多元函数的极值与最值例题极其解析

多元函数求极值及其应用的题1、求多元函数$f(x,y)=2x^2-3xy+4y^2$在$D={(x,y)|x^2+y^2leq1}$上的最大值和最小值，并求取最大值和最小值的点。

2、在 $mathbb{R}^2$ 上求函数 $f(x,y)=x^3-3xy^2$ 的全局极值，并证明是否存在局部极值。

3、已知函数 $f(x,y)=x^2-2xy+3y^2$，求它在椭圆区域$D={(x,y)|frac{(x-1)^2}{4}+frac{(y-2)^2}{9}leq 1}$ 上的最大值和最小值。

4、在 $mathbb{R}^2$ 上求函数$f(x,y)=ln(x^2+y^2-2x-6y+10)+2x+y-5$ 的全局极值，并证明是否存在局部极值。

5、已知函数 $f(x,y)=2x-3y+xy^2$，求它在三角形区域 $Delta ABC$ 上的最大值和最小值，其中 $Delta ABC$ 的三个顶点分别为$A(0,2)$，$B(2,0)$，$C(0,-2)$。

6、在 $mathbb{R}^2$ 上求函数 $f(x,y)=e^{xy}-x^2-y^2$ 的全局极值，并证明是否存在局部极值。

7、已知函数 $f(x,y)=frac{sin x}{x}+frac{sin y}{y}$，求它在 $D={(x,y)|x,y>0}$ 上的最大值和最小值。

8、在 $mathbb{R}^2$ 上求函数$f(x,y)=sqrt{x^2+y^2}-xy$ 的全局极值，并证明是否存在局部极值。

9、已知函数 $f(x,y)=cos(x-y)-sinfrac{x+y}{2}$，求它在矩形区域 $D=[-pi,pi]times[-pi,pi]$ 上的最大值和最小值。

10、在 $mathbb{R}^2$ 上求函数$f(x,y)=x^2+y^2-2x-4y+5$ 的全局极值，并证明是否存在局部极值。

多元函数极值与最值在微积分中，我们学习了一元函数的极值与最值问题。

而在现实生活中，很多问题涉及到多个变量的函数，即多元函数。

对于多元函数来说，我们也需要研究其极值与最值问题。

本文将介绍多元函数的极值与最值的求解方法，并通过几个例子进行说明。

1. 极值与最值的定义在进行多元函数的极值与最值问题的求解之前，首先需要了解各种极值与最值的定义。

（这里插入合适的图表和示意图）1.1 局部极值：若对于一个给定的多元函数，存在某个点使得在该点的某个邻域内，函数值在该点之上或之下都小于等于（或大于等于）该点的函数值，那么称该点是该函数的一个局部极值点。

1.2 全局极大值与极小值：若对于一个给定的多元函数，如果函数的取值在定义域上的每个点上都大于等于（或小于等于）其它点，那么称该函数在该定义域上有全局极大值或极小值。

1.3 最大值与最小值：若对于一个给定的多元函数，对于其定义域上的每个点，函数值都小于等于（或大于等于）某个常数，那么称该常数为该函数在定义域上的最小值或最大值。

2. 求解方法接下来，我们将介绍两种常用的方法来求解多元函数的极值与最值问题。

2.1 梯度法梯度法是一种常用的用于求解多元函数极值的方法。

它利用函数在某个点的梯度方向可以指示函数值增大或减小的趋势。

具体步骤如下：（这里插入梯度法求解极值的算法步骤）2.2 拉格朗日乘子法拉格朗日乘子法是另一种常用的求解多元函数极值与最值的方法。

它适用于含有约束条件的优化问题，即在满足一定条件下求取函数的极值或最值。

具体步骤如下：（这里插入拉格朗日乘子法求解极值的算法步骤）3. 实例分析为了更好地理解多元函数的极值与最值问题的求解方法，我们将通过几个实例来进行分析。

3.1 示例一：二元函数我们考虑一个二元函数示例，如下所示：（这里插入具体示例的函数表达式和图形展示）通过梯度法和拉格朗日乘子法，我们可以求解该函数的极值与最值，并得出结果。

3.2 示例二：三元函数我们再考虑一个三元函数示例，如下所示：（这里插入具体示例的函数表达式和图形展示）同样地，我们可以利用梯度法和拉格朗日乘子法来求解该函数的极值与最值。

887§7 多元函数Taylor 公式和极值问题练习参考解答1. 下列函数极值（1） )2(),(22y y x e y x f x ++=； （2） )4)(6(),(22y y x x y x f −−=； （3） )0(333>−−=a y x axy z ； （4）2. 都很小时，将超越函数当z y x , ,z y x z y x z y x f cos cos cos )cos(,,(−++=）.,y x,的多项式近似表示z解 二阶偏导数），有展成马克劳林公式（到将函数),,(z y x f）），，（0,0,0()0,0,0()0,0,0(000),,('z y x f z f y f x f z y x f ′+′+′+= []0,0,0( )0,0,0(2)0,0,0(2)0,0,0(20,0,0()0,0,0(0,0,0(''21222=′′+′′+′′+′′+′′++）））！f f zx f yz f xy f z f y f x zx yz xy zz yy xx []()[]()0cos cos cos )cos()0,0,0( 0)0,0,0( 00,0,0( 0cos cos sin )sin()0,0,0( 0,0,00,0,0=+++−=′=′=′=+++−=′z y x z y x f f f z y x z y x f xxz y x ）同样[]())(),,( 10,0,0( 1)0,0,0( 1cos sin sin )cos()0,0,0( 0)0,0,0( 00,0,0( 0,0,0zx yz xy z y x f f f z y x z y x f f f zx yz xyzz yy ++−=−=′′−=′′−=−++−=′′=′′=′′于是，）同样，）同样，即 )(cos cos cos cos(zx yz xy z y x z y x ++−=−++） 3. 求函数x y x y x y x f 933),(2233−++−=的极值。

1 设函数22(,)22f x y xax xy y =+++在(1,1)-处取得极值,试求常数a ,并确定极值的类型．2 求函数22z xxy y =-+在区域1x y +≤上的最大值和最小值．3〔04研〕设(,)z z x y =是由2226102180xxy y yz z -+--+=确定的函数,求(,)z z x y =的极值点和极值．4 求函数23u xy z =在条件x y z a ++=〔其中,,,a x y z R +∈〕下的条件极值．1 设函数22(,)22f x y x ax xy y =+++在(1,1)-处取得极值,试求常数a ,并确定极值的类型．分析 这是二元函数求极值的反问题, 即知道(,)f x y 取得极值,只需要根据可导函数取得极值的必要条件和充分条件即可求解本题．解因为(,)f x y 在(,)x y 处的偏导数均存在,因此点(1,1)-必为驻点, 则有 2(1,1)(1,1)(1,1)(1,1)40220fx a y x f xy y ----⎧∂=++=⎪∂⎪⎨∂⎪=+=⎪∂⎩, 因此有410a ++=,即5a =-． 因为22(1,1)4f A x-∂==∂,2(1,1)(1,1)22fB y x y--∂===-∂∂, 22(1,1)(1,1)22fC x y--∂===∂,2242(2)40AC B ∆=-=⨯--=>,40A =>,所以,函数(,)f x y 在(1,1)-处取得极小值．2 求函数22z x xy y =-+在区域1x y +≤上的最大值和最小值．分析这是多元函数求最值的问题．只需要求出函数在区域内可能的极值点与在区域边界上的最大值和最小值点,比较其函数值即可．解由20zx y x∂=-=∂,20z y x y ∂=-=∂解得0x =,0y =,且(0,0)0z =． 在边界1,0,0x y x y +=≥≥上,22()313(1)133z x y xy x x x x =+-=--=-+,它在[0,1]上最大值和最小值分别为1和14； 同理,在边界1,0,0x y x y +=-≤≤上有相同的结果． 在边界1,0,0x y x y -=-≤≥上,22()1(1)1z x y xy x x x x =-+=++=++,在[0,1]上最大值和最小值为1和34； 同理,在边界1,0,0x y x y -=≥≤上有相同的结果．综上所述,函数22z x xy y =-+在区域1x y +≤上的最大值和最小值分别为 max 13max 0,,,1144z ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭, min 13min 0,,,1044z ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭．注 求多元连续函数在有界闭区域上的最大值和最小值时,求出可能的极值点后,并不需要判别它是否为极值点．另外,求函数在边界上的最大值和最小值时,一般是将问题化为一元函数的最值问题或用其他方法,比如用条件极值的方法或不等式的技巧．3〔04研〕设(,)z z x y =是由2226102180x xy y yz z -+--+=确定的函数,求(,)z z x y =的极值点和极值．分析 本题考查由方程确定的隐函数的极值问题,应先求出驻点．再求出二阶偏导数,利用充分条件判定是否为极值点．解因为2226102180x xy y yz z -+--+=,所以方程两边分别对x 与y 求偏导,得 令 303100z x y x y z z x y z yy z ∂-⎧==⎪∂+⎪⎨∂-+-⎪==⎪∂+⎩,解之得303100x y x y z -=⎧⎨-+-=⎩ 即3x yz y =⎧⎨=⎩． 将3x y =,z y =代入2226102180x xy y yz z -+--+=可得933x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩ 或933x y z =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩, 即点(9,3)与点(9,3)--是可能的极值点,下面判定是否为极值点．在〔1〕式两边对x 求偏导,得2222222220z z z y z x x x ∂∂∂⎛⎫---= ⎪∂∂∂⎝⎭,在〔1〕式两边对y 求偏导,得22622220z z z z zy z x x y y x x y∂∂∂∂∂-----=∂∂∂∂∂∂∂,在〔2〕式两边对y 求偏导,得2222220222220z z z z zy z y y y y y ⎛⎫∂∂∂∂∂-----= ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭,所以22222(9,3,3)(9,3,3)(9,3,3)115,,623zz zA B C xx yy∂∂∂====-==∂∂∂∂． 故21036AC B -=>,又106A =>,从而点(9,3)是(,)z x y 的极小值点,且极小值为 (9,3)3z =．类似地由22222(9,3,3)(9,3,3)(9,3,3)115,,.623z z zA B C xx yy---------∂∂∂==-====-∂∂∂∂．故21036AC B -=>,又106A =-<,所以点(9,3)--是(,)z x y 的极大值点,且极大值为(9,3)3z --=-．综上所述,点(9,3)是(,)z x y 的极小值点,且极小值为(9,3)3z =；点(9,3)--是(,)z x y 的极大值点,且极大值为(9,3)3z --=-．4 求函数23u xy z =在条件x y z a ++=〔其中,,,a x y z R +∈〕下的条件极值． 分析条件极值问题可考虑将其转化为无条件极值,或用拉格朗日乘法来求． 解法1将x a y z =--代入函数23u xy z =,得23()u a y z y z =--, 于是由 解得32a y a z ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,则2432,32,322(3)8a a a a u a A z a y z y ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭⎪⎝⎭∂==--=-∂,242,32,32(698)12a a a a u a B yz a y z y z ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭⎪⎝⎭∂==--=-∂∂,2422,32,326(2)9a a a a u a C y z a y z z ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭⎪⎝⎭∂==--=-∂,2444820,08912144a a a a AC B A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=----=>< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．所以,当,,32326a a a a ay z x a ===--=时,函数取得极大值,且极大值为236,,632632432a a a a a a a u ⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．解法2 令23(,,)()(,,,)F x y z xy z x y z a x y z a R λ+=+++-∈,于是由解得632a x a y a z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩,即(,,)632a a a 为可能的极值点,将x a y z =--代入函数23u xy z =,得23()u a y z y z =--, 则(,)32a a为可能的极值点,余下解法同解法1,求出,,A B C ．知,6a x =,3a y =2az =时,函数取得极大值6432a u =．。

多元函数的极值最值及应用多元函数是指含有多个自变量的函数，其极值是指在定义域内取得的函数值中最大值和最小值。

对于多元函数的极值最值的求解，我们一般采用找到驻点和边界点的方法，即求取函数的偏导数，然后解方程组得到驻点，再通过分析边界点得到函数的极值。

首先，对于多元函数的驻点，我们需要求取函数的偏导数。

对于一个二元函数，例如f(x,y)，我们需要求取\frac{\partial f}{\partial x} 和\frac{\partialf}{\partial y}。

一般来说，驻点就是满足\frac{\partial f}{\partial x} = 0 和\frac{\partial f}{\partial y} = 0 的点。

对于一个三元函数，例如g(x,y,z)，我们需要求取\frac{\partial g}{\partial x}，\frac{\partial g}{\partial y} 和\frac{\partial g}{\partial z}，满足\frac{\partial g}{\partial x} = 0，\frac{\partial g}{\partial y} = 0 和\frac{\partial g}{\partial z} = 0 的点就是驻点。

然后，我们需要通过求取边界点来确定函数的极值。

对于一个二元函数，边界点一般是定义域的边界上的点，例如(x_1, y_1)、(x_2, y_2) 等。

对于一个三元函数，边界点则是定义域的边界上的点，例如(x_1, y_1, z_1)、(x_2, y_2, z_2) 等。

一般来说，我们通过求取上述的驻点和边界点，然后将它们代入多元函数中，比较得到的函数值来确定极值最值。

对于驻点，我们可以通过计算二阶偏导数来判断函数取得的是极大值还是极小值。

如果二阶偏导数的行列式大于零且二阶偏导数的主对角线元素大于零，则函数取得极小值；如果二阶偏导数的行列式小于零且二阶偏导数的主对角线元素大于零，则函数取得极大值。

多元函数的极值和最优化问题多元函数的极值和最优化问题是微积分中的重要内容。

在实际问题中，我们常常需要确定一个函数在给定约束条件下的最大值或最小值，以寻找最优解。

这个过程通常称为最优化问题的求解。

在多元函数中，我们考虑的是具有多个自变量和一个因变量的函数。

首先，我们来讨论多元函数的极值。

类似于一元函数中的极值点，对于多元函数而言，极值点是函数局部最大值或最小值出现的点。

对于多元函数的极值问题，我们需要使用梯度和Hessian矩阵来判断是否存在极值点。

梯度是一个向量，表示函数在某一点的变化率最大的方向；Hessian矩阵是一个方阵，它包含了函数的二阶偏导数。

通过分析梯度和Hessian矩阵的特征值，我们可以判断局部极值点的存在性和类型。

若函数的Hessian矩阵在某一点的特征值全为正，则该点为局部最小值点；若全为负，则为局部最大值点。

若特征值出现正和负的情况，则该点为鞍点。

然而，需要注意的是，极值点并不一定是最优解，最优解可能是全局最大值或最小值点。

在解决最优化的问题时，我们常常需要引入约束条件。

约束条件可以是等式约束或不等式约束，它们限制了自变量的取值范围。

最优化问题分为无约束和有约束两种情况。

对于无约束的最优化问题，我们可以使用梯度下降法、牛顿法、拟牛顿法等方法来寻找最优解。

这些方法的基本思想是通过迭代计算，逐步逼近最优解。

梯度下降法是一种常用的无约束优化方法。

它利用函数的梯度信息来确定下降的方向，不断更新自变量的取值，直到达到极小值。

牛顿法则利用二阶导数信息，通过二次逼近的方式求解最优解。

拟牛顿法则是在牛顿法的基础上，用近似的方式来代替Hessian矩阵，从而减少计算复杂度。

对于有约束的最优化问题，我们需要引入拉格朗日乘子法或KKT条件来求解。

拉格朗日乘子法将约束条件与目标函数联立起来，通过求解拉格朗日函数的驻点来确定最优解。

KKT条件是一种常用的方法，在满足一定条件下，将有约束优化问题转化为无约束优化问题，再应用相应的方法求解。