数列的前五项及它的一个通项公式．总结：已知递推关系求通项公式这类问题要求不高，主要掌握由a 1和递推关系先求出前几项，再归纳、猜想a n 的方法，以及累加：a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1；累乘：a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1等方法． 变式训练3：已知数列{a n }满足a 1＝12，a n a n －1＝a n －1－a n ，求数列{a n }的通项公式．课堂小结：函数与数列的联系与区别一方面，数列是一种特殊的函数，因此在解决数列问题时，要善于利用函数的知识、函数 的观点、函数的思想方法来解题，即用共性来解决特殊问题．另一方面，还要注意数列的特殊性(离散型)，由于它的定义域是N *或它的子集{1,2，…，n }，因而它的图象是一系列孤立的点，而不像我们前面所研究过的初等函数一般都是连续的曲线，因此在解决问题时，要充分利用这一特殊性，如研究单调性时，由数列的图象可知，只要这些点每个比它前面相邻的一个高(即a n >a n －1)，则图象呈上升趋势，即数列递增，即{a n }递增⇔a n ＋1>a n 对任意的n (n ∈N *)都成立．类似地，有{a n }递减⇔a n ＋1<a n 对任意的n (n ∈N *)都成立．课堂检测：1．已知a n ＋1－a n －3＝0，则数列{a n }是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数项D ．不能确定2．已知数列{a n }的首项为a 1＝1，且满足a n ＋1＝12a n ＋12n ，则此数列第4项是( )A ．1 B.12 C.34 D.583．若a 1＝1，a n ＋1＝a n 3a n ＋1，给出的数列{a n }的第34项是( ) A.34103 B ．100 C.1100 D.11044．已知a n ＝32n －11 (n ∈N *)，记数列{a n }的前n 项和为S n ，则使S n >0的n 的最小值为( ) A ．10 B ．11 C ．12 D ．135．已知数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎨⎧ 2a n ⎝⎛⎭⎫0≤a n <12，2a n －1 ⎝⎛⎭⎫12≤a n <1.若a 1＝67，则a 2 010的值为( ) A.67 B.57 C.37 D.176．已知数列{a n }满足：a 1＝a 2＝1，a n ＋2＝a n ＋1＋a n ，(n ∈N *)，则使a n >100的n 的最小值是________．7．设a n ＝－n 2＋10n ＋11，则数列{a n }从首项到第m 项的和最大，则m 的值是________．8．已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋n ，则a 2 009＝________.9．已知函数f (x )＝2x －2－x ，数列{a n }满足f (log 2 a n )＝－2n .(1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：数列{a n }是递减数列．参考答案例1：证明：a n ＝n 2n 2＋1＝1－1n 2＋1a n ＋1－a n ＝1n 2＋1－1(n ＋1)2＋1＝[(n ＋1)2＋1]－(n 2＋1)(n 2＋1)[(n ＋1)2＋1]＝2n ＋1(n 2＋1)[(n ＋1)2＋1]. 由n ∈N *，得a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n .∴数列{a n }为递增数列．变式训练1：解：若{a n }为递增数列，则a n ＋1－a n ≥0.即(n ＋1)3－a (n ＋1)－n 3＋an ≥0恒成立． 即a ≤(n ＋1)3－n 3＝3n 2＋3n ＋1恒成立，即a ≤(3n 2＋3n ＋1)min ，∵n ∈N *，∴3n 2＋3n ＋1的最小值为7. ∴a 的取值范围为a ≤7.例2：解：因为a n ＋1－a n ＝⎝⎛⎭⎫910n ＋1·(n ＋2)－⎝⎛⎭⎫910n ·(n ＋1)＝⎝⎛⎭⎫910n ＋1·⎣⎡⎦⎤(n ＋2)－109(n ＋1)＝⎝⎛⎭⎫910n ＋1·8－n 9，则 当n ≤7时，⎝⎛⎭⎫910n ＋1·8－n 9>0，当n ＝8时，⎝⎛⎭⎫910n ＋1·8－n 9＝0， 当n ≥9时，⎝⎛⎭⎫910n ＋1·8－n 9<0，所以a 1<a 2<a 3<…<a 7<a 8＝a 9>a 10>a 11>a 12>…，故数列{a n }存在最大项，最大项为a 8＝a 9＝99108. 变式训练2：解：(1)a n ＝n 2－5n ＋4＝⎝⎛⎭⎫n －522－94，当n ＝2,3时，a n <0. ∴数列中有两项是负数．(2)∵a n ＝n 2－5n ＋4＝⎝⎛⎭⎫n －522－94，可知对称轴方程为n ＝52＝2.5. 又因n ∈N *，故n ＝2或3时，a n 有最小值，其最小值为－2.例3：解：由递推公式得a 1＝1，a 2＝1＋12×1＝32，a 3＝32＋13×2＝53， a 4＝53＋14×3＝74， a 5＝74＋15×4＝95. 故数列的前五项分别为1，32，53，74，95. ∴通项公式为a n ＝2n －1n ＝2－1n.变式训练3：解：∵a n a n －1＝a n －1－a n ，∴1a n －1a n －1＝1. ∴1a n ＝1a 1＋⎝⎛⎭⎫1a 2－1a 1＋⎝⎛⎭⎫1a 3－1a 2＋…＋⎝⎛⎭⎫1a n －1a n －1＝n ＋1.∴1a n ＝n ＋1，∴a n ＝1n ＋1. 课堂检测：1．【答案】A2．【答案】B3．【答案】C【解析】a 2＝a 13a 1＋1＝13＋1＝14，a 3＝a 23a 2＋1＝1434＋1＝17，a 4＝a 33a 3＋1＝1737＋1＝110， 猜想a n ＝13(n －1)＋1，∴a 34＝13×(34－1)＋1＝1100. 4．【答案】B【解析】∵－a 1＝a 10，－a 2＝a 9，－a 3＝a 8，－a 4＝a 7，－a 5＝a 6，∴S 11>0，则当n ≥11时，S n >0，故n 最小为11.5．【答案】C【解析】计算得a 2＝57，a 3＝37，a 4＝67，故数列{a n }是以3为周期的周期数列， 又知2 010除以3能整除，所以a 2 010＝a 3＝37. 6．【答案】127．【答案】10或11【解析】令a n ＝－n 2＋10n ＋11≥0，则n ≤11.∴a 1>0，a 2>0，…，a 10>0，a 11＝0.∴S 10＝S 11且为S n 的最大值．8．【答案】2 017 036【解析】由a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋n 得a n ＝a n －1＋n －1，a n －1＝a n －2＋n －2，⋮a 2＝a 1＋1，a 1＝0，累加可得a n ＝0＋1＋2＋…＋n －1＝n (n －1)2， ∴a 2 009＝2 009×2 0082＝2 017 036.9．(1)解：因为f (x )＝2x －2－x ，f (log 2 a n )＝－2n ，所以2log 2 a n －2－log 2a n ＝－2n ，a n －1a n＝－2n ， 所以a 2n ＋2na n －1＝0，解得a n ＝－n ±n 2＋1. 因为a n >0，所以a n ＝n 2＋1－n .(2)证明：a n ＋1a n ＝(n ＋1)2＋1－(n ＋1)n 2＋1－n ＝n 2＋1＋n (n ＋1)2＋1＋(n ＋1)<1. 又因为a n >0，所以a n ＋1<a n ，所以数列{a n }是递减数列．2.2 等差数列学习目标：1.理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式，了解等差数列的性质.2.能在具体问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题.学习过程：一、等差数列的通项公式例1：若{a n}是等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75.总结方法一：先求出a1，d，然后求a75；方法二：应用通项公式的变形公式a n＝a m ＋(n－m)d求解．变式训练1：在等差数列{a n}中，已知a m＝n，a n＝m，求a m＋n的值．二、等差数列的性质例2：已知等差数列{a n}中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45，求此数列的通项公式．总结要求通项公式，需要求出首项a1和公差d，由a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45直接求解很困难，我们可以换个思路，利用等差数列的性质，注意到a1＋a7＝a2＋a6＝2a4问题就简单了．变式训练2：成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这四个数．三、等差数列的判断例3：已知数列{a n }满足a 1＝4，a n ＝4－4a n －1 (n ≥2)，令b n ＝1a n －2.(1)求证：数列{b n }是等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．总结：判断一个数列{a n }是否是等差数列，关键是看a n ＋1－a n 是否是一个与n 无关的常数．变式训练3：若1b ＋c ，1c ＋a ，1a ＋b 是等差数列，求证：a 2，b 2，c 2成等差数列．课堂小结：1．证明数列{a n }为等差数列的方法(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (d 为常数，n ≥1)⇔{a n }为等差数列或a n －a n －1＝d (d 为常数， n ≥2)⇔{a n }为等差数列．(2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2⇔{a n }是等差数列．(3)通项法：a n ＝pn ＋q (p 、q ∈R )⇔{a n }是等差数列，只要说明a n 为n 的一次函数， 就可下结论说{a n }是等差数列．2．三个数成等差数列可设为：a －d ，a ，a ＋d 或a ，a ＋d ，a ＋2d ；四个数成等差数列可设为：a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d 或a ，a ＋d ，a ＋2d ，a ＋3d . 课堂检测：1．在等差数列{a n }中，a 1＋3a 8＋a 15＝120，则2a 9－a 10的值为( ) A ．24 B ．22 C ．20 D ．－8 2．已知等差数列{a n }中，a 2＝－9，a 3a 2＝－23，则a n 为( )A ．14n ＋3B ．16n －4C ．15n －39D ．15n ＋83．等差数列{a n }的公差d <0，且a 2·a 4＝12，a 2＋a 4＝8，则数列{a n }的通项公式是( ) A ．a n ＝2n －2 (n ∈N *) B ．a n ＝2n ＋4 (n ∈N *) C ．a n ＝－2n ＋12 (n ∈N *) D ．a n ＝－2n ＋10 (n ∈N *)4．等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450，则a 2＋a 8等于( ) A ．45 B ．75 C ．180 D ．3005．一个等差数列的首项为a 1＝1，末项a n ＝41 (n ≥3)且公差为整数，那么项数n 的取值个数是( )A ．6B ．7C ．8D ．不确定6．若m ≠n ，两个等差数列m 、a 1、a 2、n 与m 、b 1、b 2、b 3、n 的公差分别为d 1和d 2，则d 1d 2的值为______． 7．已知⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，且a 4＝6，a 6＝4，则a 10＝______.8．已知方程(x 2－2x ＋m )(x 2－2x ＋n )＝0的四个根组成一个首项为14的等差数列，则|m －n |＝________.9．等差数列{a n }的公差d ≠0，试比较a 4a 9与a 6a 7的大小．10．已知数列{a n }满足a 1＝15，且当n >1，n ∈N *时，有a n －1a n ＝2a n －1＋11－2a n，设b n ＝1a n ，n ∈N *.(1)求证：数列{b n }为等差数列．(2)试问a 1a 2是否是数列{a n }中的项？如果是，是第几项； 如果不是，请说明理由．参考答案学习过程：例1：解：设{a n }的公差为d .方法一 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 15＝a 1＋14d ＝8，a 60＝a 1＋59d ＝20，解得⎩⎨⎧a 1＝6415，d ＝415.所以a 75＝a 1＋74d ＝6415＋74×415＝24.方法二 因为a 60＝a 15＋(60－15)d ，所以d ＝a 60－a 1560－15＝20－860－15＝415，所以a 75＝a 60＋(75－60)d ＝20＋15×415＝24.变式训练1：解：方法一 设公差为d ，则d ＝a m －a n m －n ＝n －mm －n ＝－1，从而a m ＋n ＝a m ＋(m ＋n －m )d ＝n ＋n ·(－1)＝0.方法二 设等差数列的通项公式为a n ＝an ＋b (a ，b 为常数)，则⎩⎪⎨⎪⎧a m ＝am ＋b ＝n ，a n ＝an ＋b ＝m ，得a ＝－1，b ＝m ＋n .所以a m ＋n ＝a (m ＋n )＋b ＝0. 例2：解：因为a 1＋a 7＝2a 4，a 1＋a 4＋a 7＝3a 4＝15， 所以a 4＝5.又因为a 2a 4a 6＝45，所以a 2a 6＝9，即(a 4－2d )(a 4＋2d )＝9，(5－2d )(5＋2d )＝9，解得d ＝±2. 若d ＝2，a n ＝a 4＋(n －4)d ＝2n －3； 若d ＝－2，a n ＝a 4＋(n －4)d ＝13－2n .变式训练2：解：设这四个数为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，则由题设得⎩⎪⎨⎪⎧(a －3d )＋(a －d )＋(a ＋d )＋(a ＋3d )＝26，(a －d )(a ＋d )＝40 ∴⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝26，a 2－d 2＝40. 解得⎩⎨⎧a ＝132，d ＝32或⎩⎨⎧a ＝132，d ＝－32.所以这四个数为2,5,8,11或11,8,5,2.例3：(1)证明：∵a n ＝4－4a n －1(n ≥2)，∴a n ＋1＝4－4a n (n ∈N *)．∴b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－2－1a n －2＝12－4a n－1a n －2＝a n 2(a n －2)－1a n －2＝a n －22(a n －2)＝12.∴b n ＋1－b n ＝12，n ∈N *.∴{b n }是等差数列，首项为12，公差为12.(2)解：b 1＝1a 1－2＝12，d ＝12.∴b n ＝b 1＋(n －1)d ＝12＋12(n －1)＝n2.∴1a n －2＝n 2，∴a n ＝2＋2n .变式训练3：证明：∵1b ＋c ，1c ＋a ，1a ＋b 是等差数列，∴1b ＋c ＋1a ＋b ＝2c ＋a .∴(a ＋b )(c ＋a )＋(b ＋c )(c ＋a )＝2(a ＋b )(b ＋c ) ∴(c ＋a )(a ＋c ＋2b )＝2(a ＋b )(b ＋c )∴2ac ＋2ab ＋2bc ＋a 2＋c 2＝2ab ＋2ac ＋2bc ＋2b 2 ∴a 2＋c 2＝2b 2，∴a 2，b 2，c 2成等差数列． 课堂检测：1．【答案】A2．【答案】C【解析】∵a 2＝－9，a 3a 2＝－23，∴a 3＝－23×(－9)＝6，∴d ＝a 3－a 2＝15，∴a n ＝a 2＋(n －2)d ＝－9＋(n －2)·15＝15n －39. 3．【答案】D【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧a 2·a 4＝12，a 2＋a 4＝8，d <0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝6，a 4＝2，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，d ＝－2，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ，即a n ＝8＋(n －1)(－2)，得a n ＝－2n ＋10. 4．【答案】C【解析】方法一 设{a n }首项为a 1，公差为d ，a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝a 1＋2d ＋a 1＋3d ＋a 1＋4d ＋a 1＋5d ＋a 1＋6d ＝5a 1＋20d 即5a 1＋20d ＝450，a 1＋4d ＝90，∴a 2＋a 8＝a 1＋d ＋a 1＋7d ＝2a 1＋8d ＝180. 方法二 ∵a 3＋a 7＝a 4＋a 6＝2a 5＝a 2＋a 8，∴a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝52(a 2＋a 8)＝450，∴a 2＋a 8＝180. 5．【答案】B【解析】由a n ＝a 1＋(n －1)d ，得41＝1＋(n －1)d ，d ＝40n －1为整数．则n ＝3,5,6,9,11,21,41共7个． 6．【答案】43【解析】n －m ＝3d 1，d 1＝13(n －m )．又n －m ＝4d 2，d 2＝14(n －m )．∴d 1d 2＝13(n －m )14(n －m )＝43. 7．【答案】125【解析】1a 6－1a 4＝14－16＝2d ，即d ＝124.所以1a 10＝1a 6＋4d ＝14＋16＝512，所以a 10＝125.8．【答案】12【解析】由题意设这4个根为14，14＋d ，14＋2d ，14＋3d .则14＋⎝⎛⎭⎫14＋3d ＝2，∴d ＝12，∴这4个根依次为14，34，54，74， ∴n ＝14×74＝716，m ＝34×54＝1516或n ＝1516，m ＝716，∴|m －n |＝12.9．解：设a n ＝a 1＋(n －1)d ，则a 4a 9－a 6a 7＝(a 1＋3d )(a 1＋8d )－(a 1＋5d )(a 1＋6d )＝(a 21＋11a 1d ＋24d 2)－(a 21＋11da 1＋30d 2)＝－6d 2<0，所以a 4a 9<a 6a 7. 10．(1)证明：当n >1，n ∈N *时，a n －1a n ＝2a n －1＋11－2a n ⇔1－2a n a n ＝2a n －1＋1a n －1⇔1a n －2＝2＋1a n －1⇔1a n －1a n －1＝4⇔b n －b n －1＝4，且b 1＝1a 1＝5. ∴{b n }是等差数列，且公差为4，首项为5.(2)解：由(1)知b n ＝b 1＋(n －1)d ＝5＋4(n －1)＝4n ＋1.∴a n ＝1b n ＝14n ＋1，n ∈N *.∵a 1＝15，a 2＝19，∴a 1a 2＝145.令a n ＝14n ＋1＝145，∴n ＝11.即a 1a 2＝a 11，∴a 1a 2是数列{a n }中的项，是第11项．2.3 等差数列的前n 项和学习目标：1．掌握等差数列前n 项和公式及其推导过程和思想方法．2．会用等差数列的前n 项和公式解决一些简单的与前n 项和有关的问题3.经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思 学习过程： 教材拓展1．等差数列的判定(1)a n －a n －1＝d (n ≥2，d 为常数)⇔{a n }是公差为d 的等差数列； (2)2a n ＝a n －1＋a n ＋1 (n ≥2)⇔{a n }是等差数列；(3)a n ＝kn ＋b (k ，b 为常数)⇔{a n }是公差为k 的等差数列(n ≥1)； (4)S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)⇔{a n }是公差为2A 的等差数列(n ≥1)．做一做1：已知等差数列{a n }的前n 项和S n ＝(n －1)2＋λ，则λ的值是________． 2．等差数列的通项公式将a n ＝a 1＋(n －1)d 可整理为a n ＝dn ＋(a 1－d )，它是关于n 的一次函数(d ≠0)或常函数(d ＝0)，它的图象是一条射线上的一群横坐标为正整数的孤立的点，公差d 是该射线所在直线的斜率． 做一做2：等差数列{a n }中，若a n ＝m ，a m ＝n (m ≠n )，则a m ＋n ＝______. 3．等差数列的前n 项和公式(1)将公式S n ＝na 1＋n (n －1)2d 变形可得S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n .故当d ≠0时，等差数列前n 项和公式是关于n 的二次函数，它的图象是抛物线y ＝d2x 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2x 上横坐标为正整数的一群孤立点．(2)S n n ＝d2n ＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2是关于n 的一次函数(d ≠0)或常函数(d ＝0)． 当涉及等差数列前n 项和S n 的计算问题时，有时设S n ＝An 2＋Bn 的形式更简便快捷． 做一做3：等差数列{a n }中，若S p ＝q ，S q ＝p (p ≠q )，则S p ＋q ＝__________. 4．等差数列的性质(1)若数列{a n }和{b n }均是等差数列，则{ma n ＋kb n }仍为等差数列，其中m 、k 均为常数． (2)若m ，n ，p ，q ∈N *，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q .(3)等差数列中依次k 项的和成等差数列，即S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…成等差数列，公差为k 2d (d 是原数列公差)．(4)若{a n }与{b n }均为等差数列，且前n 项和分别为S n 与S ′n ，则a m b m ＝S 2m －1S ′2m －1.(5)等差数列{a n }中，奇数项的和记作S 奇，偶数项的和记作S 偶，则S n ＝S 奇＋S 偶． 当n 为偶数时：S 偶－S 奇＝n2d ；当n 为奇数时：S 奇－S 偶＝a 中，S 奇＝n ＋12a 中，S 偶＝n －12a 中，S 奇S 偶＝n ＋1n －1.(其中a 中是等差数列的中间一项)做一做4：已知等差数列共有10项，其中奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差是________．5．等差数列前n 项和的最值求等差数列前n 项和的最值的常用方法： (1)通项法当a 1>0，d <0时，数列{a n }只有前面有限项为非负数，从某项开始所有项均为负数，因此，S n 有最大值，当n 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0a n ＋1<0时，S n 取到这个最大值；当a 1<0，d >0时，数列{a n }只有前面有限项为非正数，从某项开始所有项均为正数，因此，S n 有最小值，当n 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0a n ＋1>0时，S n 取到这一最小值．(2)二次函数法由于S n ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ，n ∈N *是关于n 的二次函数式，故可转化为求二次函数的最值问题，但要注意数列的特殊性n ∈N *.做一做5：{a n }是等差数列，a 1>0，a 2 009＋a 2 010>0，a 2 009·a 2 010<0，则使前n 项和S n 最大时，n 的值是________；使前n 项和S n >0成立时，n 的最大值是________． 例题剖析：一、等差数列的判断方法方法链接：判定等差数列的常用方法： (1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (常数)(n ∈N *)；(2)通项公式法：a n ＝kn ＋b (k ，b 为常数) (n ∈N *)； (3)中项公式法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2 (n ∈N *)；(4)前n 项和法：S n ＝An 2＋Bn (A 、B 为常数)，n ∈N *.例1：数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＝n (a 1＋a n )2，判断{a n }是否为等差数列？并证明你的结论．二、等差数列中基本量的运算方法链接：在等差数列中，五个重要的量，只要已知三个量，就可求出其他两个量，其中a 1和d 是两个基本量，利用通项公式与前n 项和公式，求出a 1和d ，等差数列就确定了． 例2：在等差数列{a n }中，(1)已知a 6＝10，S 5＝5，求a 8和S 8；(2)已知前3项和为12，前3项积为48，且d >0，求a 1； (3)已知前3项依次为a,4,3a ，前k 项和S k ＝2 550，求a 及k .三、等差数列的性质及运用方法链接：等差数列有一些重要的性质，例如： (1)若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ； (2)若m ＋n ＝2p ，则a m ＋a n ＝2a p ；(3)若{a n }是等差数列，则S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k 也成等差数列．(其S k 为前k 项和) (4)若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，等差数列{b n }的前n 项和为T n ，则a n b n ＝S 2n －1T 2n －1.熟练运用这些性质，可以提高解题速度，获得事半功倍的功效．例3：(1)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 9＝72，求a 2＋a 4＋a 9的值； (2)已知等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ， 求证：①a n b n ＝S 2n －1T 2n －1；②a n b m ＝2m －12n －1·S 2n －1T 2m －1.四、等差数列前n 项和的最值方法链接：等差数列前n 项和最值问题除了用二次函数求解外，还可用下面的方法讨论：若d >0，a 1<0，S n 有最小值，需⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0，a n ＋1≥0；若a 1>0，d <0，S n 有最大值，需⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1≤0.n 取正整数．例4：(1)首项为正数的等差数列，前n 项和为S n ，且S 3＝S 11，问n 为何值时，S n 最大？ (2)等差数列{a n }中，a 1＝－60，a 17＝－12，求{|a n |}的前30项和及前n 项和．五、关于等差数列的探索性问题方法链接：对于与等差数列有关的探索性问题，先由前三项成等差数列确定参数后，再利用定义验证或证明所得结论．例5：已知数列{a n }中，a 1＝5且a n ＝2a n －1＋2n －1 (n ≥2且n ∈N *)． (1)求a 2，a 3的值；(2)是否存在实数λ，使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋λ2n 为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．六、关于等差数列的创新型问题方法链接：关于等差数列的创新型试题，常以图表、数阵、新定义等形式出现．解决此类问题时通过对图表的观察、分析、提炼，挖掘出题目蕴含的有用信息，利用所学等差数列的有关知识加以解决．例6：下表给出一个“等差数阵”：ij (1)写出a 45的值； (2)写出a ij 的计算公式．课堂检测：1.已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，且对一切正整数n 都有S n T n ＝5n ＋32n ＋7，试求a 9b 9的值．2.一个凸n 边形的各内角度数成等差数列，其最小角为120°，公差为5°，求凸n 边形的边数．3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36.则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A ．63 B ．45 C ．36 D ．274．在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为( ) A ．765 B ．665 C ．763 D ．6635．已知两个等差数列{a n }、{b n }，它们的前n 项和分别是S n 、S ′n ，若S n S ′n ＝2n ＋33n －1，则a 9b 9＝______. 6.一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10，求前110项之和．参考答案做一做1：【解析】S n ＝(n －1)2＋λ＝n 2－2n ＋(1＋λ)，∵{a n }是等差数列，∴1＋λ＝0，λ＝－1.【答案】－1做一做2：【解析】由点(n ，a n )，(m ，a m )，(m ＋n ，a m ＋n )三点共线，∴a m ＋n －a n(m ＋n )－n ＝a m －a n m －n .即a m ＋n －m m ＝n －m m －n ＝－1， 易得a m ＋n ＝0.【答案】0做一做3：【解析】设S n ＝An 2＋Bn ，则⎩⎪⎨⎪⎧S p ＝Ap 2＋Bp ＝q (1)S q ＝Aq 2＋Bq ＝p (2) 由(1)－(2)得Ap 2＋Bp －Aq 2－Bq ＝q －p ，∴A (p 2－q 2)＋B (p －q )＝q －p ，∵p ≠q ，∴A (p ＋q )＋B ＝－1.∵S p ＋q ＝A (p ＋q )2＋B (p ＋q )＝[A (p ＋q )＋B ]·(p ＋q )＝－(p ＋q )．【答案】－(p ＋q )做一做4：【解析】S 偶－S 奇＝n 2d ＝5d ， ∴5d ＝30－15＝15，∴d ＝3.【答案】3做一做5：2 009 4 018例题剖析：例1：解：{a n }是等差数列，证明如下：因为a n ＝S n －S n －1＝n (a 1＋a n )2－(n －1)(a 1＋a n －1)2(n ≥2)， 所以a n ＋1＝(n ＋1)(a 1＋a n ＋1)2－n (a 1＋a n )2， 所以a n ＋1－a n ＝12[(n ＋1)(a 1＋a n ＋1)－2n (a 1＋a n )＋(n －1)(a 1＋a n －1)]＝12[(n ＋1)a n ＋1－2na n ＋(n －1)a n －1] (n ≥2)， 即(n －1)(a n ＋1－2a n ＋a n －1)＝0，所以a n ＋1＋a n －1＝2a n (n ≥2)，所以数列{a n }为等差数列．例2：解：(1)∵a 6＝10，S 5＝5，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＝105a 1＋10d ＝5. 解方程组得a 1＝－5，d ＝3，∴a 8＝a 6＋2d ＝10＋2×3＝16，S 8＝8×(a 1＋a 8)2＝44. (2)设数列的前三项分别为a －d ，a ，a ＋d ，依题意有：⎩⎪⎨⎪⎧ (a －d )＋a ＋(a ＋d )＝12(a －d )·a ·(a ＋d )＝48， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4a (a 2－d 2)＝48，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4d ＝±2. ∵d >0，∴d ＝2，a －d ＝2.∴a 1＝2.(3)设公差为d ，则由题意得⎩⎨⎧ a ＋3a ＝8，d ＝4－a ，ka ＋k (k －1)2d ＝2 550，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，d ＝2，k ＝50或k ＝－51舍去.因此，a ＝2，k ＝50. 例3：(1)解：由S 9＝9(a 1＋a 9)2＝72，∴a 1＋a 9＝16， ∴a 1＋a 9＝2a 5＝16，∴a 5＝8，∴a 2＋a 4＋a 9＝a 1＋a 5＋a 9＝3a 5＝24.(2)证明：①a n b n ＝2a n 2b n ＝a 1＋a 2n －1b 1＋b 2n －1＝(a 1＋a 2n －1)2n －12(b 1＋b 2n －1)2n －12＝S 2n －1T 2n －1. ②a n b m ＝2a n 2b m ＝a 1＋a 2n －1b 1＋b 2m －1＝(a 1＋a 2n －1)2n －12·2m －12(b 1＋b 2m －1)2m －12·2n －12＝2m －12n －1·S 2n －1T 2m －1. 例4：解：(1)设首项为a 1，公差为d ，则由题意知，d <0，点P (n ，S n )在抛物线y ＝d 2x 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2x 上，其对称轴方程为x ＝7(由S 11＝S 3知)，故(7，S 7)是抛物线的顶点，∴n ＝7时，S n 最大．(2)设公差为d ，则由a 1＋16d ＝a 17，得d ＝3>0，因此a n ＝3n －63.点Q (n ，a n )在增函数y ＝3x －63的图象上．令y ＝0则得x ＝21，故当n ≥22时，a n >0；当1≤n ≤21且n ∈N *时，a n ≤0，于是|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 30|＝－a 1－a 2－…－a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 30＝a 1＋a 2＋…＋a 30－2(a 1＋a 2＋…＋a 21)＝765.记T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |，则由上面的求解过程知：当1≤n ≤21，n ∈N *时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝－a 1－a 2－…－a n＝(123－3n )n 2＝－32n 2＋1232n . 当n >21，n ∈N *时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 20|＋|a 21|＋…＋|a n |＝－(a 1＋a 2＋…＋a 21)＋a 22＋a 23＋…＋a n＝(a 1＋a 2＋…＋a n )－2(a 1＋a 2＋…＋a 21)＝32n 2－1232n ＋1 260.∴数列{|a n |}的前n 项和T n＝⎩⎨⎧ －32n 2＋1232n (1≤n ≤21，n ∈N *)，32n 2－1232n ＋1 260 (n >21，n ∈N *).例5：解：(1)∵a 1＝5，∴a 2＝2a 1＋22－1＝13，a 3＝2a 2＋23－1＝33.(2)假设存在实数λ，使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋λ2n 为等差数列． 则a 1＋λ2，a 2＋λ22，a 3＋λ23成等差数列， ∴2×a 2＋λ22＝a 1＋λ2＋a 3＋λ23， ∴13＋λ2＝5＋λ2＋33＋λ8. 解得λ＝－1.当λ＝－1时，⎝⎛⎭⎪⎫a n ＋1－12n ＋1－⎝⎛⎭⎫a n －12n ＝12n ＋1[(a n ＋1－1)－2(a n －1)] ＝12n ＋1(a n ＋1－2a n ＋1) ＝12n ＋1[(2a n ＋2n ＋1－1)－2a n ＋1] ＝12n ＋1×2n ＋1＝1.综上可知，存在实数λ＝－1，使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋λ2为等差数列，且首项是2，公差是1. 例6：解：(1)通过观察“等差数阵”发现：第一行的首项为4，公差为3；第二行首项为7，公差为5.归纳总结出：第一列(每行的首项)是以4为首项，3为公差的等差数列，即3i ＋1，各行的公差是以3为首项，2为公差的等差数列，即2i ＋1.所以a 45在第4行，首项应为13，公差为9，进而得出a 45＝49.(2)该“等差数阵”的第一行是首项为4，公差为3的等差数列：a 1j ＝4＋3(j －1)；第二行是首项为7，公差为5的等差数列：a 2j ＝7＋5(j －1)；……第i 行是首项为4＋3(i －1)，公差为2i ＋1的等差数列，因此，a ij ＝4＋3(i －1)＋(2i ＋1)(j －1)＝2ij ＋i ＋j ＝i (2j ＋1)＋j .课堂检测：1.解：因为{a n }和{b n }是公差不为0的等差数列，故设S n ＝n (5n ＋3)k ，T n ＝n (2n ＋7)k ，k ≠0，则a 9＝S 9－S 8＝9×(5×9＋3)k －8×(5×8＋3)k ＝88k ，b 9＝T 9－T 8＝9×(2×9＋7)k －8×(2×8＋7)k ＝41k ，所以a 9b 9＝8841. 2.解：凸n 边形内角和为(n －2)×180°，所以120n ＋n (n －1)2×5＝(n －2)×180， 解得：n ＝9或n ＝16.当n ＝9时，最大内角为120°＋8°×5°＝160°<180°；当n ＝16时，最大内角为120°＋15×5°＝195°>180°舍去．所以凸n 边形的边数为9.3．【答案】B【解析】数列{a n }为等差数列，则S 3，S 6－S 3，S 9－S 6为等差数列，即2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)，∵S 3＝9，S 6－S 3＝27，则S 9－S 6＝45.∴a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6＝45.4．【答案】B【解析】因a 1＝2，d ＝7,2＋(n －1)×7<100，∴n <15，∴n ＝14，S 14＝14×2＋12×14×13×7＝665. 5．【答案】3750【解析】方法一 S n S ′n ＝n 2(a 1＋a n )n 2(b 1＋b n )＝a 1＋a n b 1＋b n ＝2n ＋33n －1， ∴a 9b 9＝2a 92b 9＝a 1＋a 17b 1＋b 17＝2×17＋33×17－1＝3750. 方法二 由S n S ′n ＝2n ＋33n －1，可知公差d ≠0，设S m ＝km (2m ＋3)， S ′m ＝km (3m －1) (k ∈R ，且k ≠0)，则a m b m ＝S m －S m －1S ′m －S ′m －1＝4m ＋16m －4 (m ≥2)，∴a 9b 9＝4×9＋16×9－4＝3750. 6.解：方法一 设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则S n ＝na 1＋n (n －1)2d . 由已知得⎩⎨⎧ 10a 1＋10×92d ＝100， ①100a 1＋100×992d ＝10. ②①×10－②整理得d ＝－1150， 代入①，得a 1＝1 099100， ∴S 110＝110a 1＋110×1092d ＝110×1 099100＋110×1092×⎝⎛⎭⎫－1150 ＝110⎝⎛⎭⎫1 099－109×11100＝－110.故此数列的前110项之和为－110.方法二 设S n ＝an 2＋bn .∵S 10＝100，S 100＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧102a ＋10b ＝100，1002a ＋100b ＝10， 解得⎩⎨⎧ a ＝－11100，b ＝11110.∴S n ＝－11100n 2＋11110n . ∴S 110＝－11100×1102＋11110×110＝－110. 方法三 设等差数列的首项为a 1，公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧S p ＝pa 1＋p (p －1)2d ＝q ， ① (p ≠q )S q ＝qa 1＋q (q －1)2d ＝p . ② ①－②得(p －q )a 1＋(p －q )(p ＋q －1)2d ＝－(p －q )．又p ≠q ，∴a 1＋p ＋q －12d ＝－1， ∴S p ＋q ＝(p ＋q )a 1＋(p ＋q )(p ＋q －1)2d ＝(p ＋q )(－1)，∴S 110＝－110.方法四 数列S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，…，S 100－S 90，S 110－S 100 成等差数列，设其公差为D .前10项的和10S 10＋10×92·D ＝S 100＝10，解得D ＝－22， ∴S 110－S 100＝S 10＋(11－1)D＝100＋10×(－22)＝－120.∴S 110＝－120＋S 100＝－110.方法五 ∵S 100－S 10＝a 11＋a 12＋…＋a 100＝90(a 11＋a 100)2＝90(a 1＋a 110)2. 又S 100－S 10＝10－100＝－90，∴a 1＋a 110＝－2.∴S 110＝110(a 1＋a 110)2＝－110.。

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课题：§1．1．1正弦定理授课类型：新授课●教学目标知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法;会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。

过程与方法：让学生从已有的几何知识出发，共同探究在任意三角形中,边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较,由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作.情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力;培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力,通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。

●教学重点正弦定理的探索和证明及其基本应用。

●教学难点已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。

●教学过程Ⅰ。

课题导入如图1．1-1，固定∆ABC的边CB及∠B,使边AC绕着顶点C转动。

A思考：∠C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？显然，边AB的长度随着其对角∠C的大小的增大而增大。

能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？ C B Ⅱ。

讲授新课[探索研究］ (图1．1—1)在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。

2017-2018学年人教A版高中数学必修五全册学案目录§1.1.1正弦定理（一）§1.1.1正弦定理（二）§1.1.2余弦定理（一）§1.1.2余弦定理（二）§1.2应用举例（一）§1.2应用举例（二）§1.2应用举例（三）§1习题课正弦定理和余弦定理§1章末复习提升§2 习题课数列求和§2 章末复习提升§2.1数列的概念与简单表示法（一）§2.1数列的概念与简单表示法（二）§2.2等差数列（一）§2.2等差数列（二）§2.3等差数列的前n项和（一）§2.3等差数列的前n项和（二）§2.4等比数列（一）§2.4等比数列（二）§2.5等比数列的前n项和（一）§2.5等比数列的前n项和（二）§3.1不等关系与不等式§3.2一元二次不等式及其解法（一）§3.2一元二次不等式及其解法（二）§3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域§3.3.2简单的线性规划问题§3.4基本不等式：√ab≤（a+b）2 （一）§3.4基本不等式：√ab≤（a+b）2 （二）§3章末复习提升1．1.1 正弦定理(一)[学习目标] 1.通过对任意三角形边长和角度的关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法.2.能运用正弦定理与三角形的内角和定理解决简单的解三角形问题．知识点一 正弦定理 1．正弦定理的表示文字语言 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比都相等，该比值为三角形外接圆的直径符号语言在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R2.正弦定理的常见变形(1)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，其中R 为△ABC 外接圆的半径． (2)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R(R 为△ABC 外接圆的半径)．(3)三角形的边长之比等于对应角的正弦比，即a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C . (4)a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A ＝b sin B ＝csin C . (5)a sin B ＝b sin A ，a sin C ＝c sin A ，b sin C ＝c sin B . 3．正弦定理的证明(1)在Rt △ABC 中，设C 为直角，如图，由三角函数的定义： sin A ＝a c ，sin B ＝bc，∴c ＝a sin A ＝b sin B ＝c sin 90°＝csin C ，∴a sin A ＝b sin B ＝c sin C．(2)在锐角三角形ABC中，设AB边上的高为CD，如图，CD＝a sin__B＝b sin__A，∴asin A＝bsin B，同理，作AC边上的高BE，可得asin A＝csin C，∴asin A＝bsin B＝csin C.(3)在钝角三角形ABC中，C为钝角，如图，过B作BD⊥AC于D，则BD＝a sin(π－C)＝a sin__C，BD＝c sin__A，故有a sin C＝c sin__A，∴asin A＝csin C，同理，asin A＝bsin B，∴asin A＝bsin B＝csin C.思考下列有关正弦定理的叙述：①正弦定理只适用于锐角三角形；②正弦定理不适用于直角三角形；③在某一确定的三角形中，各边与它所对角的正弦的比是一定值；④在△ABC 中，sin A∶sin B∶sin C＝BC∶AC∶AB.其中正确的个数有()A．1 B．2 C．3 D．4答案 B解析正弦定理适用于任意三角形，故①②均不正确；由正弦定理可知，三角形一旦确定，则各边与其所对角的正弦的比值也就确定了，所以③正确；由正弦定理可知④正确．故选B.知识点二解三角形一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．思考正弦定理能解决哪些问题？答案利用正弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题：①已知两角和任意一边，求其他两边和第三个角；②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而求出其他的边和角．题型一 对正弦定理的理解例1 在△ABC 中，若角A ，B ，C 对应的三边分别是a ，b ，c ，则下列关于正弦定理的叙述或变形中错误的是( ) A ．a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C B ．a ＝b ⇔sin 2A ＝sin 2B C.asin A ＝b ＋c sin B ＋sin CD ．正弦值较大的角所对的边也较大 答案 B解析 在△ABC 中，由正弦定理得a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝k (k >0)，则a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C ，故a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ，故A 正确．当A ＝30°，B ＝60°时，sin 2A ＝sin 2B ，此时a ≠b ，故B 错误． 根据比例式的性质易得C 正确． 大边对大角，故D 正确． 反思与感悟 (1)定理的内容：a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ，在运用正弦定理进行判断时，要灵活使用定理的各种变形． (2)如果a b ＝cd，那么a ＋b b ＝c ＋dd (b ，d ≠0)(合比定理)； a －b b ＝c －d d (b ，d ≠0)(分比定理)； a ＋b a －b ＝c ＋d c －d(a >b ，c >d )(合分比定理)； 可以推广为：如果a 1b 1＝a 2b 2＝…＝a n b n ，那么a 1b 1＝a 2b 2＝…＝a n b n ＝a 1＋a 2＋…＋a nb 1＋b 2＋…＋b n .跟踪训练1 在△ABC 中，下列关系一定成立的是( ) A ．a >b sin A B ．a ＝b sin A C ．a <b sin A D ．a ≥b sin A 答案 D解析 在△ABC 中，B ∈(0，π)，∴sin B ∈(0，1]， ∴1sin B≥1，由正弦定理a sin A ＝b sin B 得a ＝b sin Asin B ≥b sin A .题型二 用正弦定理解三角形例2 (1)在△ABC 中，已知c ＝10，A ＝45°，C ＝30°，解这个三角形． (2)在△ABC 中，已知c ＝6，A ＝45°，a ＝2，解这个三角形． 解 (1)∵A ＝45°，C ＝30°，∴B ＝180°－(A ＋C )＝105°， 由a sin A ＝c sin C 得a ＝c sin A sin C ＝10×sin 45°sin 30°＝10 2. ∵sin 75°＝sin(30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝2＋64， ∴b ＝c sin B sin C ＝c sin （A ＋C ）sin C ＝10×sin 75°sin 30°＝20×2＋64＝52＋5 6.∴B ＝105°，a ＝102，b ＝52＋5 6. (2)∵a sin A ＝c sin C， ∴sin C ＝c sin A a ＝6×sin 45°2＝32，∵C ∈(0°，180°)，∴C ＝60°或C ＝120°.当C ＝60°时，B ＝75°，b ＝c sin Bsin C ＝6sin 75°sin 60°＝3＋1；当C ＝120°时，B ＝15°，b ＝c sin Bsin C ＝6sin 15°sin 120°＝3－1.∴b ＝3＋1，B ＝75°，C ＝60°或b ＝3－1，B ＝15°， C ＝120°.反思与感悟 (1)已知两角与任意一边解三角形的方法．首先由三角形内角和定理可以计算出三角形的另一角，再由正弦定理可计算出三角形的另两边．(2)已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法．首先用正弦定理求出另一边所对的角的正弦值，若这个角不是直角，当已知的角为大边所对的角时，则能判断另一边所对的角为锐角，当已知的角为小边所对的角时，则不能判断，此时就有两组解，再分别求解即可；然后由三角形内角和定理求出第三个角；最后根据正弦定理求出第三条边．跟踪训练2 (1)在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( ) A ．4 2 B ．4 3 C ．4 6 D ．4(2)在△ABC 中，若a ＝2，b ＝2，A ＝30°，则C ＝______． 答案 (1)C (2)105°或15° 解析 (1)易知A ＝45°，由a sin A ＝b sin B得 b ＝a sin B sin A＝8·3222＝4 6. (2)由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得sin B ＝b sin A a ＝2sin 30°2＝22.∵B ∈(0°，180°)，∴B ＝45°或135°，∴C ＝180°－45°－30°＝105°或C ＝180°－135°－30°＝15°. 题型三 判断三角形的形状例3 在△ABC 中，已知a 2tan B ＝b 2tan A ，试判断三角形的形状． 解 由已知得a 2sin B cos B ＝b 2sin Acos A ，由正弦定理得sin 2A sin B cos B ＝sin 2B sin Acos A .∵sin A 、sin B ≠0，∴sin A cos A ＝sin B cos B . 即sin 2A ＝sin 2B . ∴2A ＋2B ＝π或2A ＝2B . ∴A ＋B ＝π2或A ＝B .∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．反思与感悟 (1)判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行，既可以转化为边与边的关系，也可以转化为角与角的关系．(2)注意在边角互化过程中，正弦定理的变形使用，如a b ＝sin Asin B等．跟踪训练3 在△ABC 中，b sin B ＝c sin C 且sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，试判断三角形的形状． 解 由b sin B ＝c sin C ，得b 2＝c 2， ∴b ＝c ，∴△ABC 为等腰三角形， 由sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C 得a 2＝b 2＋c 2， ∴△ABC 为直角三角形， ∴△ABC 为等腰直角三角形．1．在△ABC 中，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a ，下列等式中总能成立的是( ) A ．a sin A ＝b sin B B ．b sin C ＝c sin A C ．ab sin C ＝bc sin B D ．a sin C ＝c sin A 答案 D解析 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ，得a sin C ＝c sin A .2．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝2，b ＝3，B ＝60°，那么A 等于( )A ．135°B ．90°C ．45°D ．30° 答案 C解析 由a sin A ＝b sin B 得sin A ＝a sin Bb ＝2×323＝22， ∴A ＝45°或135°.又∵a <b ，∴A <B ，∴A ＝45°.3．在锐角三角形ABC 中，角A ，B 所对的边分别为a ，b ，若2a sin B ＝3b ，则A 等于( ) A.π12 B.π6 C.π4 D.π3 答案 D解析 在△ABC 中，利用正弦定理得 2sin A sin B ＝3sin B ， 又∵sin B ≠0，∴sin A ＝32. 又A 为锐角，∴A ＝π3.4．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin A a ＝cos B b ＝cos Cc ，则△ABC是( ) A ．等边三角形B ．直角三角形，且有一个角是30°C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形，且有一个角是30° 答案 C解析 由题a cos B ＝b sin A ， 又由正弦定理a sin B ＝b sin A ， ∴sin B ＝cos B ，又∵B ∈(0°，180°)，∴B ＝45°. 同理C ＝45°.故△ABC 为等腰直角三角形．5．在△ABC 中，∠A ＝2π3，a ＝3c ，则bc ＝________．答案 1解析 由a sin A ＝c sin C 得sin C ＝c sin A a ＝13×32＝12，又0＜C ＜π3，所以C ＝π6，B ＝π－(A ＋C )＝π6.所以b c ＝sin Bsin C ＝sin π6sin π6＝1.6．在△ABC 中，若b ＝5，B ＝π4，tan A ＝2，则sin A ＝______，a ＝________．答案255210 解析 由tan A ＝2，得sin A ＝2cos A ， 由sin 2A ＋cos 2A ＝1，得sin A ＝255，∵b ＝5，B ＝π4，由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得a ＝b sin A sin B ＝2522＝210.1.正弦定理的表示形式：a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，或a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C (k >0)．2．正弦定理的应用：①已知两角和任一边，求其他两边和一角．②已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角．3．利用正弦定理可以实现三角形中边角关系的相互转化：一方面可以化边为角，转化为三角函数问题来解决；另一方面，也可以化角为边，转化为代数问题来解决．1．1.1 正弦定理(二)[学习目标] 1.熟记并能应用正弦定理的有关变形公式解决三角形中的问题.2.能根据条件，判断三角形解的个数.3.能利用正弦定理、三角恒等变换、三角形面积公式解决较为复杂的三角形问题．知识点一 正弦定理及其变形1．定理内容：a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ．2．正弦定理的常见变形： (1)sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ；(2)a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝2R ； (3)a ＝2R sin__A ，b ＝2R sin__B ，c ＝2R sin__C ； (4)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R ．知识点二 对三角形解的个数的判断已知三角形的两角和任意一边，求另两边和另一角，此时有唯一解，三角形被唯一确定．已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定，现以已知a ，b 和A 解三角形为例，从两个角度予以说明： (1)代数角度由正弦定理得sin B ＝b sin Aa，①若b sin A a >1，则满足条件的三角形个数为0，即无解．②若b sin A a＝1，则满足条件的三角形个数为1，即一解．③若b sin A a <1，则满足条件的三角形个数为1或2，即一解或两解．(2)几何角度图形关系式解的个数A为①a ＝b sin A ；②a ≥b一解锐角b sin A <a <b两解a <b sin A无解A 为 钝 角 或 直 角a >b一解a ≤b 无解知识点三 三角形面积公式 任意三角形的面积公式为：(1)S △ABC ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝12ab sin C ，即任意三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦的乘积的一半．(2)S △ABC ＝12ah ，其中a 为△ABC 的一边长，而h 为该边上的高的长．(3)S △ABC ＝12r (a ＋b ＋c )＝12rl ，其中r ，l 分别为△ABC 的内切圆半径及△ABC 的周长．(4)S △ABC ＝p （p －a ）（p －b ）（p －c ）(其中p ＝a ＋b ＋c2)．题型一 三角形解的个数的判断例1 已知下列各三角形中的两边及其一边的对角，判断三角形是否有解，有解的作出解答． (1)a ＝10，b ＝20，A ＝80°； (2)a ＝23，b ＝6，A ＝30°.解 (1)a ＝10，b ＝20，a <b ，A ＝80°<90°，讨论如下：∵b sin A ＝20sin 80°>20sin 60°＝103， ∴a <b sin A ，∴本题无解．(2)a ＝23，b ＝6，a <b ，A ＝30°<90°， ∵b sin A ＝6sin 30°＝3，a >b sin A ， ∴b sin A <a <b ，∴本题有两解．由正弦定理得sin B ＝b sin A a ＝6sin 30°23＝32，又∵B ∈(0°，180°)，∴B 1＝60°，B 2＝120°.当B 1＝60°时，C 1＝90°，c 1＝a sin C 1sin A ＝23sin 90°sin 30°＝43；当B 2＝120°时，C 2＝30°，c 2＝a sin C 2sin A ＝23sin 30°sin 30°＝2 3.∴B 1＝60°时，C 1＝90°，c 1＝43；B 2＝120°时，C 2＝30°，c 2＝2 3.反思与感悟 已知三角形两边和其中一边的对角时，利用正弦定理求出另一边对角的正弦值后，需利用三角形中“大边对大角”来判断此角是锐角、直角还是钝角，从而确定三角形有两解还是只有一解．也可以用几何法来判断，即比较已知角的对边与另一边和该角正弦值乘积的大小来确定解的个数．跟踪训练1 (1)满足a ＝4，b ＝3，A ＝45°的三角形ABC 的个数为________． (2)△ABC 中，a ＝x ，b ＝2，B ＝45°.若该三角形有两解，则x 的取值范围是________． 答案 (1)1 (2)2<x <2 2解析 (1)因为A ＝45°<90°，a ＝4>3＝b ，所以△ABC 的个数为一个． (2)由a sin B <b <a ，得22x <2<x ，∴2<x <2 2. 题型二 三角形的面积例2 在△ABC 中，若a ＝2，C ＝π4，cos B 2＝255，求△ABC 的面积S .解 ∵cos B 2＝255，∴cos B ＝2cos 2B 2－1＝35.∴B ∈(0，π2)，∴sin B ＝45.∵C ＝π4，∴sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝7210.∵a sin A ＝c sin C ，∴c ＝a sin C sin A ＝27210×22＝107. ∴S ＝12ac sin B ＝12×2×107×45＝87.反思与感悟 求三角形的面积关键在于选择适当的公式，因此，要认真分析题目中的条件，结合正弦定理，同时注意三角形内角和定理及三角恒等变换等知识的应用． 跟踪训练2 (1)在△ABC 中，若a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________．(2)在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，B ＝30°，则△ABC 的面积等于________． 答案 (1)23 (2)32或34解析 (1)∵cos C ＝13，∴C ∈()0°，90°，∴sin C ＝1－（13）2＝223，又S △ABC ＝12ab sin C ＝12·32·b ·223＝43，∴b ＝2 3.(2)由正弦定理得sin C ＝AB ·sin BAC＝3×121＝32， 又∵C ∈(0°，180°)，∴C ＝60°或120°，∴A ＝90°或30°， ∴S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A ＝32或34.题型三 正弦定理与三角恒等变换的综合应用例3 在△ABC 中，AB ＝c ，BC ＝a ，AC ＝b ，若c ＝2＋6，C ＝30°，求a ＋b 的取值范围．解 由正弦定理得c sin C ＝a sin A ＝bsin B ＝a ＋b sin A ＋sin B ，∵c ＝2＋6，C ＝30°，∴a ＋b sin A ＋sin B ＝2＋6sin 30°，A ＋B ＝180°－30°＝150°. sin(150°－A )＝sin 150°2cos 150°－2A 2＋cos 150°2sin 150°－2A2，① sin A ＝sin150°2cos 150°－2A 2－cos 150°2sin 150°－2A 2，② 由①②得sin A ＋sin(150°－A )＝2sin 75°cos(75°－A )， ∴a ＋b ＝2(2＋6)[sin A ＋sin(150°－A )]＝2(2＋6)×2sin 75°cos(75°－A ) ＝2(2＋6)×2×6＋24cos(75°－A ) ＝(2＋6)2cos(75°－A )． 当A ＝75°时，(a ＋b )max ＝8＋4 3. ∵A ＋B ＝150°，∴0°<A <150°，－150°<－A <0°. ∴－75°<75°－A <75°， ∴cos(75°－A )∈(6－24，1]， ∴a ＋b >(2＋6)2×6－24＝2＋6， ∴2＋6<a ＋b ≤8＋4 3.综上所述，a ＋b ∈(2＋6，8＋4 3 ]．反思与感悟 (1)求某个式子的取值范围，可以将其转化为一个角的三角函数，再求范围．注意不要因为忽略相应自变量的取值范围而导致错误．(2)三角形的内角和等于180°，这一特殊性质为三角恒等变换在三角形中的应用提供了一些特殊的式子，如sin A ＝sin(B ＋C )，cos A ＝－cos(B ＋C )等，解题中应注意应用．跟踪训练3 在△ABC 中，设角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos 2A ＝sin 2B ＋cos 2C ＋sin A sin B . (1)求角C 的大小；(2)若c ＝3，求△ABC 周长的取值范围．解 (1)由已知及正弦定理得，2cos C (sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin C ，2cos C sin(A ＋B )＝sin C ，故2sin C cos C ＝sin C ．可得cos C ＝12，所以C ＝π3.(2)由已知，12ab sin C ＝332，又C ＝π3，所以ab ＝6，由已知及余弦定理得，a 2＋b 2－2ab cosC ＝7，故a 2＋b 2＝13，从而(a ＋b )2＝25.所以△ABC 的周长为5＋7.例4 在△ABC 中，已知c ＝6，A ＝π4，a ＝2，则b ＝__________．错解 由正弦定理a sin A ＝csin C ，得sin C ＝c sin A a ＝32，∴C ＝π3，∴B ＝5π12，∴b ＝a sin Bsin A ＝3＋1.答案3＋1错因分析 求得sin C ＝32之后，去求角C 的值时，认为C 为锐角，而忽略了C ＝23π的情况，导致漏解． 正解 因为6sinπ4<2<6，所以本题有两解． 因为a sin A ＝c sin C ，所以sin C ＝c sin A a ＝32.所以C ＝π3或2π3.当C ＝π3时，B ＝5π12，b ＝a sin Bsin A ＝3＋1.当C ＝2π3时，B ＝π12，b ＝a sin Bsin A ＝3－1.答案3＋1或3－1误区警示 已知两边和其中一边的对角解三角形时可先由正弦定理求出另一边的对角，该角可能有两解、一解、无解三种情况，故解题时应注意讨论，防止漏解．1．在△ABC 中，A ＝π3，BC ＝3，AB ＝6，则角C 等于( )A.π4或3π4B.3π4C.π4D.π6 答案 C解析 由正弦定理BC sin A ＝AB sin C 得sin C ＝AB ·sin ABC＝6×323＝22，∴C ＝π4或3π4.又∵AB <BC ，∴C <A ，∴C ＝π4. 2．已知△ABC 中，b ＝43，c ＝2，C ＝30°，那么此三角形( ) A ．有一解 B ．有两解 C ．无解 D ．解的个数不确定 答案 C解析 由正弦定理和已知条件得43sin B ＝2sin 30°，∴sin B ＝3>1，∴此三角形无解．3．根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是( ) A ．a ＝8，b ＝16，A ＝30°，有两解 B ．a ＝18，b ＝20，A ＝60°，有一解 C ．a ＝5，b ＝2，A ＝90°，无解 D ．a ＝30，b ＝25，A ＝150°，有一解 答案 D解析 对A.a ＝b sin A ，故有一解； 对B.b sin A <a <b ，故有两解； 对C.a >b sin A ，故有一解； 对D.A 为钝角，且a >b ，故有一解．4．在△ABC 中，AB ＝c ，BC ＝a ，AC ＝b ，若b ＝1，c ＝3，C ＝2π3，则a ＝________．答案 1解析 由正弦定理b sin B ＝c sin C 得1sin B ＝3sin C .∵sin C ＝sin2π3＝32，∴sin B ＝12. ∵C ＝2π3，∴B 为锐角，∴B ＝π6，A ＝π6，故a ＝b ＝1.5．在△ABC 中，lg(sin A ＋sin C )＝2lg sin B －lg(sin C －sin A )，则此三角形的形状是________． 答案 直角三角形解析 ∵lg(sin A ＋sin C )＝lg sin 2Bsin C －sin A，∴sin2C－sin2A＝sin2B，结合正弦定理得c2＝a2＋b2，∴△ABC为直角三角形．6．在△ABC中，AB＝3，D为BC的中点，AD＝1，∠BAD＝30°，则△ABC的面积S△ABC ＝________．答案3 2解析∵AB＝3，AD＝1，∠BAD＝30°，∴S△ABD＝12·3·1·sin 30°＝34，又D是BC边中点，∴S△ABC＝2S△ABD＝3 2.1.已知两边和其中一边的对角，求第三边和其他两个角．首先求出另一边的对角的正弦值，当正弦值大于1或小于0时，这时三角形解的情况为无解；当正弦值大于0小于1时，再根据已知的两边的大小情况来确定该角有一个值或者两个值．2．判断三角形的形状，一般情况是判断三角形是不是特殊三角形，当所给条件含有边和角时，应利用正弦定理将条件统一为“边”之间的关系式或“角”之间的关系式．1．1.2 余弦定理(一)[学习目标] 1.掌握余弦定理的内容与推论及证明余弦定理的向量方法.2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．知识点一 余弦定理及其证明 1．余弦定理的表示及其推论文字语言三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍 符号语言a 2＝b 2＋c 2－2bc cos__A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos__B ， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos__C 推论cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab2.余弦定理的证明(1)课本上采用的证明方法：如图，设a ＝CB →，b ＝CA →，c ＝BA →，则c ＝b －a ， ∴|c |2＝c ·c ＝(b －a )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝a 2－2ab cos__C ＋b 2， ∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C . (2)利用坐标法证明如图，建立平面直角坐标系，则A (0，0)，B (c cos__A ，c sin__A )，C (b ，0)(写出三点的坐标)．∴a ＝BC ＝（c cos A －b ）2＋（c sin A －0）2 ＝c 2－2bc cos A ＋b 2， ∴a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A .思考1 在△ABC 中，若a 2＝b 2＋bc ＋c 2，则A ＝________． 答案2π3解析 由题意知，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－bc 2bc ＝－12，又A ∈(0，π)，∴A ＝2π3.思考2 勾股定理和余弦定理的联系与区别？答案 二者都反映了三角形三边之间的平方关系，其中余弦定理反映了任一三角形中三边平方间的关系，勾股定理反映了直角三角形中三边平方间的关系，是余弦定理的特例． 知识点二 用余弦定理解三角形的问题 利用余弦定理可以解决以下两类问题： (1)已知两边及其夹角解三角形； (2)已知三边解三角形．思考 已知三角形的两边及一边的对角解三角形，有几种方法？ 答案 不妨设已知a ，b ，A ，方法一 由正弦定理a sin A ＝b sin B可求得sin B ，进而得B ，C ，最后得边c .方法二 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 得边c ，而后由余弦或正弦定理求得B ，C .题型一 已知两边及其夹角解三角形例1 在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝22，C ＝15°，求角A ，B 和边c 的值(cos 15°＝6＋24，sin 15°＝6－24)． 解 由余弦定理知c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4＋8－2×2×22×6＋24＝8－43， ∴c ＝8－43＝（6－2）2＝6－ 2. 由正弦定理得sin A ＝a sin C c ＝a sin 15°c＝2×6－246－2＝12， ∵b >a ，∴B >A ，∴A ＝30°，∴B ＝180°－A －C ＝135°， ∴c ＝6－2，A ＝30°，B ＝135°.反思与感悟 已知三角形的两边及其夹角解三角形的方法(1)先利用余弦定理求出第三边，其余角的求解有两种思路：一是利用余弦定理的推论求出其余角；二是利用正弦定理(已知两边和一边的对角)求解．(2)用正弦定理求解时，需对角的取值根据“大边对大角”进行取舍，而用余弦定理就不存在这些问题(因为在(0，π)上，余弦值对应的角是唯一的)，故用余弦定理求解较好． 跟踪训练1 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝3，b ＝2，cos(A ＋B )＝13，则c 等于( ) A ．4 B.15 C ．3 D.17 答案 D解析 由三角形内角和定理可知cos C ＝－cos(A ＋B )＝－13，又由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝9＋4－2×3×2×(－13)＝17，所以c ＝17.题型二 已知三边(或三边的关系)解三角形例2 在△ABC 中，已知a ＝26，b ＝6＋23，c ＝43，求A ，B ，C . 解 根据余弦定理，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝（6＋23）2＋（43）2－（26）22（6＋23）（43）＝32.∵A ∈(0，π)，∴A ＝π6，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝（26）2＋（6＋23）2－（43）22×26×（6＋23）＝22，∵C ∈(0，π)，∴C ＝π4.∴B ＝π－A －C ＝π－π6－π4＝712π，∴A ＝π6，B ＝712π，C ＝π4.反思与感悟 已知三边(或三边的关系)解三角形的方法(1)利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角；值为0，角为直角；值为负，角为钝角．(2)方法一：两次运用余弦定理的推论求出两个内角的余弦值，确定两个角，并确定第三个角．方法二：由余弦定理的推论求一个内角的余弦值，确定角的大小；由正弦定理求第二个角的正弦值，结合“大边对大角、大角对大边”法则确定角的大小，最后由三角形内角和为180°确定第三个角的大小．(3)若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入k ，从而转化为已知三边求解． 跟踪训练2 将例2中的条件改为“a ∶b ∶c ＝26∶(6＋23)∶43”，求A ，B ，C . 解 ∵a ∶b ∶c ＝26∶(6＋23)∶43， 即a26＝b 6＋23＝c43， 不妨设a26＝k ，则a ＝26k ，b ＝(6＋23)k ，c ＝43k ，下同例题解法．题型三 已知两边及其中一边的对角解三角形例3 在△ABC 中，已知角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝23，b ＝6，A ＝45°，求边c .解 方法一 在△ABC 中，根据余弦定理可得 a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即c 2－23c －6＝0， 所以c ＝3±3.又c >0，所以c ＝3＋3.方法二 在△ABC 中，由正弦定理得 sin B ＝b sin Aa ＝6×2223＝12，因为b <a ，所以B <A ，又B ∈(0°，180°)，所以B ＝30°， 所以C ＝180°－A －B ＝105°，所以sin C ＝sin 105°＝sin(45°＋60°)＝sin 45°cos 60°＋cos 45°sin 60°＝6＋24， 故c ＝a sin Csin A ＝23×6＋2422＝3＋3.反思与感悟 已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形的方法可根据余弦定理列一元二次方程求出第三边(注意边的取舍)，再利用正弦定理求其他的两个角；也可以由正弦定理求出第二个角(注意角的取舍)，再利用三角形内角和定理求出第三个角，最后利用正弦定理求出第三边．跟踪训练3 已知在△ABC 中，b ＝3，c ＝3，B ＝30°，解此三角形． 解 方法一 由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 得(3)2＝a 2＋32－2×a ×3×cos 30°， ∴a 2－33a ＋6＝0，∴a ＝3或a ＝2 3. 当a ＝3时，a ＝b ，∴A ＝30°，∴C ＝120°； 当a ＝23时，由正弦定理得 sin A ＝a sin B b ＝23sin 30°3＝1，又∵A ∈(0°，180°)，∴A ＝90°，C ＝60°.∴C ＝60°，A ＝90°，a ＝23或C ＝120°，A ＝30°，a ＝ 3. 方法二 由b <c ，B ＝30°，b >c sin 30°知本题有两解． 由正弦定理，得sin C ＝c sin B b ＝3×123＝32，∴C ＝60°或120°.当C ＝60°时，A ＝90°，由勾股定理得a ＝b 2＋c 2＝23； 当C ＝120°时，A ＝30°＝B ，∴a ＝ 3.∴C ＝60°，A ＝90°，a ＝23或C ＝120°，A ＝30°，a ＝ 3.1．在△ABC 中，符合余弦定理的是( ) A ．c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C B ．c 2＝a 2－b 2－2bc cos A C ．b 2＝a 2－c 2－2bc cos A D ．cos C ＝a 2＋b 2＋c 22ab答案 A解析 由余弦定理及其推论知只有A 正确．2．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a ＝5，c ＝2，cos A ＝23，则b ＝( )A. 2B. 3 C ．2 D ．3 答案 D解析 由余弦定理，得5＝b 2＋22－2×b ×2×23，解得b ＝3⎝⎛⎭⎫b ＝－13舍去，故选D. 3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若C ＝120°，c ＝2a ，则( )A ．a >bB ．a <bC ．a ＝bD ．a 与b 的大小关系不确定 答案 A解析 cos 120°＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 2－2a 22ab ＝－12，∴b ＝5－12a <a . 4．在△ABC 中，若a 2＋b 2－c 2＝ab ，则角C 的大小为________． 答案π3解析 cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12，又B ∈(0，π)，∴B ＝π3.5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝1，b ＝7，c ＝3，则B ＝________． 答案 56π解析 cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝1＋3－72×1×3＝－32，又B ∈(0，π)，∴B ＝56π.1.余弦定理与勾股定理的关系：余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例．(1)如果一个三角形两边的平方和大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角． (2)如果一个三角形两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角． (3)如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角． 2．利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题：(1)已知两边和夹角或已知三边能直接利用余弦定理解三角形．(2)若已知两边和一边的对角，既可以用正弦定理又可以用余弦定理解三角形，但用正弦定理时要注意不要漏解或多解．1．1.2 余弦定理(二)[学习目标] 1.熟练掌握余弦定理及其变形形式，能用余弦定理解三角形.2.能应用余弦定理判断三角形形状.3.能利用正弦、余弦定理解决解三角形的有关问题．知识点一 余弦定理及其推论1．a 2＝b 2＋c 2－2bc cos__A ，b 2＝c 2＋a 2－2ca cos__B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos__C ． 2．cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab．3．在△ABC 中，c 2＝a 2＋b 2⇔C 为直角，c 2>a 2＋b 2⇔C 为钝角；c 2<a 2＋b 2⇔C 为锐角． 知识点二 正弦、余弦定理解决的问题思考 以下问题不能用余弦定理求解的是________． (1)已知两边和其中一边的对角，解三角形； (2)已知两角和一边，解三角形；(3)已知一个三角形的两条边及其夹角，解三角形； (4)已知一个三角形的三条边，解三角形． 答案 (2)题型一 利用余弦定理判断三角形的形状例1 在△ABC 中，cos 2B 2＝a ＋c2c ，其中a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，则△ABC 的形状为( ) A ．直角三角形B ．等腰三角形或直角三角形C ．等腰直角三角形D ．正三角形 答案 A解析 方法一 在△ABC 中，由已知得 1＋cos B 2＝12＋a2c ， ∴cos B ＝a c ＝a 2＋c 2－b 22ac，化简得c 2＝a 2＋b 2. 故△ABC 为直角三角形．方法二 原式化为cos B ＝a c ＝sin Asin C ，∴cos B sin C ＝sin A ＝sin(B ＋C ) ＝sin B cos C ＋cos B sin C ， ∴sin B cos C ＝0，∵B ∈(0，π)，sin B ≠0，∴cos C ＝0， 又∵C ∈(0，π)，∴C ＝π2，即△ABC 为直角三角形．反思与感悟 一般地，如果遇到的式子含角的余弦或是边的二次式，要考虑用余弦定理；反之，若遇到的式子含角的正弦或是边的一次式，则大多用正弦定理；若是以上特征不明显，则要考虑两个定理都有可能用．跟踪训练1 在△ABC 中，B ＝60°，b 2＝ac ，则三角形一定是( ) A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰直角三角形 D ．钝角三角形 答案 B解析 由余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，代入得12＝a 2＋c 2－ac 2ac ，∴a 2＋c 2－2ac ＝0， 即(a －c )2＝0，∴a ＝c .又∵B ＝60°，∴△ABC 是等边三角形． 题型二 正弦、余弦定理的综合应用例2 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且cos A a ＋cos B b ＝sin C c .(1)证明：sin A sin B ＝sin C ； (2)若b 2＋c 2－a 2＝65bc ，求tan B .(1)证明 根据正弦定理，可设a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝k (k >0)．则a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C .代入cos A a ＋cos B b ＝sin C c 中，有cos A k sin A ＋cos B k sin B ＝sin C k sin C，变形可得： sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin(A ＋B )． 在△ABC 中，由A ＋B ＋C ＝π， 有sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ， 所以sin A sin B ＝sin C .(2)解 由已知，b 2＋c 2－a 2＝65bc ，根据余弦定理，有cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝35.所以sin A ＝1－cos 2A ＝45.由(1)知，sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ， 所以45sin B ＝45cos B ＋35sin B ，故tan B ＝sin B cos B＝4.反思与感悟 (1)余弦定理和正弦定理一样，都是围绕着三角形进行边角互换的．在有关三角形的题目中注意选择是应用正弦定理，还是余弦定理，必要时也可列方程(组)求解．同时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能利用某个定理的信息． (2)解题时，还应注意，当把条件转化为角之间的关系时，还应注意三角恒等变换公式的应用．跟踪训练2 在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，且b sin A ＝3a cos B . (1)求角B ；(2)若b ＝3，sin C ＝2sin A ，求a ，c 的值． 解 (1)由b sin A ＝3a cos B 及正弦定理， 得sin B ＝3cos B ，即tan B ＝3，因为B 是三角形的内角，所以B ＝π3.(2)由sin C ＝2 sin A 及正弦定理得，c ＝2a . 由余弦定理及b ＝3，得9＝a 2＋c 2－2ac cos π3，即9＝a 2＋4a 2－2a 2，所以a ＝3，c ＝2 3. 题型三 利用正弦、余弦定理证明边角恒等式例3 在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，求证：a 2－b 2c 2＝sin （A －B ）sin C .证明 在△ABC 中，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，∴a 2－b 2＝b 2－a 2－2bc cos A ＋2ac cos B ， ∴2(a 2－b 2)＝2ac cos B －2bc cos A ， 即a 2－b 2＝ac cos B －bc cos A ， ∴a 2－b 2c 2＝a cos B －b cos Ac .由正弦定理得a c ＝sin A sin C ，b c ＝sin B sin C，∴a 2－b 2c 2＝sin A cos B －cos A sin B sin C ＝sin （A －B ）sin C ，故等式成立．反思与感悟 (1)证明三角恒等式，关键是消除等号两端三角函数式的差异．形式上一般有：左⇒右；右⇒左或左⇒中⇐右三种．(2)利用正弦、余弦定理证明三角形中的恒等式的途径有两种：一是把角的关系通过正弦、余弦定理转化为边的关系；二是把边的关系转化为角的关系． 跟踪训练3 在△ABC 中，若a cos 2C 2＋c cos 2 A 2＝3b2，求证：a ＋c ＝2b .解 由题a (1＋cos C )＋c (1＋cos A )＝3b ， 即a ＋a ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ＋c ·b 2＋c 2－a 22bc ＝3b ，∴2ab ＋a 2＋b 2－c 2＋2bc ＋b 2＋c 2－a 2＝6b 2， 整理得ab ＋bc ＝2b 2，同除b 得a ＋c ＝2b ， 故等式成立．例4 已知钝角三角形的三边BC ＝a ＝k ，AC ＝b ＝k ＋2，AB ＝c ＝k ＋4，求k 的取值范围． 错解 ∵c >b >a ，且△ABC 为钝角三角形， ∴C 为钝角．由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝k 2－4k －122k （k ＋2）<0.∴k 2－4k －12<0，解得－2<k <6，①∵k 为三角形的一边长，∴k >0，② 由①②知0<k <6.错因分析 忽略隐含条件k ＋k ＋2>k ＋4，即k >2. 正解 ∵c >b >a ，且△ABC 为钝角三角形， ∴C 为钝角．由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝k 2－4k －122k （k ＋2）<0，∴k 2－4k －12<0，解得－2<k <6，① 由两边之和大于第三边得k ＋(k ＋2)>k ＋4， ∴k >2，② 由①②可知2<k <6.误区警示 在解与三角形的边有关的问题时，一定要注意三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．跟踪训练4 若△ABC 为钝角三角形，三边长分别为2，3，x ，则x 的取值范围是( ) A ．(1，5) B ．(13，5)C ．(5，13)D ．(1，5)∪(13，5) 答案 D解析 (1)若x >3，则x 对角的余弦值22＋32－x 22×2×3<0且2＋3>x ，解得13<x <5.(2)若x <3，则3对角的余弦值22＋x 2－322×2×x <0且x ＋2>3，解得1<x < 5.故x 的取值范围是(1，5)∪(13，5)．1．在△ABC 中，b cos A ＝a cos B ，则△ABC 是( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．锐角三角形 答案 B解析 由题b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝a ·a 2＋c 2－b 22ac，整理得a 2＝b 2，∴a ＝b .2．在△ABC 中，sin 2A －sin 2C －sin 2B ＝sin C sin B ，则A 等于( ) A ．60° B ．45° C ．120° D ．30° 答案 C解析 由正弦定理得a 2－c 2－b 2＝bc ， 结合余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12，又A ∈(0，π)，∴A ＝120°.3．在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sin Bsin C 的值为( )A.85B.58C.53D.35 答案 D解析 由余弦定理BC 2＝AB 2＋AC 2－2·AB ·AC ·cos A 得72＝52＋AC 2－2·5·AC ·(－12)，∴AC ＝3或－8(舍)．∴sin B sin C ＝AC AB ＝35.4．已知锐角三角形的边长分别为1，3，a ，则a 的范围是( ) A ．(8，10) B ．(22，10) C ．(22，10) D ．(10，8) 答案 B解析 只需让3和a 所对的边均为锐角即可．故⎩⎪⎨⎪⎧12＋32－a 22·1·3>012＋a 2－322·1·a >01＋3>a 1＋a >3，解得22<a <10.5．在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，C ＝2π3，则a ＝________．答案 1解析 由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， ∴a 2＋1＋a ＝3，即a 2＋a －2＝0， 解得a ＝1或a ＝－2(舍)．6．已知△ABC 的三边长分别为2，3，4，则此三角形是________三角形．答案钝角解析4所对的角的余弦为22＋32－422×2×3＝－14<0，故该角为钝角，故该三角形为钝角三角形．1.判断三角形形状的基本思想是：用正弦定理或余弦定理将所给条件统一为角之间的关系或边之间的关系．若统一为角之间的关系，再利用三角恒等变形化简找到角之间的关系；若统一为边之间的关系，再利用代数方法进行恒等变形、化简，找到边之间的关系．2．解决综合问题时应考虑以下两点(1)正弦定理、余弦定理是解决三角形问题的主要工具，正确选择适合试题特点的公式极为重要，当使用一个定理无法解决问题时，要及时考虑另外一个定理．(2)三角函数中的公式在解决三角形问题时是不可或缺的，应该养成应用三角公式列式化简的习惯．[学习目标]利用正弦、余弦定理解决生产实践中的有关距离的测量问题．知识点一基线的定义在测量上，我们根据测量需要适当确定的线段叫做基线，一般地讲，基线越长，测量的精确度越高．知识点二有关的几个术语(1)方位角：指以观测者为中心，从正北方向线顺时针旋转到目标方向线所形成的水平角．如图所示的θ1，θ2即表示点A和点B的方位角．故方位角的范围是[0°，360°)．(2)方向角：指以观测者为中心，指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，它是方位角的另一种表示形式．如图，左图中表示北偏东30°，右图中表示南偏西60°.思考上两图中的两个方向，用方位角应表示为30°(左图)，240°(右图)．(3)视角：观测者的两条视线之间的夹角称作视角．知识点三解三角形应用题解三角形应用题时，通常都要根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解三角形，得到实际问题的解，求解的关键是将实际问题转化为解三角形问题．(1)解题思路。