一道课本例题引发的探究

的讲 解 ．
入静 的课 堂 ，一 定是平静 的表层 下裹着 的热
烈．学生在宁静中涵涵品味，他们 的思想是活跃的， 情感是奔放 的，心灵是 自由的 ，思维的列车在宁静
中驶 向远 方 ．
入静是一种高度 ，入静是一种境界 ．入静如 山 之静默 ，入静如水之潺溪 ，入静是 “ 春雨惊 出清谷 天” ，入静是 “ 于无声处 昕晾雷” ．入静的数学课 堂深深扎根于科学和艺术 的广袤 的大地 ，是最朴实 而 又 高效 的 ． 这 样 的数学 课 ，真好 ！
１ 问题 的提 出 苏 教版 数学 选修 ２ ． １第二 章 Ｐ ２ ９ “ 圆锥 曲线 和方 程” 中例 ２ ：将 圆 Ｘ ＋Ｙ ＝４上 的点 的横 坐 标保 持 不
变 ，纵坐标变为原来的一半 ，求所得曲线 的方程 ， 并说明它是什么 曲线 ． 本题 求 曲线 方程 所采 用 的方法 是“ 坐标 转移法 ” ， 即利 用中 间变 量 所在 的 已知 曲线 方程得 到动 点 的轨 迹 方程 ．除此之外 ，它还揭示 了椭 圆和圆之 间的内 在联系 ：椭 圆可用圆通过伸缩变换得到 ．教学中 ， 笔者就该题进行了一次教 学尝试 ，在学生理解这种
师 ：这 种 变 换 我们 称 之 为伸 缩 变 换 ，它把 圆变
以变换 前后 直线 和（ 椭） 四之 间 的位置 关系 不变 ． 性 质 ｌ伸缩 变换 后 ，点变 成点 ；直线 变成 直线 （ 斜率 改变 ）；曲线 变成 曲线 （ 弯 曲程度 改变 ） ．若 点 （ 不 ）在 线 上 ，变 换 后 的点 （ 不 ）在 线 上 ；若直 线 与 直线 平 行 或相 交 ，变换 后 仍 平行 或相 交 ；若直
２ ． １情境创设 ，引入课题 首先出示例题让学生求出动点的轨迹方程 ． 生 １ ：设 所求 曲线 上任一 点坐 标为 （ Ｘ ， ），与 圆

2020年第12期中学数学教学参考（下旬）•论荟萃www zhongshucon com一+，可得胃=一+，解得A=_7,此时直线/的方 程为:c+2j y— 5 =0;当直线，过线段A B的中点M(4,吾)时，将点从(4，音)代人直线/的方程中，可得—171) —3A—1=0,则A=_y，可得直线/的方程为:r—63/+11=0。

综上可知，直线/的方程为x+2y—5 =0或x_ 6；y+l l=0。

解决直线与方程问题的关键是正确掌握相关的概念、直线方程、直线的位置关系等知识点。

因一般求解时涉及内容较多，需要灵活运用数形结合、分类讨论和函数等思想。

因此，学生要注意常见错解类型的收集，有针对性地总结其原因，剖析症结，及时纠错。

一道教材例题的解法探究赵建慧（甘肃省武威第六中学）摘要：教材例题的讲解重在思路点拨，通过对教材中的典型例题进行一题多变、一题多解的探究，可拓展学生的思维•促使其不仅“学会”，而且“会学”。

关键词：例题；距离公式；弦长公式；数形结合文章编号：1002-2171(2020)12-0074-021例题呈现(人教A版《数学》（选修2-1)第69页例4)斜率 为1的直线/经过抛物线y=4r的焦点F，且与抛物 线相交于A,B两点，求线段的长。

2解法探究2.1利用两点间的距离公式求解解法 1:因为 y=4x，所以 2/) =4，/>=2,则 F(l，〇),所以直线/的方程为3»=1_1。

联立方程U得x2—6x+l=0,由求根公[y=4x,式得 xi= 3 + 2 jy] = 2 + 2 v^"，j：2= 3 —2 a/2 ,y2=2-2V2^'J A(3 + 2 72,2 + 2 V2),B(3-2V2,2-2 W)，所以由两点间的距离公式可得I A B丨=v/(j：2—x,)2+(^2—^1)z=8.,2.2利用弦长公式求解解法2:因为/=4jc，所以2P=4,P=2,则F(l,〇)，所以直线/的方程为3^=1 —1。

（ ２ ） 若 （ 非零常数 ） ， 则直线Ａ 过定点．
结论 １ 中的条件 上Ｏ Ｂ 等价 于 叩 ＝ 一 １ ，若将此 条
Ｎ ｅ ｏ ｎ 中。 ？ 擞・ ？
教 教
案例 点评
２ ０ １ ３年 ４月
（ ３ ） 看 直 线ＭＡ， ＭＢ的倾 斜 角 分 别 为 ， 且
＝ （ ０ ＜
，
结论３ ： Ａ、 Ｂ 是抛物线／＝ ２ ｐ （ ｐ ＞ ０ ） 上异 于顶 点的两 动
点， Ｍ（ ｘ 。 ， ｙ ｏ ） 为抛物线 上一定 点 ， 过腓 两条弦Ｍ Ａ， ＭＢ ．
２
ｎ
过定点 （ ２ ｐ ， ０ ） ， 即证
（ １ ） 若 心 Ｉ ｊ ｝ 肋 ｍ（ 非零常数 ） ， 则直线４ 曰 过定 点 ；
０
，
因为Ｙ １ ≠０ ， ｙ ２ ＃Ｏ ， 所１ ￣ ） ｙ ｆ ２ 一 ｐ ２ ， 所 以 ２ ＝ ４ ／ ９ ２ ．
（ ２ ） 设 直线Ａ Ｂ 的方 程为ｘ ＝ ｍ ｙ ＋ ｎ ， Ａ（ Ｙ ） ， Ｂ （ ｘ ， Ｙ ） ， 易知ｎ ≠０ ， ￣ １ ］ ｘ － ｍ ｙ ．１ ．
／ ＝ ２ ｐ （ ｐ ＞ ０ ） 上异于顶点的两动点且０ Ａ上０ ， Ｏ Ｍ￣Ａ Ｂ 并
（ １ ） 若 ｆ （ 常 数 ） ， 则 直 线 ４ Ｂ 过 定 点 （ 一 ２ ＋ ｐ ＿ ， ０ ） ；
与Ａ Ｂ 相交于点 ， 求 点的轨迹方程．
事实上 ， 此例题不仅 可以求出 关 的定值定点问题． 二、 相 关 结 果
因为Ｏ Ａ上Ｏ Ｂ ， 所 以ｋ
一 １ ， 所 以Ｘ Ｉ Ｘ ２ １ ｙ ２ － － Ｏ ．
则 直 线 Ａ Ｂ 的 方 程 为 ｘ ＝ ｍ ｙ 一 ＝ （ ｙ 一 ） ， 故 直 线

源于课本的一道中考题的解法探究解法探究 -- 一道中考题目随着人类文明的发展，数学知识在日常的学习、工作、生活中起着极其重要的作用，加强数学知识的学习，可以极大地拓宽学生的视野，提升他们的分析能力和思维水平，以及理解力和处理能力。

作为检测学生对数学知识的掌握能力的考试，中考题目更加充分反映出学习过程中考生对于数学知识的掌握程度。

针对中考数学考题，下面就一道典型的中考题目进行解法探究:小明米其林去年买了一台电脑，今年半年以来，用去三分之一的费用去养护电脑，如果小明每次养护的费用相同，那么他在这半年以来，一共养护电脑多少次？探究解法：1.首先，我们来思考这道题的基本思路，其中涉及到以下内容：小明米其林去年买了一台电脑，半年以来用三分之一的费用养护电脑。

由此可知，养护电脑时所花费的费用为电脑购买费用的三分之一，即1/3；2.接下来，我们来解答这道题目。

首先，由题目可知，小明在半年的时间内共花费的费用为1/3，而且，每次养护费用相同；根据此情景，可以将其用数学公式简化，即1/3=XG，其中X为一次养护的费用，G为养护次数；3.将上述简化数学公式求解，得G=3/X，即养护次数等于1/3除以一次养护的费用；4.最后，根据题目中每次养护费用相同这一约束条件，因此可以得出最终答案，即小明在半年以来一共养护电脑多少次，为3次。

以上就是对一道典型的中考数学题的解法探究，可以看出，解决这道题，我们需要仔细分析题目所涉及的内容，进行简化，从而推导出相应的算式，最终利用数学知识求解出最终答案。

有效地把握这个方法，有助于学生在考试中有效地答题，做出正确结果。

此外，在这里还有一些指导性的建议，在学习数学知识时，最重要的是要注意思维的合理推导，因为这是做题的核心环节，只有经过正确的推理才能得出正确的结果；另外，在学习数学过程中，也要注意把握基本的计算原理，坚持每天练习；坚持数学思维的强化练习，注意增强各种技巧的熟练度，这样能够大大提升一个学生在数学考试中的发挥水平，有助于考生在中考中取得更好的成绩。

４ 当且仅当一 一 ， ＜ ￣ｋ一 时， ＝ １ ｆ ＝ 且ｋＯ ＝２ 取“ ”．
ｙ
二 、 向 探 究 逆
由 上述 几种 解 法 不 难 知 道 ， △ Ｏ 面 积 最 小 时 ， Ｐ 线 当 Ｂ 点 是 段 Ａ 中点 ． 么 ， 之 成 立 吗 ？ 口 那 反 问题 ： 平 面 直 角 坐 标 系 ｘ ｙ 在 Ｏ
修五Ｐ ０ ９ 中的例 ３第 三章《 ， 不等式》 中的一道例题．
本 题 自然 质朴 ， 法 较 多 ， 合 了解 析 几 何 、 解 综 函数 、 等式 等 不 重 要 内容 ， 留给 考 生 后 继 的 探 究 空 间 很 大 ， 探 究 的 结论 具有 一 且
ｔｎ 一 ） 只是 刻 画直 线 倾 斜 度 的 不 同表 现 形 式 而 已． ａ（ ０ ，
４、
０则 Ｏ １ — ， Ｂ ２ ｔ ０ ， ＝ ＋ 兰 Ｏ ＝ ＋ａ ． ｎ
ｔ ｎ０ ａ
１
２
．
０ １
图 １
Ａ＼
贝 ＡＡ０ 的 而 积ｓ Ａ ＝ １Ｏ Ｏ ４ 曰 △（ Ａ・Ｂ
ｒ １ ＼・ Ｊ ２ ｌ
图２
高 版 ？ ７ ≮ 巾 中・擞，誓繁０
用 基 本 不 等 式 求 最值 ． 实 上 ． ＋２： 事 因为 １
．
￣ 的 积 Ｏｏ 一） ｊ ｒ Ｄ 面５ ＡＢ （ ） Ａ ‘＝ ２ 一
．
本 质 上 也 只 是 一
Ⅱ
ｂ
个 变 量．
＝
２ ［ ）一１＋× ） ＋ （ ＋ ，２ ２ × ， ｛一 ｃ ≥｛ 、 ｃ ／ 一
思 路 ｌ 一 元 函数 模 型 ） ｆ
“
由 Ｉ ＋ ２≥２ ＿
＝

对一道课本例题的多解探究及教学反思在教学过程中，常常会遇到一些例题，这些例题既能帮助学生巩固知识，又能训练他们的思维能力。

然而，经过一段时间的教学实践，我发现学生在解答例题时，通常只能掌握一种解题方法，缺乏灵活运用的能力。

为了提高学生的多解思维能力和解题技巧，我进行了一次关于一道课本例题的多解探究，并进行了相应的教学反思。

这道例题是关于求解二次方程根的问题：已知二次方程 x² - 5x + k = 0 有两个不相等的实根 m 和 n，且 m、n的和为 10，求 k 的值。

这道题目是一个典型的二次方程求解问题，解题思路及方法多种多样。

在进行多解探究时，我引导学生按照不同的思路和方法进行解答，并比较其优劣和适用性。

解法一：使用求和、求积关系根据题意可得：m + n = 10，mn = k。

由二次方程的求根公式可知：m + n = 5，mn = k。

通过联立这两组方程，可以求解出 m 和 n 的值，进而得到 k 的值。

解法二：使用平方差公式根据题意可得：m + n = 10，mn = k。

在代入二次方程的求根公式时，可以利用平方差公式将二次项进行拆分，进而求解出 m 和 n 的值，从而得到 k 的值。

解法三：使用因式分解思路根据题意可得：m + n = 10，mn = k。

我们可以将二次方程进行因式分解，将 x² - 5x + k = 0 变形为 (x - m)(x - n) = 0 的形式，通过比较系数可以求解出 m、n 的值，从而得到 k 的值。

通过对以上三种解法的探究，学生们发现了不同的思路和方法，并且比较了它们的优劣和适用性。

这种多解思维的培养有助于学生的创新思维能力和解题技巧的提高。

在教学中，我还可以引导学生探究更多的解题方法，培养他们的灵活性和思考能力。

在教学实施过程中，我结合多媒体教学手段，通过展示课本例题的多种解法，激发学生的学习兴趣和求知欲。

我注意引导学生思考每种解法的优缺点，并帮助他们总结出适用场景和适用对象。

２ｆ ＿＼ ２
２ｓｎ ｉａ
１ｏ０ ＿ｓ ｃ２ ２
（ 笔者追问 ： 为什么？其 回答是三角公式多 ， 可能好处理一些． ）
学 生２ 因为 已知 了一 角 ， 求 面积 ， 想 用 这 个 角 的两 边 为 ： 要 我 变 量 ， 时 知 道 该 角 的对 边 ， 余 弦 定 理 把 一 边 用 另一 边 表 示 ， 同 由
时， 户 △Ａ Ｑ的面 积 最大 ？
２ ．探 求
教 师 ： 生 ４ 结 论 提 出 了可 能 的结 果 。 同学 们 选 择 某 一 学 对 请
方 向解 题 ． 验证 其 猜 想．
５ 钟内， 分 笔者 巡 视 中发 现 一 些解 法并 指 定 学 生 把其 解答 书
写 到 黑 板 上 ．（ 便 起 见 ， 中把 学 生 在 本 题 中所 设 未 知 量 统 一 方 文 改 为 ： Ａ ，Ｑ ａＡ ＝ ， ＝ ， ４ Ｑ ， Ｑ － ， 中 ， 设 Ｐ ＝ ， Ｐ ｘＡＱ ｙ 厶 尸 ＬＡ Ｐ 其 ￣ ａ 为定值 ）
一
ｃｓ ＋２ａ＝ ， 得 一 ｏａ ｙ－２Ｏ 解 ：
又擦 了 ）
（ 图 明显 ， 求 根 公 式 写 了 ， 意 用 但
学 生７ 如 图２ 作Ａ ： ， 日上— 户 Ｑ于日点 ， ＬＰ Ｈ ｌＬＱ Ｈ＝ Ｉ 设 Ａ ， Ａ Ｏ，
Ａ Ｈ＝ｈ
般要作图 ． 选用四个公式（ 弦、 正 余弦定理 ， 面积公式 ， 内角和
Ｚ
３ ．反 思
教 师点 评 ： 三位 学 生 的解 题 方 法 是你 们 主要 的解 法 ， 部 这 大 分 学生 用 了学 生５ 的解 法 ， 因为 开 始 时也 有 不少 的 同学用 了学 生６ 的思 路 ， 基 本 上 都 但 改 弦 易辙 了 ， 也是 “ 俊杰 ” 的一 种 表 现 ， 还有 少 部 分 同学 用 了学 生 ７ 的解法．不 论 怎么 说 ， 学生４ 猜想 成 立 了 ！ 的

一道课本习题的推广探究习题的作用是让学生熟悉教材，把所学的内容融会贯通，总结思路，进行系统拓展引发思考，提高学生的学习能力和独立思考能力。

推广性习题是在原习题基础上由学生自主编写，扩展题干深入探究，思考与解答把控深度。

它有利于提升学生的分析和解决问题的能力，熟悉并发现教学内容，利用自身所知深入探究，并结合实际实践及其他科目等，把所学概念运用起来。

首先，我们来看一个有关几何的习题。

该习题内容是：“如果一个空心正方形，正方形的边长为a，求出其内切圆的半径r”。

该习题可推广为：“已知正方形ABCD，设角A=α，求出内切圆的半径r”。

推广这一习题要求学生能够利用空间几何的知识，结合实际情况，具体分析解决问题的过程，如求出角α的具体值，再求出r的值。

这将激发学生的独立思考和合作能力，让学生根据教材要求学习知识，学以致用，会计算角的大小，熟悉角的变化，从而让学生掌握推广习题的解决方法。

此外，学生还可以结合实际实践进行推广性习题的探究，如：罗振宇在《小小大世界》中提出，“只要确定一个特性，便可解决所有复杂问题”，那么我们可以利用几何，逐步推广习题，只要确定正方形中角α的值，我们就可以求出内切圆的半径r。

推广习题的探究就是在概念学习的基础上，将学习的概念与实践联系起来，将学习的内容与实践联系起来，以及将抽象的概念与具体的问题联系起来，将课本的内容转化为学习的实践，形成一种学习方式，从而提高学习能力。

推广习题的探究，不仅可以激发学生自主性，而且能够培养学生的心理、思维、认知和表达能力，培养学生的解决问题的能力，以及考虑问题的方式和态度。

推广习题的解决方法，要求学生思考的内容有：1、了解和掌握概念背景；2、运用知识解决实际问题；3、分析和探究问题；4、举一反三，把所学概念运用起来。

总之，推广习题探究代表着科学教育的发展方向，旨在提高学生的思维能力和认知能力，让学生发现学习内容中的规律，从而把所学概念运用起来，进一步提升学习能力。

方形 Ｂ ｃＤ ． 接下来 ， 们可 以从 点 的对 称 角度对 此 我
国标苏科版教材九年级上册 ２ ４页例 ６ １ ： ［ ］ 已知 ： 如图 １ Ｅ、 Ｇ、 ， Ｆ、 Ｈ分 别是 正 方 形 Ａ Ｃ 各 边 的 中 ＢＤ
点 ，Ｆ、 Ｇ Ｃ Ｄ Ａ Ｂ 、Ｈ、 Ｅ分别相交于
点 Ａ 、 、 Ｄ ． Ｂ Ｃ 、
问题进行 引伸 ， 到一 些有价值的结论． 得 引伸 １ 若点 Ｅ在线 段 Ａ Ｂ上运 动 ， Ｆ Ｇ 日作 相 点 、、 应 的变化 ， 使得 Ａ Ｂ Ｅ＝ Ｆ＝Ｃ Ｄ ． Ｇ＝ Ｈ 特殊地 ， 当点 Ｅ与点
Ａ重合 时 ， 正方形 ＡＢ ＣＤ 与原正方形 Ａ Ｃ Ｂ Ｄ重合 ； 当点 Ｅ与点 曰重合时 ， 正方形 ＡＢ ＣＤ 退化为 一个点 ， 即原正 方形 Ａ Ｃ Ｂ Ｄ的中心． 不难发现 ： 当点 Ｅ从点 Ａ沿线 段Ａ Ｂ向 点 运动时 ，Ｅ逐 渐变大 ， 构造的正 方形 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 逐 Ａ 所
求证 ： 四边形 Ａ Ｂ ＣＤ 是
正 方 形．
２ 方法探究
图１
渐变小．
课本 给出的证 法经历 了三 次全等 证 明 ： ＡＡ Ｆ ① Ｂ ￣
ＡＢ Ｇ， ＡＡ ＡＢ ③ △Ａ ＡＢ ． 下 Ｃ ② ＢＢ Ｃ Ｃ， ＡＥ ＢＦ 接 来 ， 思考 的是 能否减少 证 明全等 的次数 ， 要 使得证 明更
引伸 ２ 如 图 ２ 若 点 Ｅ在线 段 Ａ ， Ｂ的延 长线 上运 动 ， Ｆ、 、 作 相 应 的变 化 ， 保 持 Ａ 点 ＧＨ 仍 Ｅ＝Ｂ Ｆ：Ｃ Ｇ＝
Ｄ ． Ｈ 可发现 ： 当点 Ｅ从 点 沿 Ａ Ｂ方 向运动 时 ，Ｅ逐渐 Ａ 变大 ， 构造 的正方形 Ａ Ｂ ＣＤ 也 随之逐渐变大． 所 引伸 ３ 如 图 ３ 若点 Ｅ在线段 Ａ ， Ｂ的反 向延 长线上

值为３，最小值为２，求ｍ的取值范围．图３题目一给出，学生立即画图，讨论，其中有几个同学很快能发现对称轴ｘ＝１一定要含于闭区间［０，ｍ］内，于是得到ｍɪ［１，２］．课后老师还布置了一道衔接作业：已知函数ｆ（ｘ）＝４ｘ２－４ａｘ＋ａ２－２ａ＋２在闭区间［０，２］上的最小值为３，求实数ａ的取值范围．从这里可以看出，尽管两个老师教学水平相当，但其中一个老师巧妙地将二次函数相关知识适当衔接延伸到课堂的讲解㊁练习，作业之中．教学效益明显提高．教师不仅归纳出函数图象平移规律，而且还介绍了寻找函数最值的图像解法．这为下节课最值的进一步研究提供一种重要的方法．从学生的状态来看，课堂气氛活跃，师生配合默契，同学的作业㊁问题的回答也要明显好于另一个班级！本文仅通过函数部分几个典型问题的衔接，谈谈高中衔接教学的一些做法．实际上，高初中教学的衔接，不仅在高一㊁高二，甚至高三的教学也要注意渗透．例如高三 平面几何选讲 的绝大部分内容就是初中平几的衔接与延伸，初中韦达定理在高二的解几教学中常常碰到，初中绝对值的概念是高中分类讨论的一个重要依据，不等式解法㊁因式分解等内容也是高中数学的重要工具．所以，衔接教学要贯穿于高中数学课堂的始终！但是，由于高一教学很紧，衔接教学又要分担不少的课时，如何处理衔接与进度的关系呢？这就要求老师钻研课本㊁熟悉衔接的内容，科学设计，将关联的知识化整为零，将衔接的内容渗透到每堂课．这样高一的学生才能跟上老师的节奏，促使师生课堂思维的同频，也只有这样，我们的教学才更有针对性，课堂教学效益才会不断提高．参考文献［１］㊀廖顺宏，数学课堂设计与学生创新思维的培养［Ｊ］．数学通报．２０００（９）．［２］㊀高洪武，追求数学课堂的自然高效［Ｊ］．中学数学杂志，２０１３（３）．作者简介㊀廖顺宏，男，中学数学高级教师．主持并参与‘中学数学困难生学习过程评价研究“等市级课题三个．近几年，本人获佛山市骨干教师，禅城区骨干教师，禅城区优秀教师等荣誉称号．主编或参与编写我国权威书籍‘中国高考年鉴“ 数学分册等教学参考书５部；发表论文近２０篇．一道课本例题的探究与应用山西省孝义中学㊀㊀０３２３００㊀㊀张立政㊀㊀课本是重要的教学资源，例题是数学教材的重要组成部分，是教材的精华，颇受高考命题专家的青睐．数学教师应充分对例题进行探究，挖掘其应用价值．著名数学家Ｇ㊃波利亚说： 一个专心的认真备课的教师能拿出一个有意义的但又不太复杂的题目，去帮助学生发掘问题的各个方面，使其通过这道题，就好像通过一道门户，把学生引入一个完整的理论领域． 下面通过一道课本例题的探究谈一谈如何 立足课本，对接高考 ．１㊀题目呈现题目㊀（人教Ａ版‘数学 选修２－１⓪第４１页的例３）设点Ａ，Ｂ的坐标分别为（－５，０），（５，０），直线ＡＭ，ＢＭ相交于点Ｍ，且它们的斜率之积为－４９，求点Ｍ的轨迹方程．２㊀题目探究探究１㊀设点Ａ，Ｂ的坐标分别为（－ａ，０），（ａ，０）．直线ＡＭ，ＢＭ相交于点Ｍ，且它们的斜率之积为－ｂ２ａ２，求点Ｍ的轨迹方程，点Ｍ的轨迹是什么？结论１㊀与两定点Ａ（－ａ，０），Ｂ（ａ，０）连线的斜率之积等于定值－ｂ２ａ２的点Ｍ的轨迹方程是ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１（ｘʂʃａ）．情形１：当ａ＞ｂ＞０时，点Ｍ的轨迹是以ＡＢ为长轴的椭圆，除去Ａ，Ｂ两点．情形２：当ｂ＞ａ＞０时，点Ｍ的轨迹是以ＡＢ为短轴的椭圆，除去Ａ，Ｂ两点．情形３：当ａ＝ｂ＞０时，点Ｍ的轨迹是以ＡＢ为直径的圆，除去Ａ，Ｂ两点．探究２㊀结论１的反面是什么？是否成立？２１㊀ＺＨＯＮＧＸＵＥＳＨＵＸＵＥＺＡＺＨＩ㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀中学数学杂志㊀２０１４年第７期结论２㊀椭圆ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１上两个顶点（－ａ，０），（ａ，０）与椭圆上除这两个顶点外的任一点连线的斜率之积为定值－ｂ２ａ２．探究３㊀类比 圆中任一条直径所对的圆周角是直角 ，将结论２中的两顶点换成经过椭圆中心的任意一条弦的两端点，结论是什么？结论是否成立？结论３㊀椭圆ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１上任意经过中心的弦的两个端点与椭圆上任一点（除这两点外）连线斜率之积为定值－ｂ２ａ２．探究４㊀将 圆的垂径定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦 类比到椭圆中，结论是什么？结论是否成立？结论４㊀过椭圆ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１的中心平分该椭圆弦的直线与弦所在的直线的斜率之积为定值－ｂ２ａ２．探究５㊀将 圆的切线定理：过切点的直径垂直于过该切点的圆的切线 类比到椭圆中，结论是什么？结论是否成立？结论５㊀过椭圆ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１上一点与中心连线的直线的斜率与椭圆在该点处切线的斜率之积为定值－ｂ２ａ２．当然，可将以上椭圆中的结论类比到双曲线中，探究其是否成立．（限于篇幅，留给读者探究总结）３㊀对接高考例１㊀（２０１３年高考全国大纲卷（理科）第８题）椭圆Ｃ：ｘ２４＋ｙ２３＝１的左㊁右顶点分别为Ａ１㊁Ａ２，点Ｐ在Ｃ上，且直线ＰＡ２斜率的取值范围是［－２，－１］，那么直线ＰＡ１斜率的取值范围是（㊀㊀）．Ａ．１２éëêê，３４ùûúú㊀㊀㊀㊀Ｂ．３８éëêê，３４ùûúúＣ．１２，１éëêêùûúú㊀㊀㊀Ｄ．３４，１éëêêùûúú解析㊀由结论２得，ｋＰＡ１㊃ｋＰＡ２＝－３４，所以ｋＰＡ１＝－３４ｋＰＡ２（－２ɤｋＰＡ２ɤ－１）．因为ｋＰＡ１单调递增，所以３８ɤｋＰＡ１ɤ３４，故选Ｂ．例２㊀（２０１３年高考全国新课标Ⅰ卷（理科）第１０题）已知椭圆Ｅ：ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１（ａ＞ｂ＞０）的右焦点为Ｆ（３，０），过点Ｆ的直线交椭圆于Ａ㊁Ｂ两点．若ＡＢ的中点坐标为（１，－１）则Ｅ的方程为（㊀㊀）．Ａ．ｘ２４５＋ｙ２３６＝１㊀㊀㊀Ｂ．ｘ２３６＋ｙ２２７＝１Ｃ．ｘ２２７＋ｙ２１８＝１㊀㊀㊀Ｄ．ｘ２１８＋ｙ２９＝１解析㊀由结论４得：－ｂ２ａ２＝－１２，所以ａ２＝２ｂ２．又ａ２＝ｂ２＋９，所以ｂ２＝９，ａ２＝１８，选Ｄ．例３㊀（２０１３年高考全国新课标卷Ⅱ（理科）第２０题第⑴问）平面直角坐标系ｘＯｙ中，过椭圆Ｍ：ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１（ａ＞ｂ＞０）右焦点的直线ｘ＋ｙ－３＝０交Ｍ于Ａ，Ｂ两点，Ｐ为ＡＢ的中点，且ＯＰ的斜率为１２．求Ｍ的方程．解析㊀由结论４得，－ｂ２ａ２＝１２ˑ（－１），所以ａ２＝２ｂ２．又直线ｘ＋ｙ－３＝０过焦点（ｃ，０），所以ｃ＝３，即ａ２－ｂ２＝３，所以ａ２＝６，ｂ２＝３，点Ｍ的轨迹方程为ｘ２６＋ｙ２３＝１．例４㊀（２０１３年高考北京卷（理科）第１９题第（２）问）已知Ａ㊁Ｂ㊁Ｃ是椭圆Ｗ：ｘ２４＋ｙ２＝１上的三个点，Ｏ是坐标原点．当点Ｂ不是Ｗ的顶点时，判断四边形ＯＡＢＣ是否可能为菱形，并说明理由．解析㊀四边形ＯＡＢＣ不可能为菱形．理由如下：假设四边形ＯＡＢＣ为菱形，则对角线ＯＢ与ＡＣ互相垂直且平分于点Ｍ，于是ｋＯＢ㊃ｋＡＣ＝－１．又由结论４知，ｋＯＭ㊃ｋＡＣ＝－１４．因为ｋＯＭ＝ｋＯＢ，所以ｋＯＢ㊃ｋＡＣ＝－１４．因为－１４ʂ－１，所以假设不正确．所以当点Ｂ不是Ｗ的顶点时，四边形ＯＡＢＣ不可能为菱形．例５㊀（２０１３年山东卷（理科）压轴题）椭圆Ｃ：３１中学数学杂志㊀２０１４年第７期㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀ＺＨＯＮＧＸＵＥＳＨＵＸＵＥＺＡＺＨＩ㊀ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１（ａ＞ｂ＞０）的左㊁右焦点分别是Ｆ１，Ｆ２，离心率为３２，过Ｆ１且垂直于ｘ轴的直线被椭圆Ｃ截得的线段长为１．（１）求椭圆Ｃ的方程；（２）点Ｐ是椭圆Ｃ上除长轴端点外的任一点，连结ＰＦ１，ＰＦ２，设øＦ１ＰＦ２的角平分线ＰＭ交Ｃ的长轴于点Ｍ（ｍ，０），求ｍ的取值范围；（３）在（２）的条件下，过点Ｐ作斜率为ｋ的直线ｌ，使得ｌ与椭圆Ｃ有且只有一个公共点，设直线ＰＦ１，ＰＦ２的斜率分别为ｋ１，ｋ２，若ｋʂ０，试证明１ｋｋ１＋１ｋｋ２为定值，并求出这个定值．解析㊀（１）ｘ２４＋ｙ２＝１（过程略）．（２）设Ｐ（ｘ０，ｙ０）（ｙ０ʂ０）．当ｘ０＝０时，ｍ＝０．当ｘ０ʂ０时，由结论５知ｋＯＰ㊃ｋ切＝－１４，所以ｋ切＝－ｘ０４ｙ０．由椭圆光学性质知ｋＰＭ㊃ｋ切＝－１，所以ｋＰＭ＝４ｙ０ｘ０，所以øＦ１ＰＦ２的角平分线ＰＭ的方程为ｙ－ｙ０＝４ｙ０ｘ０（ｘ－ｘ０），令ｙ＝０得ｍ＝３４ｘ０（－２＜ｘ０＜０或０＜ｘ０＜２）．综合上述得－３２＜ｍ＜３２．（３）由题意，设Ｐ（ｘ０，ｙ０）（ｘ０ʂ０，ｙ０ʂ０）．由结论５知，ｋＰＭ㊃ｋ切＝－１４，所以ｋ＝ｋ切＝－ｘ０４ｙ０，而ｋ１＝ｙ０ｘ０＋３，ｋ２＝ｙ０ｘ０－３，所以１ｋ１＋１ｋ２＝２ｘ０ｙ０，所以１ｋｋ１＋１ｋｋ２＝－４ｙ０ｘ０㊃２ｘ０ｙ０＝－８．例６㊀（２０１３年高考山东卷（理科）压轴题的一般化）椭圆Ｃ：ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１（ａ＞ｂ＞０）的左㊁右焦点分别是Ｆ１，Ｆ２．（１）点Ｐ是椭圆Ｃ上除长轴端点外的任一点，连结ＰＦ１，ＰＦ２，设øＦ１ＰＦ２的角平分线ＰＭ交Ｃ的长轴于点Ｍ（ｍ，０），求ｍ的取值范围；（２）在（１）的条件下，过点Ｐ作斜率为ｋ的直线ｌ，使得ｌ与椭圆Ｃ有且只有一个公共点，设直线ＰＦ１，ＰＦ２的斜率分别为ｋ１，ｋ２，若ｋʂ０，试证明１ｋｋ１＋１ｋｋ２为定值，并求出这个定值．解析㊀（１）由题意，设Ｐ（ｘ０，ｙ０）（ｙ０ʂ０）．当ｘ０＝０时，ｍ＝０．当ｘ０ʂ０时，由结论５知ｋＯＰ㊃ｋ切＝－ｂ２ａ２，所以ｋ切＝－ｂ２ｘ０ａ２ｙ０．由椭圆光学性质知，ｋＰＭ㊃ｋ切＝－１，所以ｋＰＭ＝ａ２ｙ０ｂ２ｘ０，所以øＦ１ＰＦ２的角平分线ＰＭ的方程为ｙ－ｙ０＝ａ２ｙ０ｂ２ｘ０（ｘ－ｘ０）．令ｙ＝０得ｍ＝ｘ０－ｂ２ａ２ｘ０＝ａ２－ｂ２ａ２ｘ０（－ａ＜ｘ０＜０或０＜ｘ０＜ａ），综合上述得－ａ２－ｂ２ａ２＜ｍ＜ａ２－ｂ２ａ２．（２）由题意，设Ｐ（ｘ０，ｙ０）（ｘ０ʂ０，ｙ０ʂ０）．由结论５知，ｋＯＰ㊃ｋ切＝－ｂ２ａ２，ｋ＝ｋ切＝－ｂ２ｘ０ａ２ｙ０，而ｋ１＝ｙ０ｘ０＋ｃ，ｋ２＝ｙ０ｘ０－ｃ，所以１ｋ１＋１ｋ２＝ｘ０＋ｃｙ０＋ｘ０－ｃｙ０＝２ｘ０ｙ０，所以１ｋｋ１＋１ｋｋ２＝－ａ２ｙ０ｂ２ｘ０㊃２ｘ０ｙ０＝－２ａ２ｂ２．４㊀教学启示４．１㊀注重对课本例题教学价值的挖掘．课本例题具有示范性，通过例题教学，帮助学生深究教材例习题，挖掘其潜在功能，发挥其使用价值，对激发学生的探索兴趣，培养学生的解题能力，发展学生的创造性思维，都具有积极的作用．４ ２㊀立足教材，高效备考．新课程提倡教师在教学中对课程资源进行开发和利用，教材是教师进行教学的主要资源，是学生能力的生长点，是高考命题的主要依据．立足教材，开发教材，做透教材中的典型例题和习题，善于在高考题中寻找教材题目的原型，探索高考试题与教材题目的结合点，打通教材与高考的通道，对接高考，才能最终实现在高考复习中跳出题海，高效备考．作者简介㊀张立政，男，１９６４年生，山西孝义人，山西省中学数学特级教师，主要从事中学数学教育与教学研究．４１㊀ＺＨＯＮＧＸＵＥＳＨＵＸＵＥＺＡＺＨＩ㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀中学数学杂志㊀２０１４年第７期。

时 ，也可 以通过几何 画板 的演 示让学生有更深切 的
感受．
二、 通过变式练 习渗透数学思想方法
数学思想方法是数学知识 的精髓． 中往往将 课本
５ ６
喟吓・
螺
囊
暖ｌ蛋臣ｌ｜■
数学思想方法蕴含 于数学 知识 中． 师要 站在更高 的 设 置不同 的坡 度和难度 ，使 不同水平 的学生都 能参 教 从而激 发他们 的探 索欲 ， 有效 提升数学思 维 层次上理解课 本 、 掘课 本 ， 挖 将灵 活多样 的变式练 习 与其 中 ， 作为一个 有效载体 ，使数 学 的思 想方法渗透 在教学 层 次 ． 的全过程 中． 学生通 过不 断积 累 ， 逐渐 内化为 自己 的
边 形Ｄ Ｆ Ｅ Ｇ是 ＡＡ Ｃ的 内接矩 形 ，一边在 Ｂ Ｂ Ｃ上 ， 其
的长 ．
图 ８
Ｋ Ｈ
ｃ
余 两个顶点分别 在 Ａ ， ． Ｂ ＡＣ上 若矩形 一边长 为 ３ 求 ，
另一边长 ． ２渗 透 函 数 与 方 程 的 思 想 方 法 ．
这 一变 式 中 ， 了进 行条 件 和 图形 的变 化 外 ， 除
在直线 Ｂ Ｃ上 ， 顶点 Ｄ， Ｇ分别在 边Ａ Ａ Ｂ， Ｃ上 ，矩形 Ｄ Ｆ Ｅ Ｇ的边
图２
Ａ
顶点 Ｄ， Ｇ分别在 Ａ Ａ Ｂ， Ｃ上． 已
知 ＡＡ Ｃ的边 Ｂ Ｂ Ｃ长 ６ ０厘米 ，
长会变化 吗？为 什么？（ 参见图
３ 图 ４ 、 ）
Ｂ
图３
变式 ４ 上题 中 ，若 Ｂ Ｃ长 为 ｚ Ｈ 长 为 ｈＤ ， Ａ ， Ｇ长 为 口 Ｄ ，Ｅ 长为 ｂ ，写 出 ｚｈ 口ｂ之 间的等 ，， ，
张 蠛
课本是最重要 的教学资料 ，课本 中的例题是 经 决 问题的过程 中发现殊途 同归 ，是对所 学基础知识 过 编者们精 心选择 的问题 ， 有典型性 、 范性 、 具 示 系 的加深和巩 固． ２以 多图一解促基本 图形的巩 固 ． 统性． 把课本 中的例题吃透 ， 可以实现以少胜多 ， 事半

此 时 的距 离 为 ： ＋ ： ≈ １ ． ７ １ ． ７ 显 然 沿 着 Ａ— Ｂ ４ ７１ ０ ３＜ ０ ７ ，
一 Ｃ的 距 离 更 短 ， 并 不 是 沿 侧 面 爬 到 点 Ｃ 的 距 离 最 而
短．
三 、 式 探 究 变
进 一 步 研 究 蚂 蚁 在其 他 立 体 图 形 上 的 捷 径 问 题 ． 那 么 什 么 时 候 沿 侧 面爬 更 近 ， 么 时 候 沿 Ａ— Ｂ Ｃ 什 —
一
、
华 东 师范 大 学 版八 年 级 上 册 《 学 》 材 ５ 数 教 ７页 的 一
道 例 题 中 描述 了 一 只 聪 明 的蚂 蚁 ， 信 这 只聪 明 的 蚂 蚁 相
一
② 侧 爬 最距 为 Ａ √。 。 沿 面 时 短 离 Ｌ ｃ ＾ （） 一一 ＋ ．
．
定 给大家留下了深刻的印象． 【 】 如 图 １ ． ． ， 圆柱 体 的底 面 周 长 为 ２ 例 ４２１一 ０ ｍ， ｃ
３
般 地 ， 圆柱 体 的底 面 直 径 为 ｄ， 为 ｈ 设 高 ．
Ｅｍ ｘ ｃ ｋ ６・ ｍ 。ａ ｉｋ ＠１３ｃ ｘ ｏ
－ 学教 学 参 考
专题 论 析
解： 任意展开相邻 的两个侧 面得 到图 ２ 此时易求得 ，
． 一 ＡＢ 、 ， 一４ ．
同 理 ， ； ； ａ －２ ｃ ａｂ ｃ． Ｌ 一Ｌ ＝２ ｂ ａ ＝２ （－ ）
（） 这 个 圆 柱 的身 材 是 “ 长 苗 条 ” （ ／ １当 细 型 ｈ ｄ＞ ０ ７ ３ ） ， 侧 面 爬 到 Ｃ点 距 离 最 短 ， 短 距 离 是 Ｌ 一 ．３７时 沿 最
．
．
ＡＣ一 ＡＢ ＋Ｂ 一 ￣４ ＋ １ １ ． ７ ｃ ． ／ 。 ０ ≈ ０ ７ （ ｍ）

2016年12月新颖试题>教学--参谋一道课本例题的教学探究!江苏省如皋市第二中学何敏在高中数学课堂教学中，教材中的例题、习题的解 答是学生获得系统知识的主要来源.因此，如何充分展 示每道例习题的教学功能成为了摆在每位数学教师面 前的一个核心课题.笔者认为，教师要充分发挥每道例 习题的教学功能，应该深人挖掘例习题的内涵，引导学 生对教材中的一些典型例习题进行一题多解、变式推 广、归纳猜想、类比迁移等多方面的探究，调动每一位学 生学习数学的积极性，使不同层次学生的数学思维能力 都得到提升，从而逐步培养学生探究精神和创新意识.笔者在教学实践中，从一道课本例题出发，对此题进行 了推广探究，希望能给高三复习提供一些思路.一、 例题呈现例1已知0是直角坐标原点，点是抛物线%2& 2p((其中J9>0)上异于顶点的两个点，且0#丄0$，O M丄并相交于点），求点）的轨迹.(人教A版4-4第33页）原题解答是用参数方程，笔者给出另一种解法，并 就此推出一般结论.解:设# ((1，％1)，$((2，％2)，直线#$的方程为（&,%+.. 代人%并整理，得%2-2j9,y-2j9.=0,因此%1+%2&2户,，从而（(^-^.^^+之户.,2-.2,因为0/ 丄0$,所以 (1(2+%1%2&0,即.2-2户.=0,因为.#0,所以.=2p.因此直线 /$经过定点(2p,0),由0)丄/$可知，点）的轨迹是圆(c-p)2+y2&p2.二、 推广探究若将原题中的抛物线改为圆，其余条件不变，又有 什么结论？经过推理论证可得：命题1若0是直角坐标原点，点/、$是圆0:(2+/& 12上的两个点，且0/丄0$,0)丄/$于点）,则点）的轨迹是圆丨2-%2:1.2证法1:如图1，连接0$，0/，则由已知可知0)是等腰直角$的斜边/$上的高，所以0)&■%^1.故点）的轨迹是圆(2+证法2:设/ ((1，%1)，$((2，%2)，/$的方程为（=,%+.，代入圆0的方程并整理，得（1+,2)%2+2,.%+.2-12=0,因此2,. .2-12师&i，y1y2&^F.又（1(2=(,%1+.) (,%2+.) =,2%1%2+., (%1+%2) +.2& ,2(.2-12) 2.2,2+ 2&.2-，212—\+k2i+^+.& 1+,2*由0/ 丄0$可得(1(2+%1%2&0，所以.乂1+ . 1 &0,1+,21+,2即2.2-,212-12&0.因此，即,&± % 2.2-^~，所以121直线/$的方程为（&± %2.1%+.，即（±%2.1%-.&110，因此点0(0,0)到/$的距离为2& &-^，所以，点）的轨迹为圆2若将原题中的抛物线改为椭圆、双曲线，其余条件 不变，则结论又如何？仿上面的证明可得：命题2若#、$是椭圆4:4+ ^2 = 1(5>6>0)上不同a b的两点，且0/丄0$，0)丄/$于点）(0为坐标原点，下高中版十-?炎.757教学参谋1新颖试题同），则点！的轨迹是/"2+$2=a2'2 a2#'2'证明:设）("#，$#)，*("2，$2)，直线的方程为"=+$+ - <代入橢圆.的方程并整理，得(a*2*,' 2+2)$2+2+-' 2$,'2(-2-a2)=0,因此$i+$2:2+-'2，$1$2='(-2-a2) a2#'2k2a2#'2k2所以"1"2=+2$1$2#-+ ($1+$2)+-2一'2k2(-2—a2)2k2-2'2# 2_ a2-2-a2'2k2% a2#'2k2^—a2#'2k2#- _ a2#'2k2■由0)丄0*可得"1"2+$1$2_〇<a2-2—a2'2k2'2-2—a2'2n艮P--------,--------一0,a2,'2k2a2,'2k2所以k2_a2-2+'2-2—a2'2，即k_± V a V+'2-2—a2'2 ■a2'2a'因此直线）*的方程为:"± "^+'2-2—&2'2$--_0■a'所以点〇(0,0)到）*的距离为3_-1-1&+a2-2+'2-2-a2'2a2'2 a'v o w所以，点！的轨迹是圆"2+，a2'2 :^+^命题3若）、*是双曲线.:4-4_1('>&>0)上不a2'2同的两点，且0)丄0*<0!丄）*于点则点！的轨迹是圆^2,^2一a 2'2'2—a21其证明与命题2的证法完全类似，故此处略去■由上面的证明可知:直线）*始终是点！的轨迹的切 线，因此可以得到：命题4过圆5# :"2+$2_62上任一点）作圆52:"2+$2_ 6的切线交5#于另一点*，则0)丄0*■2命题5过抛物线L:y2_2j9"(i9>0)上异于顶点的任 一点）作圆C:("，)2+$2_，的切线交.于另一点*，则0) 丄0*1命题6过椭圆L:4+4_l(a>'>0)上任一点）作圆a2'25:"2a 2'2的切线交.于另一点*，则0)丄0*■命题7过双曲线.:^-<_1('>a>0)上任一点）作a2'2&2'2圆5:"2+$2_^7的切线交.于另一点*，则0)丄0*■'2—a2命题4~7的证明留给读者自己去完成■经过探究发现，命题4~7的逆命题也成立即卩有：命题8过圆51:"2+$2_62上任一点）作直线:交5于另一点*<若0)丄0*<则堤圆52:"2+$2_6的切线■命题9过抛物线i:y2_28(P>0)上异于顶点的任一点）作直线:交.于另一点*<若0)丄0*<则:是圆：（-户)»2的切线.命题10过椭圆.:美+^1(&>'>〇)上任一点）作a2'2a2'2直线:交.于另一点*<若0)丄0*<则堤圆C:"2+$2_^7a2+'2的切线1命题11过双曲线.:<-<_l('>a>0)上任一点）a2'2作直线:交.于另一点*<若0)丄0*，则:是圆5:"2+$2_^的切线■'2—a2命题8~11的证明请读者自己去探究完成.三、应用举例题1设）、*是椭圆：f+y2_l上的两个动点<0为坐标原点，且0$•0$_0■又设点；在直线）*上，且0;丄）*<求10;丨的值.(2014年全国高中数学联赛天津赛区预赛试题)题2已知焦点在"轴上的椭圆<:,+^2_1内含圆8 '25:"2+$2_j<圆5的切线:与椭圆<交于点）、*<满足0)丄0*.(2013年河北省高中数学竞赛试题）⑴求'2的值；(2)求丨）*丨的取值范围.%艮于篇幅，只给出答案：题1:丨0;丨_3_&一\V a2+'2题2:'2_4;丨）*丨&4,2^^(.V 3 3 J/2016年12月58十.方龙.1?高中版2016年12月新颖试题教学参谋四、几点思考对课本中典型例、习题的探究，不仅能丰富我们的 研究资源，而且能获得与之相关的新命题，从而达到培 养学生的探究能力和应变能力的目的，起到使学生重视 课本中例、习题的作用.下面结合笔者的教学实践，谈谈 自己对数学复习的几点思考.1.揭示概念本质，提升学生认知水平由于课本中不少数学概念，反映了数学知识的本质 属性，蕴含着思维的细胞，是数学内容的基石.高三数学 复习中教师要揭示数学概念的本质，对课本中的概念给 予足够的重视，并结合学生主体认知功能，立足于理解 好概念，用好概念，才会使我们复习数学的目的明确、方 法对头，提升学生的认知水平，才能使数学复习质量得 以提升.教师在概念复习时需要要帮助学生足够重视课本，揭示概念的本质，拓展概念的内涵和外延，关注其基本 特征和概念表征的多元化，引导学生加强对数学知识背 景及数学本源的挖掘.在概念本质探究中力争透过纷繁 的现象看清问题的本质，要从变的现象中发现不变的本 质，从不变的本质中探究变的规律，只有这样的复习教 学才能使解题更具有深度和广度，才能提升学生的认识 水平，实现数学复习质量的提升.2.再现知识形成过程，提升学生思维能力数学概念是数学理论的核心，故教学时就要突出数 学定义、公式、定理的来龙去脉和表达形式，了解它们的 区别和联系，再现知识的形成过程.虽然高一、高二都有 所涉及，但经过这么长时间，学生都有些遗忘，这些都需 学生复习时重视课本，拓展思路，并逐步学会如何运用 这些知识来分析和解决问题.关注对数学本质的考查，这能在一定程度上有效的规避模式化的解题，抑制题海 战术，实现数学复习质量的提升具有重要作用.对于联系密切的公式群，一定要让学生经历公式的 推导和建构，对于数学复习起到事半功倍的作用，是解 决问题的根本.在复习教学时，要足够重视课本，对课本 中的定义、定理、公式等基础知识和基本技能，做到知其 然知其所以然，探究他们的形成过程，提升学生的思维 能力，方能实现数学复习质量的提升.3.典型例题重点分析，提升学生解题策略课本是课程标准的具体体现，课本中的例习题是教 材编写组专家精挑细选出来的精品，不少高考试题都是 命题人员对课本例习题加工改编而成的.数学复习中要 有目的地选择课本中的例习题，对其条件和结论进行重 点分析，剖析思维方法形成过程，有效帮助学生提升解 题策略.例题教学是复习课的主旋律，如何用好课本的典型 例题是复习数学能否更加优质、实效的关键，发挥例题 的思维策略，达到“做一题、带一类、连一片”的效果，能 有效实现课本典型例题的示范性功能，提升解题的质 量.4.渗透数学思想方法，提升学生数学综合能力多年来结果表明，高考数学试题都在体现“考查基 础知识的同时，注重对数学思想方法的考查，注重对数 学能力的考查”的命题指导思想，常常涉及的思想方法 有：函数与方程的思想、数形结合的思想、分类讨论的思 想和转化与化归的思想.而试题相当一部分来源于课 本，即使是综合题也是课本例习题的组合、改编和拓展，充分体现了课本的基础作用.数学题的解答一般不需要 高深的数学知识和高难度的变形技巧，而需要一定的创 新意识和发散意识，因此我们有必要深人地探究课本中 的习题，把握例习题的思想性的本质，提高数学素养，学 会思考数学问题，提升学生数学综合解题能力，使课本 中的例习题的作用发挥到极致，以达到最佳提升数学复 习的质量.只有重视课本中的例习题，理解、领会它们蕴 含的思想方法，通过系统的归纳总结、变式训练，才能触 类旁通、由此及彼积累足够的题型，形成数学解题能力，提升学生数学综合能力，实现数学复习质量的提升.正如数学教育家波利亚所说：“没有一道题是可以 解决得十全十美的，总剩下些工作要做，经过充分的探 讨与研究，总会有点滴的发现，总能改进这个解答，而且 在任何情况下，我们都能提高自己对这个解答的理解水 平.”笔者从一道课本习题出发进行深人探究及引申推 广得到了一系列优美的结论.在教学中经常“研题”，有 助于促进教师专业知识的增长，通过研究习题可以提高 学生的数学解题能力，培养良好的数学兴趣，提高课堂 教学的有效性.M高中版十.？龙.759。

一个数学教材例题引发的研究【摘要】高中数学在新课标改革的背景下增添了内容，也提高了难度。

这就要求教师和学生在教授或学习数学的过程中，在牢记基本概念和理论知识的基础上，更深一层地加深习题解答能力，以实现有效配合验证概念的精熟的教育目的。

现如今过分强调习题的应试教育模式越来越遭到教师和家长们的质疑与吐槽，所以教师应该以教材例题为抓手，巧妙地加以引发，不断激发学生学习数学的兴趣和欲望，以增加主动参与数学学习活动的内驱力。

本文结合数学教学实践，阐述了优化例题教学培养学生思维能力的有关途径与教学策略。

【关键词】例题教学; 思维培养; 途径策略教材中的例题、习题都是精心挑选和设计的，具有一定的典型性和示范性，这些例题、习题可作为渗透新理念、传授新知识、训练技能、培养能力的主要载体．教师可创造性地使用这些例题、习题，既可选择一些适合一题多解或一题多变的例题、习题，也可以选择适于多题一解的题组，为学生积极参与自主探究、合作交流提供丰富的学习资源，有利于学生养成独立思考、积极探索的习惯，使学生在例题、习题的学习活动中发展数学思维，优化智能结构．题目再现：人教 A 版必修 5 课本第 30 至 31 页有这样一道例题：如果一个数列{an}的首项 a1= 1，从第二项起每一项等于它的前一项的 2 倍加 1，即an=2a(n-1)+1 那么a2=2(a1)+1=3，a3=2(a2)+1=7 ……像这样给出数列的方法叫做递推法，其中an=2(an-1)+1是递推公式．这是一道题干简洁、精炼，内涵丰富的题目，课本并没有对这一问题的通项公式进行求解．如果要求这一问题的通项公式，则主要考查学生的逻辑推理、数学运算等核心素养．常见的方法有：待定系数法、不动点法、叠加法、数学归纳法、特征根法、定积分法和母函数法等。

（一）例题剖析高中数学的知识体系主要由函数导数、三角函数、不等式方程、解析几何、立体几何以及组合排列的知识考点组成，各类知识考点有着不同的讲解方法，但究其过程往往都如出一辙。