版高考数学一轮总复习第8章平面解析几何88曲线与方程模拟演练理

1 2018版高考数学一轮总复习 第8章 平面解析几何 8.8 曲线与方程模拟演练 理 [A级 基础达标](时间：40分钟) 1．已知点F14，0，直线l：x＝－14，点B是l上的动点．若过B作垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是( ) A．双曲线 B．椭圆 C．圆 D．抛物线 答案 D 解析 由已知得|MF|＝|MB|.由抛物线定义知，点M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线． 2．[2017·大同模拟]设点A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|＝1，则P点的轨迹方程为( ) A．y2＝2x B．(x－1)2＋y2＝4 C．y2＝－2x D．(x－1)2＋y2＝2 答案 D

解析 如图，设P(x，y)，圆心为M(1,0)，连接MA，则MA⊥PA，且|MA|＝1. 又∵|PA|＝1， ∴|PM|＝|MA|2＋|PA|2＝2，即|PM|2＝2，∴(x－1)2＋y2＝2. 3．若点P到点F(0,2)的距离比它到直线y＋4＝0的距离小2，则P的轨迹方程为( ) A．y2＝8x B．y2＝－8x C．x2＝8y D．x2＝－8y 答案 C 解析 由题意知P到F(0,2)的距离比它到y＋4＝0的距离小2，因此P到F(0,2)的距离与到直线y＋2＝0的距离相等，故P的轨迹是以F为焦点，y＝－2为准线的抛物线，所以P的轨迹方程为x2＝8y. 4．[2017·抚顺模拟]在△ABC中，已知A(－1,0)，C(1,0)，且|BC|，|CA|，|AB|成等差数列，则顶点B的轨迹方程是( ) 2

A.x23＋y24＝1 B.x23＋y24＝1(x≠±3) C.x24＋y23＝1 D.x24＋y23＝1(x≠±2) 答案 D 解析 ∵|BC|，|CA|，|AB|成等差数列，∴|BC|＋|BA|＝2|CA|＝4.∴点B的轨迹是以A，C为焦点，半焦距c＝1，长轴长2a＝4的椭圆．又B是三角形的顶点，A，B，C三点不能共

线，故所求的轨迹方程为x24＋y23＝1，且x≠±2.

5．[2017·津南模拟]平面直角坐标系中，已知两点A(3,1)，B(－1,3)，若点C满足OC→＝λ1OA→＋λ2OB→(O为原点)，其中λ1，λ2∈R，且λ1＋λ2＝1，则点C的轨迹是( ) A．直线 B．椭圆 C．圆 D．双曲线 答案 A

解析 设C(x，y)，因为OC→＝λ1OA→＋λ2OB→，所以(x，y)＝λ1(3,1)＋λ2(－1，3)，即

 x＝3λ1－λ2，

y＝λ1＋3λ2，解得 λ1＝y＋3x10，λ2＝3y－x10，

又λ1＋λ2＝1，所以y＋3x10＋3y－x10＝1，即x

＋2y＝5，所以点C的轨迹为直线，故选A. 6．长为3的线段AB的端点A，B分别在x，y轴上移动，动点C(x，y)满足AC→＝2CB→，则动点C的轨迹方程________．

答案 x2＋14y2＝1

解析 设A(a,0)，B(0，b)，则a2＋b2＝9.又C(x，y)，则由AC→＝2CB→，得(x－a，y)＝2(－x，b－y)．

即 x－a＝－2x，y＝2b－2y，即 a＝3x，b＝32y，代入a2＋b2＝9并整理，得x2＋14y2＝1. 7．设F1，F2为椭圆x24＋y23＝1的左、右焦点，A为椭圆上任意一点，过焦点F1向∠F1AF2

的外角平分线作垂线，垂足为D，则点D的轨迹方程是________． 答案 x2＋y2＝4 解析 由题意，延长F1D，F2A并交于点B，易证Rt△ABD≌Rt△AF1D，∴|F1D|＝|BD|，

|F1A|＝|AB|，又O为F1F2的中点，连接OD，∴OD∥F2B，从而可知|DO|＝12|F2B|＝12(|AF1|＋ 3

|AF2|)＝2，设点D的坐标为(x，y)，则x2＋y2＝4. 8．[2017·盐城模拟]△ABC的顶点A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是________．

答案 x29－y216＝1(x>3) 解析 如图，|AD|＝|AE|＝8，|BF|＝|BE|＝2，|CD|＝|CF|，所以|CA|－|CB|＝8－2＝6.根据双曲线定义，所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，故方程为x29－y216＝1(x>3)．

9．已知双曲线x22－y2＝1的左、右顶点分别为A1，A2，点P(x1，y1)，Q(x1，－y1)是双曲线上不同的两个动点．求直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程． 解 由题设知|x1|>2，A1(－2，0)，A2(2，0)，则有直线A1P的方程为y＝y1x1＋2(x＋2)，① 直线A2Q的方程为y＝－y1x1－2(x－2)，②

联立①②，解得交点坐标为 x＝2x1，y＝2y1x1，即 x1＝2x，y1＝2yx，③ 则x≠0，|x|<2. 而点P(x1，y1)在双曲线x22－y2＝1上，所以x212－y21＝1.将③代入上式，整理得所求轨迹E

的方程为x22＋y2＝1，x≠0. 10．设椭圆方程为x2＋y24＝1，过点M(0,1)的直线l交椭圆于A，B两点，O是坐标原点，

点P满足OP→＝12(OA→＋OB→)，当l绕点M旋转时，求动点P的轨迹方程． 4

解 直线l过点M(0,1)，当斜率存在时，设其斜率为k， 则l的方程为y＝kx＋1.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

由题设可得点A，B的坐标(x1，y1)，(x2，y2)是方程组 y＝kx＋1， ①x2＋y24＝1，②的解， 将①代入②并化简，得(4＋k2)x2＋2kx－3＝0，

所以 x1＋x2＝－2k4＋k2，y1＋y2＝84＋k2，于是OP→＝12(OA→＋OB→) ＝x1＋x22，y1＋y22＝－k4＋k2，44＋k2. 设点P的坐标为(x，y)，则 x＝－k4＋k2，y＝44＋k2， 消去参数k得4x2＋y2－y＝0，③ 当斜率不存在时，A，B中点为坐标原点(0,0)，也满足方程③，所以点P的轨迹方程为4x2＋y2－y＝0. [B级 知能提升](时间：20分钟)

11．[2017·呼和浩特调研]已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，M为椭圆上一动点，F1为椭圆的左焦点，则线段MF1的中点P的轨迹是( ) A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 答案 B 解析 设椭圆的右焦点是F2，由椭圆定义可得|MF1|＋|MF2|＝2a>2c，所以|PF1|＋|PO|

＝12(|MF1|＋|MF2|)＝a>c，所以点P的轨迹是以F1和O为焦点的椭圆． 12．已知A(0,7)，B(0，－7)，C(12,2)，以C为一个焦点作过A，B的椭圆，椭圆的另一个焦点F的轨迹方程是( )

A．y2－x248＝1(y≤－1) B．y2－x248＝1

C．y2－x248＝－1 D．x2－y248＝1 答案 A 解析 由题意，得|AC|＝13，|BC|＝15，|AB|＝14，又|AF|＋|AC|＝|BF|＋|BC|，∴|AF|－|BF|＝|BC|－|AC|＝2.故点F的轨迹是以A，B为焦点，实轴长为2的双曲线的下支．∵c

＝7，a＝1，∴b2＝48，∴点F的轨迹方程为y2－x248＝1(y≤－1)． 5

13．已知圆的方程为x2＋y2＝4，若抛物线过点A(－1,0)，B(1,0)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是________________．

答案 x24＋y23＝1(y≠0) 解析 设抛物线焦点为F，过A，B，O作准线的垂线AA1，BB1，OO1，则|AA1|＋|BB1|＝2|OO1|＝4，由抛物线定义得|AA1|＋|BB1|＝|FA|＋|FB|，所以|FA|＋|FB|＝4，故F点的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)．

14．[2016·全国卷Ⅲ]已知抛物线C：y2＝2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．

(1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ； (2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．

解 由题知F12，0.设l1：y＝a，l2：y＝b，则ab≠0，

且Aa22，a，Bb22，b，P－12，a，Q－12，b， R －12， a＋b2.记过A，B两点的直线为l，则l的方程为2x－(a＋b)y＋ab＝0.

(1)证明：由于F在线段AB上，故1＋ab＝0. 记AR的斜率为k1，FQ的斜率为k2，则

k1＝a－b1＋a2＝a－ba2－ab＝1a＝－aba＝－b＝k2.

所以AR∥FQ. (2)设l与x轴的交点为D(x1,0)，则S△ABF＝12|b－a|·|FD|＝12|b－a|x1－12，S△PQF＝|a－b|2.由题设可得2×12|b－a|·x1－12＝|a－b|2，所以x1＝0(舍去)，或x1＝1.

设满足条件的AB的中点为E(x，y)． 当AB与x轴不垂直时，由kAB＝kDE，可得2a＋b＝yx－1(x≠1)．

而a＋b2＝y，所以y2＝x－1(x≠1)． 当AB与x轴垂直时，E与D重合． 所以，所求轨迹方程为y2＝x－1.