1. 设R 是实数集, 则对任意的,a b R ∈, 代数运算2a b a b =+o ( C )
(A) 适合结合律但不适合交换律 (B) 适合交换律但不适合结合律
(C) 不适合结合律和交换律 (D) 适合结合律和交换律
2. 在群G 中,a G ∈, a 的阶为12, 则8a 的阶为 ( B )
(A) 12 (B) 3 (C) 4 (D) 6
3．在7次对称群7S 中(25)(437)π=和(13)(546)λ=, 则πλ等于（ A ）
(A) (1376524) (B) (137)(6524) (C) (65)(24137) (D) (1746253)
7. 在群G 中, G b a ∈,, 则方程b ax =和b ya =分别有唯一解为 ( B )
(A) 1-ba , b a 1- (B) b a 1-, 1-ba (C) a b 1-, b a 1- (D) b a 1-, 1-ab
8. 设M 是正整数集, 则对任意的,a b R ∈, 下面“o ”是代数运算的是( B ) (A) b a b a
=o (B) b a b a =o (C) 2a b a b =+-o (D) 2a b ab =-o 9. 设M 是实数集, 代数运算是普通加法，下列映射是M 的自同构的是( D )
(A) 2x x → (B) sin x x → (C) x x → (D) 5x x →-
10. 在偶数阶群G 中阶等于2的元数为 ( A )
(A) 奇数 (B) 偶数 (C) 1 (D) 不可确定
11．在5次对称群5S 中元1(15)(24)π=和2(154)π=的乘积12ππ是（ D ）
(A) (14)(25) (B) (124) (C) (152) (D) (142)
12．若群G 的阶为48, G 的真子群H 的阶不可能为 ( C )
(A) 12 (B) 16 (C) 18 (D) 24
13．群G 中元a 的阶为24中，那么G 的循环子群9()a 的阶为 ( C )
(A)3 (B) 4 (C) 8 (D) 9
21．=A {所有整数},令τ: 2a a →,当a 是偶数;2
1+→a a ,当a 是奇数.则τ为
( B )
(A) 单射变换 (B) 满射变换 (C) 一一变换 (D) 不是变换
22．若)(a G =,且a 的阶为有限整数n ,则下列说法正确的是 ( A )
(A) G 与模n 的剩余类加群同构 (B) G 的阶可能无限
(C) 元21012,,,,,---n a a a a a Λ中没有相同元 (D) G 与整数加群同构
24. 设Q 是有理数集, 则对任意的,a b Q ∈,下列“o ”是代数运算的是( C )
(A)22a b b =o (B)b a b a
=
o (C) 22a b a ab b =-+o (D) 10a b a b +=o 25. 在群G 中, ,,a b c G ∈, 则方程xaxba xbc =的唯一解为 ( D )
(A)11abca b -- (B) 111bca a b --- (C) 111a b a bc --- (D) 111a bca b ---
26．在6次对称群6S 中123456326514π??= ???
的阶是（ A ） (A) 5 (B) 24 (C) 12 (D) 6
31. 设R 是实数集, 则对任意的,a b R ∈, 代数运算a b a b =-o ( C )
(A) 适合结合律但不适合交换律 (B) 适合交换律但不适合结合律
(C) 不适合结合律和交换律 (D) 适合结合律和交换律
32. 设Q 是有理数集, 则对任意的,a b Q ∈,下列“o ”是代数运算的是( A )
(A) 2a b a b =+o (B)b a b a
=o (C) a b =o 10a a b =o 33. 在群G 中, ,a b G ∈, 则方程xaxb xb =的唯一解为 ( D )
(A)1aba - (B) 11a b -- (C) 11ba b -- (D) 1a -
34．在5次对称群5S 中1234532541π??= ???
的阶是（ B ）
(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5
37. 在16阶循环群()G a =中 , 循环子群6()a 的阶为 ( D )
(A) 6 (B) 3 (C) 4 (D) 8
40．若群G 的阶为48, G 的子群H 的阶为16，则H 在G 中的指数为( C )
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
2.若G 为群,,,a b c G ∈,则3211()b c a c --- 123c ac b -- .
3.循环群()a 的阶是50，则它的子群15()a 的阶是 10 . 5.n 次对称群n S 的阶为 !n .
6.假定B A ?,那么B A I A , B A Y B .
11.一个有限非可换群至少含有______ 6 ______个元素 .
14.5次对称群5S 的阶为 120 .
19.设G 是17阶群，则G 的生成元有 16 个.
28.若群的元a 的阶是15，b 的阶是8,且ab ba =, 则8a 和ab 的阶分别是 15 和 120 .
30. 若群G 的阶为60, G 的子群H 的阶为15，则H 在G 中的指数为 4 .
35. 若G 是由集合A 的全体一一变换所作成, 则G 是一个 变换 群.
1．设}4,3,2,1{=A ,则能找到A A ?到A 的一一映射. ( × )
7．有限群中存在某个元的阶无限. ( × )
1. 用循环置换的方法写出三次对称群3S 的全体元.说明集合})23(,)1({=N 是
3S 的子群,并且写出N 的所有左陪集.
解: )}132(),123(),23(),13(),12(),1{(3=S ,(2分) 因为N 是有限集合, 由
)1()1)(1(=,
)23()23)(1(=,)23()1)(23(=,)1()23)(23(=知N 是封闭的,所以N 是3S 的子群.(4分)
N 的全体左陪集为(6分):
)}23(),1{()23()1(==N N ,)}132(),12{()132()12(==N N ,
)}123(),13{()123()13(==N N
4.求出阶是32的循环群()a 的所有子群.这些子群是否都是不变子群.
解: 因为()a 为循环群,所以()a 为交换群,
又因为32的所有正整数因子为：1，2，4，8，16,36.
所以循环群()a 的所有子群为循环子群：
()a ，2()a ,4()a ，8()a ，16()a 360()(){}a a e ==.
并且这些子群都是不变子群.
7.找出对称群3S 的所有子群.
解:因为3{(1),(12),(13),(23),(123),(132)}S =，它的子群的阶只可能为：1，2，3，6.
所以它的所有子群为：
1阶子群1{(1)}H =；
2阶子群21{(1),(12)}H =，22{(1),(13)}H =，23{(1),(23)}H =；
3阶子群3{(1),(123),(132)}H =；
6阶子群3{(1),(12),(13),(23),(123),(132)}S =。
9.取对称群6S 的元1123456543216π??= ???和2123456623415π??= ???
,计算12ππ，112ππ-.
解: 1(15)(24)π=，2(165)π=，12(24)(56)ππ=, (或12123456143265ππ??= ???
) 112(15)(24)(165)(24)(56)ππ-==,（或112123456143265ππ-??= ???
）
12.求剩余类加群18Z 的所有生成元和所有子群.
解：因为剩余类加群18Z 是循环加群，
所以它的所有生成元为：[1],[5],[7],[11],[13],[17]；
所有子群为：([1]),([2]),([3]),([6]),([9]),([0]).
16.用循环置换的方法写出5次对称群5S 的元11234554321π??= ???和21234532541π??= ???
,
并计算12ππ，1212ππ-，1212πππ-.
解: 1(15)(24)π=，
2(135)π=，
12(53)(24)ππ=, (或121234514523ππ??= ???
)
1
212(35)(24)(135)(13)(24)ππ-==,（或12121234534125ππ-??= ???
） 1212(135)(35)(24)(15)(24)πππ-==. （或12121234554321πππ-??= ???
）
17.求出模48的剩余类加群48Z 的所有子群.这些子群是否是不变子群? 解: 因为48Z 为循环群,所以48Z 为交换群,
又因为48的所有正整数因子为：1，2，3，4，6，8，12，16,24，48. 所以模48的剩余类加群48Z 的所有子群为循环子群：
([1]), ([2]),([3]),([4]), ([6]), ([8]), ([12]), ([16]), ([24]), ([0]). 并且这些子群都是不变子群.
1. 设群G 中元a 的阶为n ，试证：m a e =当且仅当|n m .
证明: 必要性:
设m nq r =+, 其中,q r 为整数, 0r n ≤<,
那么有()m nq r n q r r a a a a a e +====,
由a 的阶为n 知0r =,即|n m .
充分性:
由|n m 可设m nq =, 其中q 为整数,
那么有()m nq n q q a a a e e ====,
8.若群G 的每一个元都适合方程2x e =，那么G 是交换群.
证明: 任取,a b G ∈, 可知2a e =，2b e =，2()ab e =,
所以 11,,a a b b --==
111()ab ab b a ba ---===
所以G 是交换群.
9.证明: 一个循环群必是一个交换群.
证明: 设循环群()G a =，任取,k l a a G ∈，则有
k l k l l k a a a a a +==
所以循环群G 是交换群.
12. 证明：有限群中元的阶都有限.
证明: 设G 是一个有限群，对任意的a G ∈，则元
432101234,,,,,,,,,,a a a a a e a a a a ----=L L
都是G 中元，且其中一定有相同元.
不妨设,j i a a j i =<，则有j i i i a a a a --=，即j i a e -=. 由0j i ->且为有限正整数得a 的阶为有限.
13. 证明: 阶为素数的群一定是循环群,且群中任意元都可作为群的生成元. 证明: 设G 是一个阶为素数p 的有限群,
则对任意的a G ∈,G 的循环子群123(){,,,,,}p a e a a a a =L 有p 个不同的元, 所以()G a =为循环群, 且群中任意元都可作为群的生成元.
1、设b a ,是群G 中的元素，且2||=a ，5||=b ，则10||=ab 。 (√ )
2、法则ab b a b a -+=ο不是自然数集N 上的一个代数运算。(√)
3、设集合},,2,1{n M Λ=，则M 上所有对换作成的集合是n 次对称群n S 的一个生成系。(√)
4、设M 是实数集，规定：0≥??ab b a ，则?是M 上的一个等价关系。( × )
5、交换群中任意两个子群的乘积仍是子群。(√)
7、设a 是循环群中一个元素，则>>=<8、若||||Y X =，则X 到Y 的映射?是满射当且仅当?是单射。(×)
3、试求置换)23)(13479(1=τ，)2468)(135(2=τ，???
? ??=462157376543213τ的阶。
4、任意集合上自身到自身的映射称之为置换。(×)
5、有限群中的元素的阶一定都有限。(√)
3、在群G 中设k a =||，则对任意整数s ，=||s a 。
4、设12()k h i i i =L 是n S 的一个-k 循环，则1h -= 。
1、在5S 中，令1234523154f ??= ???，1234513452g ??= ???
，计算1fgf -。 1、设G 是交换群，0n >为整数，令{|}n H a G a e =∈=，证明：H 是G 的子群。 1、在整数集Z 中，令2a b a b =+-o 。证明：Z 关于乘法“o ”构成一个群。
4、设>=
