空间几何体的结构，三视图直观图、表面积及体积
1.几种常凸多面体间的关系
2.一些特殊棱柱、棱锥、棱台的概念和主要性质
名称棱柱直棱柱正棱柱
图形
定义有两个面互相平
行，而其余每相
邻两个面的交线
都互相平行的多
面体
侧棱垂直于底面
的棱柱
底面是正多边形的
直棱柱
侧棱平行且相等平行且相等平行且相等侧面的形状平行四边形矩形全等的矩形对角面的形状平行四边形矩形矩形
平行于底面的截面
的形状与底面全等的多
边形
与底面全等的多
边形
与底面全等的正多
边形
名称棱锥正棱锥棱台正棱台图形
定义有一个面是多
边形，其余各面
是有一个公共
顶点的三角形
的多面体
底面是正多边
形，且顶点在底
面的射影是底
面的中心
用一个平行于
棱锥底面的平
面去截棱锥，底
面和截面之间
的部分
由正棱锥截得
的棱台
侧棱相交于一点但
不一定相等
相交于一点且
相等
延长线交于一
点
相等且延长线
交于一点
侧面的形状三角形全等的等腰三
角形
梯形全等的等腰梯
形
对角面
的形状
三角形等腰三角形梯形等腰梯形
平行于与底面相似的与底面相似的与底面相似的与底面相似的
底的截面形状
多边形 正多边形 多边形 正多边形 其他性质
高过底面中心；侧棱与底面、侧面与底面、相邻两侧面所成角都相等
两底中心连线即高；侧棱与底面、侧面与底面、相邻两侧面所成角都相等
几种特殊四棱柱的特殊性质
名称 特殊性质
平行六面体 底面和侧面都是平行四边行；四条对角线交于一点，且被该点平分
直平行六面体 侧棱垂直于底面，各侧面都是矩形；四条对角线交于一点，且被该点平分
长方体 底面和侧面都是矩形；四条对角线相等，交于一点，且被该点平分
正方体
棱长都相等，各面都是正方形四条对角线相等，交于一点，且被该点平分
3．（1）正视图：物体前后方向投影所得到的投影图；它能反映物体的高度和长度； （2）侧视图：物体左右方向投影所得到的投影图；它能反映物体的高度和宽度； （3）俯视图：物体上下方向投影所得到的投影图；它能反映物体的长度和宽度； 三视图画法规则
高平齐：主视图与左视图的高要保持平齐 长对正：主视图与俯视图的长应对正 宽相等：俯视图与左视图的宽度应相等
空间几何体的直观图 （1）斜二测画法 ①建立直角坐标系，在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的OX ，OY ，建立直角坐标系；
②画出斜坐标系，在画直观图的纸上（平面上）画出对应的O ’X ’
,O ’Y ’
,使'''
X OY =450
（或1350
），它们确定的平面表示水平平面；
③画对应图形，在已知图形平行于X 轴的线段，在直观图中画成平行于X ‘
轴，且长度保持不变；在已知
图形平行于Y 轴的线段，在直观图中画成平行于Y ‘
轴，且长度变为原来的一半； ④擦去辅助线，图画好后，要擦去X 轴、Y 轴及为画图添加的辅助线（虚线）。 （2）平行投影与中心投影
平行投影的投影线是互相平行的，中心投影的投影线相交于一点投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影，投影线不垂直于投影面产生的投影叫做斜投影。物体投影的形状、大小与它相对于投影面的位置和角度有关。三视图指正投影
（3）射影：所谓射影，就是正投影其中，从一点到一条直线所作垂线的垂足，叫做这点在这条直线上的正投影。一条线段的两个端点在一条直线上的正投影之间的线段，叫做这条线段在这直线上的正投影
题型1.空间几何体的结构
例题1正方体ABCD —1A 1B 1C 1D 的棱上到异面直线AB ，C 1C 的距离相等的点的个数为（ c ）
A ．2
B ．3 C. 4 D. 5 【答案】：C
【解析】解析如图示，则BC 中点，1B 点，D 点，A1D1的中点分别到两异面直线的距离相等。即满足条件的点有四个，故选C 项 变式练习：到两互相垂直的异面直线的距离相等的点 （A ）只有1个 （B ）恰有3个 （C ）恰有4个 （D ）有无穷多个 【答案】 D
【解析】放在正方体中研究,显然，线段1OO 、EF 、FG 、GH 、HE 的中点到两垂直异面直线AB 、CD 的距离都相等，亦可在四条侧棱上找到四个点到两垂直异面直线AB 、CD 的距离相等、所以排除A 、B 、C ，选D 例2．两相同的正四棱锥组成如图1所示的几何体，可放棱长为1的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD 与正方体的某一个平面平行，且各顶．．点．
均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．无穷多个
解析：由于两个正四棱锥相同，所以所求几何体的中心在正四棱锥底面正方形ABCD 中心，有对称性知正四棱锥的高为正方体棱长的一半，影响几何体体积的只能是正四棱锥底面正方形ABCD 的面积，问题转化为边长为1的正方形的内接正方形有多少种，所以选D 。 题型2：斜二测画法
例3．C B A '''∆是正△ABC 的斜二测画法的水平放置图形的直观图，若C B A '''∆的面积为3，那么△ABC 的面积为_______________。
解析：62。点评：该题属于斜二测画法的应用，解题的关键在于建立实物图元素与直观图元素之间的对应关系。特别底和高的对应关系。
练习：一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且该梯形面积为2，则原梯形的面积为( )
A ．2 B. 2 C ．2 2
D ．4
解析：设直观图中梯形的上底为x ，下底为y ，高为h .则原梯形的上底为x ，下底为y ，高为22h ，故原梯形的面积为4，选D.
