第二十四章 圆
24.2.2 直线和圆的位置关系
第3课时 切线长定理及三角形的内切圆
学习目标：1.掌握切线长的定义及切线长定理.
2. 初步学会运用切线长定理进行计算与证明.
3. 认识三角形的内切圆及其有关概念，会作一个三角形的内切圆，掌握内心
的性质.
重点：1.掌握切线长的定义及切线长定理.
2.认识三角形的内切圆及其有关概念，会作一个三角形的内切圆，掌握内心的性质.
难点：初步学会运用切线长定理进行计算与证明.
一、知识链接
1.切线的判定定理和性质定理是什么？
2.角平分线的判定定理和性质定理是什么？
二、要点探究
探究点1：切线长定理及应用
问题1 上节课我们学习了过圆上一点作已知圆的切线(如下图所示)，如果点P是圆外一点，又怎么作该圆的切线呢？过圆外的一点作圆的切线，可以作几条？
知识要点：
1.切线长的定义：
经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长．
2.切线长与切线的区别在哪里？
自主学习
课堂探究 问题2 PA为⊙O的一条切线，沿着直线PO对折，设圆上与点A重合的点为B．图中OB是⊙O的一条半径吗？PB是⊙O的切线吗？PA、PB有何关系？⊙APO和⊙BPO有何关系？
要点归纳：
切线长定理：
过圆外一点作圆的两条切线，两条切线长相等.圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.
推理验证 已知：如图PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点.求证：PA=PB，⊙APO=⊙BPO.
想一想：若连接两切点A、B，AB交OP于点M.你又能得出什么新的结论?并给出证明.
典例精析
例1 已知：如图，四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA与⊙O分别相切与点E、F、G、H.求证：AB+CD=AD+BC.
变式训练
如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB=10，CD=15，则四边形ABCD的周长为______．
例2 为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一个刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径，若三角板与圆相切且测得PA=5cm，求铁环的半径．
24.2.2 切线长定理和三角形的内切圆（教案）
一、教学内容
本节课选自教材24.2.2节，主要内容包括：
1. 切线长定理：探讨圆的切线与半径的关系，推导并掌握切线长定理，即从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等。
2. 三角形的内切圆：介绍三角形内切圆的概念，探讨内切圆的半径与三角形面积的关系，掌握内切圆半径的计算公式。
3. 实际应用：通过解决实际问题，运用切线长定理和三角形内切圆的知识，提高学生的实际操作能力和解决问题的能力。
本节课将结合教材内容，注重培养学生的几何直观能力和逻辑思维能力，使学生能够熟练运用切线长定理和三角形内切圆的相关知识解决几何问题。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标如下：
1. 培养学生的几何直观能力：通过切线长定理和三角形内切圆的学习，使学生能够直观理解和把握几何图形的性质，提高空间想象力和几何直观感知。
2. 发展学生的逻辑思维能力：引导学生运用严密的逻辑推理证明切线长定理，分析三角形内切圆的性质，培养学生逻辑思维和推理能力。
3. 增强学生的数学应用意识：将几何知识应用于解决实际问题，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力，培养学生的数学应用意识。
4. 培养学生的团队合作精神：在小组讨论和合作探究中，培养学生的沟通能力、协作能力和团队精神，提高学生的综合素质。
本节课将紧密围绕核心素养目标，注重培养学生的综合能力，使其在掌握知识的同时，提升学科素养。
三、教学难点与重点
1. 教学重点
（1）切线长定理的推导与应用：理解并掌握切线长定理，即圆外一点引圆的两条切线相等，能够运用定理解决相关问题。
举例：给定一个圆和一点，求从这点引出的两条切线的长度，以及与圆相关的线段长度。
（2）三角形内切圆的性质：掌握三角形内切圆的定义、性质，以及内切圆半径与三角形面积的关系，能够计算内切圆半径。
举例：已知三角形的三边长度，求其内切圆的半径。
（3）几何知识与实际问题的结合：学会将几何知识应用于解决实际问题，提高解决问题的能力。
第 1 页 24.2 点和圆、直线和圆的位置关系
24.2.2 直线和圆的位置关系
第3课时 切线长定理和三角形的内切圆
课题 24.2.2 切线长定理和三角形的内切圆（3） 授课人
教学目标 知识技能 1.掌握切线长的定义及其定理，并利用定理进行有关的计算；
2.了解三角形的内切圆、内心的概念，会作三角形的内切圆；
数学思考 经历画图、测量、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，培养学生有条理地阐述自己观点的能力；
问题解决 初步学会从数学的角度提出问题、理解问题，并能运用所学的知识和技能解决问题，发展应用意识，在解题过程中，形成基本解题策略，发展实践能力与创新精神.
情感态度 通过课题学习，使学生对数学有好奇心和求知欲，在数学学习活动中获得成功的体验，锻炼意志，增强自信心；
教学重点 切线长定理及其应用；
教学难点 与切线长定理有关的计算和证明问题；
授课类型 新授课 课 时 第三课时
教具 多媒体
教 学 活 动
教学步骤 师生活动 设计意图
回顾
（（多媒体演示） 问题：
1.已知△ABC，作三个内角的平分线，说说它们具有什么性质？
2.直线和圆有几种位置关系？切线的判定定理和性质定理的内容是什么？
师生活动：教师引导学生进行解答，并适时作出补充和讲解.
教师总结：①三角形的三个内角平分线相交于一点，交点到三条边的距离相等；
②切线的判定定理是经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；
切线的性质定理是圆的切线垂直于经过切点的半径. 通过问题形势引导学生回顾所学，为学习新知打下基础.
活动一：
创设情境
导入新课
【课堂引入】
（课件展示）问题：过圆上一点能够画圆的几条切线呢？过圆外一点呢？
师生活动：教师指导学生根据题意画图，并根据图形，回答问题.
结论：过圆上一点只能作圆的一条切线；
过圆外一点可以作圆的两条切线；
第3课时 切线长定理
教学目标
1．了解切线长的概念．
2．掌握切线长定理，理解三角形的内切圆和三角形的内心的概念．
教学重点
切线长定理及应用．
教学难点
切线长定理的导出及证明和综合应用．
教学设计一师一优课 一课一名师 (设计者： )
教学过程设计
一、创设情景 明确目标
如图，纸上有一⊙O，PA为⊙O的一条切线，沿着直线PO对折，设圆上与点A重合的点为B.
1．OB是⊙O的一条半径吗？
2．PB是⊙O的切线吗？
3．我们把经过圆外一点的圆的切线上，切点与圆外一点之间的线段叫做切线长，本节课主要研究切线长的有关性质．
二、自主学习 指向目标
1．自读教材第99至100页．
2．学习至此：请完成学生用书“课前预习”部分．
三、合作探究 达成目标
探究点一 切线长定理
活动一：出示教材第99页“探究”．
思考：在折叠的过程中，你发现了什么？
【展示点评】1.经过圆外一点作圆的切线，这点和________之
间的线段长叫做切线长．如右图，线段________和________的长就是切线长．
2．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长________，这一点和圆心的连线平分两条切线的________．如上图，P为⊙O外一点，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，于是由定理可得两个结论：________＝________，∠________＝∠________.
【小组讨论】切线和切线长的区别是什么？教材是如何证明切线长定理的？
【反思小结】切线与切线长是不同的概念，切线是直线，不可度量；切线长是切线上的一条线段的长，可以度量．切线长定理包括线段相等和角相等两个结论，解题时应有选择地应用，它是证明线段相等、角相等、弧相等以及垂直关系的重要依据．
【针对训练】见学生用书“当堂练习”知识点一
探究点二 三角形的内切圆
活动二：出示教材第99页“思考”
问1：与△ABC三边距离相等的点在什么地方？你能作出这个点吗？
