2.3 随机变量的分布函数及其性质

X x
F ( x) PX x 0
当0≤x≤1, 可得
X x 0 X x F ( x) P X x kx 2
其中k为比例常数, 又因为P{0X 1}=1, 故k =1. 当x>1时, X x , F ( x) P X x 1
P{ X }
n
P{n X n 1}
n

n
{P( X n 1) P( X n)} {F (n 1) F (n)}
n n
lim F (n) lim F (n) 1
P( X C ) 1
则称这个分布为单点分布或退化分布，它的 分布函数为
0 x c F ( x) U ( x c) 1 x c
例2 向平面上半径为1的圆D内任意投掷一个质点, 以X表示该质点到圆心的距离. 设这个质点落在D中 任意小区域内的概率与这个小区域的面积成正比, 试求X的分布函数. 解 当 x<0时,
注2 任一函数F ( x ) 为分布函数的充分必要条件 为：F ( x )满足上述三条性质。 例 F(x), G(x)为两个分布函数,
0 1,
证明 F ( x) (1 )G( x) 为一分布函数。
二、举例
例1 设离散型随机变量X的概率分布为
X 0 1 ２
P
0.2 0.5 0.3
F (b) F (a)
] （ a
] b
定理1.（分布函数的特征性质）
(1)(非降性)F(x)是单调非降函数，即
x1 x2 , F ( x1 ) F ( x2 )
(2)(有界性) 0 F ( x) 1, xlim F ( x) 1,
lim F ( x) 0, 即F(+)=1,F(-)=0. x
(3)(右连续性) F ( x ) 右连续，即
F ( x 0) lim F (t ) F ( x)
t x 0
证明 （1） x1 x2
F ( x2 ) F ( x1 ) P{x1 X x2 } 0
F ( x1 ) F ( x2 )
（2）F ( x) P{X x}, 0 F ( x) 1
1
0.7
0.2
从图形上可以看出F(x)的单调非降右连续的函数， 满足分布函数的三条基本性质。 一般地，若离散型随机变量X的分布律为
P( X xk ) pk , k 1,2,
X P
x1 p1
x2 p2
… …
xk pk

… …
则其分布函数为
F ( x) P{ X x} pi p i U ( x xi )
0, x 0 U ( x) 1, x 0
0.2U ( x) 0.5U ( x 1) 0.3U ( x 2)
(2) P 1 X 1 F (1) F (1 0) 0.7
P{ X 3 1 }
或
P 1 X 1 P{ X 0 or 1} 0.7
x
lim F ( x) 1, lim F ( x) 0
x
（3）由于F(x)为单调非降函数，只须证明对于一
列单调下降的数列 x1 x2 xn x* 成立
lim F ( xn ) F ( x* )
n
F ( x1 ) F ( x* ) P{x* X x1} P{ ( xi 1 X xi )} [ F ( xi ) F ( xi 1 )]
P( X a) F (a) F (a 0)
请 填 空
P ( a X b) P ( a X b)
F (b) F (a 0)
F (b 0) F (a)
P(a X b) F (b 0) F (a 0)
注1 分布函数也可定义为 F ( x) PX x 这样定义的分布函数仍满足性质1－3，但性质3 应改为左连续性。
i 1

0 x 0 U ( x) 1 x 0
称为单位阶梯函数.
F ( x) PX x 0.7
当2≤x时,
X x ,
F ( x) P X x 1
从而归纳上述结果得
0, x 0 0.2, 0 x 1 F ( x) P{ X x} 0.7,1 x 2 1, x 2
xi x i 1
其中 表示对满足的 xi x 一切下标i求和。 x x
i
0 x 0 U ( x) 1 x 0
称为单位阶梯函数，
也称为Heavyside函数。
值得注意的是, F(x)是(-,+ )上的分段阶梯函数,
间断点就是随机变量X的取值点, 除最左边那段是 开区间外, 其余各段都是左闭右开的区间. 特别地，若随机变量以概率1取常数，即
综上所述, X的分布函数为
0 2 F ( x) x 1 x0 0 x 1 x 1
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1
1
总结
一、定义 二、举例
若离散型随机变量X的分布律为
P( X xk ) pk , k 1,2,
则其分布函数为
xi x
F ( x) P{ X x} pi p i U ( x xi )
i 1 i 1
F ( x 1 ) lim F ( xn )
n
lim F ( xn ) F ( x* )
n
用分布函数表示概率
P(a X b) F (b) F (a) P( X a ) 1 P( X a ) 1 F ( a )
（1）求X的分布函数F(x), 并画出F(x)的图形； （2）求 P 1 X 1 , P{ X 3}
解 (1)由于X只可能取, 0, 1, 2, 故 当x<0时,
当0≤x<1时,
X x ,
F ( x) P{ X x} 0
X x X 0 , F ( x) 0.2 当1≤x<2时, X x X 0 或 1 X 0 X 1
§2.3、随机变量的分布函数及其性质
一、定义 设 X 为 r.v., x 是任意实数,称函数
F ( x) P( X x), x
为X的分布函数(c.d.f.). 也常记为 FX ( x)
注１．用分布函数计算X落在(a,b]里的概率：
P ( a X b) P ( X b) P ( X a )