当前位置：文档之家 › 2014高考数学查缺补漏集中营函数与方程及函数的实际应用

2014高考数学查缺补漏集中营函数与方程及函数的实际应用

  • 格式：doc
  • 大小：44.50 KB
  • 文档页数：5

2014高考数学查缺补漏集中营：函数与方程及函数的实际应用
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．函数f(x)＝－1x＋log2x的一个零点落在下列哪个区间
( )．
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
2．在用二分法求方程x3－2x－1＝0的一个近似解时，现在已经将一根锁定在区间(1,2)内，
则下一步可断定该根所在的区间为
( )．
A．(1.4,2) B．(1.1,4)

C.1，32 D.32，2

3．设函数f(x)＝13x－ln x，则函数f(x)
( )．
A．在区间1e，1，(1，e)内均有零点

B．在区间1e，1，(1，e)内均无零点
C．在区间1e，1内有零点，在(1，e)内无零点
D．在区间1e，1内无零点，在(1，e)内有零点
4．已知f(x)＝ x＋3，x≤1，－x2＋2x＋3，x＞1，则函数g(x)＝f(x)－ex的零点个数为
( )．
A．1 B．2 C．3 D．4
5．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储

时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与
仓储费用之和最小，每批应生产产品
( )．
A．60件 B．80件
C．100件 D．120件
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．已知0＜a＜1，函数f(x)＝ax－|logax|的零点个数为________．
7．已知函数f(x)＝15x－log3x，若x0是函数y＝f(x)的零点，且0＜x1＜x0，则
f(x
1
)________0(填“＞”、“＜”、“≥”、“≤”)．

8．设函数y＝x3与y＝12x－2的图象的交点为(x0，y0)，若x0所在的区间是(n，n＋1)(n∈Z)，
则n＝________.
三、解答题(本题共3小题，共35分)
9．(11分)经市场调查，某超市的一种小商品在过去的近20天内的销售量(件)与价格(元)均

为时间t(天)的函数，且销售量近似满足g(t)＝80－2t(件)，价格近似满足f(t)＝20－12|
t
－10|(元)．
(1)试写出该种商品的日销售额y与时间t(0≤t≤20)的函数表达式；
(2)求该种商品的日销售额y的最大值与最小值．
10．(12分)已知二次函数f(x)＝x2－16x＋q＋3.
(1)若函数在区间[－1,1]上存在零点，求实数q的取值范围；
(2)问是否存在常数t(t≥0)，当x∈[t,10]时，f(x)的值域为区间D，且区间D的长度为
12－t.

11．(12分)设函数f(x)＝x3－92x2＋6x－a.
(1)对于任意实数x，f′(x)≥m恒成立，求m的最大值；
(2)若方程f(x)＝0有且仅有一个实根，求a的取值范围．
参考答案
1．B [根据函数的零点存在定理，要验证函数的零点的位置，只要求出函数在区间的两个端
点上的函数值，得到结果，根据函数的零点存在定理得到f(1)·f(2)＜0.故选B.]
2．D [令f(x)＝x3－2x－1，

则f(1)＝－2<0，f (2)＝3>0，f32＝－58<0.

故下一步可断定该根所在区间为32，2.]
3．D [∵f′(x)＝13－1x＝x－33x，当x∈1e，e时，f′(x)＜0，
∴f(x)在1e，e上单调．
f1e＝13e－ln1e＝1＋13e＞0，f
(1)＝13－ln 1＝13＞0，

f(e)＝e3－ln e＜0，所以f(x
)在(1，e)内有零点．]

4．B [在同一平面直角坐标系中画出函数y＝f (x)与y＝ex的图象，结合图形可知，它们有
两个公共点，因此函数g(x)＝f(x)－ex的零点个数是2，选B.]

5．B [若每批生产x件产品，则每件产品的生产准备费用是800x，存储费用是x8，总的费用是
800x＋x8≥2800x·x8＝20，当且仅当800
x
＝x8时取等号，即x＝80.]

6．解析 分别画出函数y＝ax(0＜a＜1)与y＝|logax|(0＜a＜1)的图象，如图所示．

答案 2
7．解析 当x＝x0时，

f(x0)＝15x0－log3x
0
＝0，

当0＜x1＜x0时，
f(x1)＝15x1－log3x
1
＞0，

如图所示．

答案 ＞
8．解析 由函数图象知，1＜x0＜2.

答案 1
9．解 (1)y＝g(t)·f(t)＝(80－2t)·20－12|t－10|
＝(40－t)(40－|t－10|)
＝ ＋t－t，0≤t＜10，－t－t，10≤t≤20.
(2)当0≤t＜10时，y的取值范围是[1 200,1 225]，
在t＝5时，y取得最大值为1 225；
当10≤t≤20时， y的取值范围是[600,1 200]，
在t＝20时，y取得最小值为600.
总之，第5天日销售额y取得最大值为1 225元；第20天日销售额y取得最小值为600
元．
10．解 (1)∵函数f(x)＝x2－16x＋q＋3的对称轴是x＝8，
∴f(x)在区间[－1,1]上是减函数．

∵函数在区间[－1,1]上存在零点，则必有 f，f－，即 1－16＋q＋3≤0，1＋16＋q＋3≥0，∴
－20≤q≤12.
(2)∵0≤t＜10，f(x)在区间[0,8]上是减函数，在区间[8,10]上是增函数，且对称轴是
x
＝8.
①当0≤t≤6时，在区间[t,10]上，f(t)最大，f(8)最小，
∴f(t)－f(8)＝12－t，即t2－15t＋52＝0，

解得t＝15±172，∴t＝15－172；
②当6＜t≤8时，在区间[t,10]上f(10)最大，f(8)最小，
∴f(10)－f(8)＝12－t，解得t＝8；
③当8＜t＜10时，在区间[t,10]上，f(10)最大，f(t)最小，
∴f(10)－f(t)＝12－t，即t2－17t＋72＝0，
解得t＝8或t＝9，∴t＝9.

综上可知，存在常数t＝15－172， 8,9满足条件．
11．解 (1)f′(x)＝3x2－9x＋6＝3(x－1)(x－2)，
因为x∈(－∞，＋∞)，f′(x)≥m，
即3x2－9x＋(6－m)≥0恒成立，

所以Δ＝81－12(6－m)≤0，得m≤－34，
即m的最大值为－34.
(2)因为当x＜1时，f′(x)＞0；
当1＜x＜2时，f′(x)＜0；当x＞2时，f′(x)＞0；

所以当x＝1时，f(x)取极大值f(1)＝52－a；
当x＝2时，f(x)取极小值f(2)＝2－a；
故当f(2)＞0或f(1)＜0时，
方程f(x)＝0仅有一个实根．

解得a＜2或a＞52.

合集下载

2018版高中数学 小问题集中营 专题4.5 辅助角公式及应用

2018版高中数学 小问题集中营 专题4.5 辅助角公式及应用

专题五 辅助角公式及应用一、问题的提出【2017课标II 文13】函数()2cos sin f x x x =+的最大值为 ； . 该题可通过辅助角公式化为()sin y A x ωϕ=+形式，再运用三角函数的性质解决；我们把()sin cos a x b x x θ+=+(其中θ角所在的象限由a , b 的符号确定,θ角的值由tan baθ=确定),称作辅助角公式,该公式在高考中考查频率非常高,且常和三角函数的性质结合在一起进行考查. 二、问题的探源本题解法：有辅助角公式得；()(),tan 2f x x ϕϕ=+=，则；()f x ≤= 1．所涉及的公式（要熟记,是三角函数式变形的基础） 降幂公式：221cos21cos2cos ,sin 22αααα+-==2.关于()sin cos a b αααϕ+=+的说明(1)使用范围：三个特点：① 同角（均为α）,②齐一次,③正余全(2)表达式变为：sin cos a b αααα⎫+=+⎪⎭② 二找：由221⎛⎫⎛⎫+=,故可看作同一个角的正余弦（称ϕ为辅助角）, 如cos ϕϕ==可得：)sin cos cos sin sin cos a b ααϕαϕα+=+③ 三合：利用两角和差的正余弦公式进行合角：()sin cos a b αααϕ+=+(3)举例说明：sin y x x =+①12sin cos 22y x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭②1cos sin 2cos sin sin cos 23333y x x ππππ⎛⎫==⇒=+ ⎪⎝⎭③ 2sin 3y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭(4)注意事项：① 在找角的过程中,一定要找“同一个角”的正余弦,因为合角的理论基础是两角和差的正余弦公式,所以构造的正余弦要同角② 此公式不要死记硬背,找角的要求很低,只需同一个角的正余弦即可,所以可以从不同的角度构造角,从而利用不同的公式进行合角,例如上面的那个例子：12sin 2y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,可视为1sin cos 266ππ==,那么此时表达式就变为： 2sin sin cos cos 66y x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,使用两角差的余弦公式：2cos 6y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭所以,找角可以灵活,不必拘于结论的形式.找角灵活,也要搭配好对应的三角函数公式. 当然,角寻找的不同,自然结果形式上也不一样,但2cos 6y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭与2sin 3y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭本质是同一个式子（为什么？想想诱导公式的作用~）③ 通常遇到的辅助角都是常见的特殊角,这也为我们的化简提供了便利,如果提完系数发现括号里不是特殊角的正余弦,那么可用抽象的ϕ来代替,再在旁边标注ϕ的一个三角函数值. 3.规律探究（1）观察式子：主要看三点① 系统：整个表达式是以正余弦为主,还是正切（大多数情况是正余弦）,确定后进行项的统一（有句老话：切割化弦）② 确定研究对象：是以x 作为角来变换,还是以x 的表达式（例如2x ）看做一个角来进行变换.③ 式子是否齐次：看每一项（除了常数项）的系数是否一样（合角公式第二条：齐一次）,若是同一个角（之前不是确定了研究对象了么）的齐二次式或是齐一次式,那么很有可能要使用合角公式,其结果成为()()sin f x A x ωϕ=+的形式.例如：齐二次式：2sin 2cos sin 2y x x x =-+,齐一次式：sin cos 6y x x π⎛⎫=++⎪⎝⎭（2）向“同角齐次正余全”靠拢,能拆就拆,能降幂就降幂：常用到前面的公式221cos21cos2cos ,sin 22αααα+-==,2sin cos sin2ααα=（还有句老话：平方降幂） 例如：sin cos 6y x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,确定研究对象了：x ,也齐一次,但就是角不一样（一个是x ,一个是6x π+）那么该拆则拆,将cos 6x π⎛⎫+⎪⎝⎭打开11sin sin sin 22y x x x x x ∴=+-=+ 于是就可合角了3三、问题的佐证【例1】（2017山东文7）函数2cos 2y x x =+ 最小正周期为（ ）A.π2 B. 2π3C.πD. 2π【解析】因为π2cos 22sin 23y x x x ⎛⎫=+=+⎪⎝⎭,所以其周期2ππ2T ==。

[全]高考数学解题技巧：函数与方程思想的八类应用(附例题详解)

[全]高考数学解题技巧：函数与方程思想的八类应用(附例题详解)

[全]高考数学解题技巧：函数与方程思想的八类应用（附例题详解）1．函数的思想函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。

函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题。

经常利用的性质是单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等。

2．方程的思想方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。

方程的教学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题，方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系。

3．函数思想与方程思想的联系函数思想与方程思想是密切相关的，如函数问题可以转化为方程问题来龙去脉解决；方程问题也可以转化为函数问题加以解决，如解方程f(x)=0，就是求函数y=f(x)的零点，解不等式f(x)>0(或f(x)<0)，就是求函数y=f(x)的正负区间，再如方程f(x)=g(x)的交点问题，也可以转化为函数y=f(x)-g(x)与x轴交点问题，方程f(x)=a有解，当且公当a 属于函数f(x)的值域，函数与方程的这种相互转化关系十分重要。

4．函数方程思想的几种重要形式（1）函数和方程是密切相关的，对于函数y＝f(x)，当y＝0时，就转化为方程f(x)＝0，也可以把函数式y＝f(x)看做二元方程y－f(x)＝0。

函数问题（例如求反函数，求函数的值域等）可以转化为方程问题来求解，方程问题也可以转化为函数问题来求解，如解方程f(x)＝0，就是求函数y＝f(x)的零点；（2）函数与不等式也可以相互转化，对于函数y＝f(x)，当y>0时，就转化为不等式f(x)>0，借助于函数图像与性质解决有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式；（3）数列的通项或前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点处理数列问题十分重要；（4）函数f(x)＝nbax)(（n∈N*）与二项式定理是密切相关的，利用这个函数用赋值法和比较系数法可以解决很多二项式定理的问题；（5）解析几何中的许多问题，例如直线和二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，涉及到二次方程与二次函数的有关理论；（6）立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用布列方程或建立函数表达式的方法加以解决。

高中数学函数方程的求解步骤与例题

高中数学函数方程的求解步骤与例题

高中数学函数方程的求解步骤与例题高中数学中，函数方程是一个重要的知识点，它是数学中的基础，也是后续学习的基础。

在解函数方程时，我们需要掌握一定的求解步骤和技巧。

本文将介绍高中数学函数方程的求解步骤，并通过具体的例题进行说明，帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。

首先，我们来看一类常见的函数方程：一次函数方程。

一次函数方程的一般形式为y=ax+b，其中a和b为常数。

要求解一次函数方程，我们可以按照以下步骤进行：步骤一：将方程化为标准形式。

一次函数方程的标准形式为y=kx+d，其中k 和d为常数。

我们可以通过移项和合并同类项的方式将方程化为标准形式。

例如，解方程2x+3y=6。

我们可以将方程改写为3y=-2x+6，再进一步化简为y=-2/3x+2。

这样，我们就将方程化为了标准形式。

步骤二：确定函数的斜率和截距。

在标准形式中，k表示函数的斜率，d表示函数的截距。

斜率决定了函数的增减趋势，截距则决定了函数与y轴的交点。

例如，在标准形式y=-2/3x+2中，斜率为-2/3，截距为2。

步骤三：根据斜率和截距绘制函数图像。

我们可以利用斜率和截距来绘制函数的图像，从而更直观地理解函数的性质。

例如，在标准形式y=-2/3x+2中，斜率为-2/3，表示函数下降的速度为2/3。

截距为2，表示函数与y轴的交点为(0,2)。

我们可以利用这些信息在坐标系中绘制出函数的图像。

通过以上步骤，我们可以求解一次函数方程，并对函数的性质有一个直观的认识。

下面我们通过一个例题来进一步说明：例题：求解方程3x+2y=8，并绘制函数的图像。

解答：首先，我们将方程化为标准形式。

将方程进行移项和合并同类项的操作，得到2y=-3x+8，进一步化简为y=-3/2x+4。

其次，我们确定函数的斜率和截距。

由标准形式可知，斜率为-3/2，截距为4。

最后，我们绘制函数的图像。

根据斜率和截距，在坐标系中找到截距为(0,4)的点，并根据斜率的大小确定函数的增减趋势。

复课后的复习计划

复课后的复习计划

复课后的复习计划复课后的复习计划（通用12篇）复习应根据自己的实际，大家都不可避免地会接触到复习计划吧，复习并不是某种意义上的“炒冷饭”，而是“温故而知新”。

那要怎么写好复习计划呢？下面是小编整理的复课后的复习计划，仅供参考，大家一起来看看吧。

复课后的复习计划篇1一、明确复习任务查漏补缺：通读、读懂教材，对知识进行查缺漏，对薄弱处进行重点强化；巩固吸收：把有关知识放到本学期所学内容中，去定位、理解；构建体系：对知识举行系统整理归纳，形成自己的知识框，使知识系统化，真正成为自己知识链条的一个有机组成部分；强化记忆：以适合自己认知水平和知识基础的方式浓缩记忆；力求规范：在解题思路、方法、过程方面力求简捷规范，在书面表达和卷面形式上做到简洁规范，提升应用技能技巧，使知识融汇贯通。

1、复习的时间和安静的环境：订一个复习计划，某一科的复习时间相对集中。

复习时尽量减少干扰，保证有安静环境以集中注意力。

2、做好复习前的准备工作：平时要利用零星时间，把与复习有关的书、笔记、作业试卷、参考题准备好，以便复习时综合比较，避免浪费时间。

3、认真做好复习笔记：在复习中应及时把自己思考总结出的完整而系统的知识记下尽量简明，有的可用图表。

汇总起来，就是编织的知识之网。

由厚厚一本书变成薄薄几页纸上的东西，既起到提纲挈领又有利于下次复习，强化记忆的作用。

二、细化学习目标期末考试的科目较多，但是复习时间有限，所以必须规划每天的学习目标，细化每天的学习内容，增强复习的目的性和紧迫感，进而提高复习的效率。

还必须做到“收心”和“聚力”。

要集中精力，全身心的投入到复习备考中去。

复习不能只看遍数和数量，重在提高效率和质量。

在保证“质”的前提下，努力提高数量和速度。

1、用回忆法进行复习：在复习每个具体问题时，最好先独立想一想再看书；在复习每第二个章节时，最好先把前面的回忆一下。

在全面复习完后，最好把整个的知识点在脑中过一次电影。

2、要适当看点题，做点题：在复习知识的同时再做些题目练一练。