一道课本例题

我们 只 探讨 沿砖由 向 的 伸 缩 变 换 ： 方
＝ ｍ∞， ｔ ． ｙ ＝ｙ
在 变换 作 用 下 点Ｐ ｘ，ｏ变 为ｔ （ ， （ｏ ） ｙ ｒ ，。 ：
后点与线 、 与线之间的接合性不变（ 线 即
出示 问囊
倒 将 圆 上 的 点 的横 坐 标 保 持
０
）直 线 ２ ， ＋ 变换 后 仍 为直 线Ｚ： ＝ ； ： ６ ） ：
，
若直线 与直线 平行或 相交 ， 变换 后仍平
行或相交 ； 若直线 与曲线相切 ， 变换后仍
相切 ） ．
设点 Ａ（ｌ １， ｘ，２， （３ ３在 直 ， ）Ｂ（２ ）Ｃ ｘ， ） Ｙ ｙ ｙ 线ｌｙ ｋ＋ ， 变 换 后 的 点Ａ （ ， ， ：＝ ｘ ｂ 则 １ １ Ｙ）
然 后 再 将 得 到 的 结 论 沿 着 “ 梁 ” 原 到 桥 还 椭 圆 中 去．根 据 这 一思 路 ， 学 中及 时 引 教 导 学生 继续 探 究 ， 新解 题 思 路 、 创 方法 ．
ｍ ‘
些 例 题 可 以进 行 适 当 变 形 转 化 ， 申 引
代 到 圆，方 錾 中得 ． 人 椭 ｃ 程 ， 的
Ｂ （ ，＇ ， ， ３在 直线 ｙ ２ ２ Ｃ （ ｙ ） ｙ ） ３ ＝ ＋ ６
旦 ＋ ； 点 Ｐ 直 线 ｌ 即有 ｙ ０ ｂ ６若 在 上 ０ ＋ ，
ｍ
不 变 。 坐 标 变 为 原 来 的 一 半 ， 所得 曲 纵 求 线 的 方程 ， 说 明它 是 什 么 曲线． 并 分 析 设 所 求 曲 线 上 任 一 点 坐 标 为
： ＋
ｍ
＋ ６ －￣ － （ ： ｒ） ０， 所 ＋ ２（ ￣ ２
探 究 拓 展 架 构 椭 圆 和 圆 之

４ 当且仅当一 一 ， ＜ ￣ｋ一 时， ＝ １ ｆ ＝ 且ｋＯ ＝２ 取“ ”．
ｙ
二 、 向 探 究 逆
由 上述 几种 解 法 不 难 知 道 ， △ Ｏ 面 积 最 小 时 ， Ｐ 线 当 Ｂ 点 是 段 Ａ 中点 ． 么 ， 之 成 立 吗 ？ 口 那 反 问题 ： 平 面 直 角 坐 标 系 ｘ ｙ 在 Ｏ
修五Ｐ ０ ９ 中的例 ３第 三章《 ， 不等式》 中的一道例题．
本 题 自然 质朴 ， 法 较 多 ， 合 了解 析 几 何 、 解 综 函数 、 等式 等 不 重 要 内容 ， 留给 考 生 后 继 的 探 究 空 间 很 大 ， 探 究 的 结论 具有 一 且
ｔｎ 一 ） 只是 刻 画直 线 倾 斜 度 的 不 同表 现 形 式 而 已． ａ（ ０ ，
４、
０则 Ｏ １ — ， Ｂ ２ ｔ ０ ， ＝ ＋ 兰 Ｏ ＝ ＋ａ ． ｎ
ｔ ｎ０ ａ
１
２
．
０ １
图 １
Ａ＼
贝 ＡＡ０ 的 而 积ｓ Ａ ＝ １Ｏ Ｏ ４ 曰 △（ Ａ・Ｂ
ｒ １ ＼・ Ｊ ２ ｌ
图２
高 版 ？ ７ ≮ 巾 中・擞，誓繁０
用 基 本 不 等 式 求 最值 ． 实 上 ． ＋２： 事 因为 １
．
￣ 的 积 Ｏｏ 一） ｊ ｒ Ｄ 面５ ＡＢ （ ） Ａ ‘＝ ２ 一
．
本 质 上 也 只 是 一
Ⅱ
ｂ
个 变 量．
＝
２ ［ ）一１＋× ） ＋ （ ＋ ，２ ２ × ， ｛一 ｃ ≥｛ 、 ｃ ／ 一
思 路 ｌ 一 元 函数 模 型 ） ｆ
“
由 Ｉ ＋ ２≥２ ＿
＝

培养了学生的思维能力 。 分析 ：重叠部分 的面 积是正方 形 Ａ Ｃ Ｂ Ｄ的面积 的只要证 本题变化还很 多 ， 近几年来 ， 国各地 出现大量 的好 题 目， 全
ＡＯ Ｃ Ｆ （ Ｅ ｍ ＡＯ Ｄ 证明此两个三角形全等与例题证明方法相
同）
得 Ｓ Ｅ ＝ ＡＯ Ｄ 而 Ｓ Ｄ ＝ ＡＯ Ｄ Ｓ Ｆ △Ｏ Ｃ Ｓ Ｆ △Ｏ Ｃ Ｓ Ｆ ＋ ＡＯ Ｃ
含 ４￣ ５ 角的三角板 ， Ｄ ＡＯ Ｅ是另一块含 ３ 。 ０ 的三角板 ， 且点 Ｏ是
Ｂ Ｃ的中点 ， △Ｏ Ｅ绕着点 Ｏ旋转 ， 把 Ｄ 上述结论 成立 吗？
Ｃ
一
Ｎ Ａ ／
图２
ＢＭ Ｄ
￡

图３
分析 ： 变形 １２的结论都成立 ， 、 其解题 思路和例题类 似 ， 证 明方法完全相同（ 请读 者 自己证 明） 通过改变 图形 ， 变形 ， 操作等 创造 出系列新题 ， 关键是抓住题 目的本质属性 ， 解决 实际问题 ，
２０ ０ ８年 １ ０月
（ 总第 ９ 期 ） ２
搴Ｈ 论 ’Ｉ 坛 Ｓ Ｕ 磁 Ｚ
Ｊ Ａ Ｏ Ｙ Ｕ ＬＵ Ｎ Ｉ ＴＡ Ｎ
一
ＮＯ．０， ０ １ ２ ０８
（ ｕ ｌｔ ｅｙ Ｏ９ ） Ｃ ｍｕａｉ ｔＮ ． ｖ ２
道课 本例题 教学 的探索
沈桂斌
江 苏省兴 化 市林 潭 学校 ， 苏 兴化 ２ ５４ 江 ２ ７５
点， 如果 点 Ｍ、 Ｎ分别在线段 Ａ 、 Ｃ上移动 中保 持 Ｍ Ｎ ９ 。 ＢＡ Ｏ ＝ ０，
请判断 Ａ ＝ Ｍ ， Ｍ＝ Ｎ， Ｎ Ｂ Ｏ Ｏ 并证 明你 的结论 。
Ｃ
硼
？ 邀 Ａ Ｃ ｉ ・ Ｂ Ｄ、～ ＣＤ 是 ＡＢ 一 Ｅ

关键 在于条件 的把 握 、应 用 。
２ 知识 的拓 展
在 原例题 图中， ｐ ｏ 是线面成角 ， ｚ Ａ， ￣ 并且可以得 出如下
关式 ｓＡ ｃ Ｐ箐，／Ｆ 系… ￣Ｏ ｏ Ａ ｃ Ｏ 。 Ｐ ， Ｆ ｏ Ａ ＝ ｓ ＝ ｓ ＝ Ｚ
于 是Ｃ Ｓ Ａ Ｏ Ｆ＝Ｃ Ｓ ＬＰ Ｏ Ｄ・Ｃ Ｓ Ａ ，这 个关 系式 不仅 Ｏ Ｆ ＺＯ
由 已 知 可 知 平
中点 ，试 求 Ｂ
与Ａ Ｅ Ｆ 面 成 角 的 正 切 ４ Ｃ 平
面Ｐ Ｂ上 平 面 ∞ ， Ａ
ＡＥ Ｆ是 菱形 。２）ＺＢ ＡＦ Ｃ ＝ ＺＢＡ】 １ Ｅ。于 是 由习题 结 ． 论知 Ｂ 在 平 面 Ｅ Ｆ 的 Ｃ上 射 影 为 Ｆ Ａ Ｅ的 角 平 分
直 线 上 。如 图 １ 所
图１
合 客观题 目）。 如 图 ３ 所
图３
示 ， 已知 ＺＢ Ｃ 平 Ａ在
Ｆ ，Ｐ ＝Ｐ 。 求 证 ： ＺＢ Ｏ ￣Ｃ Ｏ ，０ Ｅ Ｆ Ａ＝ Ａ。
示 ，正 方￣Ａ Ｃ 沿对 角线肋 折 成直 二面 角 ，Ｙ 与∞ 成 ＢＤ ， ｐ ￣Ｂ
显 然平 ＩＡ Ｄ上平面 ，交线 为Ｂ ￣Ｂ Ｄ，Ａ 与肋 成４ 。 Ｂ ５ 角， 与Ｂ Ｄ成４ 。角 ， ． 异 面 直 线Ａ ５ ’ ． Ｂ与Ｃ 角 目满 足 Ｏ成
仅 很好 地诠 释 了线 面成 角 中 的最 小角 问题 ，而且 可 以用 来计 算异 面直线 成角 问题 。观察 图中平 面 ０ 平面 ａ显 与 然垂 直 ，而 ＬＰ Ｏ ￣Ｆ Ｏ 别 是 与 与交鳓 Ｄ 角 ， Ａ和 Ａ分 成
于是 可得 二 异面 直线 成 角求 法 ：分 别把 二 异面 直线 放 在
内 的射 影是这个 角 的平分线 所在 的直线 。

并且 面积比原来的矩形面积大 （ 图２ 如 的
引 导 １ 许 多 同 学 都 在 计 算 罔 １ 况 情
（ 即课 本情 况 ） 的矩 形 面 积 的最 大 值 ， 生 下 你
多
学
虚 线 部 分 ） 对 于 这 种 情 况 ， 可 以 找 ．即 总
到 一 个 面 积 比它 大 的矩 形 ， 并且 此 矩 形 至 少 有 两个 顶 点 在 扇 形边 界上．
（ ） 矩 形 绕４点逆 时针 方 向旋 转 直 １将
到边ＡＢ存 半径 ０ Ｐ上 ：
（ ） 得 到 的 矩 形 平 移 ， 持 点 ， ２将 保 Ｂ 在半径０ 上． Ｐ 直到 点 在扇 形 的 另一 条半
径 上为止 ．
很 快 同学 们发 现 ． 不论 如 何 变化 矩形 ＡＢＣ Ｄ的 位 置 ． 于 图 １ 和 图 ｌ 的情 形 中 对 ２ ３
更大的“ 内接 矩 形 ” 是不 是 这 种面 积 更大 ， 的内 接矩 形 不存 在 呢？
就在 学 生作 图 遇到 困难 时 ， 一部 分 学
生 开 始 怀 疑 这种 “ 积 更 大 的 内接 矩 形 ” 面
的存 在 性 ， 但是 更 多 的人 坚信 ， 种 “ 积 这 面
更 大 的 内接 矩 形 ” 仅 存 在 ， 小 而且 就 是 图 １
的课 本 情形 ！ 于 是笔 者 给 出下 面 的提 示．
引导９ 我 们 能 否 像 图 ９ 样 ， 用旋 那 采
转 变换 来 寻求 问题 的解 决 呢？
此 言一 出 ， 几乎 所 有 的学 生都 想 到利 用 计 算 机 来 演 示 探 求．于 是 有 学 生 要 求
利用 教 室多 媒 体进 行 实验．

问 题 １是 例 ３的 逆 向 问 题 ， 于 有 了 例 ３的 解 题 由 体 验 ， 生们 不 约而 同 地 选 择 了 思 路 ２的解 法 ， Ｐ 学 得
一
二 册 （ ） １ 页 的 例 ３ “ 率 为 １ 直 线 经 过 抛 物 线 上 １８ ：斜 的
Ｙ ＝ ４ ｘ的 焦 点 且 与 抛 物 线 相 交 于 Ａ、 求 线 段 Ａ Ｂ， Ｂ的 长 ”的 教 学 为 例 ， 谈 如 何 在 例 题 教 学 中 引 导 学 生 开 谈 展探 究性 学 习 ， 大家 参考 ， 供
使 用 这 一 模 型 进 行 各 种 变 量 的 测 算 ， 一 模 型 尽 管 这
来 源 于 房 地 产 市 场 ， 它 的 应 用 远 远 不 仅 于 此 ， 实 但 事
上 ， 诸 如 保 险 、 赁 、 券 等 行 业 也 有 十 分 广 泛 的 在 租 证
应 用． 然 它在 不 同领 域 的应 用 各有 其 特点 ， 兴趣 当 有
＞０ ）的 焦 点 ， 抛 物 线 相 交 于 Ａ、 两 点 ， 线 段 与 Ｂ 且 ｌ Ｂ ｌ ＝ ８ 求 Ｐ的 值 ． Ａ ，
Ｊ ’ ｌ
思 路 １ 先 求 交 点 坐 标 ， 后 直 接 运 用 两 点 间 然 的 距 离 公 式 求 线 段
ＩＡＢ ｌ的 长 ．
学 科 的核 心知 识 为 内 容 ， 探 究 发 现 为 主 的学 习方 以
式 ， 中学数 学教 学 中 ， 导 学 生 开 展 探 究性 学 习 ， 在 引 对 每 一个数 学教 师 来说 ， 一 个 不 可 回避 的新 课题 ． 是 本 文 以 现 行 高 中 新 教 材 （ 验 修 订 本 ・ 修 ） 学 第 试 必 数
③ 如 何 求 线 段 ｌ Ｂ ｌ的 长 ？ Ａ 由 于 创 设 了 一 题 多 解 的 情 境 ， 于 问题 ③ ， 生 对 学

一道课本例题的探究开发663312云南省广南县篆角乡中心学校 陆智勇课本的例题不仅仅是传授知识、巩固方法、培养能力、积淀素养的载体，如果我们对它们进行特殊联想、类比联想、可逆联想和推广引申，这些例题也可作为探究教学的重要材料。

笔者尝试着从课本例题入手，合理开发课本例题，引导学生反思、深化与推广，并结合数学探究教学作了初步的探讨.题目：如图(1)，AD 是△ABC 的高，点P,Q 在BC 上，点R 在AC 上，点S 在AB 上，边BC=60cm ，高AD=40cm,四边形PQRS 是正方形.(1)相似吗？与ABC ASR ∆∆ (2)求正方形PQRS 的边长.分析：由于四边形PQRS 为正方形，所以SR ∥BC ，故ASR ∆∽ABC ∆.利用相似三角形对应高的比等于相似比列方程求解.解：（1）ASR ∆∽ABC ∆.理由： 是正方形，因为PQRS 所以SR ∥BC. 所以 .,ACB ARS ABC ASR ∠=∠∠=∠ 所以ASR ∆∽ABC ∆ .（2）由（1）可知ASR ∆∽ABC ∆.根据“相似三角形对应高的比等于相似比，可得设正方形PQRS 的边长 为 AE=(40- χ )cm, 所以 解得：所以正方形PQRS 的边长为24cm.此题是北师大版九年义务教育课程标准实验教科书八年级数学下册第147页.BCSRAD AE =，cm χ.24=χ604040χχ=-的一道例题。

该题是典型的利用“相似三角形对应高的比等于相似比”解决实际问题的例题。

笔者在教学过程中没有停留在问题的解决上，而是以此题为切入口，精心设计了一组变式，恰当设置问题梯度，使难易程度尽量贴近学生的最近发展区，使设计的问题触及学生的兴奋点，把学生从某种抑制状态下激奋起来，使之产生一种一触即发的效果。

变式1：如图(2),△ABC 的内接矩形EFGH 的两邻边之比EF ：FG=9：5，长边在BC 上，高AD=16cm,BC=48cm,求矩形EFGH 的周长。

方形 Ｂ ｃＤ ． 接下来 ， 们可 以从 点 的对 称 角度对 此 我
国标苏科版教材九年级上册 ２ ４页例 ６ １ ： ［ ］ 已知 ： 如图 １ Ｅ、 Ｇ、 ， Ｆ、 Ｈ分 别是 正 方 形 Ａ Ｃ 各 边 的 中 ＢＤ
点 ，Ｆ、 Ｇ Ｃ Ｄ Ａ Ｂ 、Ｈ、 Ｅ分别相交于
点 Ａ 、 、 Ｄ ． Ｂ Ｃ 、
问题进行 引伸 ， 到一 些有价值的结论． 得 引伸 １ 若点 Ｅ在线 段 Ａ Ｂ上运 动 ， Ｆ Ｇ 日作 相 点 、、 应 的变化 ， 使得 Ａ Ｂ Ｅ＝ Ｆ＝Ｃ Ｄ ． Ｇ＝ Ｈ 特殊地 ， 当点 Ｅ与点
Ａ重合 时 ， 正方形 ＡＢ ＣＤ 与原正方形 Ａ Ｃ Ｂ Ｄ重合 ； 当点 Ｅ与点 曰重合时 ， 正方形 ＡＢ ＣＤ 退化为 一个点 ， 即原正 方形 Ａ Ｃ Ｂ Ｄ的中心． 不难发现 ： 当点 Ｅ从点 Ａ沿线 段Ａ Ｂ向 点 运动时 ，Ｅ逐 渐变大 ， 构造的正 方形 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 逐 Ａ 所
求证 ： 四边形 Ａ Ｂ ＣＤ 是
正 方 形．
２ 方法探究
图１
渐变小．
课本 给出的证 法经历 了三 次全等 证 明 ： ＡＡ Ｆ ① Ｂ ￣
ＡＢ Ｇ， ＡＡ ＡＢ ③ △Ａ ＡＢ ． 下 Ｃ ② ＢＢ Ｃ Ｃ， ＡＥ ＢＦ 接 来 ， 思考 的是 能否减少 证 明全等 的次数 ， 要 使得证 明更
引伸 ２ 如 图 ２ 若 点 Ｅ在线 段 Ａ ， Ｂ的延 长线 上运 动 ， Ｆ、 、 作 相 应 的变 化 ， 保 持 Ａ 点 ＧＨ 仍 Ｅ＝Ｂ Ｆ：Ｃ Ｇ＝
Ｄ ． Ｈ 可发现 ： 当点 Ｅ从 点 沿 Ａ Ｂ方 向运动 时 ，Ｅ逐渐 Ａ 变大 ， 构造 的正方形 Ａ Ｂ ＣＤ 也 随之逐渐变大． 所 引伸 ３ 如 图 ３ 若点 Ｅ在线段 Ａ ， Ｂ的反 向延 长线上

一道课本例题结论的求证方法探究与拓展一、引题普通高中课程标准实验教科书·数学（必修5）北京师范大学出版社p72页例7结论：一般地，设a、b为正实数，且a0，则 > .倘若该结论得出之后就弃之不管，无异于“入宝山而空返”，笔者认为，合理地对教材实施“二次开发”，充分挖掘蕴涵在题目中的数学思想方法，将最大限度地发挥该题的教学功能，这也体现了“用教材教”，而不是去“教教材”的新课程理念。

下面是笔者在一节高三复习课中对该进行适当的分析及改编，通过研究性教学，以求达到拓展“双基”、迁移能力的目的。

二、分析及改编分析1：由于待证式中的字母均为正数，容易看出，它等价于更简单的下述问题：问题1：已知a、b，m∈r+，且a（b+m）a分析2：待证式还等价于 - >0，因此它相当于更开放的下述问题：问题2：已知00，比较与的大小.分析3：由待证式 > 的两边取倒数，则有，若设两个点a（b，a）及m（m，m），则am的中点坐标为n（，），则原问题就转化为证明斜率kon>koa，因此原问题可变换为下述问题问题4：已知a、b，m∈r+且0求证：kon>koa它的证明揭示了原问题中不等式的几何本质。

由于点m（m，m）在直线y=x上，又b>a>0，故点a（b，a）在直线om的下方，从而am的中点n落在直线oa的上方，所以必有kon>koa.分析5：若把待证式看成 > ，更一般化地看成 > ，其中x2>x1≥0，则原问题的较强命题就是下述问题：问题5：证明函数f（x）= ，0x1≥0的情况下，验算f（x2）-f（x1）= - =- >0即可.三、应用及拓展我们再来看上述问题的几个应用与推广。

应用与推广问题1：已知：a、b、c、d、e、f、g均为正数，求证：+ >分析1：若用通分化简计算就较繁杂，但若运用本题结论视c+d 为m，则原式左边> + > + = >原式右边应用与推广问题2：已知：a1，a2，b1，b2∈r+，且②①?坩 0a1b2②?坩 > ?坩 0a1b2上述命题不难进一步推广到一般情形，即：应用与推广问题3：已知：ai，bi∈r+，（i=1，2，…n）且四、教学后记说句实在话，本文选取的这道课本试题并不难，这堂课的容量也不大，不过我们数学教学的目的既不是要通过解决所谓的难题向学生展示多么高超的解题技巧，也不是要通过课堂的大容量向学生灌输一些缺乏思维含量的机械、呆板的学科知识，而是试图通过变更问题形式适当推广及拓展，让学生拓宽解题思路，优化数学思维，进而大幅提升他们的数学素养。

形改 为 切 去 ４个 全 等 的小 等 腰 直 角三 角 形 且 改换 为
适 当的位 置 ， 则有 ：
— ’
例 ２ （ ０ １年江苏 卷 ） 你设计 一 个包 装 盒 ， ２１ 请 如
图 ２所 示 ， Ｃ 是 边 长 为 ６ ｍ 的 正 方 形 硬 纸 片 ， ＡＢ Ｄ ０ｃ
新 焊成 的 长 方 体 容 器 底 面 是 一 长 方 形 ， 为 ４ 长 ５ ｃ 宽 为 ３ ｍ， ｍ， ０ｃ 高为 １ ｍ， 长 方 体 的容 积 为 一 ５ｃ 此
做 一 个无 盖 的 容器 ， 在 四角 分 别 截 去 一 个 小 正 方 一 先 形． 然后把 四边 翻转 ９ 。 Ｏ的角 ， 焊接 而成 （ 图 １ ， 再 如 ） 问
所 以 当 一１ ５时 ， Ｓ取 得最 大值
（） ２ Ｖ＝ａ ｈ √ 一 ｒ ＋３ ｘ ） 。 一２ ２（ 。 ０ ，
得 ｎ 一 ， ＝＿ －２ ｘ—Ｖ ３ －Ｘ）ｏ ＜ ３ ） ｈ＝ ０ ０ ＝ ６ ￣（ ０ （ ＜ ｏ
√２
（ ）Ｓ一 ４ ｈ一 ８ ３ 一 ） 一 ８ ｚ一 １ ） １ ａ ｘ（ ０ 一 （ ５ ＋ １ ０ ８ ０，
例 ｌ 用 长 为 ９ Ｉ ， 为 ４ ｍ 的长 方形 铁 皮 ０Ｃｆ 宽 ＂ ｌ ８ｃ
２ ６ｒ ＋ ４ ３ ０ ７ ．。 ２ ｘ
由于原题 设计存 在 缺陷 （ 料 有 问题 ） 请 你重 新 材 ， 设 计切 焊方 法 ， 材 料不 浪 费 ． 使 而且 所 得 长 方 体 容 器 的容积 超过 １ ０ ｍ ． ６０ ０ｃ
Ｖ （ 一 １ｘ 一 ５ ２ ） ２ ５ ｘ十 ４ ３ ０ 由 Ｖ （ ） ０ 得 ２ ， １ ＝ ， ｚ
Ｖ ６ 一 （ Ｏ－ ｘ） ２ －

的多种解法
及引申
云 南 杨 天 勇
所 以 ａ＋６ ｆ ≤ 活 应 用 知 是
识 的体现 ， 开 阔了思路 ， 通 了知识 间 的 内在联 系 ， 它 沟
培 养 了求 异 思 维 和 应 用 知 识 解 决 问 题 的 能 力 ．
Ｂ 一 １； 一 ２；
则 ａｃ 的最小值 是 （ ｂｄ
ｎ— ｒ ｏ ， 一 ， ｉ ， 一 ， ｏ ｄ ｒ ｉ 。 ａ ＋ ｂ ｃ ｓ ６ ｎ ａ Ｃ ． ｓｐ． ｓｎ ｐ 则 ｃ ｄ一 ａ ｓ ｃ ￣Ｏ ＇ Ｓ口 ・ｒ Ｏ ＿ ｒ ｉ 口・ｒ ｉ — ｒ Ｃ Ｓ — ） ｒ ， Ｃ Ｃ Ｓｐ ｝ ｓｎ 一 ｓｎ ｐ 。Ｏ （ ≤ 所
Ｄ
最 大 值 １ 最 小值 ｛ 和
解 因 为 ？ ｙ！ １ 故 可 设 ． Ｃ Ｓｄ， ＋ 一 ． ｒ— Ｏ Ｙ— ｓｎ ａ， ｉ 则 有 （１一 ．ｙ） ｒ （卜｛ 一 ）一 （１一 Ｃ ｓｎ ａ ・ ＯＳ ａ ｉ ）
下 面仅给 出几种 具有代表性 的解 法） ．
：
。 ２ ｚ、 例 Ｙ∈ Ｒ， ＋ Ｙ 一 １ 则 且 ，
） ．
目的 ．下 面 以 一 道 课 本 例 题 为 例 说 明 ．
（１ ｘｙ）（１＋ ．ｙ） （ ～ ｒ 有
Ａ
一．
最 小 值 ， 无 最 大 值 ； ｏ 而
ｊ
例 １ （ 中《 等 式 人教 版 ） ２ 高 不 第 ９页 ） 已知
璺 斗 一＋ ｃ ｃ ￣ Ｆ
—— —一 一
—
ｂ ｄ
“ｆ…
—— 一 ‘
ｂ 一 ｄ —
—
—— — ～— — … ｉ
：≥ ０ 一≥ ．
．

厶
以下是二次 函数知识 间的内在联系 ：
下面我将从审题分析 、 解题 过程 、 总结提 升 、 评价分 析这 四个方面逐一说 明．
一
、
审 题 分 析
（ 一） 题 目背 景
１ ． 题材背景 ： 本题 出 自人教版数学 九年级下册 “ ２ ６ ． １ ． ３ 二次 函数 —日 （ １ ｚ 一 ） ＋是的图像” 第３ 课 时的例 ３ ．
（ 三） 重、 难 点
转化为 一ａ （ ｚ 一 ） 。 ＋ｋ ， 体 现 了化 归思想 ， 例 ３的解决 也起到 了 ‘ 承上启下 的作用．
二、 解 题 过程
（ 一） 知 识 回顾
１ ． 抛 物 线 一 ２ ｘ 。 一９的 开 口 向—
，
—
， 对 称 轴 是
顶 点 坐标是 —
—
， 它可 以看做 是 由抛 物 个单位得到 的． — 向
３ ． 策略： 学 生已掌握 了利用 描点 法画 函数 的图像 ， 能从 图像上认识 函数 的性质． 本 题 的教 学应从 分析教材
的编 写意 图 出发 ， 引导 学生体 会数 学之 间的联 系 ， 感受 数学 的整 体性 ， 不断丰 富解决 问题 的策 略 ， 提高解 决 问
题 的能 力 ．
质及抛 物线的平移规律． 突破难点 的关 键 ： 从“ 数” 的角度 ， 通 过 函数 对应 值 表， 引导学生发现抛物线 的平移规律．
（ 四） 教 材 编 写意 图
个单位得 到 的， 平移 后 的抛 物线 ， 顶 点 坐标 是 — — ， 当 ： 时， Ｙ有 最 值， 其值是— — ． ３ ． 若 抛物线 的对称 轴为直 线 ｚ一一３ ， 且它 与抛物 线 一一２ ｚ 。 的形状相 同， 开 口方 向相 同， 则抛 物线 所对

1.两条相同直径管道并联使用，管径分别为DN200、DN300、DN400、DN500、DN600、DN700、DN800、DN900、DN1000和DN1200，试计算等效管道直径。

解：采用曼宁公式计算手头损失，n=2,m=5.333,计算结果见下表，如两条DN500管道并联，等效管道直径为：mm d N i m648500*2)(d 333.52n ===双管并联等效管道直径双并联管直径（mm)200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1200 等效管道直径（mm)259 389 519 648 778 9081037116712971556我国华东地区某城镇规划人口80000，其中老师去人口33000，自来水普及率95%，新市区人口47000，自来水普及率100%，老市区房屋卫生设备较差，最高日综合生活用水定额采用260L/(cap ·d),新市区房屋卫生设备比较先进和齐全，最高日综合生活用水量定额采用350L/(cap ·d);主要用水工业企业及其用水资料见表1；城市浇洒道路面积为7.5hm2,用水量定额采用1.5L/（m2·次），，每天浇洒1次，大面积绿化面积13hm2,用水量定额采用2.0L/（m2·d ）.试计算最高日设计用水量。

某城镇主要用水工业企业用水量计算资料 表1 企业 代号 工业产值 （万元/d ） 生产用水 生产班制 每班职工人数 每班淋浴人数 定额（m3/万元） 复用率（%） 一般车间 高温车间 一般车间 污染车间 F01 16.67 300 40 0~8,8~16,16~24 310 160 170 230 F02 15.83 150 30 7~15,15~23 155 0 70 0 F03 8.20 40 0 8~1620 220 20 220 F04 28.24 70 55 1~9,9~17,17~1 570 0 0 310 F05 2.79 120 0 8~16 110 0 110 0 F06 60.60 200 60 23~7,7~15,15~23 8200 350 140 F073.38808~1695950解：城市最高日综合生活用水量为： d N Q m i i /24600100014700035095.0330002601000q 3111=⨯⨯+⨯⨯==∑工业企业生产用水量2Q 计算见表2，工业企业职工的生活用水和淋浴用水量3Q 计算见表3。

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理４－ ０（￣４１， 或 一 得ｘ ｘ ，１ １ ） 得± ． ８１ Ｉ即２ ） ＝ ＝ ４２ （ ０ ｛ ６＝ ｘ 解 ＋ 可
这时学生Ｓ 提出 ： １ 老师 ， 这样裁剪出的矩形是不是一定是最 大的？ 有没有另外 的裁剪方法呢？ 笔者就让学生 自己先尝试 画图 ， 很多同学都画出了另外一种裁剪方法， 师生共 同得出了解法ｉ ：
解 ： ＺＭＯ ＝ ，Ｇ ２ｉ ． 设 Ｆｆ Ｆ ＝ ｓ ｌ Ｑ
（ ＝ ０ ’
以得 出一
６
是唯 的极值点， 一 也是最大短 ， 所以当． 仁
时，
内接矩形面积最大， 代人 算口得矩形４ （ ｒ 日 的最大值为 三 ～
．
师牛共同回顾这 个过程 ， 运用 ｒ导数这 个丁具 ， 感觉计算量
显 得 有 点 复 杂 ， 个 题 的 关键 是 确 定 点 ｃ 位 置 ， 不 能 采 用 这 的 能
３ ６ ６ ６ ６ ２ ６
分 析 ： 是 一个 比较 丽 单的 建模 』 这 司
网 １
一
题 ，问题的关键是如何把矩形 （ 的面积用恰 当的量表示 出 来． 经过 比较 ． 发现用 去表示矩形４ Ｄ的边 长比较方便． ｃ
去一
一此 时 形ｃ面 ， 詈，ＡＤ 因 矩 的

的 图像 向上 平 移 １ 个单位得 到．
ｋ ≠０ ） 的 图像 有 什 么 关 系？
十 ０
的 图 像 与 反 比例 函 数 ｙ ： （ 为 常 数 ， 且
【 结论 】 函数ｙ ：
（ 为常数 ， 且 ≠０ ）
【 类比】 函数 ｙ ： 一 ２ 的 图 像 与 反 比例
当ｂ ＜ ０ 时， 函数 ｙ ：ｋ＋ ｂ （ ｋ 为 常数
，
且
图像 与反 比例函数， ， ＝ 三 的图像有什么关系？
【 分析 】 对 函数） ， ： ＋ １ 和 ： 列表得 ：
－
（ 为 常 数 ， 且 ≠０ ） 的 图像 向 下 平 移 Ｉ ｂ １ 个
单 位得到．
拓展 ３ ： 函 数ｙ ： ＋ ６ （ 为 常数 ， 且 ≠
的 图像 可 以 看 做 是 反 比 例 函数 ｙ ： （ 为 当６ ＞ ０ 时， 函数ｙ ＝ ＋ ６ （ 为 常 数 ， 且 常数 ， 且 ≠Ｏ ） 的图像 向右平 移Ｉ ｎ 单位得 到 ．
拓 展２ ： 函数 ｙ ： ＋ ６ （ 尼 为 常数 ， 且 ≠ ０ ） 的 图像 与 反 比例 函数 ｙ ： （ 为 常数 ， 且 ｋ ≠０ ） 的 图像 有什 么关 系？ 现 在 我 们 可 以先 研 究 ： 函数 ＝ 三＋ １ 的 ｋ ≠０ ） 的 图 像 可 以 看 做 是 反 比例 函 数 ｙ ＝ ｋ ≠０ ） 的 图 像 可 以看 做 是 反 比例 函 数 ＝ （ 为 常 数 ， 且 ≠０ ） 的 图 像 向上 平 移 ｂ 个 单 位得到 ．
一
２
一 ３ 到． 由上 面 的 结论 ， 我 们 还 可 以继 续 研 究 ：
的 图像 可 以看 做 由反 比例 函 数 ＝ 的 图 像 先 向右 平 移 ２ 个单位 ， 再 向下 平 移 ３ 个 单 位 得 到．

反 思 ｌ 通 过 教学 应 使学 生 能根 据量 的 关 系， ：
列 出一元二次方程， 并检验解 的合理性， 获得更 多运用数学知识分析和解决实际问题 的方法和
例 １ 华师大版 《 数学》 九年级上 《 一元二次 方程》 ２ 页实际应用题例 ７学生生物小组有 第 ９ ： 块长 ３ｍ， ２ ｍ的矩形试验 田， ２ 宽 ０ 为了管理方
２１ 年第 ３ ０２ 期
数 学教 学反 思 及优 化设 计
５６ １ 四川省巴 ３３ ０ 州区大和初中 李发勇
“ 教而不思则 罔， 思而不教则殆． ”虽说‘ 学 镦 永远是一 门遗憾 的艺术” 但反思是减少这种遗 ， 憾 的“ 金科玉律” ． 反思性教学是以解决教学问题为基本点， 是 以追求教学实践合理性 为动力， 是强调“ 学会教 学” “ 和 学会学 习” 是全面发展教师的过程 ＿． ， ｌ 就 Ｊ
３１ －２
数 学教学
２１ 年第 ３ ０２ 期
ａ 、 ｃａ 、ｄ 故ａ ＋ｂ ＋ａ ＋ｂ ＝ ５０ 分解 ｃ ｂ、 ｄ ｂ ， ｃ ｃ ｄ ｄ ４ ， 因式得 ａ ＋ｂ ＋ａ ＋ｂ （ ） ＋ｄ． ｃ ｃ ｄ ｄ＝ ａ＋６（ ） ｃ
一 ａ—－ｚ — １卜— 一 ｂ— ——１ ———． —
２ｍ 的长方形场地上修筑若干条一样宽 的道路， ０
余下部分作草坪， 设计草坪的总面积仍为５ ０ ４ｍ ， 请全班学生参与设计． 现选取了几位同学不同于 上述 的设计方案：
ｘｘ 故可列出３ｘ ２ 一ｘｘ＝３ ×２ —５０ ）． ２ ＋（０ ） ２ ０ ４．
例２ 如 图５ 在宽为２ ｍ， ， ０ 长为 ３ ｍ的矩形 ２
地面上修筑同样宽的道路 （ 图中阴影部分） 余下 ，
的部分种上草坪． 要使草坪的面积为 ５０ ， ４ｍ 求 道路 的宽度．

大家 知道 ， 图形 变换作 为数 学课 程 改 革 新增 的 内
轴对称的抛物线 ， 这条抛物线是哪个二次 函数的 图象？
容， 加强对这部分 的学习 ， 对学 生具有重 要的教育 价值 ，
有 利于发 展学生 的空 间观念． 另外 ， 次 函数在初 中数 二
学 中 占有 十分重要 的地位 ， 以二次 函数 的图象 和图形 所 变换相结合 ， 合 考查 同学们 分析 、 综 综合 、 概括 、 逻辑 推
ＤＦ ＝
由股理 ＝（ ＝ 勾定得 √ ）（ ＋ ） ， √ ５ ， （ 争 ＝
・
．
． ．
由面积相等可得 ，
ＣＥ —ＡＣ ￣ＢＣ ＡＢ ’ １ 。 ０ 。５ ‘
一 一 — — 。 。
一
Ｄ
．
∞
＝ Ｃ ＋ＤＦ ＝ Ｆ
＋
＝７
图６
点评
此法用相 似三角 形 、 程建 立等 量关 系 ， 方 用
．
＝
，
．
・
ｃ ＃Ｄ ．△ Ｅ Ｏ，． ・
７
．．
— Ｄ Ｆ， Ｏ 丝
．
．
＋（ 一 ＝（ ） ， ８ ） ５
・ ． ．
解得 ，。 ， ＝１ 舍去） ＝７ （ ，
．
ＣＤ ＝ ＣＥ ＝１
．
点评
此法巧妙地利用 方程思 想在构造 的Ｒ △ ） ｔ Ｅ
点评 变式题与课本原题 的 条 件完全相同 ， 问题 由求 Ｂ Ａ Ｃ，Ｄ，
圃， ， 。
一
‘
．
．
‘
．
．
Ｂ Ｄ的长拓展为求 Ｃ Ｄ的长． 线段 Ｂ ，Ｄ， Ｄ 在直 角三 ＣＡ 最 均 角形 中， 比较 容易求 出； 而线段 Ｃ Ｄ是平分 直角的弦 ， 不 在 特殊三角形中 ， 增大 了问题难度 ， 需较 强分析 问题 、 解 决 问题的能力．