第二章群(练习附答案)

1. 设R 是实数集, 则对任意的,a b R ∈, 代数运算2a b a b =+o ( C )

(A) 适合结合律但不适合交换律 (B) 适合交换律但不适合结合律

(C) 不适合结合律和交换律 (D) 适合结合律和交换律

2. 在群G 中,a G ∈, a 的阶为12, 则8a 的阶为 ( B )

(A) 12 (B) 3 (C) 4 (D) 6

3．在7次对称群7S 中(25)(437)π=和(13)(546)λ=, 则πλ等于（ A ）

(A) (1376524) (B) (137)(6524) (C) (65)(24137) (D) (1746253)

7. 在群G 中, G b a ∈,, 则方程b ax =和b ya =分别有唯一解为 ( B )

(A) 1-ba , b a 1- (B) b a 1-, 1-ba (C) a b 1-, b a 1- (D) b a 1-, 1-ab

8. 设M 是正整数集, 则对任意的,a b R ∈, 下面“o ”是代数运算的是( B ) (A) b a b a

=o (B) b a b a =o (C) 2a b a b =+-o (D) 2a b ab =-o 9. 设M 是实数集, 代数运算是普通加法，下列映射是M 的自同构的是( D )

(A) 2x x → (B) sin x x → (C) x x → (D) 5x x →-

10. 在偶数阶群G 中阶等于2的元数为 ( A )

(A) 奇数 (B) 偶数 (C) 1 (D) 不可确定

11．在5次对称群5S 中元1(15)(24)π=和2(154)π=的乘积12ππ是（ D ）

(A) (14)(25) (B) (124) (C) (152) (D) (142)

12．若群G 的阶为48, G 的真子群H 的阶不可能为 ( C )

(A) 12 (B) 16 (C) 18 (D) 24

13．群G 中元a 的阶为24中，那么G 的循环子群9()a 的阶为 ( C )

(A)3 (B) 4 (C) 8 (D) 9

21．=A {所有整数},令τ: 2a a →,当a 是偶数;2

1+→a a ,当a 是奇数.则τ为

( B )

(A) 单射变换 (B) 满射变换 (C) 一一变换 (D) 不是变换

22．若)(a G =,且a 的阶为有限整数n ,则下列说法正确的是 ( A )

(A) G 与模n 的剩余类加群同构 (B) G 的阶可能无限

(C) 元21012,,,,,---n a a a a a Λ中没有相同元 (D) G 与整数加群同构

24. 设Q 是有理数集, 则对任意的,a b Q ∈,下列“o ”是代数运算的是( C )

(A)22a b b =o (B)b a b a

=

o (C) 22a b a ab b =-+o (D) 10a b a b +=o 25. 在群G 中, ,,a b c G ∈, 则方程xaxba xbc =的唯一解为 ( D )

(A)11abca b -- (B) 111bca a b --- (C) 111a b a bc --- (D) 111a bca b ---

26．在6次对称群6S 中123456326514π⎛⎫= ⎪⎝⎭

的阶是（ A ） (A) 5 (B) 24 (C) 12 (D) 6

31. 设R 是实数集, 则对任意的,a b R ∈, 代数运算a b a b =-o ( C )

(A) 适合结合律但不适合交换律 (B) 适合交换律但不适合结合律

(C) 不适合结合律和交换律 (D) 适合结合律和交换律

32. 设Q 是有理数集, 则对任意的,a b Q ∈,下列“o ”是代数运算的是( A )

(A) 2a b a b =+o (B)b a b a

=o (C) a b =o 10a a b =o 33. 在群G 中, ,a b G ∈, 则方程xaxb xb =的唯一解为 ( D )

(A)1aba - (B) 11a b -- (C) 11ba b -- (D) 1a -

34．在5次对称群5S 中1234532541π⎛⎫= ⎪⎝⎭

的阶是（ B ）

(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5

37. 在16阶循环群()G a =中 , 循环子群6()a 的阶为 ( D )

(A) 6 (B) 3 (C) 4 (D) 8

40．若群G 的阶为48, G 的子群H 的阶为16，则H 在G 中的指数为( C )

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

2.若G 为群,,,a b c G ∈,则3211()b c a c --- 123c ac b -- .

3.循环群()a 的阶是50，则它的子群15()a 的阶是 10 . 5.n 次对称群n S 的阶为 !n .

6.假定B A ⊂,那么B A I A , B A Y B .

11.一个有限非可换群至少含有______ 6 ______个元素 .

14.5次对称群5S 的阶为 120 .

19.设G 是17阶群，则G 的生成元有 16 个.

28.若群的元a 的阶是15，b 的阶是8,且ab ba =, 则8a 和ab 的阶分别是 15 和 120 .

30. 若群G 的阶为60, G 的子群H 的阶为15，则H 在G 中的指数为 4 .

35. 若G 是由集合A 的全体一一变换所作成, 则G 是一个 变换 群.

1．设}4,3,2,1{=A ,则能找到A A ⨯到A 的一一映射. ( × )

7．有限群中存在某个元的阶无限. ( × )

1. 用循环置换的方法写出三次对称群3S 的全体元.说明集合})23(,)1({=N 是

3S 的子群,并且写出N 的所有左陪集.

解: )}132(),123(),23(),13(),12(),1{(3=S ,(2分) 因为N 是有限集合, 由

)1()1)(1(=,

)23()23)(1(=,)23()1)(23(=,)1()23)(23(=知N 是封闭的,所以N 是3S 的子群.(4分)

N 的全体左陪集为(6分):

)}23(),1{()23()1(==N N ,)}132(),12{()132()12(==N N ,