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2.1 锐角三角形

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第 1 页 共 4 页

2.1《锐角三角形》教案

教学任务分析 备课8.29上课9.5 9.6

教学流程安排

活动流程图 活动内容和目的

活动1 创设情境 引入课题

活动2 合作交流 探索新知

活动3 反馈练习 落实新知

活动4 应用延伸 探究思考

活动5 归纳小结 整理反思

活动6 布置作业 形成技能 通过“观察——实践——思考——讨论”等活动，促进师生间合作交流，探索新知。

设置巩固练习、综合运用、拓广探索题，达到落实新知的目的。

以探究的形式将知识进一步延伸，拓广了学生的思维。

让学生小结，养成良好的学习习惯。

通过作业，增强学生应用数学的意识，形成基本技能。

教

学

目

标

知 识

技 能 1. 经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正切的意义和与现实生活的联系

2. .能够用tanA表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，能够用正切进行简单的计算.

数 学

思 考 1. 经历观察、猜想等数学活动过程，发展合情推理能力，能有条理地，清晰地阐述自己的观点.

2. .体验数形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题.提高解决实际问题的能力.

3. 体会解决问题的策略的多样性，发展实践能力和创新精神.

解 决

问 题 1. 从现实情境中探索直角三角形的边角关系.

2. 理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系.

情 感

态 度 1. 积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲.

2. 形成实事求是的态度以及独立思考的习惯.

重点 理解tanA的数学含义.

难点 现实情境中理解tanA的数学含义

第 2 页 共 4 页 课前准备

教具 学具 补充材料

电脑、课件、 课件资料

教学过程设计

问题与情境 师生行为 设计意图

[活动1]

创设情境 引入课题

[问题1]在直角三角形中，知道一边和一个锐角，你能求出其他的边和角吗?从而引出课题

在活动1中教师应重点关注:

(1) 学生是否能从实际生活中发现并提出数学问题。

(2)学生的审美意识及对演示图片倾注的情感。

通过熟悉的物体（梯子），不仅让学生感受到生活中数学无处不在，也为后面的探究活动作好了情感准备。

[活动2]

梯子是日常生活常见的物体，让学生比较如何比较梯子的倾斜度，有哪些办法？

“陡”或“平缓”是用来描述梯子什么的?

从而引出正切的定义。

教师通过引导学生观察、讨论，通过步步设问，引发学生思考。

定义 在在Rt△ABC中，锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即

tanA=∠A的对边/∠A的邻边 利用这个梯子模型引入，可以帮助学生直观理解正切的概念。同时，通过学生主动的活动，让学生亲眼目睹数学过程形象而生动的性质，亲身体验如何“做数学”，从中感受到数学的力量，促使学生乐于学习。

让学生在讨论过程中学会与他人交流，养成良好的学习品质。

[活动3]

判断对错:如图1， (1)

tanA=BC/AC （ ）

tanA=AC/BC （ ）

图1

tanA=0.7m ( )

tanA=0.7 ( )

图2

注意：

1.tanA是一个完整的符号，它表示∠A的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”.

2.tanA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A的对边与邻边的比.

3.tanA不表示“tan”乘以“A”.

4.初中阶段，我们只学习直角三角形中，∠A是锐角的正切.

05．tanA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的大小无关。

通过这组练习，既复习了正切的定义，又以探究的形式将知识进一步延伸，拓广了学生的思维，同时为以后学习三角函数埋下了伏笔。

第 3 页 共 4 页 [活动4]

应用延伸 探究思考

探究：

梯子的倾斜程度与tanA有什么关系？

梯子的倾斜角的对边与邻边的比值刻画了梯子的倾斜程度，梯子越陡，tanA的值越大；反过来，tanA的值越大，梯子越陡

. [例1] 如图表示两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡？

正切在日常生活中的应用很广泛，例如建筑，工程技术等.正切经常用来描述山坡的坡度、堤坝的坡度.

如图，有一山坡在水平方向上每前进100m，就升高60 m，那么山坡的坡度(即坡角α的正切——就是tanα)

[例2] 在△ABC中，∠C=90°，BC=12cm，AB=20cm，求tanA和tanB的值.

教师出示探究题，引导学生思考。在学生独立思考的基础上，组织学生讨论交流。

在活动4中教师要重点关注：

（1）学生独立思考、解决问题的能力。

（2）学生在探究过程中与他人的合作交流意识和情感。

（3）学生对知识的应用拓展能力。

使学生感受到数学与现实世界的联系，鼓励他们有条理地进行表达和思考，特别关注他们对概念的理解.

[例1]分析：比较甲、乙两个自动电梯哪一个陡，只需分别求出tanα、tanβ的值，比较大小。正切值越大，扶梯就越陡。

我们学习数学就是为了更好地应用数学.

正切在日常生活中的应用很广泛.例如建筑，工程技术等.

正切是生活当中用的最多的三角函数，如刻画物体的倾斜程度，山的坡度等都往往用正切，

[例2] 让学生利用直角三角形中两边的比，并能够根据直角三角形的边角关系进行计算，培养学生的创新能力。

[活动5]

归纳小结 整理反思

小结：

本节课你有哪些收获？ 学生分组小结，各组代表发言交流，教师及时给予肯定、赞扬。

在活动5中教师应重点关注:

（1）不同层次学生对本节知识的掌握情况。

（2）学生对本节课不同方面的感受。

让学生自己小结，有利于培养学生的概括能力，使学生自主构建知识体系，养成良好的学习习惯。

第 4 页 共 4 页 [活动6]

布置作业 形成技能

教师布置作业。

在活动6中教师应重点关注:

学生的创新能力和应用意识。

第(1)题让学生利用正切来描述山坡的坡度、堤坝的坡度，增强学生应用数学的意识。

第(2)题让学生利用直角三角形中两边的比，并能够根据直角三角形的边角关系进行计算，培养学生的创新能力。

板书设计：

§1.1 从梯子的倾斜程度谈起(一)

1.当直角三角形中的锐角确定之后，它的对边与邻边之比也随之确定.

2.正切的定义： 在Rt△ABC中，锐角A确定，那么∠A的对边与邻边的比随之确定，这个比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA＝的邻边的对边AA.

注：(1)tanA的值越大.梯子越陡. (2)坡度通常表示斜坡的倾斜程度，是坡角的正切.坡度越大，坡面越陡.（3）tanA是一个完整的符号，它表示∠A的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”。

3.例题讲解(略)

4.随堂练习

5.课时小结

课后反思;通过本节课的学习学生能够掌握正切的含义，并理解正切值越大梯子越陡；

存在的问题是1、应该其前提是在直角三角形中的对边比邻边；2要会辨别对边和邻边。

3.上课学生学习的气氛不是很活跃

作业：

复习本节知识点

选作：整理错题

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两个锐角的和

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好玩的锐角

传说中别人家的孩子 TA又出现了

@青春琉璃华年：今天老师家访，别人家的孩子在我家隆重登场，被提到不下十次，伤心……

@泱年：别人家的孩子，勤俭节约，不吃零食，别人家的孩子皮肤好，腿细，身材好，不玩电脑、不看电视、不看小说……文武双全，才高八斗！

@曾萧瑀：我是拼不过别人家的孩子了，因为别人家孩子不止一个，简直就是一大撮啊。

@影子月：别人家孩子又不是个个好，为什么老爸老妈不拿其他坏例子比较呢？

“我要上封面”拍摄花絮大爆料

自从《中学生天地》的封面换成真---------------------------------精选公文范文--------------------------

----------------精选公文范文---------------- 2 人“麻豆”以来，封面人物就成了一个大家关心的热门话题——这回，我们一起来看看封面人物的拍摄花絮吧。

封面人物花絮剪辑篇

@123b：哎呀，XX呀！我皮肤很好，如果选上了，能不能不要抹太多东西在我脸上？

@怒33：原来上封面拍照，还要打扮这么久啊，不至于吧？

@小小小根号三：要摆动作的啊，“根号三”对这个有心理阴影，只会“茄子”、“田七”、“剪刀手”，哈哈！

@杨晓寒：去年9月份高中学习版那个封面人物，就是穿着印有“中国”二字蓝色衣服的男生……感觉那件衣服是我们隔壁班班服啊！有次选修课老师叫不出隔壁班一同学名字，刚好那位同学穿着班服，老师就直接说：“这个穿着中国服的男生，衣服很爱国啊……”于是，他们班各种被人笑，直到杂志发下来才顿时扬眉吐气。

三角形的特殊性质和计算

三角形的特殊性质和计算

三角形的特殊性质和计算

一、三角形的定义与基本性质

1.1 三角形是由三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形。

1.2 三角形的三个顶点分别称为顶点A、B、C，三条边分别称为边a、b、c。

1.3 三角形的内角分别为角A、角B、角C，且内角和为180度。

1.4 三角形的任意两边之和大于第三边。

1.5 三角形的任意两边之差小于第三边。

1.6 三角形的两边之和大于第三边的两边之和。

1.7 三角形的两边之差小于第三边的两边之差。

二、三角形的分类

2.1 按边长可分为：不等边三角形、等腰三角形、等边三角形。

2.2 按角度可分为：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。

三、三角形的特殊性质

3.1 等腰三角形的性质：两腰相等，底角相等。

3.2 直角三角形的性质：有一个角是直角（90度），其他两个角互余。

3.3 钝角三角形的性质：有一个角是钝角（大于90度），其他两个角为锐角。

3.4 三角形的面积公式：面积=底×高÷2。

3.5 三角形的周长公式：周长=a+b+c。

四、三角形的计算

4.1 计算三角形的面积：已知底和高，直接使用面积公式计算。

4.2 计算三角形的周长：将三条边长相加。

4.3 计算等腰三角形的面积：已知腰和底，使用面积公式计算。

4.4 计算直角三角形的面积：已知两条直角边，使用面积公式计算。

4.5 计算钝角三角形的面积：已知三条边，使用海伦公式计算。

五、三角形的证明与推导

5.1 三角形的内角和定理：三角形的三个内角之和等于180度。 5.2 三角形的SSS（边-边-边）全等定理：若两个三角形的三条边分别相等，则两个三角形全等。

5.3 三角形的SAS（边-角-边）全等定理：若两个三角形的两边和夹角分别相等，则两个三角形全等。

5.4 三角形的ASA（角-边-角）全等定理：若两个三角形的两角和夹边分别相等，则两个三角形全等。

5.5 三角形的AAS（角-角-边）全等定理：若两个三角形的两角和其中一边分别相等，则两个三角形全等。

三角形的形状的判定

三角形的形状的判定

三角形的形状的判定

浙江奉化江口中学（315504）毛显勇

在三角函数及向量应用中,有关三角形的形状的判定，在教材中既没有直接的例题，也没有相应的练习题和习题，而此类型的题又是经常碰到的，所以教师不能只作一些范例的讲解，而应对知识作一种较全面的归纳和分析,再分不同的类型选择例题作专题讲解。这样，既把所学知识连成一片，又巩固了知识，使所学的内容前后联系，扩大应用范围，达到融会贯通。

1、复习三角形中有关知识：

1.1角的关系：A+B+C=C-(A+B)、 222BAC

或A+B=-C、222CBA

1.2边的关系：任两边之和大于第三边，任两边之差小于第三边。

1.3边角关系：同一个三角形中，大边对大角，小边对小角。

正弦定理：RCcBbAa2sinsinsin。

余弦定理：Abccbacos2222，

Baccabcos2222，

Cabbaccos2222。

三角形面积：S=21Cabsin=21Abcsin=21Bcasin

1.4三角形的分类：按角分：锐角Δ，直角Δ，钝角Δ。

按边分：等腰Δ，等边Δ。

其它：斜三角形，等腰直角三角形，等等。

2、三角形形状的判定：

在ΔABC中，三内角A、B、C所对的三边长为a、b、c。

2.1若 a=b或cosA=cosB、tanA=tanB、sinA=sinB  A=B则三角形是等腰三角形；

2.2若222cba 则C是直角，三角形是直角三角形；

22ba<2c 则C是钝角，三角形是钝角三角形；

222cba 则C是锐角，若a、b、c中c最大，则三角形是锐角三角形。

2.3若 cosAcosBcosC>0, 则A、B、C都是锐角，三角形是锐角三角形；

勾股定理判断三角形形状的问题

勾股定理判断三角形形状的问题

勾股定理判断三角形形状的问题

1. 勾股定理的基本概念

大家好，今天咱们聊聊一个数学里的经典小道理——勾股定理。哎，这可是一个非常重要的概念，尤其是在三角形的世界里。你可能会问，勾股定理到底是什么呢？简单来说，它告诉我们在一个直角三角形里，直角对面的边（我们叫它“斜边”）的平方，等于其他两条边（“直角边”）的平方和。听起来是不是有点复杂？其实没那么难，咱们举个简单的例子：如果一个三角形的两条直角边分别是3和4，那斜边就得是5，为什么呢？因为3的平方加4的平方等于5的平方。也就是说，3² + 4² = 5²，嘿，这就是勾股定理的魅力所在了！

1.1 勾股定理的实际应用

勾股定理不仅仅是数学课上的一纸空文，它在我们的生活中可是无处不在。比如说，你要给家里挂画，想要找到完美的挂画高度。只需用量尺测量，找出画的边缘和地面的直角边，然后就能利用勾股定理算出斜挂的距离了。这样一来，保证你家的艺术品不会挂得歪歪扭扭，谁不想当个“家居艺术家”呢？

1.2 判断三角形的形状

接下来，我们聊聊怎么用勾股定理来判断三角形的形状。我们知道，三角形主要分为三种：锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。这里，勾股定理就是我们的“秘密武器”。如果你测量了三条边的长度，能用勾股定理判断出来这三条边构成的是哪种三角形。比如说，如果你有三条边分别是3、4、5，按照勾股定理算，发现3² + 4² = 5²，这样就能确认它是一个直角三角形。如果你发现3² + 4² < 5²，那它就是钝角三角形；

相反，如果3² + 4² > 5²，那就是锐角三角形。是不是听起来很简单，几乎就像玩数字游戏一样？

2. 形状与性质的关系

那么，三角形的形状跟它的性质又有什么关系呢？这就涉及到一个非常有趣的现象了。比如，直角三角形在我们生活中特别常见，几乎到处都能碰到。它们的特性是角度和边的关系特别和谐，直角让一切都显得那么“整齐划一”。而且，直角三角形有个好处，就是在建造房屋、搭建架子时，能给我们提供非常准确的测量标准，简直是建筑界的小天使。