高中数学必修五北师大版 余弦定理(一)学案

2.1.2《余弦定理》教学设计【学习目标】1.了解向量知识应用；掌握余弦定理推导过程；会利用余弦定理证明简单三角形问题；2.利用余弦定理求解简单斜三角形边角问题，能利用计算器进行运算；3.通过三角函数、余弦定理、向量数量积等多处知识间联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一.【导入新课】上一节，我们一起研究了正弦定理及其应用，在体会向量应用的同时，解决了在三角形已知两角一边和已知两边和其中一边对角这两类解三角形问题.当时对于已知两边夹角求第三边问题未能解决.如图(1)在直角三角形中，根据两直角边及直角可表示斜边，即勾股定理，那么对于任意三角形，能否根据已知两边及夹角来表示第三边呢?下面我们根据初中所学的平面几何的有关知识来研究这一问题.新授课阶段一、引入问题的解决在△ABC中，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，试根据b，c，A来表示a.分析：由于初中平面几何所接触的是解直角三角形问题，所以应添加辅助线构造直角三角形，在直角三角形内通过边角关系作进一步的转化工作，故作CD垂直于AB于D，那么在Rt△BDC中，边a可利用勾股定理用CD、DB表示，而CD可在Rt△ADC中利用边角关系表示，DB可利用AB—AD转化为AD，进而在Rt△ADC内求解.解：二、余弦定理的内容：余弦定理内容：形式一：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .形式二：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab. 在余弦定理中，令C ＝90°，这时，cos C ＝0，所以c 2＝a 2＋b 2，由此可知余弦定理是勾股定理的推广.另外，对于余弦定理的证明，我们也可以仿照正弦定理的证明方法二采用向量法证明，以进一步体会向量知识的工具性作用.三、向量法证明余弦定理如图，在△ABC 中，设AB 、BC 、CA 的长分别是c 、a 、b .由向量法证明：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .四、余弦定理解决的问题类型利用余弦定理，我们可以解决以下两类有关三角形的问题：(1) ；(2) .例1在△ABC中，已知a＝7，b＝10，c＝6，求A、B和C (精确到1°).分析：解：例2 在△ABC中，已知a＝2.730，b＝3.696，C＝82°28′，解这个三角形(边长保留四个有效数字，角度精确到1′) .解：例3在△ABC中：(1)已知b＝8，c＝3，A＝60°，求a；(2)已知a＝20，b＝29，c＝21，求B；(3)已知a＝3 3 ，c＝2，B＝150°，求b；(4)已知a＝2，b＝ 2 ，c＝ 3 ＋1，求A解：例4根据下列条件解三角形(角度精确到1°)(1)a ＝31，b ＝42，c ＝27；(2)a ＝9，b ＝10，c ＝15解：课堂小结1. ；2. ；3. .作业见同步练习部分拓展提升1. 在∆ABC 中，已知7a =，5b =，3c =，则∆ABC 的形状为（ ）A ．锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形2. 在△ABC 中，a ＝1，b ＝7 ，B ＝60°，则边c 的长度为（ ）A. 3B. 2C.D. 53.在△ABC 中，已知：c 4－2(a 2＋b 2)c 2＋a 4＋a 2b 2＋b 4＝0，则角C 的大小为4. 在△ABC 中，已知A ＞B ＞C 且A ＝2C ，A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，又2b ＝a ＋c 成等差数列，且b ＝4，求a 、c 的长.5.在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝ 2 ，A ＝45°，解此三角形.6.在∆ABC 中，已知=a c 060=B ，求b 及A7. 在∆ABC 中，已知134.6=a cm ，87.8=b cm ，161.7=c cm ，解三角形参考答案新授课阶段一、引入问题的解决在△ABC中，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，试根据b，c，A来表示a.分析：由于初中平面几何所接触的是解直角三角形问题，所以应添加辅助线构造直角三角形，在直角三角形内通过边角关系作进一步的转化工作，故作CD垂直于AB于D，那么在Rt△BDC中，边a可利用勾股定理用CD、DB表示，而CD可在Rt△ADC中利用边角关系表示，DB可利用AB—AD转化为AD，进而在Rt△ADC内求解.解：过C作CD⊥AB，垂足为D，则在Rt△CDB中，根据勾股定理可得：a2＝CD2＋BD2∵在Rt△ADC中，CD2＝b2－AD2又∵BD2＝(c－AD)2＝c2－2c·AD＋AD2∴a2＝b2－AD2＋c2－2c·AD＋AD2＝b2＋c2－2c·AD又∵在Rt△ADC中，AD＝b·cos A∴a2＝b2＋c2－2bc cos A类似地可以证明b2＝a2＋c2－2ac cos Bc2＝a2＋b2－2ab cos C另外，当A为钝角时也可证得上述结论，当A为直角时a2＝b2＋c2也符合上述结论，这也正是我们这一节将要研究的余弦定理.二、余弦定理的内容：余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.形式一：a2＝b2＋c2－2bc cos A，b2＝c2＋a2－2ca cos B，c2＝a2＋b2－2ab cos C.形式二：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab. 在余弦定理中，令C ＝90°，这时，cos C ＝0，所以c 2＝a 2＋b 2，由此可知余弦定理是勾股定理的推广.另外，对于余弦定理的证明，我们也可以仿照正弦定理的证明方法二采用向量法证明，以进一步体会向量知识的工具性作用.三、向量法证明余弦定理如图，在△ABC 中，设AB 、BC 、CA 的长分别是c 、a 、b .由向量加法的三角形法则可得AC →＝AB →＋BC →，∴AC →·AC →＝(AB →＋BC →)·(AB →＋BC →)＝AB →2＋2AB →·BC →＋BC →2＝｜AB →｜2＋2｜AB →｜｜BC →｜cos(180°－B )＋｜BC →｜2＝c 2－2ac cos B ＋a 2即b 2＝c 2＋a 2－2ac cos B由向量减法的三角形法则可得：BC →＝AC →－AB →∴BC →·BC →＝(AC →－AB →)·(AC →－AB →)＝AC →2－2AC →·AB →＋AB →2＝｜AC →｜2－2｜AC →｜｜AB →｜cos A ＋｜AB →｜2＝b 2－2bc cos A ＋c 2即a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A由向量加法的三角形法则可得AB →＝AC →＋CB →＝AC →－BC →∴AB →·AB →＝(AC →－BC →)·(AC →－BC →)＝AC →2－2AC →·BC →＋BC →2＝｜AC →｜2－2｜AC →｜｜BC →｜cos C ＋｜BC →｜2＝b 2－2ba cos C ＋a 2即c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C评述：(1)上述证明过程中应注意正确运用向量加法(减法)的三角形法则.(2)在证明过程中应强调学生注意的是两向量夹角的确定，AC →与AB →属于同起点向量，则夹角为A ；AB →与BC →是首尾相接，则夹角为角B 的补角180°－B ；AC →与BC →是同终点，则夹角仍是角C .四、余弦定理解决的问题类型利用余弦定理，我们可以解决以下两类有关三角形的问题：(1)已知三边，求三个角；这类问题由于三边确定，故三角也确定，解唯一；(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.这类问题第三边确定，因而其他两个角唯一，故解唯一，不会产生类似利用正弦定理解三角形所产生的判断取舍等问题.例1分析：此题属于已知三角形三边求角的问题，可以利用余弦定理，意在使学生熟悉余弦定理的形式二解：∵cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝102＋62－722×10×6＝0.725，∴A ≈44° ∵cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝72＋102－622×7×10 ＝113140＝0.8071，∴C ≈36° ∴B ＝180°－(A ＋C )≈180°－(44°＋36°)＝100°.例2 在△ABC 中，已知a ＝2.730，b ＝3.696，C ＝82°28′，解这个三角形(边长保留四个有效数字，角度精确到1′)解：由c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝2.7302＋3.6962－2×2.730×3.696×cos82°28′得c ＝4.297.∵cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝3.6962＋4.2972－2.73022×3.696×4.297＝0.7767，∴A ＝39°2′ ∴B ＝180°－(A ＋C )＝180°－(39°2′＋82°28′)＝58°30′例3解：(1)由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 得a 2＝82＋32－2×8×3cos60°＝49，∴a ＝7(2)由cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca得 cos B ＝202＋212－2922×20×21＝0，∴B ＝90° (3)由b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 得b 2＝(3 3 )2＋22－2×3 3 ×2cos150°＝49，∴b ＝7(4)由cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc得 cos A ＝（ 2 ）2＋（ 3 ＋1）2－222 2 （ 3 ＋1）＝ 2 2 ，∴A ＝45° 例4解：(1)由cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc得 cos A ＝422＋272－3122×42×27≈0.6691，∴A ≈48° 由cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca≈0.0523，∴B ≈93° ∴C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(48°＋93°)≈39°(2)由cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc得 cos A ＝102＋152－922×10×15＝0.8090，∴A ≈36° 由cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca得 cos B ＝92＋152－1022×9×15＝0.7660，∴B ≈40° ∴C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(36°＋40°)≈104°课堂小结1.余弦定理的证明方法；2.余弦定理所能解决的两类有关三角形问题：已知三边求任意角；已知两边一夹角解三角形；3. 余弦定理的灵活运用.拓展提升1. C 【解析】由余弦定理可知222222222是直角ABC 是直角三角形是钝角ABC 是钝角三角形是锐角a b c A a b c A a b c A =+⇔⇔∆>+⇔⇔∆<+⇔⇔ABC 是锐角三角形∆（注意：是锐角A ⇔ABC 是锐角三角形∆）222753>+，即222a b c >+，∴ABC 是钝角三角形∆.2.A 【解析】由余弦定理得 (7 )2＝12＋c 2－2c cos60°，∴c 2－c －6＝0，解得c 1＝3，c 2＝－2(舍去).∴c ＝33.60120οο或【解析】∵c 4－2(a 2＋b 2)c 2＋a 4＋a 2b 2＋b 4＝0，∴［c 2－(a 2＋b 2)］2－a 2b 2＝0，∴c 2－(a 2＋b 2)＝±ab ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝±12，∴C ＝120°或C ＝60° 4．解：由a sin A ＝c sin C且A ＝2C 得 a 2sin C cos C ＝c sin C ，cos C ＝a 2c又∵2b ＝a ＋c 且b ＝4，∴a ＋c ＝2b ＝8， ① ∴cos C ＝a 2＋42－c 28a ＝a ＋2－c a ＝5a －3c 4a ＝a 2c∴2a ＝3c ②由①②解得a ＝245 ，c ＝1655.解：由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A得22＝( 2 )2＋c 2－2 2 c cos45°，c 2－2c －2＝0解得c ＝1＋ 3 或c ＝1－ 3 (舍去)∴c ＝1＋ 3 ，cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca ＝22＋（1＋ 3 ）2－（ 2 ）22×2×（1＋ 3 ）＝ 3 2 ∴B ＝30°C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(45°＋30°)＝105° 6.解：∵2222cos =+-b a c ac B=222+-⋅cos 045=2121)+-=8∴=b求A 可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：印刷版高中数学 ⑵解法一：∵cos 2221,22+-=b c a A bc ∴060.=A解法二：∵sin 0sin sin45,=a A B b2.4 1.43.8,+=21.8 3.6,⨯=∴a ＜c ，即00＜A ＜090,∴060.=A7.解：由余弦定理的推论得：cos 2222+-=b c a A bc 22287.8161.7134.6287.8161.7+-=⨯⨯0.5543,≈05620'≈A ； cos 2222+-=c a b B ca 222134.6161.787.82134.6161.7+-=⨯⨯0.8398,≈03253'≈B ； 0000180()180(56203253)''=-+≈-+C A B 09047.'=。

1．2 余弦定理(一)明目标、知重点 1.把握余弦定理，会利用向量的数量积证明余弦定理.2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．1．余弦定理三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍． 即a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C . 2．余弦定理的推论cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca ；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.[情境导学]我们知道已知两边和一边的对角，或者已知两角和一角的对边能用正弦定理解三角形，假如已知两边和夹角怎样解三角形求第三边和其他两角呢？或者已知三边怎么解三角形求三个角呢？这是余弦定理所能解决的问题，这一节我们就来学习余弦定理及其应用．探究点一 利用向量法证明余弦定理问题 假如已知一个三角形的两条边及其所夹的角，依据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、外形完全确定的三角形．如何利用已知的两边和夹角来解三角形呢？思考1 如何用数学符号来表达“已知三角形的两边及其夹角来解三角形”？ 答 在△ABC 中，已知AB ＝c ，AC ＝b 和角A ，求边a 和角B ，C .思考2 我们可以先争辩计算第三边长度的问题，联系已经学过的学问和方法，我们又从哪些角度争辩这个问题能得到一个关系式或计算公式？答 由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量的数量积，或用解析几何的两点间距离公式来争辩这个问题． 思考3 如图，如何用b ，c 和角A 表示出边c?答 a 2＝BC →·BC →＝(AC →－AB →)(AC →－AB →)＝AC →2－2AC →·AB →＋AB →2＝b 2－2bc cos A ＋c 2. 即a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A .同理可以证明：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B .小结 余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．即a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .思考4 我们可以把三角形放在平面直角坐标系中来争辩，写出各个顶点的坐标，你能否利用平面内两点间的距离公式来推导余弦定理？答 如下图，以A 为原点，边AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系，则A (0,0)，B (c,0)，C (b cos A ，b sin A )，∴BC 2＝b 2cos 2A －2bc cos A ＋c 2＋b 2sin 2A ， 即a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A .同理可证：b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .例1 如图所示，有两条直线AB 和CD 相交成80°角，交点是O .甲乙两人同时从点O 分别沿OA ，OC 方向动身，速度分别为4 km/h 和4.5 km/h.3时后两人相距多远(结果精确到0.1 km)?思考 如何把题目中的已知条件和求3时后两人相距多远的问题，转化成解三角形中的问题？(写出例题的解题过程)答 经过3时，甲到达点P ，OP ＝4×3＝12(km)，乙到达点Q ，OQ ＝4.5×3＝13.5(km)，问题转化为在△OPQ 中，已知OP ＝12 km ，OQ ＝13.5 km ，∠POQ ＝80°，求PQ 的长．解 经过3时后，甲到达点P ，OP ＝4×3＝12(km)，乙到达点Q ，OQ ＝4.5×3＝13.5(km)． 依余弦定理，知PQ ＝OP 2＋OQ 2－2OP ·OQ cos ∠POQ＝122＋13.52－2×12×13.5cos 80°≈16.4(km)．答 3时后两人相距约16.4 km.反思与感悟 利用余弦定理解决实际生活中的问题时，要学会审题及依据题意画示意图，要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化，从而转变成解三角形问题．跟踪训练1 江岸边有一炮台高30 m ，江中有两条船，船与炮台底部在同一水面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距 m. 答案 30解析 设两条船所在位置分别为A 、B 两点，炮台底部所在位置为C 点， 在△ABC 中，由题意可知AC ＝30tan 30°＝303(m)，BC ＝30tan 45°(m)＝30，∠C ＝30°， AB 2＝(303)2＋302－2×303×30×cos 30°＝900， 所以AB ＝30(m)．探究点二 余弦定理的变形思考1 余弦定理是关于三角形三边和一个角的一个关系式，从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？答 从余弦定理的三个关系式中，分别出角的余弦，又可得到以下推论：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝b 2＋a 2－c 22ba.思考2 依据余弦定理及其推论，你认为余弦定理及其推论的基本作用有哪些？答 (1)已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；(2)已知三角形的三条边就可以求出其他角． 例2 如图是公元前约400年古希腊数学家泰特托斯用来构造无理数2，3，5…的图形．试计算图中线段BD 的长度及∠DAB 的大小(长度精确到0.1，角度精确到1°)． 思考 依据图中标出的数据，你能求出∠BCD 的大小吗？ 答 由△ABC 中标出的数据知，△ABC 为等腰直角三角形， 所以∠ACB ＝45°，又由于∠ACD ＝90°， 所以∠BCD ＝∠ACB ＋∠ACD ＝45°＋90°＝135°. 解 在△BCD 中，BC ＝1，CD ＝1，∠BCD ＝135°.由于BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos ∠BCD ＝12＋12－2×1×1cos 135°＝2＋2，所以BD ≈1.8. 在△ABD 中，AB ＝1，BD ＝2＋2，AD ＝ 3.由于cos ∠DAB ＝AB 2＋AD 2－BD 22AB ·AD＝12＋(3)2－(2＋2)2×1×3≈0.169 1，所以∠DAB ≈80°.反思与感悟 已知三边求三角：余弦值是正值时，角是锐角；余弦值是负值时，角是钝角． 跟踪训练2 在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶4∶5，推断三角形的外形． 解 由于a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶4∶5， 所以可令a ＝2k ，b ＝4k ，c ＝5k (k >0)． c 最大，cos C ＝(2k )2＋(4k )2－(5k )22×2k ×4k <0，所以C 为钝角，从而三角形为钝角三角形． 探究点三 余弦定理在实际生活中的应用例3 如图所示，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心马上把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB 前往B 处救援，求cos θ的值．解 在△ABC 中，AB ＝40，AC ＝20，∠BAC ＝120°，由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos 120°＝2 800，所以BC ＝207. 由正弦定理AB sin ∠ACB ＝BCsin ∠BAC，得sin ∠ACB ＝AB BC ·sin ∠BAC ＝217.由∠BAC ＝120°，知∠ACB 为锐角， 故cos ∠ACB ＝277.故cos θ＝cos(∠ACB ＋30°)＝cos ∠ACB cos 30°－sin ∠ACB sin 30° ＝277×32－217×12＝2114. 反思与感悟 航海问题是解三角形应用问题中的一类很重要的问题，解决这类问题确定要搞清方位角，再就是选择好不动点，然后依据条件，画出示意图，转化为三角形问题．跟踪训练3 在某个位置测得某山峰仰角为θ，对着山峰在地面上前进600 m 后测得仰角为2θ，连续在地面上前进200 3 m 以后测得山峰的仰角为4θ，则该山峰的高度为( ) A ．200 m B ．300 m C ．400 m D ．100 3 m答案 B解析 方法一 如图，△BED ，△BDC 为等腰三角形，BD ＝ED ＝600 m ，BC ＝DC ＝200 3 m. 在△BCD 中，由余弦定理可得cos 2θ＝6002＋(2003)2－(2003)22×600×2003＝32，∴2θ＝30°，4θ＝60°.在Rt △ABC 中，AB ＝BC ·sin 4θ＝2003×32＝300(m)， 故选B.方法二 由于△BCD 是等腰三角形，12BD ＝DC cos 2θ，即300＝2003cos 2θ.cos 2θ＝32，2θ＝30°，4θ＝60°.在Rt △ABC 中，AB ＝BC ·sin 4θ＝2003×32＝300(m)， 故选B.1．一个三角形的两边长分别为5和3，它们夹角的余弦值是－35，则三角形的另一边长为( )A ．52B ．213C ．16D ．4答案 B解析 设另一边长为x ，则x 2＝52＋32－2×5×3×(－35)＝52，∴x ＝213.2．在△ABC 中，a ＝7，b ＝43，c ＝13，则△ABC 的最小角为( ) A.π3 B.π6 C.π4 D.π12 答案 B解析 ∵a >b >c ，∴C 为最小角， 由余弦定理cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝72＋(43)2－(13)22×7×43＝32.∴C ＝π6. 3．假如等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为( ) A.518 B.34 C.32D.78答案 D解析 设顶角为C ，由于l ＝5c ，且a ＝b ＝2c ，∴C 为最小角，由余弦定理得：cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝4c 2＋4c 2－c 22×2c ×2c ＝78.4．在△ABC 中，已知A ＝60°，最大边长和最小边长恰好是方程x 2－7x ＋11＝0的两根，则第三边的长为 ． 答案 4解析 设最大边为x 1，最小边为x 2， 则x 1＋x 2＝7，x 1x 2＝11， ∴第三边长＝x 21＋x 22－2x 1x 2cos A＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2(1＋cos A )＝4.[呈重点、现规律]1．利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题： (1)已知两边和夹角，解三角形． (2)已知三边求三角形的任意一角．2．当所给的条件是边角混合关系时，推断三角形外形的基本思想：用正弦定理或余弦定理将所给条件统一为角之间的关系或边之间的关系．若统一为角之间的关系，再利用三角恒等变形化简找到角之间的关系；若统一为边之间的关系，再利用代数方法进行恒等变形、化简，找到边之间的关系．3．余弦定理与勾股定理的关系：余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例． (1)假如一个三角形两边的平方和大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角． (2)假如一个三角形两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角． (3)假如一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角．一、基础过关1．在△ABC 中，已知a ＝2，则b cos C ＋c cos B 等于( ) A ．1 B. 2 C ．2 D ．4答案 C解析 b cos C ＋c cos B ＝b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·c 2＋a 2－b 22ca ＝2a 22a ＝a ＝2.2．在△ABC 中，已知b 2＝ac 且c ＝2a ，则cos B 等于( ) A.14 B.34 C.24D.23 答案 B解析 ∵b 2＝ac ，c ＝2a ，∴b 2＝2a 2，b ＝2a ， ∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 22a ·2a ＝34.3．台风中心从A 地以20 km/h 的速度向东北方向移动，离台风中心30 km 内的地区为危急区，城市B 在A 的正东40 km 处，B 城市处于危急区内的时间为( ) A ．0.5 h B ．1 h C ．1.5 h D ．2 h 答案 B解析 设A 地东北方向上点P 到B 的距离为30 km 时，AP ＝x ， 在△ABP 中，PB 2＝AP 2＋AB 2－2AP ·AB cos A ，即302＝x 2＋402－2x ·40cos 45°， 化简得x 2－402x ＋700＝0.设该方程的两根为x 1，x 2，则P 点的位置有两处，即P 1，P 2. 则|x 1－x 2|2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝400，|x 1－x 2|＝20， 即P 1P 2＝20(km)，故t ＝P 1P 2v ＝2020＝1(h )．故选B.4．在△ABC 中，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为( ) A.π6 B.π3 C.π6或5π6 D.π3或2π3 答案 D解析 ∵(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ， ∴a 2＋c 2－b 22ac ·tan B ＝32，即cos B ·tan B ＝sin B ＝32. ∵0<B <π，∴角B 的值为π3或2π3.5．已知A 船在灯塔C 北偏东80°处，且A 船到灯塔的距离为2 km ，B 船在灯塔C 北偏西40°处，A ，B 两船间的距离为3 km ，则B 船到灯塔的距离为 km. 答案6－1解析 由题意知，∠ACB ＝80°＋40°＝120°，AC ＝2 km ，AB ＝3 km ， 设B 船到灯塔的距离为x ，即BC ＝x .由余弦定理可知AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos 120°， 即9＝4＋x 2－2×2x ×⎝⎛⎭⎫－12，整理得x 2＋2x －5＝0， 解得x ＝－1－6(舍去)或x ＝－1＋ 6.6．三角形三边长为a ，b ，a 2＋ab ＋b 2 (a >0，b >0)，则最大角为 ． 答案 120° 解析 易知：a 2＋ab ＋b 2>a ，a 2＋ab ＋b 2>b ，设最大角为θ，则cos θ＝a 2＋b 2－(a 2＋ab ＋b 2)22ab ＝－12，∴θ＝120°.7．在△ABC 中，已知CB ＝7，AC ＝8，AB ＝9，试求AC 边上的中线长．解 由条件知：cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22·AB ·AC ＝92＋82－722×9×8＝23，设中线长为x ，由余弦定理知：x 2＝⎝⎛⎭⎫AC 22＋AB 2－2·AC 2·AB cos A ＝42＋92－2×4×9×23＝49，所以x ＝7. 所以AC 边上的中线长为7. 二、力气提升8．在△ABC 中，sin 2A 2＝c －b2c ，则△ABC 的外形为( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形答案 B解析 ∵sin 2A 2＝1－cos A 2＝c －b2c，∴cos A ＝b c ＝b 2＋c 2－a22bc，∴a 2＋b 2＝c 2，符合勾股定理， 所以△ABC 为直角三角形．9．在△ABC 中，若∠B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，则满足条件的三角形有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．0个 答案 B解析 设BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ， 由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，∴22＝a 2＋(23)2－2a ×23cos 30°， 即a 2－6a ＋8＝0，解得a ＝2或a ＝4. 当a ＝2时，三边为2,2,23可组成三角形； 当a ＝4时，三边为4,2,23也可组成三角形． ∴满足条件的三角形有两个．10．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝6，BC ＝1＋3，AD 为边BC 上的高，则AD 的长是 ． 答案3解析 ∵cos C ＝BC 2＋AC 2－AB 22×BC ×AC ＝22，∴sin C ＝22.∴AD ＝AC ·sin C ＝ 3. 11．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，且a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，2cos(A ＋B )＝1. (1)求角C 的度数； (2)求AB 的长．解 (1)cos C ＝cos [π－(A ＋B )] ＝－cos(A ＋B )＝－12.又∵C ∈(0°，180°)，∴C ＝120°.(2)∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝23，ab ＝2. ∴AB 2＝a 2＋b 2－2ab cos 120°＝(a ＋b )2－ab ＝10， ∴AB ＝10.12．在△ABC 中，已知a －b ＝4，a ＋c ＝2b ，且最大角为120°，求三边长．解 由⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＝4a ＋c ＝2b ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＋4c ＝b －4.∴a >b >c ，∴A ＝120°， ∴a 2＝b 2＋c 2－2bc cos 120°，即(b ＋4)2＝b 2＋(b －4)2－2b (b －4)×⎝⎛⎭⎫－12， 即b 2－10b ＝0，解得b ＝0(舍去)或b ＝10. 当b ＝10时，a ＝14，c ＝6. 三、探究与拓展13．△ABC 的面积是30，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，cos A ＝1213.(1)求AB →·AC →；(2)若c －b ＝1，求a 的值．解 (1)由cos A ＝1213，得sin A ＝1－⎝⎛⎭⎫12132＝513.又12bc sin A ＝30，∴bc ＝156. AB →·AC →＝bc cos A ＝156×1213＝144.(2)a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(c －b )2＋2bc (1－cos A ) ＝1＋2×156×⎝⎛⎭⎫1－1213＝25，∴a ＝5.。

1.2 余弦定理教课目的1．知识与技术: 掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。

2.过程与方法 : 利用向量的数目积推出余弦定理及其推论，并经过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题，3．神态与价值：培育学生在方程思想指导下办理解三角形问题的运算能力；经过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的广泛联系与辩证一致。

教课要点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；教课难点：勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。

学法：第一研究把已知两边及其夹角判断三角形全等的方法进行量化，也就是研究怎样从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题，利用向量的数目积比较容易地证了然余弦定理。

进而利用余弦定理的第二种形式由已知三角形的三边确立三角形的角教课假想[创建情形 ]C如图 1． 1-4 ，在ABC中，设 BC=a,AC=b,AB=c,已知 a,b 和C，求边 c b aA c B[ 探究研究 ]( 图 1． 1-4)联系已经学过的知识和方法，可用什么门路来解决这个问题？用正弦定理试求，发现因A、 B 均未知，因此较难求边c。

因为波及边长问题，进而能够考虑用向量来研究这个问题。

A如图 1． 1-5 ，设CB a ， CA b ， AB c ，那么 c a b ，则b cC a Bc 2c c a b a ba ab b a b222( 图 1． 1-5)a ba b2进而c2a2b22ab cos C同理可证a2b2c22bc cos A b2a2 c22ac cos B余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其余两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。

即c2a2b22ab cos Ca2 b2 c22bc cos A b2 a2 c22ac cos B思虑：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知此中三个量，能够求出第四个量，可否由三边求出一角？（由学生推出）从余弦定理，又可获得以下推论：cos A b2c2a2a2c2b2b2a2c2cosB2accos C2ba 2bc[ 理解定理 ] 进而知余弦定理及其推论的基本作用为：①已知三角形的随意两边及它们的夹角就能够求出第三边；②已知三角形的三条边就能够求出其余角。

《余弦定理》（第一课时）教学设计一、教学内容解析本节内容选自普通高中课程标准实验教科书北师大版《数学》必修5第二章《解三角形》第一节正弦定理和余弦定理。

第一节约4课时，2课时通过探究证明正弦定理，应用正弦定理解三角形；2课时通过探究证明余弦定理，应用余弦定理解三角形。

本节课是余弦定理的第一课时，属于定理教学课。

正余弦定理是定量研究三角形边角关系的基础，它们为解三角形提供了基本方法，为后续解决测量等实际问题提供了理论基础和操作工具。

余弦定理是继正弦定理之后的解三角形又一有力工具，完善了解三角形体系，为解决三角形的边角关系提供了新的方法；是对任意三角形“边、角、边”和“边、边、边”问题进行量化分析的结果，将两种判定三角形全等的定性定理转化为可计算的公式。

纵观余弦定理的发展史，它的雏形出现公元前3世纪。

在欧几里得《几何原本》卷二对钝角三角形和锐角三角形三边关系的阐述中，利用勾股定理将余弦定理的几何形式进行了证明。

1593年，法国数学家韦达首次将欧几里得的几何命题写成了我们今天熟悉的余弦定理的三角形式，直到20世纪，三角形式的余弦定理才一统天下。

“余弦定理是作为勾股定理的推广而诞生的，以几何定理的身份出现，直到1951年，美国数学家荷尔莫斯在其《三角学》中才真正采用解析几何的方法证明了余弦定理，至于向量方法的出现，更是晚近的事了。

”从余弦定理的发展史和教材的设置变化来看，欧式几何依据基本的逻辑原理，建立几何关系，论证严谨，但思维量大，需要分类讨论。

而作为沟通代数、几何与三角函数的工具——向量引入后，欧式几何中的平行、相似、垂直都可以转化成向量的加减、数乘、数量积的运量，从而把图形的基本性质转化成向量的运算体系，由此开创了研究几何问题的新方法。

而且在证明之后还提出问题：用坐标方法怎样怎样证明余弦定理？还有其他的方法吗? 希望学生了解可以从向量、解析方法和三角方法等多种途径证明余弦定理，另外对向量工具性作用有所体会和认识。

第2课时 余弦定理Q 情景引入ing jing yin ru中国海监船肩负着我国海域的维权、执法使命．某时某中国海监船位于中国南海的A 处，与我国海岛B 相距s 海里．据观测得知有一外国探油船位于我国海域C 处进行非法资源勘探，这艘中国海监船奉命以v 海里/小时的速度前去驱逐．假如能测得∠BAC ＝α，BC ＝m 海里，你能根据上述数据计算出它赶到C 处的时间吗？X 新知导学in zhi dao xue1．余弦定理 (1)语言叙述：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍. (2)公式表达： a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ； b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C . (3)变形：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.2．余弦定理及其变形的应用应用余弦定理及其变形可解决两类解三角形的问题，一类是已知两边及其夹角解三角形，另一类是已知三边解三角形．3．余弦定理与勾股定理的关系在△ABC 中，由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，若角C ＝90°，则cos C ＝0，于是c 2＝a 2＋b 2－2a ·b ·0＝a 2＋b 2，这说明勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广．规律：设c 是△ABC 中最大的边(或C 是△ABC 中最大的角)，则a 2＋b 2<c 2⇔△ABC 是钝角三角形，且角C 为钝角； a 2＋b 2＝c 2⇔△ABC 是直角三角形，且角C 为直角； a 2＋b 2>c 2⇔△ABC 是锐角三角形，且角C 为锐角. Y 预习自测u xi zi ce1．在△ABC 中，已知a ＝4，b ＝6，∠C ＝120°，则边c 的值是( D ) A ．8 B ．217 C ．62D ．219[解析] 由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝16＋36－2×4×6×(－12)＝76，∴c ＝219.2．(2018·全国卷Ⅱ理，6)在△ABC 中，cos C 2＝55，BC ＝1，AC ＝5，则AB ＝( A )A ．42B ．30C ．29D ．2 5[解析] cos C ＝2cos 2C 2－1＝2×⎝⎛⎭⎫552－1＝－35，在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝CA 2＋CB 2－2CA ·CB ·cos C ，所以AB 2＝1＋25－2×1×5×⎝⎛⎭⎫－35＝32，所以AB ＝4 2. 3．在△ABC 中，已知a 2＝b 2＋c 2＋bc ，则角A 为( C ) A ．π3B ．π6C ．2π3D ．π3或2π3[解析] ∵a 2＝b 2＋c 2＋bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－b 2－c 2－bc 2bc ＝－12，又∵0<A <π，∴A ＝2π3.4．已知三角形的两边长分别为4和5，它们的夹角的余弦值是方程2x 2＋3x －2＝0的根，则第三边的长是21.[解析] 解2x 2＋3x －2＝0，得x 1＝12或x 2＝－2(舍去)．∴夹角的余弦值为12，根据余弦定理得第三边长为42＋52－2×4×5×12＝21.5．在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝13，AC ＝4，则边AC 上的高为32 3.[解析] 如图，cos A ＝32＋42－(13)22×3×4＝12，∴sin A ＝32.∴BD ＝AB ·sin A ＝323.H 互动探究解疑u dong tan jiu jie yi命题方向1 ⇨已知三边解三角形例题1 在△ABC 中，a ﹕b ﹕c ＝3﹕5﹕7，求其最大内角．[分析] 由条件知角C 为最大角，然后利用余弦定理求解．[解析] 由于a ﹕b ﹕c ＝3﹕5﹕7，不妨设a ＝3k ，b ＝5k ，c ＝7k (k >0)．因此c 边是最大边，其所对角C 为最大内角．由余弦定理推论得：cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝9k 2＋25k 2－49k 22·3k ·5k ＝－12，∴∠C ＝120°， 即最大内角为120°.『规律总结』 在解三角形时，有时既可以用余弦定理，也可以用正弦定理． 用正弦定理求角时，要注意根据大边对大角的原理，确定角的大小，以防增解或漏解． 〔跟踪练习1〕已知在△ABC 中，a ﹕b ﹕c ＝2﹕6﹕(3＋1)，求∠A 的度数． [解析] ∵a ﹕b ﹕c ＝2﹕6﹕(3＋1)， 令a ＝2k ，b ＝6k ，c ＝(3＋1)k (k >0)． 由余弦定理cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝22，∵A ∈(0，π)，∴∠A ＝45°.命题方向2 ⇨已知两边及一角解三角形例题2 △ABC 中，已知b ＝3，c ＝33，∠B ＝30°，解三角形．[分析] 由题目可知以下信息： ①已知两边和其中一边的对角． ②求另外的两角和另一边．解答本题可先由正弦定理求出角C ，然后再求其他的边和角，也可由余弦定理列出关于边长a 的方程，求出边a ，再由正弦定理求角A ，角C ．[解析] 解法一：由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 得32＝a 2＋(33)2－2a ×33×cos30°， ∴a 2－9a ＋18＝0，得a ＝3或6. 当a ＝3时，∠A ＝30°，∠C ＝120°.当a ＝6时，由正弦定理sin A ＝a sin Bb ＝6×123＝1.∴∠A ＝90°，∴∠C ＝60°.解法二：由b <c ，∠B ＝30°，b >c sin30°＝33×12＝332知本题有两解．由正弦定理sin C ＝c sin B b ＝33×123＝32，∴∠C ＝60°或120°，当∠C ＝60°时，∠A ＝90°， 由勾股定理a ＝b 2＋c 2＝32＋(33)2＝6.当∠C ＝120°时，∠A ＝30°，△ABC 为等腰三角形， ∴a ＝3.『规律总结』 已知两边和一角解三角形时有两种方法：(1)利用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出此边长． (2)直接用正弦定理，先求角再求边．用方法(2)时要注意解的情况，用方法(1)就避免了取舍解的麻烦． 方法总结：利用正弦、余弦定理求角的区别余弦定理正弦定理相同点先求某种三角函数值再求角不同点条件 知三边 知二边一角 依据cos A ＝b ＋c 2－a 22bc等sin A ＝a sin B b等求角 解方程cos A ＝m ，A ∈(0，π) 解方程sin A ＝m ，A ∈(0，π) 检验y ＝cos x 在(0，π)上为减函数，解方程所得解唯一y ＝sin x 在(0，π)上先增后减，解方程可能产生增根，需检验若将上题中“c ＝33”改为“c ＝23”，“B ＝30°”改为“A ＝30°”，应该如何解三角形？[解析] 直接运用余弦定理： a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A＝32＋(23)2－2×3×23×cos30°＝3， 从而a ＝3，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝(3)2＋(23)2－322×3×23＝612＝12，∴B ＝60°，∴C ＝180°－A －B ＝180°－30°－60°＝90°. 命题方向3 ⇨判断三角形的形状例题3 在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，确定△ABC 的形状．[分析] 解答时可先把角的关系转化为边的关系，通过边来判断三角形的形状，也可由边的关系转化为角的关系，通过角来判断三角形的形状．[解析] 解法一：利用角的关系来判断． ∵A ＋B ＋C ＝180°，∴sin C ＝sin(A ＋B )．又∵2cos A sin B ＝sin C ，∴2cos A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ，∴sin(A －B )＝0. ∵A 与B 均为△ABC 的内角，∴A ＝B ． 又∵(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ， ∴(a ＋b )2－c 2＝3ab ，∴a 2＋b 2－c 2＋2ab ＝3ab ，即a 2＋b 2－c 2＝ab .根据余弦定理，上式可化为 2ab cos c ＝ab ，解得cos C ＝12，∴C ∈(0，π)，∴C ＝60°.故△ABC 为等边三角形．解法二：利用边的关系来确定． 由正弦定理，得sin C sin B ＝cb.由2cos A ·sin B ＝sin C ，得cos A ＝sin C 2sin B ＝c2b.又∵cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，∴c 2b ＝b 2＋c 2－a22bc，即c 2＝b 2＋c 2－a 2，∴a ＝b . 又∵(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ， ∴(a ＋b )2－c 2＝3ab ，∴4b 2－c 2＝3b 2， ∴b ＝c ，∴a ＝b ＝c . 因此△ABC 为等边三角形．『规律总结』 判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别．依据已知条件中的边角关系判断时，主要有如下两条途径：(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论，在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．〔跟踪练习3〕在△ABC 中，若B ＝60°，2b ＝a ＋c ，试判断△ABC 的形状． [解析] 解法一：由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ．∵B ＝60°且b ＝a ＋c2，∴⎝⎛⎭⎪⎫a ＋c 22＝a 2＋c 2－2ac cos60°. 整理，得(a －c )2＝0，∴a ＝c ，∴a ＝b ＝c ， ∴△ABC 为正三角形．解法二：由正弦定理，得2sin B ＝sin A ＋sin C ． 又∵B ＝60°，∴A ＋C ＝120°. 即A ＝120°－C ，代入上式， 得2sin60°＝sin(120°－C )＋sin C ． 整理，得32sin C ＋12cos C ＝1. ∴sin(C ＋30°)＝1，∴C ＋30°＝90°， ∴C ＝60°，∴A ＝60°. ∴△ABC 为正三角形． Y 易混易错警示i hun yi cuo jing shi例题4 设2a ＋1，a,2a －1为钝角三角形的三边，求实数a 的取值范围．[误解] ∵2a ＋1，a,2a －1为三角形的三边， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋1>0，a >0，2a －1>0，解得a >12.2a ＋1是三边长的最大值，设其对角为θ.∵2a ＋1，a,2a －1为钝角三角形的三边，∴cos θ<0，即a 2＋(2a －1)2－(2a ＋1)22a (2a －1)＝a (a －8)2a (2a －1)<0，解得12<a <8，∴a 的取值范围是12<a <8.[错因分析] 误解中求得的a >12不是2a ＋1，a,2a －1能构成三角形的充要条件．如当a ＝1时，a ＋(2a －1)<2a ＋1，此时2a ＋1，a,2a －1就不能作为三角形的三边，本题实质上是求2a＋1，a,2a －1能构成钝角三角形的充要条件，除了要保证三边长均为正数外，还应满足“两边之和大于第三边”．[正解] ∵2a ＋1，a,2a －1为三角形的三边， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋1>0，a >0，2a －1>0，解得a >12，此时2a ＋1最大．∵2a ＋1，a,2a －1表示三角形的三边，还需a ＋(2a －1)>2a ＋1，解得a >2.设最长边所对角为θ，则cos θ＝a 2＋(2a －1)2－(2a ＋1)22a (2a －1)＝a (a －8)2a (2a －1)<0，解得12<a <8.∴a 的取值范围是2<a <8.B 本节思维导图ei jie si wei dao tu余弦定理⎩⎪⎨⎪⎧定理的内容⎩⎪⎨⎪⎧ 定理及推导定理的几个变式定理的作用⎩⎨⎧解三角形类型⎩⎪⎨⎪⎧ 两边和夹角三边三角形形状的判断⎩⎪⎨⎪⎧ 常见类型判断方法。

北师大版高中数学必修52.1.2《余弦定理》教学设计一、教学目标认知目标：引导学生发现余弦定理，掌握余弦定理的证明，会运用余弦定解三角形中的两类基本问题。

能力目标：创设情境，构筑问题串，在引导学生发现并探究余弦定理过程中,培养学生观察、类比、联想、迁移、归纳等能力；在证明定理过程中，体会向量的思想方法；在解决实际问题过程中，逐步培养学生的创新意识和实践能力。

情感目标：通过自主探究、合作交流，使学生体会到“发现”和“创造”的乐趣，培养学生学习数学兴趣和热爱科学、勇于创新的精神。

二、教学重难点重点：探究和证明余弦定理；初步掌握余弦定理的应用。

难点：探究余弦定理，利用向量法证明余弦定理。

三、学情分析和教法设计：本节课的重点和难点是余弦定理的发现和证明，教学中，我采取"情境—问题"教学法,从情境中提出数学问题,以"问题"为主线组织教学,从特殊到一般，引导学生在解决问题串的过程中，既归纳出余弦定理，又完成了用几何法对余弦定理的证明，以分散难点；用向量证明余弦定理时，我首先引导学生利用向量证明勾股定，让学生体会向量解题基本思路、感受到向量方法的便捷，然后鼓励学生证明余弦定理，最后通过二组例题加深学生对余弦定理的理解，体会余弦定理的实际应用。

四、教学过程环节一【创设情境】1、复习引入让学生回答正弦定理的内容和能用这个定理解决哪些类型的问题。

2、情景引入浙江杭州淳安千岛湖(图片来自于)，A、B、C三岛位置如图所示，根据图中所给的数据，你能求出A、B两岛之间的距离吗？C BA D 启发学生积极思考，尝试转化为直角三角形,利用已学知识解决问题解决问题。

在三角形ABC 中，作AD ⊥BC ，交BC 延长线于D ，由∠ACB=120o ，则∠ACD=60o ，在Rt ΔADC 中，∠CAD=30o ，AC=6 则CD=3,AD=33. 在Rt ΔADB 中,由勾股定理得:AB 2=AD 2+BD 2，AB 2=67.96 AB ≈8.24km答：岛屿A 与岛屿B 的距离为8.24 km探究2:若把上面这个问题变为：在△ABC 中，BC=a ，AC=b ，AB=c ，已知a ，b ，∠C （∠C 为钝角）求 c.在探究1的解法基础上，把具体数字用字母替换，结合三角函数知识，不难得出 c 2= a 2+b 2－2abcosC ．探究3:若把上面这个问题变为：在△ABC 中，BC=a ，AC=b ，AB=c ，已知a ，b ，∠C （∠C 为锐角）求 c.如右图，当∠C 为锐角时，作AD ⊥BC 于D ，BD 把△ABC 分成两个直角三角形： 在Rt △ABD 中，AB 2=AD 2+BD 2；在Rt △ADC 中，AD=AC·sinC=bsinC ，DC=AC·cosC=bcosC ．容易求得：c 2=a 2+b 2－2abcosC ．探究4: :若把上面这个问题变为： 3.4km6km 120° ） 岛屿C岛屿A 岛屿B?千岛湖 B在△ABC 中，BC=a ，AC=b ，AB=c ，已知a ，b ，∠C （∠C 为直角）求 c.结合前面的探究，你有新的发现吗？此时，△ABC 为直角三角形，由勾股定理得c 2=a 2+b 2;也可以写成c 2=a 2+b 2－2abcos900环节三【总结规律，发现新知】探究1：总结规律。

【三维目标】：一、知识与技能1.学会利用余弦定理解决有关平几问题及判断三角形的形状，掌握转化与化归的数学思想；2.能熟练地运用余弦定理解斜三角形；二、过程与方法通过对余弦定理的运用，培养学生解三角形的能力及运算的灵活性三、情感、态度与价值观培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；【教学重点与难点】：重点：利用余弦定理判断三角形的形状以及进行三角恒等变形；难点：利用余弦定理判断三角形的形状以及进行三角恒等变形【学法与教学用具】：1. 学法：2. 教学用具：多媒体、实物投影仪.【授课类型】：新授课【课时安排】：1课时【教学思路】：一、创设情景，揭示课题1.余弦定理的内容？2.如何利用余弦定理判断锐角、直角、钝角？2.利用余弦定理可解决哪几类斜三角形的问题？ 二、研探新知，质疑答辩，排难解惑，发展思维 例 1 （教材16P 例6）在ABC ∆中，AM 是BC 边上的中线，求证：222)(221BC AC AB AM -+= 例2 （教材15P 例5）在ABC ∆中，已知C B A cos sin 2sin =，试判断三角形的形状例3 在ABC ∆中，证明：C B A cb a sin )sin(222-=-例4 已知三角形一个内角为060，周长为20，面积为310，求三角形的三边长。

例5三角形有一个角是060，夹这个角的两边之比是8：5，内切圆的面积是π12，求这个三角形的面积。

四、巩固深化，反馈矫正1．在ABC ∆中，设=−→−CB a ,=−→−AC b ，且|a |2=,|b |3=,a •b 3-=，则_____=AB 2. 在ABC ∆中，已知060=∠C ，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，则ac b c b a +++的值等于________五、归纳整理，整体认识让学生总结本节课所学的内容及方法（1）知识总结：（2）方法总结：六、承上启下，留下悬念1．书面作业七、板书设计（略）八、课后记：。

课 题： 余弦定理（一）教学目标1．使学生掌握余弦定理，并会初步运用余弦定理解斜三角形；2．通过启发、诱导学生发现和证明余弦定理的过程，培养学生观察、分析、归纳、猜想、抽象、概括等逻辑思维能力；3．通过发现教学法，培养学生学习数学的兴趣和热爱科学、献身科学、勇于创新的精神。

（二）教学重点、难点重点：余弦定理及其发现和证明。

难点：余弦定理的证明。

（三）教学过程：一、复习回顾：勾股定理：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方，即：在ABC Rt ∆中，090=∠C ，c b a ,,分别是C B A ∠∠∠,,所对的边，则222b a c +=二、创设情境，提出问题：隧道工程设计，经常需要测算山脚的长度，工程技术人员先在地面上选一适当位置A ，量出A 到山脚B 、C 的距离，再利用经纬仪（测角仪）测出A 对山脚BC 的张角，最后通过计算求出山脚的长度BC 。

C转化为数学问题：已知三角形的两边及它们的夹角，求第三边。

即：在ABC ∆中，已知角A ,边c b ,求边a思考： AB1当恰好测得090=A ，则a =_________________,2当A 是任意角，怎么求边a ？三、定理探究：合作探究一：我们必修四学过向量有关知识，思考并回答下列问题问题1、在ABC ∆中，利用向量加法或减法的三角形法则，可以得到 BC =问题2、|BC |=问题3、由上式可得，2a =____________________________问题4、你还能得到什么样的结论？合作探究二、由于初中平面几何所接触的是解直角三角形问题，所以应添加辅助线构造直角三角形，在直角三角形内通过边角关系作进一步的转化工作,故作CD 垂直于AB 于D问题1、在Rt △ADC 中，CD =________________,AD=_____________________问题2、在Rt △BDC 中，2a =_________________问题3、你能得到什么样的结论？解：过C 作CD ⊥AB ，垂足为D ，则在Rt △CDB 中，根据勾股定理可得：a 2＝CD 2＋BD 2∵在Rt △ADC 中，CD 2＝b 2－AD 2又∵BD 2＝c －AD 2＝c 2－2c ·AD ＋AD 2∴a 2＝b 2－AD 2＋c 2－2c ·AD ＋AD 2＝b 2＋c 2－2c ·AD又∵在Rt △ADC 中，AD ＝b ·co A∴a 2＝b 2＋c 2－2bc co A类似地可以证明b 2＝a 2＋c 2－2ac co Bc 2＝a 2＋b 2－2ab co C另外，当A 为钝角时也可证得上述结论，当A 为直角时222c b a +=符合上述结论，这也正是我们这一节将要研究的余弦定理形成结论余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍即a 2＝b 2＋c 2－2bc co A ，b 2＝c 2＋a 2－2ca co B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab co C推论：co A ＝错误!，co B ＝错误!，co C ＝错误!。

1．2 余弦定理图2－1－1如图2－1－1，在△ABC 中，设CB →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，如果C ＝90°，如何求AB 边的长？当C ≠90°，如何用向量的数量积表示AB 边的长？【提示】 利用勾股定理求AB 的边长．|c |2＝c·c ＝(a －b )·(a －b )＝a 2－2a·b ＋b 2＝a 2＋b 2－2|a ||b |cos C∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C.(对应学生用书第35页)(2)已知△ABC中，a∶b∶c＝2∶6∶(3＋1)，求△ABC各内角的度数．【思路探究】(1)直接利用余弦定理求解．(2)先根据比值设出各边的长，再利用余弦定理求解．【自主解答】(1)c2＝a2＋b2－2ab cos C＝1＋1－2cos 120°＝3，∴c＝ 3.(2)∵a∶b∶c＝2∶6∶(3＋1)，∴令a＝2k，b＝6k，c＝(3＋1)k.由余弦定理得cos A＝b2＋c2－a22bc＝6＋（3＋1）2－426（3＋1）＝22，∴A＝45°.cos B＝a2＋c2－b22ac＝4＋（3＋1）2－62×2×（3＋1）＝12，∴B＝60°.∴C＝180°－A－B＝180°－45°－60°＝75°.1．本题(2)关键是根据已知条件设出三边，为使用余弦定理的推论求角创造条件．2．余弦定理是刻画三角形两边及其夹角的余弦与第三边关系的定理．在余弦定理的每一个等式中均含有四个不同的量，它们分别是三角形的三边和一个角，知道其中的任意三个量，便可求得第四个量．(1)在△ABC中，已知角A，B，C所对的三边长分别为a，b，c，若A＝π4，b＝2，S△ABC＝2，求a.(2)在△ABC中，a∶b∶c＝2∶3∶13，求△ABC中最大角的度数．【解】(1)因为S△ABC ＝12bc sin A＝12×2×22c＝22c＝2，所以c＝2 2.根据余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝4＋8－2×2×22×22＝4，所以a＝2.(2)∵a∶b∶c＝2∶3∶13，∴令a＝2k，b＝3k，c＝13k(k＞0)，由b ＜a＜c，知C为△ABC最大内角，cos C＝a2＋b2－c22ab＝4＋3－132×2×3＝－32，又0°＜C＜180°∴C＝150°.C，确定△ABC的形状．【思路探究】可先把角的关系转化为边的关系，通过边来判断三角形的形状，也可把边的关系转化为角的关系，通过角来判断三角形的形状．【自主解答】法一由正弦定理得sin Csin B＝cb，由2cos A sin B＝sin C，有cos A＝sin C2sin B＝c2b.又由余弦定理得cos A＝b2＋c2－a22bc，。

《余弦定理》本节内容通过利用向量的数量积推导余弦定理，正确理解其结构特征和表现形式，解决“边、角、边”和“边、边、边”问题，初步体会用余弦定理解决“边、边、角”，体会方程思想，激发学生探究数学、应用数学的潜能。

【知识与能力目标】掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。

【过程与方法目标】利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。

【情感态度价值观目标】培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。

【教学重点】余弦定理的发现和证明过程及其基本应用。

【教学难点】勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。

电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。

一、导入部分C如图1．1-4，在∆ABC 中，设BC =a ,AC =b ,AB =c ,已知a,b 和∠C ，求边c b aA c B(图1．1-4)二、研探新知，建构概念联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？用正弦定理试求，发现因A 、B 均未知，所以较难求边c 。

由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。

如图在ABC ∆中，AB 、BC 、CA 的长分别为c 、a 、b ∵+=∴)()(BC AB BC AB AC AC +∙+=∙222BC BC AB AB +∙+=22)180cos(||||2BC B BC AB AB +-∙+=22cos 2a B ac c +-=即B ac a c b cos 2222-+=同理可证 A bc c b a cos 2222-+= C ab b a c cos 2222-+=余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。