当前位置：文档之家 › 多元函数的极值与应用

多元函数的极值与应用

  • 格式：doc
  • 大小：897.50 KB
  • 文档页数：18

多元函数的极值与应用

摘要：本文是有关函数极值问题的解决，它由一元函数极值问题的讲解不断深化到多元函数并且还讲解到函数极值的应用以及奇异性

关键词：函数极值:函数极值应用:函数极值奇异性

Extreme value of function and application

Abstract：This article is about the function extreme solution by a function extreme

problem to explain the continuous deepening to a multi-function and explain the

application of function extreme and singular

Keywords：Function extreme: function extend application

一函数极值理论

定义2.1.1[3]设n(2)n元函数12(,,)nzfxxx在点00012(,,,)nxxx的某个邻域内有定义,如果对该邻域内任一异于00012(,,,)nxxx的点12(,,)nxxx都有0001212(,,)(,,,)nnfxxxfxxx(或0001212(,,)(,,,)nnfxxxfxxx)，则称函数在点00012(,,,)nxxx有极大值(或极小值)00012(,,,)nfxxx.极大值、极小值统称为极值，使函数取得极值的点称为极值点.

定义2.2.1[3]函数12(,,,)nzfxxx在m个约束条件12(,,,)0inxxx

(1,2,,;)immn下的极值称为条件极值.

3. 多元函数普通极值存在的条件

定理3.1（必要条件）若n(2)n元函数12(,,,)nzfxxx在点00012(,,,)nxxx存在偏导数，且在该点取得极值，则有00012(,,,)0ixnfxxx (1,2,,)in

备注：使偏导数都为0的点称为驻点，但驻点不一定是极值点.

定理3.2[3]（充分条件）设n(2)n元函数12(,,,)nfxxx在00012(,,,)nxxx附近具有二阶连续偏导数，且00012(,,,)nxxx为12(,,,)nzfxxx的驻点.那么当二次型

00012,1()(,,,)ijnxxnijijgfxxx

正定时，00012(,,,)nfxxx为极小值；当()g负定时，00012(,,,)nfxxx为极大值；当()g不定时，00012(,,,)nfxxx不是极值.

记00012(,,,)ijijxxnafxxx，并记

11121321222312kkkkkaaaaaaAaaa，

它称为f的k阶Hesse矩阵.对于二次型()g正负定的判断有如下定理：

定理3.3[3]若det0kA (1,2,,)kn，则二次型()g是正定的，此时00012(,,,)nfxxx为极小值；若(1)det0kkA (1,2,,)kn，则二次型()g是负定的，此时00012(,,,)nfxxx为极大值.

特殊地，当2n时，有如下推论：

推论3.1若二元函数00(,)(,)zfxyxy在点的某领域内具有一阶和二阶连续偏导数，且 0000(,)0,(,)0xyfxyfxy

令 000000(,),(,),(,)xxxyyyAfxyBfxyCfxy

则 ①当20ACB时，0,0,AA取极大值取极小值.

②当20ACB时，没有极值.

③当20ACB时，不能确定，需另行讨论.

4．介绍多元函数条件极值的若干解法

4.1代入消元法

通过一个量用其它量代替的方法达到降元效果，将条件极值化为无条件极值问题来解决一些较为简单的条件极值问题，这种方法适用于约束函数较为简单的条件极值求解，有些条件极值很难化为无条件极值来解决.

例4.1.1求函数(,,)fxyzxyz在0xyz条件下的极值.

解 由0xyz 解得，2zxy

将上式代入函数(,,)fxyz，得 g(x,y)=xy(2-x+y)

解方程组 22'2y20220xygxyygxxyx

得驻点 1222PP=33（0，0），（，-）

2xxyg，222xygxy，2yygx

在点1P处，0,2,0ABC

22=0240ACB，所以1P不是极值点

从而函数(,,)fxyz在相应点(0,0,2)处无极值；

在点2P处，44,2,33ABC

224424()03333ACB，

又403A，所以2P为极小值点

因而，函数(,,)fxyz在相应点222(,,)333处有极小值

极小值为2228(,,)33327f.

4.2拉格朗日乘数法[3]

拉格朗日乘数法是求多元函数条件极值的一种常用方法，特别是在约束条件比较多的情况下使用拉格朗日乘数法更方便适用.

求目标函数12(,,)nfxxx在条件函数12(,,)0,(1,2,,,)knxxxkmmn组限制下的极值，若12(,,)nfxxx及12(,,)knxxx有连续的偏导数，且Jacobi矩阵

111122221212nnmmmnxxxxxxJxxx的秩为m，则可以用拉格朗日乘数法求极值.

首先，构造拉格朗日函数12112121(,,,,,,)(,,)(,,)mnmnkknkLxxxfxxxxxx

然后，解方程组0,1,2,,0,,2,ikLinxLkim

从此方程组中解出驻点的坐标00012(,,)inPxxx (1,2,,)ik，所得驻点是函数极值的可疑点，需进一步判断得出函数的极值.

定理4.2.1（充分条件） 设点000012(,,,)nxxxx及m个常数12,,,m

满足方程组 100miiikkklLfxxx (1,2,,;1,2,,)knlm，

则当方阵 20,12(,,,)mklnnLxxx

为正定（负定）矩阵时，0x为满足约束条件的条件极小（大）值点，因此0()fx为满足约束条件的条件极小（大）值.

例4.2.1求椭球2222221xyzabc在第一卦限内的切平面与三坐标面所围成的四面体的最小体积.

解 此椭球在点000(,,)Pxyz处的切平面为

000000222222()()()0xyzxxyyzzabc

化简,得 0002221xyzxyzabc

此平面在三个坐标轴上的截距分别为：222000,,abcxyz

则此切平面与三坐标面所围成的四面体的体积 2220006abcVxyz

由题意可知，体积存在最小值，要使V最小，则需000xyz最大；

即求目标函数(,,)fxyzxyz在条件2222221xyzabc下的最大值，

其中0,0,0xyz，拉格朗日函数为

222222(,,,)(1)xyzLxyzxyzabc

由 22222222220;20;20;1LxyzxaLyxzybLzxyzcxyzabc 解得,,333abcxyz;

min3(,,)2333abcVVabc

说明：以上介绍的两种方法为解多元函数条件极值的常用方法，但在实际解题过程中，我们还可以根据多元函数的一些特点选择其它一些特殊解法来快速解题，如标准量代换法、不等式法、二次方程判别式法、梯度法、数形结合法.

4.3 标准量代换法

求某些有多个变量的条件极值时,我们可以选取某个与这些变量有关的量作为标准量,称其余各量为比较量,然后将比较量用标准量与另外选取的辅助量表示出来,这样就将其变为研究标准量与辅助量间的关系了.如果给定条件是几个变量之和的形式,一般设这几个量的算术平均数为标准量.

例4.3.1[4]设xyza,求222uxyz的最小值.

解 取 33xyza 为标准量,

令 ,33aaxy,

则 3az(,为任意实数),

从而有 222()()()333aaau

2222223a

22222()33aa

等号当且仅当0, 即3axyz时成立，

所以u的最小值为23a.

4.4 不等式法[4]

4.4.1利用均值不等式

均值不等式是常用的不等式，其形式为1212nnnaaaaaan，

这里0,1,2kakn，且等号成立的充分条件是12naaa.

例4.4.1.1 已知11112xyz，(0,0,0)xyz，求(,,)222fxyzxyz的极小值.

解 0,0,0,xyz

(,,)222fxyzxyz

14()2xyz

1114()()xyzxyz

4(3)xyyzxzyxzyzx

4(3222)36

当且仅当6xyz时，等号成立.

4.4.2利用柯西不等式

柯西不等式：对于任意实数12,,,naaa和12,,nbbb，总有

21122()nnababab

2222221212()()nnaaabbb ,iiaRbR,当且仅当实数12,,,naaa与1,2,nbbb对应成比例时，等号成立.运用柯西不等式，主要是把目标函数适当变形，进

而“配、凑”成柯西不等式的左边或者右边的形式，最终求得极大值或极小值.

例4.4.2.1已知222(2)(1)(4)9xyz，求(,,)22fxyzxyz的最值.

解 首先将 (,,)22fxyzxyz 变形为

(,,)fxyz2(2)2(1)(4)10xyz；

再设 (,,)2(2)2(1)(4)gxyzxyz，

于是，根据柯西不等式及已知条件，有

22(2)2(1)(4)xyz2222222(2)1(2)(1)(4)81xyz

即： 92(2)2(1)(4)9xyz

当且仅当

222214221(2)(1)(4)9xyzkxyz 时，等号成立；

即当 1435kxyz时，max(,,)9gxyz；

合集下载

多元函数微分法及其应用总结

多元函数微分法及其应用总结

多元函数微分法及其应用总结

多元函数微分法及其应用是高等数学中一个重要的内容。多元函数是指自变量有两个或者多个的函数，如z=f(x,y)。而微分法是研究函数的变化率的一种方法。本文将对多元函数微分法及其应用进行总结。

1. 多元函数微分法的基本概念

多元函数的微分可以分为偏导数和全微分两种形式。对于多元函数z=f(x,y)，其偏导数表示函数在某一自变量上的变化率，可以记作∂z/∂x，∂z/∂y。全微分表示函数在所有自变量上的变化率，可以记作dz。多元函数的微分法有很多性质和定理，如链式法则、高阶偏导数、隐函数定理等。

2. 多元函数的极值与最值

利用多元函数微分法，我们可以求多元函数的极值与最值。对于多元函数z=f(x,y)，其极值、最值的求解步骤大致如下：

（1）求函数的偏导数，得到所有的偏导数；

（2）令所有的偏导数等于零，求解出关于x和y的方程；

（3）求解方程组，得到x和y的解；

（4）将解代回原函数，求得z的值；

（5）比较求得的z值，得到最大值或最小值。

3. 多元函数的泰勒展开

多元函数的泰勒展开是利用多元函数在某一点附近进行近似求解的一种方法。对于多元函数z=f(x,y)，其泰勒展开公式为：

f(x+Δx,y+Δy) = f(x,y) + (∂f/∂x)Δx + (∂f/∂y)Δy + 1/2(∂²f/∂x²)(Δx)²

+ 1/2(∂²f/∂y²)(Δy)² + (∂²f/∂x∂y)ΔxΔy + O(Δx²,Δy²) 这里的O(Δx²,Δy²)表示高阶无穷小，Δx和Δy表示自变量的增量。

4. 多元函数微分法的应用

多元函数微分法广泛应用于物理学、工程学和经济学等领域。具体应用如下：

（1）在物理学中，多元函数微分法可以用于描述粒子在空间中的运动轨迹，求解最优路径等问题。

（2）在工程学中，多元函数微分法可以用于建模和优化设计，如求解最优结构、最优控制等问题。

（3）在经济学中，多元函数微分法可以用于求解边际利润、边际成本等经济指标，从而分析经济现象。

多元函数的极值与条件极值

多元函数的极值与条件极值

多元函数的极值与条件极值

一、引言

在数学中，多元函数是指依赖于多个变量的函数。研究多元函数的极值和条件极值是优化理论和实际问题求解的基础。本文将介绍多元函数的极值和条件极值的概念、求解方法以及应用案例。

二、多元函数的极值

多元函数的极值指的是函数取得的最大值和最小值。对于二元函数f(x, y)，当f(x, y)在一定范围内取得最大值或最小值时，称之为极值。同样地，对于n元函数f(x1, x2, ..., xn)，当f(x1, x2, ..., xn)在一定范围内取得最大值或最小值时，也称之为极值。

确定多元函数的极值有以下几种常用方法：

1. 梯度法：通过计算函数的梯度向量，找到函数的驻点，再通过二阶导数的判别方法来确定驻点处的极值。

2. 拉格朗日乘子法：求解约束条件下的最优解，通过引入拉格朗日乘子，将多元函数的极值问题转化为无约束极值问题。

3. 二次型判别法：对于二元二次函数，可以使用二次型的正负来判定极值。

4. 图像法：对于二元函数，可以通过画出等高线图或三维曲面图来观察极值点的位置。

三、多元函数的条件极值 条件极值是指在一定约束条件下，函数取得的最大值和最小值。常见的条件极值问题可以表示为：在约束条件g(x, y) = 0的条件下，求多元函数f(x, y)的最大值和最小值。

求解条件极值的常用方法是拉格朗日乘子法。假设函数f(x, y)和约束条件g(x, y)具有连续的一阶和二阶偏导数，而且约束条件g(x, y)在解集上的梯度不为零，那么存在实数λ，使得∇f(x, y) = λ∇g(x, y)。

通过求解λ和对应的x、y可以得到函数f(x, y)的条件极值点。

四、应用案例

多元函数的极值和条件极值在实际问题中具有广泛的应用。以下是几个应用案例的简要介绍：

1. 优化问题：如生产过程中的成本最小化、利润最大化等，可以通过求解函数的极值来得到最优解。

2. 建模问题：如平面上点到曲线的最短距离、材料的最优分配等问题，可以通过多元函数的条件极值来建立数学模型并求解。

多元函数的极值及其应用(精)

多元函数的极值及其应用(精)

2012 年 5 月（上） 科技创新与应用科 教 纵 横 多元函数的极值及其应用 苏兴花 （山东现代职业学院，山东 济南 250104 ） 多元函数的极值问题在近年来研究比较广泛，相关的理论逐渐 地完善起来，多元函数极值问题的应用也越来越广泛 ． 然而在数学 分析的教材中，与一元函数比较起来，多元函数极值的理论及应用 却比较少，没有详细的讨论，例如二元函数极值的讨论中，当判别式 时，无法判别二元函数的极值是否存在 ． 鉴于这种状况与实际需要 的矛盾，总结出几种较为简便的判别多元函数极值的方法，使得多 元函数的极值问题的解决方法简单多样化，运用起来更加灵活与方 便。 1 多元函数极值 1.1 极值的定义 、 性质和判定定理 二元函数的极值 定义 1 设二元函数 f(x,y 在点 P(a,b 的邻域 G 有定义，在 P 处给 自变量的增量 △P=(h,k，相应有函数增量 ． 若 ，则称 P(a,b是函数 f(x,y的极大点（极小点）．极大 点（极小点）的函数值 f(a,b称为函数 f(x,y的极大值（极小值）．极大值 与极小值统称为函数的极值． 定义 2 方程组 的解（xy 平面上的某些点）称为函 数 f(x,y的稳定点． 定理 1 若函数 f(x,y在点 P(a,b存在两个偏导数，且

P(a,b是函 数 f(x,y的极值点，则 . 定理 2 设函数 f(x,y有稳定点 P(a,b，且在 P(a,b的邻域 G 存在 二阶连续偏导数 ．令 1）若 △<0，则 P(a,b是函数 f(x,y的极值点，

(iA>0(或 C>0，P(a,b是函数 f(x,y的极小点; (iiA<0(或 C<0，P(a,b是函数 f(x,y的极大点． 2）若 △>0，P(a,b不是函数 f(x,y的极值点． 1.2 多元函数极值推广 1.2.1 多元函数极值在数学分析中的推广 定理 设 f(P是 R n 中的实函数，且 f(P在点 P 0 取到极值，则 f(P 在点 P 0 的任何方向导数均为零 ． 1.2.2 多元函数极值在线性代数中的推广 定理 1 设 n 元函数 f(x=f(x 1 ,x 2 ,...,x n 在某区域上具有二阶连续偏 导数，并且区域内一点 P(a 1 ,a 2 ,...,a n 是 f(x的稳定点．其中 为实对称矩阵，其元素

多元函数的极值与最值

多元函数的极值与最值

多元函数的极值与最值

多元函数是在多个自变量的基础上建立起来的函数，其中每个自变量可以取不同的取值范围。函数中的每个自变量都有可能对因变量产生影响，因此在寻找该类函数的极值和最值时，需要使用二元函数求导以及极值的方法进行研究分析。本文将详细阐述多元函数的极值与最值的相关概念和定理，并探讨如何应用这些方法进行问题解决。

一、多元函数的极值和最值

1. 极值

极值是指一个函数在可定义范围内的自变量取值中，使得该函数取得最大值或者最小值的某个特定点。当函数在该点处的导数为0时，这个点被称为函数的驻点； 如果在该点处导数变号，那么该点就是函数的极值点。因此，求多元函数的极值就需要用到多元函数求导的技巧，从而找到导函数为0的点。

2. 最值

最值是指一种特殊的极值，它是多元函数在所有可定义自变量取值范围内所取得的最大值或最小值。一般来说，函数的最值不一定是在驻点处取得，而是可能在该函数的可定义区间的极点或边界处取得。

二、多元函数的求导方法

多元函数的求导方法一般可以通过偏函数求导的方式实现。即，将多元函数转化为一组由每个自变量为变量的一元函数，再对每个一元函数分别求导。由于多元函数的求导方法较为复杂，因此需要有以下几个步骤：

1. 将多元函数转化为一系列一元函数

可以将多元函数按照自变量分别取值范围确定的函数写成形如f(x1,x2,...,xn) = y的形式。其中，x1,x2,...,xn表示自变量，y为因变量。

2. 对每一个自变量求偏导数

在多元函数中，并不是所有自变量对函数的影响都是一样的。因此，我们必须分别计算每个自变量的导数，即偏导数。在对每个自变量求偏导数时，其他变量都被视为常量，只对当前变量进行求导操作。

3. 求出最终导数表达式

在求出所有的偏导数之后，需要根据求导规则求出最终的导数表达式。为了求出多元函数的驻点，需要将各个偏导数求出的结果联立，并得到所有自变量为未知数的方程组。