一道课本例题的探究

课本一道例题的教学与思考数学是一门与生活紧密联系的学科，在数学教学中实施生活化教学能够让学生提高解决数学问题的能力并爱上数学学习，形成数学学习思维。

本文以教材中一道例题的解决问题为例浅谈生活化教学的意义。

标签：数学；教材；例题；思考苏科版七年级下册第十章第5节《用二元一次方程组解决问题》有道例题为：为了加强公民的节水意识，合理利用水资源。

某市采用价格调控手段来引导市民节约用水：每户居民每月用水不超过6m3时，按基本价格收费；超过6m3时，超过的部分要加价收费。

该市某户居民今年4、5月份的用水量和水费如下表所示：月份用水量/m3水费/元48225927试求该市居民用水的两种收费价格。

课本设置此题的背景是用表格分析数量关系并解决问题。

针对这样一个目标，我认为首先要读懂这个表格，很多学生在小学习惯了做题目条件反射，根本就不去思考究竟是为什么，没有解决问题的逻辑。

同时，本题的这样一个分段函数的情境也是常考的一种类型，所以我将用一节课的时间分析并拓展此题。

一、识辨表格主要是让班级的后进生说说出从这个表格中你可以讀出哪些信息，这是解答本题的基础和关键。

答案应为：“4月份用水量为8立方米，水费为22元；5月份用水量为9立方米，水费为27元。

”这是最基本的层次，通过这样一个处理信息的过程，其实就很容易思考到，“5月份比4月份多用了1立方米，这个水费多交了5元，那么水费即为每立方米5元。

”其实，这就是加工信息的能力了，而且这也是解决本题的一个小技巧，一种整体的思想。

二、分析数据，解决问题表格中的两行数据事实上是并列的，处理方法是类似的，那么不妨先看第一行，关键词是“8立方米22元”，能否直接用22除以8呢？很显然，不可以，因为这8立方米的水价格是不一致的，可以将其分为2份，一份是基础部分，另一份是加价部分。

即等量关系为“总价22元=基础部分的水费总价+超出部分的水费总价”，这时候只需要用代数式表示出两个总价，如何求出总价呢？总价=单价×数量，很显然这部分的数量是知道的，一个是6立方米，另一部分是（8-6）立方米，而价格是未知的，也是所求的，所以可以假设基本水价为x元/立方米，超出6立方米部分的价格为y元/立方米。

例析初中数学教科书例题中跨学科问题以‘数与代数“为例内蒙古赤峰学院数学与计算机科学学院王洋洋(邮编:024000)内蒙古民族数学教育研究所李书海(邮编:024000)摘要数学与其他学科间的知识完成跨学科实践活动是‘义务教育数学课程标准(2022)“提倡的培养学生核心素养的重要方式之一,也是教育发展的必然趋势,越来越多的国家开始重视对于教科书中跨学科内容的研究.本文以人教版初中数学教科书数与代数部分的例题为例,对跨学科内容例题在教科书中的分布情况进行分析,并针对教科书编写给出相应的建议,以及为中学数学教师分析教材提供参考依据.关键词跨学科;数学;例题‘义务教育数学课程标准(2022)“(以下简称 课标 )提出:立足学生核心素养发展,体现数学课程育人价值,并且设置 综合与实践 主题,旨在整合数学与其他学科间的知识,完成跨学科实践活动,感悟数学与生活,数学与其他学科的关联,发展学生学习能力㊁实践能力和创新意识[1],用数学学科视角回答跨学科问题,跨学科融合教学逐渐成为学者们研究的热点问题.例题是数学学习过程中不可或缺的一部分,凝练着知识核心,具有代表性和典型性,对于学生新知识的理解与巩固㊁新技能的培养与提升都有非常大的作用.例题展示出了数学的解题思路,搭建了新知与旧知的桥梁,对于学生学习和探究以及思维能力的发展都起到积极的促进作用,因此必须要精心设计,满足学生的发展需求. 课标 将初中数学学习的主要内容划分为数与代数㊁图形与几何㊁概率与统计㊁综合与实践[1]四个领域.总的来看,数与代数是其它几个领域学习的基础,其它几个领域的学习离不开数与代数的支撑.初中数与代数的内容广泛,几乎贯穿整个初中数学课程.因此在数与代数领域的例题中融入跨学科内容,既可以提高学生对于知识的运用能力,又可以帮助唤起学生的跨学科意识,感受学科之间的关联,培养学生学会用数学的思维思考跨学科问题,会用数学的语言表达跨学科问题的意识和能力.1概念界定1.1跨学科最早对于 跨学科 一词进行使用的是心理学家伍德沃斯[3].而在基础教育阶段,跨学科的理念出现得较早一些,哈佛大学 零点项目 负责人博伊克斯㊃曼西利亚(B o i x M a n s i l l a)探讨了中小学跨学科学习实践,给出了学校跨学科学习的含义,即学校的跨学科是将两个或两个以上的学科在课程㊁认知和操作层面上联系起来,进而从不同的视角(目标㊁学习对象㊁概念和观念㊁学习方法㊁技术能力等)建立互补或合作联系㊁相互渗透或相互作用的实践[4].我国2022年版 课标 中所倡导的跨学科主题学习,体现了义务教育阶段课程设计综合化和实践化的特点,超越学科与教科书的逻辑体系,通过跨学科概念将各种相互关联的学科勾连起来,基于真实任务情境进行问题解决,促进学生体会学科之间相互依赖的关系,培养他们的高阶思维和核心素养[3].对于数学教科书中的例题的内容来说,就是在题干的设计上使得两个或者多个学科的内容融合,在探索蕴含真实的情境中所蕴含的关系中,发现和提出问题,运用数学和其他学科的知识与方法分析和解决问题[1]. 1.2例题例题是教科书中涵盖新知识并带有详细解答过程的数学问题,是数学样例的主要表现形式基金项目:2021年度内蒙古自治区教育规划课题(2021J G H385)之一.例题一般由数学问题以及解答步骤构成,是对于数学原理以及概念的具体化表达.例题具有展示问题㊁描述解决过程㊁解释数学概念与规则㊁提高解决问题能力等多项复合功能[5].本文中的 数与代数部分的例题 ,指的是 数与代数领域 中的例题.2问题的提出课标 提出,培养学生综合能力,提升学生核心素养.随着时代的发展,传统的教育模式下学科之间界限明显,知识之间关联不强,知识点相对零散,已经难满足当下教育发展新形势的要求,因此加深不同学科之间的联系是教育发展大势所趋,是符合新时代的育人要求的.教科书是数学知识的重要载体,是学生进行学习的重要工具,学生大部分的知识都来源于教科书,教师所教授的内容也以教科书为依据,因此教科书内容的合理编制对于学生来说至关重要.同时,数学的学习离不开例题的练习,例题内容的设置直接会影响到学生的学习效果甚至是思维的发展,因此在例题部分精心设计㊁加强学科之间的关联同样非常有必要.跨学科教学在初中阶段的实施国内还处于探索阶段,并没有细化以及进一步落实.相关的研究现状为:一是中国和澳大利亚㊁日本㊁新加坡等国外初中数学教科书跨学科内容㊁设置理念及其比较研究[6-8];二是中国初中数学教材 跨学科 综合实践活动的比较研究[9];三是中国初中新手教师对数学教科书例题的认识及使用情况调查㊁教学与学习策略研究[10-14].上述研究发现,关于初中教材(2012年审定)数与代数部分的例题中跨学科问题还没有系统分析和研究,这是有待深入研究的问题.本文对于人教版初中教材(2012年审定)数与代数部分的例题中跨学科问题进行分析,并对教科书的编写以及教师对于教科书的使用提出相应的建议.3数与代数部分跨学科问题例题的分析3.1跨学科内容例题在教科书中的分布情况课标 中将初中(7~9)阶段划分为第四学段,该学段数与代数领域主要分为数与式㊁方程与不等式以及函数[2]三个主题.在这一部分中,共有例题155道,分布如下(表1)表1例题所属章节分布情况章节例题数量涉及跨学科内容例题数量所占比例有理数22418.18%整式的加减13538.46%一元一次方程11436.36%实数9222.22%二元一次方程组6233.33%不等式与不等式组7342.86%整式的乘法与因式分解1900.00%分式18422.22%二次根式1400.00%一次函数9444.44%一元二次方程500.00%二次函数5120.00%反比例函数8450.00%锐角三角函数9333.33%共计1553623.23%图1例题内容学科来源分布情况可以发现,在155道例题中,涉及跨学科内容的例题共36道,占例题总数的23.23%,其中不等式与不等式组㊁一次函数以及反比例函数章节的例题中,涉及跨学科内容的例题占比较大,分别达到了42.86%㊁44.44%㊁50.00%,有理数和二次函数则相对较少,只有18.18%㊁20%.而整式的乘法与因式分解㊁二次根式和一元二次方程则为0%.例题共涉及九个学科门类,各个学科的占比如图1所示.我们可以发现其中经济学以及交通运输所占比重较大,分别达到了27.78%以及19.44%.环境工程学以及航空航天技术占比较少,仅为2.78%.整体来看,跨学科融合相关例题在所有例题当中占比并不是很大,涉及的学科门类并不广泛.通过对于初中数学教科书例题分析发现(如表2),数与式主题中例题最多,函数次之,方程与不等式最少.但是涉及跨学科内容的例题所占比例函数主题最多,为38.71%,方程与不等式次之,占比为27.27%,数与式最少,只有17.65%.可以看出涉及跨学科内容的例题分布并不均衡,且不够深入.表2例题所属主题分布情况主题例题数量涉及跨学科内容的例题数量所占比例数与式1021817.65%方程与不等式22627.27%函数311238.71% 3.2跨学科内容例题在教科书中呈现的案例案例1(七年级下册第九章不等式与不等式组第二节一元一次不等式例2)去年某市空气质量良好(二级以上)的天数与全年天数(365)之比达到60%,如果明年(365天)这样的比值要超过70%㊁那么明年空气质量良好的天数比去年至少要增加多少?该例题出自于七年级下册第九章第二节中,在这之前,学生学习了不等式的相关概念,为加强对知识的进一步理解和运用,本例题结合实际生活情境,将空气质量问题与数学结合,从跨学科实例中抽象出数学模型,引导学生在实际情境中运用不等式知识解决相关的问题.在本题中,主要将数学学科与化学(空气成分)和环境工程学相结合,一方面让学生初步认识用建立 数学模型化 的方法分析和解决具体问题,从而进一步提高学生学习数学兴趣,并通过例题体验和理解将具体问题转化为数学问题的过程和方法.另一方面可以引起学生们对于当前空气质量好与坏及其产生原因的思考,产生相关问题的好奇心,同时感受良好的空气对于人们日常生活的重要性,进而唤起学生的环保意识.案例2(九年级下册第二十六章第二节真实问题与反比例函数例3)小伟欲用撬棍撬动一块大石头,已知阻力和阻力臂分别为1200N和0.5m.(1)动力F与动力臂I有怎样的函数关系当动力臂为1.5m时,撬动石头至少需要多大的力(2>若想使动力F不超过题(1)中所用力的一半,则动力臂I至少要加长多少?这是一道结合情景解决反比例函数的问题,学生在本章第一节已经对于反比例函数有了初步了解,并且在八年级下册的物理课上,学生对于杠杆原理㊁阻力㊁阻力臂,动力㊁动力臂有了一定的了解,在此基础之上,学生就可以根据已有知识经验,找出数量关系,建立数学模型,进而解决实际问题.这道题将数学以及物理的学科知识进行融合,结合学生已有的数学以及物理知识解决了实际问题,一方面加深了学生对于数学知识的巩固和运用,另一方面还可以帮助学生构建完整的知识体系,体会学科间的密不可分性. 3.3跨学科内容例题在教科书中分布的广度以及深度在这些跨学科例题当中,共涉及9个学科门类,且大多是将数学与另外一个单一学科融合在一起,涉及两个学科门类级以上的学科共3道,在这部分例题中,学科间的交叉融合并不深入,仅仅将其作为解决数学问题的情境支撑,整体来看,在初中数与代数部分,跨学科融合的广度以及深度都有待提高.4教科书例题编写的建议4.1在例题设置的内容方面人教版初中数学教科书关于数与代数部分涉及跨学科内容的例题在总例题中的占比并不多,而且可能受课本篇幅的限制,例题的内容都很简单,与其他学科虽然有一定的联系,但是并不深入,在学生学习的过程中,也很难同时注意到数学学科与其他学科知识的联系,也就很难达到发展学生思维的目的.以核心素养为导向,教科书中的例题编写不仅要设置跨学科的内容,也要注重背景的介绍以及适当的拓展,结合学生的认知规律和现有水平,设置相应的探究活动,引导学生创造性地理解学科间的关系,感受不同学科的美妙之处.4.2在例题设置的位置方面初中阶段的数与代数部分,是学生理解数学符号,以及感悟数学符号表达事物的性质㊁关系和规律的关键内容,是学生初步形成抽象能力㊁推理能力㊁感悟用数学的语言表达现实世界的重要载体[1].在数与式部分,要设置丰富的问题情境以及一些跨学科相关的探究活动,引导学生主动构建不同学科间的联系,这样既可以引发学生学习兴趣,让学生们主动思考和学习,也可以让学生感受到学科间的关联.在学生初步形成量感之后,对于数与式有了更深的认识,则可继续结合具体实例深入学习.对于函数以及方程专题来说,则应当编制不同类型的跨学科例题来理解数量关系以及变化规律,了解常量和变量变化的意义,加深与其他学科的联系,抽象出存在于其中的数学模型,探索不同的未知量之间的关系.增强学生知识的运用以及迁移能力.4.3在例题设置的广度以及深度方面学生的学习具有整体性和一贯性,因此例题的内容设置也要呈现一定的系统性.人教版教科书跨学科问题例题中,涉及了九个一级学科门类,相对来说种类较少,且多为数学与一门其他学科的融合,是窄而浅的,只是简单设置情境,没有引发学生对于其他学科内容的深度思考,学生还是将注意力完全放在解决数学问题上,掌握公式㊁定理,机械化的解决数学问题,这样是没有办法进一步发展学生的创新创造能力的.因此数与代数部分例题的编写要加大数学与其他学科的联系,而不仅仅是将跨学科内容作为数学学习的一个背景,并且考虑将多个学科同时融入例题当中,提高数与代数跨学科问题例题的广度,当然,也不是涉及的学科门类越多越好,也要考虑到是否合适,使学生以超学科的态度进行学习和探究,才能更好的提升学生的核心素养.4.4在例题设置的类型方面除了重视数学与其他学科的交叉融合之外,现代教育对于数学文化融入数学教学也日益重视,通过对于数学学科与一些人文学科的融合,比如数学文化以及数学史,使得学生可以在这当中感悟数学家们锲而不舍的探究精神,产生对于数学家们的崇拜之情,并在这个过程中感受到数学的高峰并不是不可攀登,进而培养学生们的探索精神以及学好数学的信心.因此,在例题的编写部分,也要充分重视数学文化内容的渗透对于学生数学学习的重要作用,将数学文化的内容融入到例题的编写中去,使例题更加鲜活,更加生动,引导学生感受到数学的文化美.4.5教师对于教材的使用教师是教学的实践者,应该不断的更新自己的教育理念,意识到学科融合是教育发展的大势所趋,并将其渗透到教学的全过程当中去.因此,教师应当深入研读教科书,有意识引导学生深入挖掘例题中的跨学科知识,拓宽学生的知识面,培养学生的跨学科意识.对于例题中跨学科内容有些欠缺的部分,教师需要针对所讲授的内容适当进行拓展,引导学生在更加丰富的情境中解决数学问题.在这个过程中,培养学生跨学科的应用意识和实践能力,提高学生核心素养.参考文献[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准(2022年版)[S].北京:北京师范大学出版社,2022 [2]伍红林,田莉莉.跨学科主题学习:溯源㊁内涵与实施建议[J].全球教育展望,2023,52(3):35-47.[3]孙兴华,刘晓莉,郭昕雨.跨学科主题学习实施路径的探寻 以数学学科为例[J].教育科学研究,2023(4):73-78.[4] M a n s i l l a,V.B.L e a r n i n g t oS y n t h e s i z e:T h e d e v e l-o p m e n t o f i n t e r d i s c i p l i n a r y u n d e r s t a n d i n g[J].T h eO x f o r d H a n d b o o k o f I n t e r d i s c i p l i n a r i t y,2010: 288-306.[5]王凯.小学数学教科书例题内容分析及改进策略研究[D].扬州大学,2022.[6]张维忠,赵千惠.澳大利亚初中数学教科书中的跨学科内容[J].浙江师范大学学报(自然科学版), 2022,45(2):233-240.[7]孙虎.日本初中数学教材中跨学科内容设置理念之个案评介[J].中学数学杂志,2022(8):37-41. [8]肖妍.中新两国初中数学教科书跨学科内容的比较研究[D].西南大学,2022.[9]周雪倩.初中数学教材 跨学科 综合实践活动的比较研究[D].华东师范大学,2022. [10]阿依图尔荪㊃麦麦提.初中新手教师对数学教科书例题的认识及使用情况调查研究[D].新疆师范大学,2021.[11]郭月瑶.初中数学教科书例题的教学研究[D].延边大学,2017.[12]王甜甜,张平菲,徐承杰.初中数学学习策略的研究和探索[J].中学数学,2023(10):64-65. [13]吴美云.初中数与代数的关键点教学设计与策略研究[J].福建教育学院学报,2019,20(9):33-34.(收稿日期:2023-10-10)。

一道课本例题衍生出的中考题赏析安昌镇中学倪君霞初中数学教材中有许多例题都反映了相关的数学本质，蕴含着重要的数学思想与方法，对数学教学具有一定的导向作用、在中考复习中，将教材中典型的例题与其衍生出的中考试题联系起来，能够激发学生的学习兴趣，培养学生发明问题和解决问题的能力、本文从2018年中考试题中撷取了两道具有代表性的试题并对其简要分析，供读者参考、【一】例题及解答例1如图1，在等腰三角形ABC 中，底边cm BC 60=，高cm AD 40=，四边形PQRS 是正方形、〔1〕ASR ∆与ABC ∆相似吗？什么原因？ 〔2〕求正方形PQRS 的边长、解：因为四边形PQRS 是正方形，因此SR ∥BC ,因此ABC ASR ∠=∠,ACB ARS ∠=∠、由三角形相似的判定可知，ASR ∆∽ABC ∆、由相似三角形的性质可知，相似三角形对应高的比等于相似比，因此BC SR AD AE =、设正方形的边长为xcm ，那么cm x AE )40(-=、因此604040x x =-，解得24=x 、即正方形PQRS 的边长为cm 24、点评：此题以学生熟悉的等腰三角形和正方形为背景，不仅考查相似三角形的判定，而且考查相似三角形的性质，即相似三角形对应高的比等于相似比、这道例题为“三角形内接矩形”这一类问题的解答起到了示范引领的作用，为这类问题的解决提供了一种最差不多的解题策略，即由两个三角形相似，得到这两个三角形的对应边与对应高成比例，从而建立等量关系，然后依照那个等量关系列出方程，最终通过解方程使问题获得最终解决、本例中的这类问题能够与相似三角形、方程、函数、动态几何等知识点巧妙地结合在一起，能够得到一些富有挑战性的学习素材.【二】由例题衍生的中考题例2〔2018年陕西〕如图2，正三角形ABC 的边长为33+、〔1〕如图2，正方形EFPN 的顶点E 、F 在边AB 上，顶点N 在边AC 上、在正三角形ABC 及其内部，以A 为位似中心，作正方形EFPN 的位似正方形N P F E ''''，且使正方形N P F E ''''的面积最大〔不要求写作法〕；〔2〕求〔1〕中作出的正方形N P F E ''''的边长；〔3〕如图3，在正三角形ABC 中放入正方形DEMN 和正方形EFPH ，使得DE 、EF 在边AB 上，点P 、N 分别在边CB 、CA 上，求这两个正方形面积和的最大值及最小值，并说明理由、图1解析：〔1〕此题要紧考查利用位似变换的性质将图形放大的方法、如图4，连接AP 并延长交AC 于点P '，这是画正方形N P F E ''''的关键、〔2〕此题要紧考查等边三角形、正方形、含30°锐角的直角三角形性质，可通过列方程求解、如图4，设正方形N P F E ''''的边长为x 、因为△ABC 是正三角形，因此x F B E A 33='='、从而可得33332+=+x x ，解得333332339-=++=x 、 〔3〕那个地方要用两个正方形的边长的代数式表示出它们的面积和，然后再利用二次函数的性质求最大值和最小值、如图3，设正方形DEMN 和正方形EFPH 的边长分别为m 、n 〔n m ≥〕，它们的面积和为S 、那么可求得m AD 33=，n BF 33=，从而BF EF DE AD AB +++=n n m m 3333+++=33+=，因此3=+n m 、故2222)3(m m n m S -+=+=2923296222+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-=m m m ，显然当23=m 时，29=最小S 、由二次函数的性质易知，当23>m 时，S 随m 的增大而增大、又由〔2〕知，23333>-=最大m 、因此当333-=最大m 时，35499292333322-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=最大S 、 说明：参考答案比较繁琐，特别是在解答第三个问题时，作了四条辅助线，从以上解析能够看出，事实上没有一点必要，直截了当利用二次函数的性质即可解决、点评：此题以学生熟悉的正三角形的正方形为载体，以位似变换为基础，综合考查了正三角形、正方形、勾股定理、直角三角形边角关系、方程、二次函数的性质等重要知识点，是一道考查几何知识与代数知识为一体的综合性试题，与例1相比，此题具有较强的挑战性和探究性、尽管正三角形和正方形是常见图形，但此题的设计却给人耳目一新的感受、它此题所涉及的三个问题之间互相关联，并逐级推进，其中第二个问题的计算结果一定要分母有理化，否那么对第三个问题的计算就会产生影、要正确解答这此题，要求学生具有扎实的数学基础，拥有较强的探究能力和综合分析问题、解决问题的能力、从此题的问题呈现形式来看，符合新课程标准的要求；从问题的设置来看，由易到难，步步深入，符合学生的认知规律、不足之处是此题运算量较大，运算结果比较繁琐，仅此一点难度较大、因此，广大教师在教学中不但要重视“双基”的教学，更要重视学生能力的培养、例3〔2018年长春〕如图5，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =8cm ，BC =4cm ，D 、E 分别为边AB 、BC 的中点，连结DE ，点P 从点A 动身，沿折线AD －DE －EB 运动，到点B 停止、点P 在AD /s 的速度运动，在折线DE －EB 上以1cm/s 的速E'F'F 图4E 图3 图2 F度运动、当点P 与点A 不重合时，过点P 作PQ ⊥AC 于点Q ，以PQ 为边作正方形PQMN ，使点M 落在线段AC 上、设点P 的运动时间为t 〔s 〕、〔1〕当点P 在线段DE 上运动时，线段DP 的长为______cm 、〔用含t 的代数式表示〕〔2〕当点N 落在AB 边上时，求t 的值、〔3〕当正方形PQMN 与△ABC 重叠部分图形为五边形时，设五边形的面积为S 〔cm ²〕，求S 与t 的函数关系式、〔4〕连结CD 、当点N 于点D 重合时，有一点H 从点M 动身，在线段MN 上以2.5cm/s 的速度沿M -N -M连续做往返运动，直至点P 与点E 重合时，点H 停止往返运动；当点P 在线段EB 上运动时，点H 始终在线段MN 的中心处、直截了当写出在点P 的整个运动过程中，点H 落在线段CD 上时t 的取值范围、解析：〔1〕由勾股定理易知，cm AB 54=，因此cm AB AD 5221==，因此点P 在AD 上运动的时间为2s 、故当点P 在线段DE 上运动时，线段DP 的长为)2(-t cm 、〔2〕当点N 落在AB 边上时，有两种情况、利用运动线段之间的数量关系可求出时间t 的值、如图6，当点N 与点D 重合时，如今点P 在DE 上，EC DP ==2，即t －2=2，t =4、如图7，当点P 位于线段EB 上时，易求得6-=t PE ，t PB -=8，4-=t PC 、利用△BNP ∽△BAC 可求得t PB PN 2162-==、由PN =PC 可得4216-=-t t ，解得320=t 、 故当点N 落在AB 边上时，t =4或320=t 、 〔3〕当正方形PQMN 与△ABC 重叠部分图形为五边形时，有两种情况、首先用时间t 的代数式分别表示各相关运动线段的长度，然后利用求面积S 的表达式、①当2＜t ＜4时，如图8所示、易求得2-=t DP ，t CQ -=6，t AQ +=2，t AM =、由△AFM ∽△ABC 知，AC AM BC FM =，即21==AC BC AM FM 、故t AM FM 2121==、 Q 图8 图M )Q M 图6 Q )PM 图图故t t t t t t S S S AMF AQPD 24121212)]2()2[(212+-=⋅-⨯++-=-=∆梯形、 ②当8320<<t 时，如图9所示、易求得6-=t PE ，4-=t PC ，AMF AQPG S S S ∆-=梯形)216)(12(21)4(]8)216[(21t t t t ----⨯+-= 8422452-+-=t t 、 〔4〕此题涉及双点的运动，首先需要正确理解题意，然后弄清点H 、点P 的运动过程、依题意，点H 与点P 的运动分为两个阶段，如下图所示、①当4＜t ＜6时，如今点P 在线段DE 上运动，如图10所示、此阶段点P 运动时间为2s ，因此点H 运动距离为cm 525.2=⨯，而MN =2，那么此阶段中，点H 将有两次机会落在线段CD 上、第一次是点H 由M →H 运动，如今点H 运动时间为〔t －4〕s ，运动距离)4(5.2-=t MH ，因此t MH NH 5.2122-=-=、又2-=t DP ，42-=-=t DP DN ，由NH DN 2=得，)5.212(24t t -=-，解得314=t 、第二次是点H 由N →H 运动、如今点H 运动时间为s t t )8.4(5.224-=--，运动距离125.2)8.4(5.2-=-=t t NH ，由NH DN 2=得，)125.2(24-=-t t ，解得t =5、②当6≤t ≤8时，如今点P 在线段EB 上运动，如图11所示、由图可知，在此阶段，始终有MC MN 21=，即MN 与CD 的交点始终为线段MN 的中点，即点H 、 综上所述，在点P 的整个运动过程中，点H 落在线段CD 上时t 的取值范围是314=t 或t =5或6≤t ≤8、 点评：此题以动态几何的形式呈现，考查的内容涉及到正方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质、梯形和三角形的面积等，是一道综合性较强的试题.解决这类问题时首先要正确理解题意，搞清晰动点的运动过程，按照动点的不同运动过程通常需要渗透数形结合与分类讨论的数学思想.然后针对不同的运动过程，利用含有时间t 的代数式表示相关线段的长度，最后通过列方程求出时间t .正确画出不同过程的图形并能正确表示相关线段的长度是解决此题的关键.与例1相比，不同的是图形中所涉及的三角形由等腰三角形变为了直角三角形，所涉及的正方形由静态变为动态，此题中的正方形完全由动点操纵，是一个动态正方形.相同的是对一些关键线段的求解方式差不多相同，基本上利用相似三角形的性质求解，方法是相通的.特别是此题中的第〔4〕个问题超出了一般学生的水平，具有极强的挑战性，也表达了中考的选拔功能. )M 图图10 M Q t AM -=12tPG 216-=t FM 216-=t PB -=8【三】对教学的启发1.关注教材，研究教材中的典型例题与习题，最大限度地发挥教材的作用.教材是通过学科专家反复推敲，精心编写的精品课程资源.大多数例题都具有很强的代表性，蕴含着重要的数学思想与方法，是解答其它相关问题的有效数学模型.教材中一些典型的例题也是命题专家关注的重要对象之一，通过对例题中的条件、图形、结论或设问方式等方面的改造变化或重组，可命制出高质量的中考试题.在教学中，教师要关注教材，研究教材中典型的例题，把握教材的编写意图，对教材中的例题要从不同角度进行延伸、拓展和变式，充分发挥例题的最大功能.2.切实加强学生分析问题与解决问题能力的培养，加强学生创新意识的培养.《数学课程标准》指出，学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，这些内容有利于学生主动地进行观看、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动.对教材中典型例题的复习是九年级中考复习教学中的重要组成部分，因此，在典型例题的教学中，当学生获得某种差不多的解法后，教师应当引导学生挖掘例题的潜在因素，通过改变题目的条件、图形、结论或设问方式等多种途径对例题进行变式教学，强化学生对知识和方法的理解，关心学生对问题进行多角度、多层次的思考，从而提高学生分析问题和解决问题的能力，拓宽学生的思维，培养学生良好的思维品质.作为教师，在中考复习教学中不能只满足于单纯的教学生去解题，还要学会对一些典型的例题推陈出新，多做变化，多拓展，多探究其内在规律，由此及彼，要教会学生理解一题而会一类题的本领，大力培养学生的创新意识.要做到这些，只有教师在教学中多下功夫研究、学习、总结，才能有足够的能力让学生学得轻松，才能让学生在面对中考千变万化的题目中从容应对.。

平面向量共线定理的推论及运用——一道课本平面向量例题
的探究
韩亦敏
【期刊名称】《数理天地(高中版)》
【年(卷),期】2024()3
【摘要】平面向量共线定理是数学中的一个重要定理,探究平面向量共线定理推论的运用,提升学生的数学学习效率和兴趣.
【总页数】2页(P24-25)
【作者】韩亦敏
【作者单位】浙江临海市回浦中学
【正文语种】中文
【中图分类】G63
【相关文献】
1.聊定理道联系赏应用——从向量共线定理到平面向量基本定理
2.与平面向量分解定理系数相关的问题——从课本的一道例题谈起
3.平面向量三点共线定理的推论及空间推广
4.平面向量基本定理的几何特性——从一道模拟测试题谈平面向量基本定理几何特性在解题中的应用
5.向量共线定理与平面向量基本定理
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。