浙江省普通高中学业水平考试数学模拟试题

2021年1月浙江省普通高中学业水平考试数学仿真模拟卷（二）一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分.每小题列出的四个备选项中只有一个符合题目要求，不选、多选、错选均不给分.）1.已知集合{}2|320A x x x =-+=，集合{}|05,B x x x N =<<∈，则AB =（ ）A.{}1,2B.{}1C.{}2,3D.{}1,4 2.若[1,1]x ∈-，则函数22xy =-的值域为（ ） A.[1,1]- B.[2,0]- C.3[,0]2-D.[1,0]- 3.已知等差数列{}n a 满足7916a a +=，若41a =，则12a =（ ）A.64B.31C.24D.15 4.经过点(1,2)A -且垂直于直线2340x y -+=的直线l 的方程为（ ）A.3210x y ++=B.3210x y +-=C.2350x y -+=D.2380x y -+=5.双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为3，则其渐近线方程为（ ）A.2y x =±B.3y x =±C.22y x =±D.32y x =±6.函数111y x =+-的图象是下列图象中的（ ）7.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知1,3,60c b B ===，则C 的大小为（ ）A.30B.45C.150D.30或1508.已知向量(,2),(1,1)a b λλ=-=+，则“1λ=”是“a b ⊥”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9.若实数,x y 满足约束条件5630,32,1x y y x x +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩则3z x y =+的最小值是（ ）A.10B.3C.272 D.11310.已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中所给的数据，可得该几何体的体积为（ ） A.52 B.2 C.3 D.3211.已知函数1()2(0)f x x x x=+-<，则()f x 有（ ） A.最大值0 B.最小值0 C.最大值4- D.最小值4-12.若点G 为ABC ∆的重心（三角形三边中线的交点），设,BG a GC b ==，则AB =（ ）A.3122a b - B.3122a b + C.2a b - D.2b a - 13.已知3sin 5α=，且α是第二象限角，则tan(2)4πα+的值为（ ）A.195-B.519-C.3117-D.1731-14.已知,,m n l 为三条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A.//,,//m n m n αβαβ⊂⊂⇒ B.//,l l αβαβ⊥⇒⊥ C.,//m m n n αα⊥⊥⇒ D.,//l l βαβα⊥⊥⇒15.已知数列{}n a 满足0n a >，221114n n n n a a a a ++++=+，且112a =，则该数列的前2020项的和为（ ）A.30272 B.1514 C.30292 D.151516.已知正数,x y 满足1x y +=，则1114x y++的最小值为（ ） A.73 B.2 C.95D.4317.设椭圆M 的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，若斜率为1的直线与椭圆M 相切同时也与圆2:C x2()(y b b +-为椭圆的短半轴）相切，设椭圆的离心率为e ，则2e 的值为（ ）A.32- B.21- C.12+ D.32+ 18.已知矩形ABCD 中，4,2,,AB BC E F ==分别为边,AB CD 的中点.现沿直线DE 将ADE ∆翻折成PDE ∆，在点P 从A 到F 的运动过程中，CP 的中点G 的轨迹长度为（ ） A.2π B.2π C.22π D.12π 二、填空题（本大题共5小空，每空3分，合计15分）19.已知圆C 的方程为22240x y x y +--=，则该圆的圆心坐标为 ，该圆的面积为 .20.若函数21()(27)(0)m f x m m xm -=-->是幂函数，则实数m = .21.如图所示，在侧棱垂直于底面的三棱柱111ABC A B C -中，P 是棱BC 上的动点.记直线1A P 与平面ABC 所成的角为1θ，与直线BC 所成的角为2θ，则1θ 2θ（填“>”、“=”或“<”）.22.已知函数2()()323x nf x m x nx =-++，函数()y f x =的零点构成的集合为A ，函数[()]y f f x =的零点构成的集合为B ，若A B =，则m n +的取值范围是 . 三、（本大题共3小题，共31分.） 23.已知函数()sin()sin f x x x π=+. (1)求()12f π的值；(2)若3()10f α=-，04πα<<.求()8f πα+的值.24.已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，直线220x y -+= 交抛物线C 于,A B 两点,P 是线段AB 的中点,过P 作x 轴的垂线交抛物线C 于点Q . (1)若直线AB 过焦点F ，求AF BF ⋅的值；(2)是否存在实数p ，使ABQ ∆是以Q 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出p 的值；若不存在，说明理由．25.已知函数2()(0,1)axf x a b x b=>>+满足(1)1f =，且()f x 在R 上有最大值324. (1)求()f x 的解析式；(2)当[1,2]x ∈时，不等式23()(2)mf x x x m≤+-恒成立，求实数m 的取值范围.。

2023年7月浙江省普通高中学业水平考试数学（答案在最后）本试题卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分100分，考试时间80分钟．考生注意：1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上．2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效．3．非选择题的答案必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题纸上相应区域内，作图时可先使用2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑．选择题部分（共52分）一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．每小题列出的四个备选项中，只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1.已知集合{}1,0,1,2A =-，{}|0B x x =>，则下列结论不正确的是（）A.1A B ∈ B.A B∅⊆ C.{}2A B ⊆ D.{}|0x x A B>= 【答案】D 【解析】【分析】根据交集、并集的定义求出A B ⋂，A B ⋃，再根据元素与集合的关系、集合与集合的关系判断即可.【详解】因为{}1,0,1,2A =-，{}0B x x =，所以{}1,2⋂=A B ，{}{}|01A B x x ⋃=≥⋃-，所以1A B ∈ ，A B ∅⊆ ，{}2A B ⊆⋂，故A 、B 、C 正确，D 错误；故选：D 2.函数的定义域是（）A.1-2⎛⎫∞ ⎪⎝⎭， B.1-2⎛⎤∞ ⎥⎝⎦，C.12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，D.12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，【答案】C 【解析】【分析】根据偶次方根的被开方数为非负数、分式的分母不为零列不等式，由此求得函数的定义域.【详解】依题意210x ->，解得12x >，所以()f x 的定义域为12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，.故选：C【点睛】本小题主要考查函数定义域的求法，属于基础题.3.复数()i 2i z =+在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B 【解析】【分析】根据复数乘法运算化简，即可求解.【详解】()1i i 22i z =-+=+，故对应的点为()1,2-，位于第二象限，故选：B4.已知平面向量()1,1a =- ，()2,b λ= ，若a b ⊥，则实数λ=（）A.2B.2- C.1D.1-【答案】A 【解析】【分析】依题意可得0a b ⋅=，根据数量积坐标表示计算可得.【详解】因为()1,1a =- ，()2,b λ= 且a b ⊥，所以()1210a b λ⋅=⨯+-⨯=，解得2λ=.故选：A 5.已知πsin cos 6θθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则tan2θ=（）A.3B.C.3D.【答案】B【解析】【分析】利用给定条件得到tan 3θ=，再利用二倍角公式求解即可.【详解】若πsin cos 6θθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，可得1sin cos cos 22θθθ+=，化简得31sin cos 022θθ-=，解得3tan 3θ=，由二倍角公式得232322tan 33tan221tan 3θθθ⨯===-，故B 正确.故选：B6.上、下底面圆的半径分别为r 、2r ，高为3r 的圆台的体积为（）A.37πrB.321πrC.(35πr+D.(35πr+【答案】A 【解析】【分析】根据圆台的体积公式计算可得.【详解】因为圆台的上、下底面圆的半径分别为r 、2r ，高为3r ，所以()23221π227π33V r r r r r ⎡⎤=++⨯=⎣⎦.故选：A7.从集合{}1,2,3,4,5中任取两个数，则这两个数的和不小于5的概率是（）A.35B.710C.45 D.910【答案】C 【解析】【分析】列出所有可能结果，再由古典概型的概率公式计算可得.【详解】从集合{}1,2,3,4,5中任取两个数所有可能结果有()1,2、()1,3、()1,4、()1,5、()2,3、()2,4、()2,5、()3,4、()3,5、()4,5共10个，其中满足两个数的和不小于5的有()1,4、()1,5、()2,3、()2,4、()2,5、()3,4、()3,5、()4,5共8个，所以这两个数的和不小于5的概率84105P ==.故选：C8.大西洋鲑鱼每年都要逆游而上，游回产地产卵．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v （单位：m /s ）可以表示为3log 100Ov k =，其中O 表示鲑鱼的耗氧量的单位数．若一条鲑鱼游速为2m /s 时耗氧量的单位数为8100，则游速为1m /s 的鲑鱼耗氧量是静止状态下鲑鱼耗氧量的（）A.3倍 B.6倍C.9倍D.12倍【答案】C 【解析】【分析】利用给定条件得到31log 2100O v =，再算出不同情况的消耗氧气的数量，再作比值求倍数即可.【详解】由题意得381002log 100k =，解得12k =，故31log 2100O v =，当1v =时，有311log 2100O=，解得900O =，当0v =时，有310log 2100O=，解得100O =，故得9009100=倍，故C 正确.故选：C9.不等式()()e e 10xx --<（其中e 为自然对数的底数）的解集是（）A.{01}xx <<∣ B.{|0e}x x << C.{0x x <∣或1}x > D.{0xx <∣或e}x >【答案】B 【解析】【分析】写出不等式的等价不等式组，解得即可.【详解】不等式()()e e 10xx --<等价于e 0e 10x x -<⎧⎨->⎩或e 0e 10x x ->⎧⎨-<⎩，解得0e x <<或x ∈∅，所以不等式的解集为{|0e}x x <<.故选：B10.已知a 为实数，则“0x ∀>，12ax x+≥”是“1a ≥”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】利用分离参数法求出a 的取值范围判断充分性，利用基本不等式反推必要性成立即可.【详解】若10,2,x ax x ∀>+≥则22121(1)1,a x x x≥-+=--+当1x =时，不等式的右边取得最大值1，故1,a ≥充分性成立；若1,a ≥则0x >时,12,ax x+≥≥当且仅当1x a ==时取等，即12ax x +≥恒成立，因此，由 1 a ≥可以推出0,x ">1 2ax x+≥，故必要性成立.综上所述，10,2x ax x∀>+≥是 1 a ≥的充要条件.故选：C.11.若函数()()πsin 06f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间ππ,126⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的取值范围是（）A.(]0,2 B.(]0,4 C.(]0,6 D.(]0,8【答案】A 【解析】【分析】利用给定的区间，求出π6x ω+的范围，然后写出正弦函数的单调递增区间，转化为子集问题处理即可.【详解】当ππ[,]126x ∈-时，πππππ[,+]661266x ωωω+∈-，若函数π()sin(0)6f x x ωω=+>在区间ππ[,]126-上单调递增，则πππ2π662πππ2π2612k k ωω⎧+≤+⎪⎪⎨⎪-+≤-⎪⎩，Z k ∈，解得212,824,Z k k k ωω≤+≤-∈，又0ω>，当0k =时,可得02ω<≤.故选：A.12.在正三棱台111ABC A B C -中，2AB =，11AB A B >，侧棱1AA 与底面ABC所成角的余弦值为3．若此三棱台存在内切球（球与棱台各面均相切），则此棱台的表面积是（）A.2B.2C.4D.4【答案】A 【解析】【分析】取BC 和11B C 的中点分别为P ，Q ，上、下底面的中心分别为1O ，2O ，设11A B x =，内切球半径为r ，根据题意求出侧棱长以及2O P ，1O Q ，再根据切线的性质及等腰梯形11BB C C 和梯形1AA QP 的几何特点列方程组求出半径，再根据面积计算公式即可.【详解】如图，取BC 和11B C 的中点分别为P ，Q ，上、下底面的中心分别为1O ，2O ，设11A B x =，内切球半径为r ，因为123cos 3A AO ∠=，棱台的高为2r ，所以126sin 3A AO ∠=，111122sin 63r AA BB CC A AO =====∠，211333323O P AP AB ==⨯=，同理136O Q x =．因为内切球与平面11BCC B 相切，切点在PQ 上，所以()21326PQ O P O Q x =+=+①，在等腰梯形11BB C C中，)22222x PQ -⎛⎫=- ⎪⎝⎭②，由①②得()222226212x x r +-⎛⎫-=⎪⎝⎭．在梯形1AA QP 中，()22233236PQ r x ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭③，由②③得2x -=，代入得1x =，则棱台的高23h r ==，所以()2133262PQ O P O Q x =+=+=,所以1sin 2ABC S AB AC A =⋅=△111111111sin 24A B C S A B A C A =⋅= ，()1111124BCB C S BC B C PQ =+=正三棱台三个侧面都是面积相等的等腰梯形，故侧面积为4,所以此棱台的表面积是442S =++=.故选：A二、多项选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．每小题列出的四个备选项中，有多个是符合题目要求的，全部选对得4分，部分选对且没有错选得2分，不选、错选得0分）13.下列不等式正确的是（）A.4> B.4< C.24log 3log 5> D.24log 3log 5<【答案】BC 【解析】【分析】根据指数幂的运算及指数函数的性质判断A 、B ，根据对数的运算性质及对于函数的性质判断C 、D.【详解】414142222224⨯==⎭==⎛⎫< ⎪⎝A 错误，B 正确；2421log 5log 5log log 32==<，故C 正确，D 错误.故选：BC14.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，下列结论正确的是（）A.11//BC A DB.1//BC 平面11A ADDC.111BC B D ⊥D.1BC ⊥平面11A B CD【答案】BD 【解析】【分析】连接1AD ，1A D ，11B D ，1AB ，1B C ，根据正方体的性质得到11//BC AD ，即可判断A 、B 、C ，证明11BC B C ⊥、1CD BC ⊥，即可判断D.【详解】连接1AD ，1A D ，11B D ，1AB ，1B C ，对于A ：在正方体中11//AB D C 且11AB D C =，所以四边形11ABC D 为平行四边形，所以11//BC AD ，又11A D AD ⊥，所以11BC A D ⊥，所以A 错误；对于B ，因为11//BC AD ，1AD ⊂平面11A ADD ，1BC ⊄平面11A ADD ，所以1//BC 平面11A ADD ，所以B 正确；对于C ：因为11AB D 为等边三角形，所以1160AD B ∠=︒，又11//BC AD ，所以11AD B ∠为异面直线1BC 与11B D 所成的角，即直线1BC 与11B D 所成的角为60︒，则1BC 与11B D 不垂直，所以C 错误；对于D ：在正方体中，11BC B C ⊥，CD ⊥平面11BCC B ，1BC ⊂平面11BCC B ，所以1CD BC ⊥，又1CD B C C ⋂=，1,CD B C ⊂平面11A B CD ，所以1BC ⊥平面11A B CD ，所以D 正确．故选：BD ．15.已知函数()2sin cos2f x x x =+，则（）A.()f x 的最小值是3-B.()f x 5C.()f x 在区间π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭内存在零点 D.()f x 在区间π,π2⎛⎫⎪⎝⎭内不存在零点【答案】ACD 【解析】【分析】利用三角恒等变换将函数化为二次函数，求解最值判断A ，B ，利用换元法求解零点，再判断范围求解C ，D 即可.【详解】易得2213()2sin cos 22sin 12sin 2(sin )22f x x x x x x =+=+-=--+，故函数()f x 在1sin 2x =时，取得的最大值为32，当sin 1x =-时，函数取得的最小值为3-，故A 正确，B 错误，令[]sin 1,1x t =∈-，故2()212f t t t =+-，令()0f t =，解得11322t =+或21322t =-，当113122t =+>时，排除，无法解出x ，当21322t =-时，可得13sin 22x =-，而sin y x =在π(,0)6-上单调递增，故当π(,0)6x ∈-，1sin ,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，且1130222-<-<，则()f x 在区间π,06⎛⎫-⎪⎝⎭内存在零点，故C 正确，而当π,π2x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，sin 0y x =>，1022y =-<，显然sin y x =和122y =-无交点，则()f x 在区间π,π2⎛⎫⎪⎝⎭内不存在零点，故D 正确.故选：ACD.16.在ABC 中，3AB =，1AC =，π3BAC ∠=，点D ，M 分别满足3AB AD = ，2BC MC = ，AM 与CD 相交于点F ，则（）A.1233CD AB AC=- B.12AF AM=C.132AM =D.13cos 13DFM ∠=【答案】BCD 【解析】【分析】根据平面向量线性运算法则判断A ，设AF AM λ=，用AD 、AC 表示AF ，根据共线定理的推论得到方程求出λ，即可判断B ，由1122AM AB AC =+及数量积的运算判断C ，求出cos ,CD AM ，即可判断D.【详解】对于A ，13CD AD AC AB AC =-=-，故A 错误；对于B ，设AF AM λ=，又1122AM AB AC =+ ，∴1132222AF AB AC AD AC λλλλ=+=+，又F ，D ，C 三点共线，∴3122λλ+=，12λ∴=，∴12AF AM = ，故B 正确；对于C ，1122AM AB AC =+，∴()()222211244AM AB ACAB AB AC AC =+=+⋅+111391231424⎛⎫=⨯++⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，2AM ∴= ，故C 正确；对于D ， 111322CD AM AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222211111111331163263222AB AB AC AC =-⋅-=⨯-⨯⨯⨯-⨯= ，又222211212191311393932CD AB AC AB AB AC AC ⎛⎫=-=-⋅+=⨯+-⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，∴1CD =，又2AM =，12cos cos ,13132CD AM DFM CD AM CD AM⋅∴∠===⋅ ，故D 正确．故选：BCD．非选择题部分（共48分）三、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分）17.已知A ，B 是相互独立事件，()23P A =，()12P B =，则()P AB =_____________．【答案】13【解析】【分析】根据相互独立事件的概率公式计算即可.【详解】因为A ，B 是相互独立事件，所以()()()211323P AB P A P B ==⨯=.故答案为：1318.函数2()log f x x =的反函数为_______.【答案】2xy =【解析】【分析】设2log y x =，由指对数式的互化得到2y x =，再将,x y 位置互换即可得出答案.【详解】解：设2log y x =，则2y x =，所以函数2()log f x x =的反函数为2x y =.故答案为：2x y =.19.已知()f x 是定义域为R 的偶函数，且()()24f x f x +-=，则()2023f =_____________．【答案】2【解析】【分析】利用给定条件，得到函数的周期性，将所求函数值化为已知函数值，代入求解即可.【详解】由题意得()f x 是定义域为R 的偶函数，且()()24f x f x +-=，故()()()224f x f x f x -=-=-，可得()()442()f x f x f x -=--=，故得函数的周期4T =，而令1x =，可得()214f =，解得()12f =，则()()()()()2023450533211f f f f f =⨯+==-==.故答案为：220.已知,,a b c 是同一平面上的3个向量，满足3a =，b = ，6a b ⋅=- ，则向量a 与b 的夹角为_____________，若向量c a - 与c b - 的夹角为π4，则c r 的最大值为_____________．【答案】①.3π4##135︒②.【解析】【分析】由cos ,a b a b a b⋅=⋅ 求出向量a 与b 的夹角，设OA a = ，OB b = ，OC c = ，即可得到,,,O A B C 四点共圆，利用正弦定理求出AOB 外接圆的直径，即可求出c的最大值.【详解】因为3a =，b = ，6a b ⋅=- ，所以cos ,2a b a b a b ⋅===-⋅ ，又[],0,πa b ∈ ，所以3π,4a b = ，因为3a =，b = ，3π,4a b = ，如图，设OA a = ，OB b = ，OC c = ，则c a OC OA AC -=-= ，c b OC OB BC -=-= ，又向量c a - 与c b - 的夹角为π4，则π4ACB ∠=，又3π4AOB ∠=，所以,,,O A B C 四点共圆，又AB b a =- ，所以AB == 设AOB 外接圆的半径为R ，由正弦定理23πsin 42AB R ===c故答案为：3π4四、解答题（本大题共3小题，共33分）21.人工智能发展迅猛，在各个行业都有应用．某地图软件接入了大语言模型后，可以为用户提供更个性化的服务，某用户提出：“请统计我早上开车从家到公司的红灯等待时间，并形成统计表．”地图软件就将他最近100次从家到公司的导航过程中的红灯等待时间详细统计出来，将数据分成了[)55,65，[)65,75，[)75,85，[)85,95，[]95,105（单位：秒）这5组，并整理得到频率分布直方图，如图所示．（1）求图中a 的值并且估计该用户红灯等待时间的第60百分位数（结果精确到0.1）；（2）根据以上数据，估计该用户在接下来的10次早上从家到公司的出行中，红灯等待时间低于85秒的次数．【答案】（1）0.035a =，估计该用户红灯等待时间的第60百分位数约为82.1（2）7次【解析】【分析】（1）根据频率之和为1以及直方图数据即可求解，先确认频率分布直方图中频率为0.6的位置，再结合百分位数定义求解即可.（2）根据频率分布直方图求出红灯等待时间低于85秒的频率即可求解.【小问1详解】因为各组频率之和为1，组距为10，所以()100.010.0250.020.011a ⨯++++=，解得0.035a =.因为()100.010.0250.350.6⨯+=<，()100.010.0250.0350.70.6⨯++=>，所以中位数位于第三组[)75,85中，设中位数为x ，则()0.10.250.035750.6x ++-=，解得0.257582.10.035x =+≈，所以该用户红灯等待时间的中位数的估计值为82.1.【小问2详解】由题红灯等待时间低于85秒的频率为0.10.250.350.7++=，故估计该用户在接下来的10次中红灯等待时间低于85秒的次数为100.77⨯=次.22.如图，在三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，1PA AC ==，BC =（1）求三棱锥-P ABC 的体积；（2）求证：平面PAC ⊥平面PBC ；（3）设点D 在棱PB 上，AD CD =，求二面角D AC B --的正弦值．【答案】（1）6（2）证明见解析（3）3【解析】【分析】（1）先求出底面积，再利用体积公式求解体积即可.（2）先利用线面垂直判定定理得到BC ⊥平面PAC ，再利用面面垂直定理判定面面垂直即可.（3）合理作图，找到二面角的平面角，利用三角函数的定义求解即可.【小问1详解】因为,1,AC BC AC BC ⊥==，所以111222ABC S AC BC =⋅=⨯= ，因为PA ⊥平面ABC ,所以三棱锥-P ABC 的体积11326V =⨯⨯=.【小问2详解】因为PA ⊥平面ABC ,BC ⊂平面PBC ,所以PA BC ⊥,又,,AC BC PA AC A ⊥⋂=,PA AC ⊂平面PAC ,所以BC ⊥平面PAC ,因为BC ⊂平面PBC ,所以平面PAC ⊥平面PBC .【小问3详解】过点D 作DE AB ⊥于E ,取AC 的中点F ,连接,EF 因为PA ⊥平面,ABC PA ⊂平面,PAB 所以平面PAB ⊥平面ABC ,又平面PAB ⋂平面,ABC AB DE =⊂平面,PAB 所以DE ⊥平面,ABC DE ∥PA ，因为,AD CD =且F 是AC 的中点,所以,,,DF AC AC DE DF DE D AC ⊥⊥⋂=⊥平面DEF ,,EF AC ⊥所以DFE ∠是二面角——D AC B 的平面角,因为,,EF AC AC BC F ⊥⊥是AC 的中点，所以E 是AB 的中点，又DE //PA ，所以D 是PB 的中点,在Rt DEF △中,32DF ===，所以12sin 332DE DFE DF ∠==即二面角——D AC B的正弦值为3.23.已知函数()2π2sin 2f x x x a x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，R a ∈．（1）若1a =，求()f x 在区间[]0,1上的最大值；（2）若关于x 的方程()10f x a ++=有且只有三个实数根1x ，2x ，3x ，且123x x x <<．证明：（ⅰ）1322x x x +=；（ⅱ）()()311217818f x f x x +-+≤．【答案】（1）0（2）（ⅰ）证明见解析.（ⅱ）证明见解析【解析】【分析】（1）利用分析法得到函数的单调性，再求解最值即可.（2）（ⅰ）合理构造新函数，求出一个零点，再结合对称性求解即可.（ⅱ）将目标式合理表示为函数，利用不等式的性质证明即可.【小问1详解】由已知得1a =,则2π()(1)sin()12f x x x =---，易知2(1)y x =-，πsin()2y x =-在区间[0,1]上单调递减，所以()f x 在区间[0,1]上单调递减,所以max ()(0)0.f x f ==【小问2详解】（ⅰ）若2π()(1)sin()1,2f x x a x =---且()10,f x a ++=即2π(1)(sin()1)02x a x ---=有且只有三个实数根，所以0,a <令2π()(1)(sin()1),2g x x a x =---且(1)0g =，则()g x 的图象关于直线1x =对称，所以1322 2.x x x +==（ⅱ）由题意可知，令3πsin 2t x =，则有1()10,f x a ++=()310f x a ++=()()()()2311333217841cos π8271f x f x x x a x x a +-+=--+-++()()233342cos π1571x x a x a =--+++2233ππ4(sin 1)722(12sin )(242)1822a x a a a a x a t t =--++--=+++，因为0,a <所以2(242)1818a t t +++≤，即311(21)7()818f x f x x +-+≤得证.【点睛】关键点点睛：本题考查导数，解题关键是合理表示出目标式，然后结合不等式的性质，得到所要求的不等关系即可．。

2019年1月浙江省普通高中学业水平考试数学仿真模拟试题01考生须知：1．本试题卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分100分，考试时间80分钟。

2．考生答题前，务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上。

3．选择题的答案须用2B 铅笔将答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如要改动，须将原填涂处用橡皮擦净。

4．非选择题的答案须用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题纸上相应区域内，作图时可先使用2B 铅笔，确定后须用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑，答案写在本试题卷上无效。

选择题部分一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分，每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1．已知集合{1,2}P =，{2,3}Q =，全集{1,2,3}U =，则()UP Q 等于A ．{3}B ．{2,3}C ．{2}D ．{1,3}2．圆2246110x y x y +-++=的圆心和半径分别是 A ．(2,3)-B ．(2,3)-；2C ．(2,3)-；1D ．(2,3)-3．已知向量(0,1),(k ==-=a b c ，若(2)-⊥a b c ，则k =A．B ．24．若π1cos()123θ-=，则5πsin()12θ+＝ A ．13B．3C ．13-D．5则()f x 的定义域是 A ．[1,2)-B ．[1,)-+∞C ．(2,)+∞D ．[1,2)(2,)-+∞ 6．若双曲线221x y a-=的一条渐近线方程为3y x =，则正实数a 的值为 A ．9B ．3C ．13 D ．197．若直线l 过点(1,2)-且与直线2340x y -+=垂直，则l 的方程为A ．3210x y +-=2310x y +-=C ．3210x y ++=D ．2310x y --=8．已知(1,1,0)AB =-，(0,1,2)C -，若2CD AB =，则点D的坐标为A ．(2,3,2)--B ．(2,3,2)-C ．(2,1,2)-D ．(2,1,2)--9．已知平面α，β和直线m ，直线m 不在平面α，β内，若α⊥β，则“m ∥β”是“m ⊥α”的A ．充分而不必要条件?????????B ．必要而不充C ．充要条件??D ．既不充分也10．将函数πsin(2)3y x =+的图象经怎样平移后，所得的图象关于点π(,0)12-成中心对称 A ．向左平移π12个单位B ．向右平移π12C ．向左平移π6个单位D ．向右平移π6个11．ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若π3C =，c =3b a =，则ABC △的面积为A BCD ．12．函数331x x y =-的图象大致是A ．B ．C ．D ．13．若实数x ，y 满足约束条件22390x y x y x +≤-≤≥⎧⎪⎨⎪⎩，则22z x y =+的最大值是A 10B ．4C ．9D ．1014．已知等差数列{}n a 的前n 项和是n S ，公差d 不等于零，若236,,a a a 成等比数列，则A ．130,0a d dS >>B ．130,0a d dS ><C ．130,0a d dS <>D ．130,0a d dS <<15．如图所示，在正三角形ABC 中，,,D E F 分别为各边的中点，,,,G H I J 分别为,,,AF AD BE DE 的中点.将ABC △沿,,DE EF DF 折成三棱锥以后，HG 与IJ 所成角的度数为 A ．90︒ B ．60︒ C ．45︒D ．0︒16．已知图中的网格是由边长为1的小正方形组成的，一个几何体的三视图如图中的粗实线和粗虚线所示，则这个几何体的体积为 A ．64???B ．643???? C ．1283??D ．12817．过抛物线2(0)y mx m =>的焦点作直线交抛物线于,P Q 两点，若线段PQ 中点的横坐标为3，5||4PQ m =，则m = A ．8 C ．1218．已知函数2(4)log (01)a y x bx x a a =+->≠且，若对任意0x >，恒有0y ≤，则ab 的取值范围是A ．[1，3)B ．(1，3]C ．(0，3)D ．(1，3)非选择题部分二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分）19．设公比不为1的等比数列{}n a 满足12318a a a =-，且243,,a a a 成等差数列，则公比q =___________，数列{}n a 的前4项的和为___________．20．设函数()()f x x ∈R 满足2213|(),|()144||f x x f x x -≤+-≤，则(1)f =___________．21．若半径为10的球面上有A 、B 、C三点，且心O 到平面ABC 的距离为___________.22．已知动点P的正方形ABCD 的边上任意一点，MN 是正方形ABCD 的外接圆O 的一条动弦，且MN，则PM PN ⋅的取值范围是___________.?三、解答题（本大题共3小题，共31分）23．（本小题满分10分）已知ABC △的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若222sin sin sin sin sin A B C A B+-=.（1）求角C 的大小；（2）若ABC △的面积为c=ABC △的周长.?24．（本小题满分10分）如图，直线l 与椭圆C :22142x y +=交于M ，N 两点，且|MN |=2，点N 关于原点O 的对称点为P.（1）若直线MP 的斜率为12-，求此时直线MN 的斜率k 的值； （2）求点P 到直线MN 的距离的最大值.25．（本小题满分11分）已知函数2()(1)||f x x x x a =+-⋅-.（1）若0a =，解方程()3f x =； （2）若函数()f x 在R 上单调递减，求实数a 的取值范围； （3）若函数()f x 在[2,2]a a +的最小值为()g a ，求()g a 的解析式.。

2021年1月浙江省普通高中学业水平考试数学仿真模拟卷（二）一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分.每小题列出的四个备选项中只有一个符合题目要求，不选、多选、错选均不给分.）1.已知集合{}2|320A x x x =-+=，集合{}|05,B x x x N =<<∈，则AB =（ ）A.{}1,2B.{}1C.{}2,3D.{}1,4解析：选A 因为{}{}2|3201,2A x x x =-+==，{}{}|05,1,2,3,4B x x x N =<<∈=，所以A B ={}1,2.故选A.2.若[1,1]x ∈-，则函数22x y =-的值域为（ ）A.[1,1]-B.[2,0]-C.3[,0]2- D.[1,0]-解析：选C 因为[1,1]x ∈-，所以12[,2]2x ∈，所以322[,0]2x -∈-.故选C.3.已知等差数列{}n a 满足7916a a +=，若41a =，则12a =（ ）A.64B.31C.24D.15解析：选D 因为数列是等差数列，所以79412a a a a +=+，所以1216115a =-=.故选D.4.经过点(1,2)A -且垂直于直线2340x y -+=的直线l 的方程为（ ）A.3210x y ++=B.3210x y +-=C.2350x y -+=D.2380x y -+= 解析：选B 由题可得，设垂直于直线2340x y -+=的直线l 的方程为320x y c ++=，因为直线过点(1,2)A -，所以340c -++=，解得1c =-，所以直线l 的方程为3210x y +-=.故选B.5.双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为3，则其渐近线方程为（ ）A.2y x =±B.3y x =±C.22y x =±D.32y x =± 解析：选A 因为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为3，所以3ca=，即223c a =22a b =+，解得2b a =，所以2b a =，所以双曲线的渐近线方程为2by x x a=±=±.故选A.6.函数111y x =+-的图象是下列图象中的（ ）解析：选B 由题可得，函数111y x =+-的图象可由函数1y x =的图象向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度得到，结合函数1y x=的图象可知，选项B 满足条件，故选B.7.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知1,3,60c b B ===，则C 的大小为（ ） A.30 B.45 C.150 D.30或150解析：选A 因为1,3,60c b B ===，所以由正弦定理sin sin b c B C =可得sin 1sin 2c B C b ==.因为b c >，所以B C >，知90C <，解得30C =.故选A.8.已知向量(,2),(1,1)a b λλ=-=+，则“1λ=”是“a b ⊥”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 解析：A 因为(,2),(1,1)a b λλ=-=+，且a b ⊥，所以(1)20a b λλ⋅=+-=，解得1,2λ=-.所以可知是充分不必要条件.故选A.9.若实数,x y 满足约束条件5630,32,1x y y x x +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩则3z x y =+的最小值是（ ）A.10B.3C.272 D.113解析：选B 由题可得，约束条件表示的平面区域如图所示，是一个以2251020(1,),(1,),(,)3639为顶点的三角形及其内部区域.由线性规划的特点可知，目标函数3z x y =+在点2(1,)3处取得最小值，其最小值为3.故选B.10.已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中所给的数据，可得该几何体的体积为（ ） A.52 B.2 C.3 D.32解析：选D 由题可得，结合三视图可知，该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱，所以其体积为13(12)1122V =⨯+⨯⨯=.故选D . 11.已知函数1()2(0)f x x x x=+-<，则()f x 有（ ） A.最大值0 B.最小值0 C.最大值4- D.最小值4-解析：选C 因为0x <，所以0x ->，所以111()2()2()x x x x x x -+=-+≥-⋅=--，所以12x x +≤-，所以124x x +-≤-.当且仅当1x x=，1x =-时，()f x 有最大值4-.故选C.12.若点G 为ABC ∆的重心（三角形三边中线的交点），设,BG a GC b ==，则AB =（ ） A.3122a b - B.3122a b + C.2a b - D.2b a - 解析：选D 因为点G 为ABC ∆的重心，所以有0GA GB GC ++=.因为,BG a GC b ==，所以GA BG GC a b =-=-，所以22AB GB GA GC BG b a =-=-=-.故选D.13.已知3sin 5α=，且α是第二象限角，则tan(2)4πα+的值为（ ）A.195-B.519-C.3117-D.1731-解析：选D 因为3sin 5α=，且α是第二象限角，所以可得3tan 4α=-，所以22tan tan 21tan ααα=- 324297116-==--，所以241tan 21177tan(2)2441tan 23117πααα-++===--+.故选D.14.已知,,m n l 为三条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A.//,,//m n m n αβαβ⊂⊂⇒ B.//,l l αβαβ⊥⇒⊥ C.,//m m n n αα⊥⊥⇒ D.,//l l βαβα⊥⊥⇒解析：选B 对于选项A ，由两平行平面内的各一条直线平行或异面可知，选项A 错误，排除；对于选项C ，,m m n α⊥⊥可以得到//n α或n α⊂，选项C 错误，排除；对于选项D ，,l βαβ⊥⊥可以得到//l α或l α⊂，选项D 错误，排除；对于选项B ，//,l l αβαβ⊥⇒⊥成立，故选B.15.已知数列{}n a 满足0n a >，221114n n n n a a a a ++++=+，且112a =，则该数列的前2020项的和为（ ） A.30272 B.1514 C.30292D.1515解析：选D 因为2211111,24n nn n a a a a a ++=++=+，所以当1n =时，解得21a =；当2n =时，解得312a =；所以可知该数列是以2为周期的周期数列，所以该数列的前2020项和为202011010101015152S =+⨯=.故选D.16.已知正数,x y 满足1x y +=，则1114x y++的最小值为（ ）A.73B.2C.95D.43解析：选C 由题可得，()414144141141144145x y x y x y x y ⎛⎫+⋅++ ⎪+⎝⎭+=+=++ 4(14)4415249414555y x x y++++++=≥=，当且仅当4(14)4414y x x y +=+，51,66x y ==时取得好.故选C.17.设椭圆M 的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，若斜率为1的直线与椭圆M 相切同时也与圆2:C x2()(y b b +-为椭圆的短半轴）相切，设椭圆的离心率为e ，则2e 的值为（ ）A.32- B.21- C.122+ D.323+ 解析：选A 设直线方程为y x m =+，因为直线与椭圆相切，所以代入椭圆方程，可得22222222()20b a x a mx a m a b +++-=，所以由0∆=可得222m a b =+.又因为直线与圆相切，所以2b mb -=，解得(12)m b =+，所以2222(12)b a b +=+，由222b ac =-，所以有22(221)(222)a c +=+，解得222222322221c e a +-===+.故选A. 18.已知矩形ABCD 中，4,2,,AB BC E F ==分别为边,AB CD 的中点.现沿直线DE 将ADE ∆翻折成PDE ∆，在点P 从A 到F 的运动过程中，CP 的中点G 的轨迹长度为（ ）A.2πB.2πC.22πD.12π 解析：选C 连接AF 交DE 于点O ，由已知条件易知AF DE ⊥，翻折后可得PO DE ⊥，且2OP =，所以有DE ⊥平面POA ，所以点P 的轨迹是在平面POA 内的半圆.连接OC ，取OCD 中点，连接GH ，由中位线可得1//,2GH PO GH PO =，所以点G 是GH 为半径的半圆轨迹.因为1222GH PO ==，所以其半圆的圆弧长为2π.故选C. 二、填空题（本大题共5小空，每空3分，合计15分）19.已知圆C 的方程为22240x y x y +--=，则该圆的圆心坐标为 ，该圆的面积为 . 解析：(1,2);5π 由题可得，22(1)(2)5x y -+-=，所以可知该圆的圆心为(1,2)，半径为5r =，所以其面积为25r ππ=.20.若函数21()(27)(0)m f x m m x m -=-->是幂函数，则实数m = .解析：4 因为函数是幂函数，所以2271m m --=，解得4m =或2-.因为0m >，所以4m =. 21.如图所示，在侧棱垂直于底面的三棱柱111ABC A B C -中，P 是棱BC 上的动点.记直线1A P 与平面ABC 所成的角为1θ，与直线BC 所成的角为2θ，则1θ2θ（填“>”、“=”或“<”）.解析：< 连接AP ，则11A PA θ∠=，12A PC θ∠=或2πθ-，设APC θ∠=，则122sin sin sin sin θθθθ=<，所以12θθ<.22.已知函数2()()323x nf x m x nx =-++，函数()y f x =的零点构成的集合为A ，函数[()]y f f x =的零点构成的集合为B ，若A B =，则m n +的取值范围是 .解析：8[0,)3 设()t f x =，()y f t =，因为A B =，所以()0f t =时，0t =，即(0)0f =，所以03n m -=，所以3n m =，所以43nm n +=.因为2()2(2)f x x nx x x n =+=+，由()0f t =得0,2t t n ==-，而()2f x n =-无解，即2220x nx n ++=无解，所以2480n n ∆=-<，解得02n <<.又0n =时符合题意.综上可知02n ≤<，所以48[0,)33n m n +=∈.三、（本大题共3小题，共31分.）23.已知函数()sin()sin f x x x π=+. (1)求()12f π的值；(2)若3()10f α=-，04πα<<.求()8f πα+的值. 解：1()sin()sin sin cos sin 22f x x x x x x π=+=-=-.(1)所以11()sin 12264f ππ=-=-.(2)因为13()sin 2210f αα=-=-，所以3sin 25α=.因为04πα<<，所以022πα<<.所以4cos 25α=.所以()sin 2()sin(2)884f πππααα+=-+=-+ sin 2coscos 2sin44ππαα=--324272525210=-⨯-⨯=-.24.已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，直线220x y -+= 交抛物线C 于,A B 两点,P 是线段AB 的中点,过P 作x 轴的垂线交抛物线C 于点Q .(1)若直线AB 过焦点F ，求AF BF ⋅的值；(2)是否存在实数p ，使ABQ ∆是以Q 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出p 的值；若不存在，说明理由．解：(1)因为()0,2F ，4p =，所以抛物线方程为y x 82=，与直线22y x =+联立消去y 得：016162=--x x ， 设),(),,(2211y x B y x A ，则16,162121-==+x x x x ， 所以1212||||(2)(2)(24)(24)AF BF y y x x ⋅=++=++=80.(2)假设存在，由抛物线py x 22=与直线22y x =+联立消去y 得：0442=--p px x 设),(),,(2211y x B y x A ，则p x x p x x 4,42121-==+， 可得),2,2(p p Q由0=⋅得：0)2)(2()2)(2(2121=--+--p y p y p x p x ， 即0)22)(222()2)(2(2121=-+-++--p x p x p x p x ， 所以0488))(64(522121=+-++-+p p x x p x x ， 代入得01342=-+p p ，解得14p =或1p =-（舍）． 25.已知函数2()(0,1)axf x a b x b=>>+满足(1)1f =，且()f x 在R 上有最大值324. (1)求()f x 的解析式；(2)当[1,2]x ∈时，不等式23()(2)mf x x x m≤+-恒成立，求实数m 的取值范围.解：(1)(1)11af b==+，所以1a b =+. 因为当0x >时，232()42ax a f x b x b b x x==≤=++， 所以3212b b +=，解得2b =或12b =.因为1b >，所以2b =，所以3a =.所以23()2xf x x =+.(2)因为23(2)mx x m+-在[1,2]上恒有意义，所以1m <或2m >. 问题即为22332(2)x mx x x m≤++-对[1,2]x ∈恒成立， 即mx x m≤-对[1,2]x ∈恒成立，所以有m m x m x x-≤-≤. (i)当1x =时显然成立，当1x ≠时，21x m x ≤-，所以4m ≤(ii)对于21x m x ≥+对[1,2]x ∈恒成立，等价于2max1x m x ⎛⎫≥ ⎪+⎝⎭.令1t x =+，则1[2,3]x t =-∈，所以22(1)121x t t x t t -==+-+，其在[2,3]上单调递增， 所以2max 4=13x x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，即43m ≥. 综上可得，实数m 的取值范围是(2,4].。