历届全国大学生高等数学竞赛真题及答案非数学类

前三届高数竞赛预赛试题（非数学类）

（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。）

2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷

一、填空题（每小题5分，共20分）

1．计算yxyxxyyxDdd1)1ln()(____________，其中区域D由直线1yx与两坐标轴所围成三角形区域.

解: 令vxuyx,，则vuyvx,，vuvuyxdddd1110detdd，

vuuvuuuyxyxxyyxDDdd1lnlndd1)1ln()(

1021000d1)ln(1lnd)dln1d1ln(uuuuuuuuuuvvuuvuuuuu

102d1uuu （*）

令ut1，则21tu

dt2dtu，42221ttu，)1)(1()1(2tttuu，

0142d)21(2(*)ttt

1042d)21(2ttt1516513221053ttt

2．设)(xf是连续函数，且满足2022d)(3)(xxfxxf, 则)(xf____________.

解: 令20d)(xxfA，则23)(2Axxf，

AAxAxA24)2(28d)23(202,

解得34A。因此3103)(2xxf。

3．曲面2222yxz平行平面022zyx的切平面方程是__________.

解: 因平面022zyx的法向量为)1,2,2(，而曲面2222yxz在

),(00yx处的法向量为)1),,(),,((0000yxzyxzyx，故)1),,(),,((0000yxzyxzyx与)1,2,2(平行，因此，由xzx，yzy2知0000002),(2,),(2yyxzxyxzyx，

即1,200yx，又5)1,2(),(00zyxz，于是曲面022zyx在)),(,,(0000yxzyx处的切平面方程是0)5()1(2)2(2zyx，即曲面

2222yxz平行平面

022zyx的切平面方程是0122zyx。

4．设函数)(xyy由方程29ln)(yyfexe确定，其中f具有二阶导数，且1f，则22ddxy________________.

解: 方程29ln)(yyfexe的两边对x求导，得

29ln)()()(yeeyyfxeyyfyf

因)(29lnyfyxee，故yyyfx)(1，即))(1(1yfxy，因此

2222)](1[)())(1(1ddyfxyyfyfxyxy

322232)](1[)](1[)())(1(1)](1[)(yfxyfyfyfxyfxyf

二、（5分）求极限xenxxxxneee)(lim20，其中n是给定的正整数.

解 :因

xenxxxxxenxxxxnneeeneee)1(lim)(lim2020

故

nxneeeexenneeeAnxxxxnxxxx2020limlim

ennnenneeeenxxxx21212lim20

因此

enAxenxxxxeeneee2120)(lim

三、（15分）设函数)(xf连续，10d)()(txtfxg，且Axxfx)(lim0，A为常数，求)(xg并讨论)(xg在0x处的连续性.

解 : 由Axxfx)(lim0和函数)(xf连续知，0)(limlim)(lim)0(000xxfxxffxxx

因10d)()(txtfxg，故0)0(d)0()0(10ftfg，

因此，当0x时，xuufxxg0d)(1)(，故

0)0(1)(limd)(lim)(lim0000fxfxuufxgxxxx

当0x时，

xxfuufxxgx)(d)(1)(02，

200000d)(limd)(1lim)0()(lim)0(xttfxttfxxgxggxxxxx22)(lim0Axxfx

22d)(1lim)(lim])(d)(1[lim)(lim02000200AAAuufxxxfxxfuufxxgxxxxxx

这表明)(xg在0x处连续.

四、（15分）已知平面区域}0,0|),{(yxyxD，L为D的正向边界，试证：

（1）LxyLxyxyeyxexyeyxeddddsinsinsinsin；

（2）2sinsin25ddLyyxyeyxe.

证 :因被积函数的偏导数连续在D上连续，故由格林公式知

（1）yxyeyxexxyeyxeDxyLxydd)()(ddsinsinsinsin

yxeeDxydd)(sinsin

Lxyxyeyxeddsinsin

yxyeyxexDxydd)()(sinsin

yxeeDxydd)(sinsin

而D关于x和y是对称的，即知

yxeeDxydd)(sinsinyxeeDxydd)(sinsin

因此

LxyLxyxyeyxexyeyxeddddsinsinsinsin

（2）因

)1(2)!4!21(2242ttteett

故

22cos522cos12sin22sinsinxxxeexx

由

DxyLDxyyyyxeeyxeexyeyxedd)(dd)(ddsinsinsinsinsinsin

知

DxyLDxyyyyxeeyxeexyeyxedd)(21dd)(21ddsinsinsinsinsinsin

DxxDxxDyyyxeeyxeeyxeedd)(dd)(21dd)(21sinsinsinsinsinsin

200sinsin25d22cos5d)(xxxeexx

即 2sinsin25ddLyyxyeyxe

五、（10分）已知xxexey21，xxexey2，xxxeexey23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.

解 设xxexey21，xxexey2，xxxeexey23是二阶常系数线性非齐次微分方程

)(xfcyyby

的三个解，则xxeeyy212和xeyy13都是二阶常系数线性齐次微分方程

0cyyby

的解，因此0cyyby的特征多项式是0)1)(2(，而0cyyby的特征多项式是

02cb

因此二阶常系数线性齐次微分方程为02yyy，由)(2111xfyyy和

xxxexeey212，xxxexeey2142

知，1112)(yyyxf)(2)2(42222xxxxxxxxexeeexeeexe

xex)21(

二阶常系数线性非齐次微分方程为

xxxeeyyy22

六、（10分）设抛物线cbxaxyln22过原点.当10x时,0y,又已知该抛物线

与x轴及直线1x所围图形的面积为31.试确定cba,,,使此图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.

解 因抛物线cbxaxyln22过原点，故1c，于是

2323dt)(311023102baxbxabxax

即

)1(32ab

而此图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积

10221022dt))1(32(dt)()(xaaxbxaxaV

10221031042dt)1(94dt)1(34dtxaxaaxa

22)1(274)1(3151aaaa

即

22)1(274)1(3151)(aaaaaV

令

0)1(278)21(3152)(aaaaV，

得

04040904554aaa

即

054a

因此

45a,23b,1c.

七、（15分）已知)(xun满足),2,1()()(1nexxuxuxnnn, 且neun)1(, 求函数项级数1)(nnxu之和.

解

xnnnexxuxu1)()(，

即

xnexyy1

由一阶线性非齐次微分方程公式知

)d(1xxCeynx

即

)(nxCeynx

因此

)()(nxCexunxn

由)1()1(nCeunen知，0C，

于是

nexxuxnn)(

下面求级数的和：

令

11)()(nxnnnnexxuxS

则

xexSexxSnexexxSxnxnnxnxn1)()()()(1111

即

xexSxSx1)()(

由一阶线性非齐次微分方程公式知

)d11()(xxCexSx

令0x，得CS)0(0，因此级数1)(nnxu的和

)1ln()(xexSx

八、（10分）求1x时, 与02nnx等价的无穷大量.

解 令2)(txtf，则因当10x，(0,)t时，2()2ln0tfttxx，故

xttextf1ln22)(在(0,)上严格单调减。因此

1010001()d()d()(0)()d1()dnnnnnnnfttfttfnffttftt

即

000()d()1()dnfttfnftt，