高中数学第二章基本初等函数Ⅰ23幂函数预习导航学案新人教A版必修1

2.3 幂函数
预习导航
幂函数
名师点拨幂函数在第一象限内的指数变化规律：在第一象限内直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小，即指数大的在上边．
自主思考1幂函数y＝xα与指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)一样吗？
提示：不一样．幂函数y＝xα的底数是自变量，指数是常数，而指数函数正好相反，在
指数函数y＝a x中，底数是常数，指数是自变量．
自主思考2(1)在幂函数y＝xα中，如果α是正偶数(α＝2n，n为非零自然数)，如α＝2,4,6，…，这一类函数具有哪些重要性质？
(2)在幂函数y＝xα中，如果α是正奇数(α＝2n－1，n为非零自然数)，如α＝1,3,5，…，这一类函数具有哪些重要性质？
(3)幂函数y＝xα，x∈[0，＋∞)，α>1与0<α<1的图象有何不同？
提示：(1)重要性质：①定义域为R，图象都经过(－1,1)，(0,0)，(1,1)三点；②函数的图象关于y轴对称，即函数为偶函数；③函数在(－∞，0]上为减函数，在[0，＋∞)上为增函数．
(2)重要性质：①定义域、值域为R，图象都过(－1，－1)，(0,0)，(1,1)三点；②函数的图象关于原点对称，即函数为奇函数；③函数在R上单调递增．
(3)两者图象的区别和联系：无论α>1还是0<α<1，函数y＝xα在[0，＋∞)上的图象都是单调递增的，但在[0,1]上前者比后者增得慢，在(1，＋∞)上前者比后者增得快．。

§2.3 幂函数学习目标 1.了解幂函数的概念.2.掌握y ＝x α⎝ ⎛⎭⎪⎫α＝－1，12，1，2，3的图象与性质.3.理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征，能运用数形结合的方法处理幂函数的有关问题．知识点一 幂函数的概念思考 y ＝1x，y ＝x ，y ＝x 2三个函数有什么共同特征？答案 底数为x ，指数为常数．梳理 一般地，函数y ＝x α叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数． 知识点二 五个幂函数的图象与性质1．在同一平面直角坐标系内函数(1)y ＝x ；(2)(3)y ＝x 2；(4)y ＝x －1；(5)y ＝x 3的图象如图．2．五个幂函数的性质知识点三 一般幂函数的图象特征一般幂函数特征：(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)； (2)当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸； (3)当α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数；(4)幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y ＝x 对称；(5)在第一象限，作直线x ＝a (a >1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列．1．y ＝－1x是幂函数．( × )2．当x ∈(0,1)时，x 2>x 3.( √ ) 3．与定义域相同．( × )4．若y ＝x α在(0，＋∞)上为增函数，则α>0.( √ )类型一 幂函数的概念例1 已知是幂函数，求m ，n 的值． 考点 幂函数的概念 题点 由幂函数定义求参数值解 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －2＝1，2n －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－3，n ＝32或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝32.所以m ＝－3或1，n ＝32.反思与感悟 幂函数与指数函数、对数函数的定义类似，只有满足函数解析式右边的系数为1，底数为自变量x ，指数为常数这三个条件，才是幂函数．如：y ＝3x 2，y ＝(2x )3，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 24都不是幂函数．跟踪训练1 在函数y ＝1x2，y ＝2x 2，y ＝x 2＋x ，y ＝1中，幂函数的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 考点 幂函数的概念 题点 判断函数是否为幂函数 答案 B解析 因为y ＝1x2＝x －2，所以是幂函数；y ＝2x 2由于出现系数2，因此不是幂函数；y ＝x 2＋x 是两项和的形式，不是幂函数；y ＝1＝x 0(x ≠0)，可以看出，常数函数y ＝1的图象比幂函数y ＝x 0的图象多了一个点(0,1), 所以常数函数y ＝1不是幂函数． 类型二 幂函数的图象及应用例2 若点(2，2)在幂函数f (x )的图象上，点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，14在幂函数g (x )的图象上，问当x 为何值时，(1)f (x )>g (x )；(2)f (x )＝g (x )；(3)f (x )<g (x )．考点 幂函数的图象 题点 幂函数的图象与性质解 设f (x )＝x α，因为点(2，2)在幂函数f (x )的图象上，所以，将点(2，2)代入f (x )＝x α中，得2＝(2)α，解得α＝2，则f (x )＝x 2.同理可求得g (x )＝x －2.在同一坐标系里作出函数f (x )＝x 2和g (x )＝x －2的图象(如图所示)，观察图象可得：(1)当x >1或x <－1时，f (x )>g (x )； (2)当x ＝1或x ＝－1时，f (x )＝g (x )； (3)当－1<x <1且x ≠0时，f (x )<g (x )． 引申探究若对于本例中的f (x )，g (x )，定义h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧fx ，f x g x ，g x ，f xg x ，试画出h (x )的图象．解 h (x )的图象如图所示：反思与感悟 由幂函数的定义确定函数解析式，掌握幂函数的图象特点，数形结合可求解关于幂函数的不等式与方程．跟踪训练2 幂函数y ＝x α(α≠0)，当α取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一簇美丽的曲线(如图)．设点A (1,0)，B (0,1)，连接AB ，线段AB 恰好被其中的两个幂函数y ＝x α，y ＝x β的图象三等分，即有BM ＝MN ＝NA ，则αβ等于( )A ．1B ．2C ．3D ．无法确定考点 幂函数的图象 题点 幂函数的图象与性质 答案 A解析 由条件知，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，13，∴23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13β，13＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23α， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫13αβ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫13βα＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23α＝13， ∴αβ＝1.故选A. 类型三 幂函数性质的应用 命题角度1 比较大小例3 设则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >b >c B ．b >a >c C ．b >c >aD ．c >b >a考点 比较幂值的大小 题点 利用单调性比较大小 答案 B解析 ∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x在R 上为减函数，∴，即a <b ；在(0，＋∞)上为增函数，∴即a >c .∴b >a >c .故选B.反思与感悟 此类题在构建函数模型时要注意幂函数的特点：指数不变．比较大小的问题主要是利用函数的单调性，特别是要善于应用“搭桥”法进行分组，常数0和1是常用的中间量．跟踪训练3 比较下列各组数中两个数的大小：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫250.3与⎝ ⎛⎭⎪⎫130.3； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－1与⎝ ⎛⎭⎪⎫－35－1； (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫250.3与 考点 比较幂值的大小 题点 利用中间值比较大小 解 (1)∵0<0.3<1，∴y ＝x 0.3在(0，＋∞)上为增函数． 又25>13，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫250.3>⎝ ⎛⎭⎪⎫130.3. (2)∵y ＝x －1在(－∞，0)上是减函数， 又－23<－35，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－1>⎝ ⎛⎭⎪⎫－35－1. (3)∵y ＝x 0.3在(0，＋∞)上为增函数， ∴由25>0.3，可得⎝ ⎛⎭⎪⎫250.3>0.30.3.①又y ＝0.3x 在(－∞，＋∞)上为减函数， ② 由①②知命题角度2 幂函数性质的综合应用 例4 已知幂函数y ＝x 3m －9(m ∈N *)的图象关于y 轴对称且在(0，＋∞)上单调递减，求满足的a 的取值范围． 考点 幂函数的性质题点 利用幂函数的性质解不等式解 因为函数在(0，＋∞)上单调递减，所以3m －9<0， 解得m <3.又因为m ∈N *，所以m ＝1,2. 因为函数的图象关于y 轴对称， 所以3m －9为偶数，故m ＝1. 则原不等式可化为因为在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减，所以a ＋1>3－2a >0或3－2a <a ＋1<0或a ＋1<0<3－2a ， 解得23<a <32或a <－1.故a 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪a <－1或23<a <32. 反思与感悟 幂函数y ＝x α中只有一个参数α，幂函数的所有性质都与α的取值有关，故可由α确定幂函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，也可由这些性质去限制α的取值． 跟踪训练4 已知幂函数(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；(2)若函数还经过(2，2)，试确定m 的值，并求满足f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围． 考点 幂函数的性质题点 利用幂函数的性质解不等式 解 (1)∵m ∈N *，∴m 2＋m ＝m ×(m ＋1)为偶数． 令m 2＋m ＝2k ，k ∈N *，则f (x )＝2kx ，∴定义域为[0，＋∞)，在[0，＋∞)上f (x )为增函数． (2)∴m 2＋m ＝2，解得m ＝1或m ＝－2(舍去)，由(1)知f (x )在定义域[0，＋∞)上为增函数， ∴f (2－a )>f (a －1)等价于2－a >a －1≥0，解得1≤a <32.1．已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＋α等于( )A.12B ．1C.32D ．2 考点 幂函数的概念 题点 由幂函数定义求参数值 答案 C解析 由幂函数的定义知k ＝1.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝22，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝22，解得α＝12，从而k ＋α＝32.2．以下结论正确的是( )A ．当α＝0时，函数y ＝x α的图象是一条直线 B ．幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)两点C ．若幂函数y ＝x α的图象关于原点对称，则y ＝x α在定义域内y 随x 的增大而增大 D ．幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限 考点 幂函数的综合问题 题点 幂函数的综合问题 答案 D3．设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，1，12，3，则使函数y ＝x α的定义域为R 的所有α的值为( )A ．1,3B ．－1,1C ．－1,3D ．－1,1,3 考点 幂函数的定义域和值域 题点 幂函数的定义域 答案 A4．若a <0，则0.5a,5a,5－a的大小关系是( ) A ．5－a<5a <0.5aB ．5a <0.5a <5－aC ．0.5a<5－a<5a D ．5a<5－a<0.5a答案 B解析 5－a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15a ，因为a <0时，函数y ＝x a 在(0，＋∞)上单调递减，且15<0.5<5，所以5a <0.5a <5－a.5．先分析函数的性质，再画出其图象． 考点 幂函数的图象 题点 幂函数的图象与性质解 ＝3x 2，定义域为R ，在[0，＋∞)上是上凸的增函数，且是偶函数，故其图象如下：1．幂函数y ＝x α(α∈R )，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x 为自变量，指数α为常数，这是判断一个函数是不是幂函数的重要依据和唯一标准．2．幂函数y ＝x α的图象与性质由于α的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查：(1)当α＞0时，图象过点(0,0)，(1,1)，在第一象限的图象上升；当α＜0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立．(2)曲线在第一象限的凹凸性，当α＞1时，曲线下凸；当0＜α＜1时，曲线上凸；当α＜0时，曲线下凸．3．在具体应用时，不一定是y ＝x α，α＝－1，12，1,2,3这五个已研究熟的幂函数，这时可根据需要构造幂函数，并针对性地研究某一方面的性质.一、选择题1．下列函数中是幂函数的是( ) A ．y ＝x 4＋x 2B ．y ＝10xC ．y ＝1x3D ．y ＝x ＋1考点 幂函数的概念 题点 判断函数是否为幂函数 答案 C解析 根据幂函数的定义知，y ＝1x3是幂函数，y ＝x 4＋x 2，y ＝10x ，y ＝x ＋1都不是幂函数．2．已知y ＝(m 2＋m －5)x m是幂函数，且在第一象限内是单调递减的，则m 的值为( ) A ．－3 B ．2 C ．－3或2 D ．3考点 幂函数的性质 题点 幂函数的单调性 答案 A解析 由y ＝(m 2＋m －5)x m 是幂函数，知m 2＋m －5＝1，解得m ＝2或m ＝－3.∵该函数在第一象限内是单调递减的，∴m <0.故m ＝－3.3．已知幂函数(n ∈Z )的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为( ) A ．－3B ．1C ．2D ．1或2考点 幂函数的性质 题点 幂函数的单调性 答案 B解析 由于f (x )为幂函数，所以n 2＋2n －2＝1，解得n ＝1或n ＝－3，经检验只有n ＝1符合题意，故选B.4．在同一坐标系内，函数y ＝x a(a ≠0)和y ＝ax －1a的图象可能是( )考点 幂函数的图象题点 幂函数有关的知图选式问题 答案 C解析 选项A 中，幂函数的指数a <0，则直线y ＝ax －1a应为减函数，A 错误；选项B 中，幂函数的指数a >1，则直线y ＝ax －1a应为增函数，B 错误；选项D 中，幂函数的指数a <0，则－1a >0，直线y ＝ax －1a在y 轴上的截距为正，D 错误．5．已知f (x )＝x 12，若0<a <b <1，则下列各式中正确的是( )A ．f (a )<f (b )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a <f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1b B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a <f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1b <f (b )<f (a ) C ．f (a )<f (b )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1b <f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a <f (a )<f⎝ ⎛⎭⎪⎫1b <f (b ) 考点 比较幂值的大小 题点 利用单调性比较大小 答案 C解析 因为函数在(0，＋∞)上是增函数，又0<a <b <1b <1a，故f (a )<f (b )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1b <f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，故选C.6．设则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >c >b B ．a >b >c C ．c >a >bD ．b >c >a考点 比较幂值的大小 题点 利用单调性比较大小 答案 A解析 根据幂函数与指数函数的单调性直接可以判断出来，在x >0时是增函数，所以a >c ，y＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25x在x >0时是减函数，所以c >b ，所以a >c >b . 7．如图，图中曲线是幂函数y ＝x α在第一象限的大致图象，已知α取－2，－12，12，2四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的α的值依次为( )A ．－2，－12，12，2B ．2，12，－12，－2C ．－12，－2,2，12D ．2，12，－2，－12考点 幂函数的图象 题点 幂指数大小关系问题 答案 B解析 令x ＝2，由图知C 1，C 2，C 3，C 4对应纵坐标依次减小，而故选B. 8．对于幂函数f (x )＝x ，若0<x 1<x 2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，f x 1＋f x 22的大小关系是( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22>f x 1＋f x 22B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22<f x 1＋f x 22 C ．f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＝f x 1＋f x 22 D ．无法确定 考点 幂函数的图象 题点 幂函数的图象与性质 答案 A解析 幂函数f (x )＝x 在(0，＋∞)是增函数，大致图象如图所示．设A (x 1,0)，C (x 2,0)，其中0<x 1<x 2，则AC 的中点E 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，0，|AB |＝f (x 1)，|CD |＝f (x 2)，|EF |＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22.∵|EF |>12(|AB |＋|CD |)，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22>f x 1＋f x 22，故选A.二、填空题9．判断大小：5.25－1________5.26－2.(填“>”或“<”)考点比较幂值的大小题点利用中间值比较大小答案>解析∵y＝x－1在(0，＋∞)上是减函数，5.25<5.26，∴5.25－1>5.26－1；∵y＝5.26x是增函数，－1>－2，∴5.26－1>5.26－2.综上，5.25－1>5.26－1>5.26－2.10．函数f(x)＝(x＋3)－2的单调增区间是________．考点幂函数的性质题点幂函数的单调性答案(－∞，－3)解析y＝x－2＝1x2的单调增区间为(－∞，0)，单调减区间为(0，＋∞)，y＝(x＋3)－2是由y ＝x－2向左平移3个单位得到的．∴y＝(x＋3)－2的单调增区间为(－∞，－3)．11．已知幂函数f(x)＝x(m∈Z)的图象与x轴、y轴都无交点，且关于原点对称，则函数f(x)的解析式是________．考点求幂函数的解析式题点求幂函数的解析式答案f(x)＝x－1解析∵函数的图象与x轴、y轴都无交点，∴m2－1<0，解得－1<m<1.∵图象关于原点对称，且m∈Z，∴m＝0，∴f(x)＝x－1.三、解答题12．已知幂函数f(x)＝x(m∈Z)在(0，＋∞)上单调递减，且为偶函数．(1)求f(x)的解析式；(2)讨论F(x)＝af(x)＋(a－2)x5·f(x)的奇偶性，并说明理由．考点幂函数的综合问题题点幂函数的综合问题解(1)由于幂函数f(x)＝x在(0，＋∞)上单调递减，所以m2－2m－3<0，求得－1<m<3，因为m∈Z，所以m＝0,1,2.因为f(x)是偶函数，所以m＝1，故f(x)＝x－4.(2)F (x )＝af (x )＋(a －2)x 5·f (x )＝a ·x －4＋(a －2)x .当a ＝0时，F (x )＝－2x ，对于任意的x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)都有F (x )＝－F (－x )， 所以F (x )＝－2x 是奇函数；当a ＝2时，F (x )＝2x 4，对于任意的x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)都有F (x )＝F (－x )， 所以F (x )＝2x 4是偶函数； 当a ≠0且a ≠2时，F (1)＝2a －2，F (－1)＝2，因为F (1)≠F (－1)，F (1)≠－F (－1)，所以F (x )＝a x 4＋(a －2)x 是非奇非偶函数．13．已知幂函数f (x )的图象过点(25,5)．(1)求f (x )的解析式；(2)若函数g (x )＝f (2－lg x )，求g (x )的定义域、值域．考点 幂函数的综合问题题点 幂函数的综合问题解 (1)设f (x )＝x α，则由题意可知25α＝5，∴α＝12，∴f (x )＝x . (2)∵g (x )＝f (2－lg x )＝2－lg x ，∴要使g (x )有意义，只需2－lg x ≥0，即lg x ≤2，解得0＜x ≤100.∴g (x )的定义域为(0,100]，又2－lg x ≥0，∴g (x )的值域为[0，＋∞)．四、探究与拓展14．(2017·黄冈检测)为了保证信息的安全传输需使用加密方式，有一种方式其加密、解密原理为：发送方由明文到密文(加密)，接收方由密文到明文(解密)．现在加密密钥为y ＝x α(α为常数)，如“4”通过加密后得到密文“2”．若接收方接到密文“3”，则解密后得到的明文是________．考点 求幂函数的解析式题点 求幂函数的解析式后再求值答案 9解析 依题意有2＝4α，∴α＝12.∴当y ＝3时，x ＝3，得x ＝9.15．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ a x ，x ≤0，3a －x ，x >0(a >0，且a ≠1)是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是________．考点 幂函数的性质题点 幂函数的单调性答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13 解析 当x ≤0时，由f (x )＝a x为减函数，知0<a <1；当x >0时，由f (x )＝3a －x 为减函数，知a ∈R ，且要满足a 0≥3a ，解得a ≤13.综上可知，实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13.。

幂函数【教学目标】1．通过生活实例引出幂函数的概念，会画幂函数的图象，了解幂函数图象的变化情况和性质；2．了解几个常见的幂函数的性质，了解幂函数和指数函数的本质区别；3．应用幂函数的图象和性质解决有关简单问题，培养学生观察分析归纳能力．【重点难点】重点：从五个具体的幂函数中认识幂函数的概念和性质．难点：画幂函数的图象并由图象概括其性质是教学中可能遇到的困难．【教学过程】一、情景设置1．①如果正方体的边长为a，则正方体的体积V随a变化的函数关系是_______．②如果正方形的面积为S，则正方形的边长a随S变化的函数关系是_______．a=S 12③如果某人ts内骑车行进了1km，那么他骑车的速度v随t变化的函数关系是_______．以上是我们生活中经常遇到的几个数学模型，①你能发现以上几个函数解析式有什么共同点吗？②它们是否都为指数函数？2．你能画出函数y=x，y=x2，y=x 12，y=x1，y=x3的图象吗？3．通过对以上五个函数图象的观察，哪个象限一定有幂函数的图象？哪个象限一定没有？哪个象限可能有？这时可通过什么途径来判断？4．通过对以上五个函数图象的观察，你能得出它们的性质吗？(2) y=x，y=x3，y=x1是奇函数，y=x2是偶函数，y=x 12是非奇非偶函数；(3)在区间(0,+∞)上，y=x，y=x2，，y=x3，y=x 12都是增函数，y=x1是减函数；(4)在第一象限内，y=x1向上与y轴无限接近，向右与x轴无限接近；(5)在第一象限内，y=x2，，y=x3向下凸，y=x 12向上凸．二、教学精讲例1．判断下列函数哪些是幂函数？①y=0.2x ；②y=2x 2；③y=x 2+x ；④y=-x 3；⑤y=x3 例2．已知y=(m 2)x 1m 21+2n 3是幂函数，求m ，n 的值．得⎩⎪⎨⎪⎧m 2+2m 2=1m 21≠02n 3=0解得⎩⎪⎨⎪⎧m=3n=32为例3．求下列幂函数的定义域，指出其奇偶性、单调性，并画它们的大致图象．①y=x 13；②y=x2；③y=21-x例4．比较下列各组数的大小： ①253-和251.3-；②4.125，328.3-，(-1.9)35 ：①253- >251.3-；②(-1.9)35<328.3-<4.125三、探索研究 四、课堂练习1． 若幂函数y=f(x)的图象过点(9,13)，则f(25)的值是______．152． 作出函数y=32-x的图象，根据图象讨论这个函数有哪些性质． 3． 比较大小 ①211.1-, 219.0- ②4316.0-,235.0-, 6.2538 ①211.1-<219.0- ②6.2538<235.0-<4316.0-【教学后记】。

§2.3.1幂函数一．教学目标：1．知识技能（1）理解幂函数的概念；（2）结合这几个幂函数的图象，理解幂函数图象的变化情况和性质;(3)通过观察、总结幂函数的性质，培养概括抽象和识图能力；进一步体会数形结合的思想。

2．过程与方法类比研究一般函数，指数函数、对数函数的过程与方法，后研究幂函数的图象和性质. 3．情感、态度、价值观（1）进一步渗透数形结合与类比的思想方法；（2）体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性.二．教学重难点重点：从五个具体的幂函数中认识的概念和性质难点：从幂函数的图象中概括其性质三.教学准备（1）学法：通过类比、思考、交流、讨论，理解幂函数的定义和性质 ;（2）教学用具：多媒体四．教学过程：【引入新知】阅读教材P77的具体实例（1）~（5），思考下列问题.思考：以上各题目的函数关系分别是什么？具有什么共同特征？让学生独立思考后交流，引导学生概括出结论：【课堂探究】比较下列两组函数有什么区别？αx y==，其中x是自变量，α是常数.1、上述的问题涉及到的函数，都是形如：y xα思考：（1）你学过的函数中哪些是幂函数？（2）一次函数、二次函数都是幂函数吗？注意：幂函数解析式的结构特征？在同一坐标系中分别作出如下函数的图象：观察图象，说一说它们有什么共同特征？结论：在第一象限内，当a>0时，图象随x增大而上升当a<0时，图象随x增大而下降共同特征：【课堂训练】例1、下列函数中，哪几个函数是幂函数点评：幂函数的解析式的形式，特征可归纳为“两个系数为１，只有１项。

”例2．证明幂函数()[0,]f x x =+∞在上是增函数注意:掌握证明函数单调性的方法和基本模式.【课时小结】1.学习了幂函数的概念；2.掌握幂函数在第一象限内的图象特征，能根据奇偶性完成整个函数的图象;3.利用函数的单调性比较几个“同指数不同底数”的幂的大小.【课后作业】P79 习题2.3 第1、2题五、板书设计六、课后反思§2.3.1幂函数1、由实例（1）~（5）得出幂函数的定义；2、探究幂函数的图象和性质；3、总结幂函数的图象和性质；4、例题分析和课堂练习。